本题考点相等复数与共轭复数复数的模
26-复数的模与共轭复数
▲共轭复数的定义及运算性质： 共轭复数的定义：a、b R， z a bi与z a bi互为共轭复数。
共轭复数的运算性质： z1 z1 n z1 z2 z1 z2；z1 z2 z1 z2； ； z n z z2 z2 ▲几个结论： z a bi (a、b R )为实数 b 0 z z z2 ≥0
z a bi (a、b R)为纯虚数 b0 zz法——快速、准确、熟练 1.求复数的模及其应用一： 1. 判断下列命题的正误， 并说明理由： (1)对于复数z，z|=2, 则z = 2； | (2)对于复数z，z| 2, 则 2 z 2； | (3)对于z1、 2 C , 若|z1|| z2|,则 z1 =z2； z (4)对于复数z， |z|=0, 则z =0； 若 (5) 3i 2i； (6)|4 3i|| 3 4i|； (7) 3 | 3 4i|； (8) 4 3， 4 2i 3 2i .
2
3. 有关复数的轨迹问题： 1. 若z1 { z || z i || z 1|}， 2 { z || z 2| 1}， z 求 | z1 z2 |的范围. 2.已知复数z满足 | z | 3， |z 1 3i|的最小值. 求 3.已知复数z满足 | z 3 4i | 2， | z |的范围. 求 4.已知复数z满足 || z i | 2| | z i | 2 0， z在 求 复平面上对应点集合的面积. 1 5.设A { z || z 4i | 2}， { z | z z1i 3，1 A}. B z 4 若z B， | z |的范围. 求
1.求复数的模及其应用二： 1. 若复数z满足① | z 2|| z 2i |； 13 ②z 1 R， z . 求 z 1 1≤ ≤0 2 ≤| |≤ 3 2.设 与 都是模为1的复数， 1≤| |≤ 2， 且 求 | |的变化范围. 3. 若非零复数z1和z2同时满足 | z1 | a， z 2 | b， | | z1 z2 | c(a、、 0)， b c 问能否根据上述条件 z2 求出 ， 说明理由. z1
复数讲义(含知识点和例题及解析)
数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部。
若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数。
(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )。
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
(5)复数的模：向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2。
2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )。
(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一对应平面向量OZ →(a ，b ∈R )。
3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )则： ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 。
②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i 。
③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 。
④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0)。
(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)。
高考数学复习备战：最新真题解析—复数
高考数学真题解析—复数考向一 复数的概念及运算【母题来源】2022年高考浙江卷【母题题文】已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（ ） A. 1,3a b ==- B. 1,3a b =-=C. 1,3a b =-=-D. 1,3a b ==【答案】B【试题解析】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=，故选：B. 【命题意图】本题考查复数的四则运算，属于较为简单题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力． 常见的命题角度有：（1）求复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应的点. 【得分要点】 解复数问题方法：(1)理解复数的基本概念．(2)解答中熟练应用复数的运算法则化简.(3)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类项，不含i 的看作另一类项，分别合并同类项即可．一、单选题1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设()31i 2z -=，则z =（ ） A 2B 2C ．1D ．2【答案】A【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则及模的运算即可求得答案. 【详解】由题意，3(1i)2i(1i)2(1i)-=--=-+，2i 12(1i)2-=-+，2||z = A. 2．（2022·全国·模拟预测）若复数z 满足()32i 3i z +（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的模长与乘法除法运算求解可得42i 55z =-，再根据复数的几何意义分析即可 【详解】 因为()32i 3i z +，即()2i 3i z +，故()()()22i 242i 2i 2i 2i 55z -===-++-，所以在复平面内z 所对应的点为42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限．故选：D ．3．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）已知复数211i 1iz =+-+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算求解复数z ，得到z ，根据复数的几何意义即可求解. 【详解】()()()()()21i 211i 11311i i i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 2222z +-=+=+=++-=+-+-++-， 则31i 22z =-，在复平面上对应的点的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限故选：D ．4．（2022·海南海口·二模）复数213i+的虚部为（ ） A ．35B ．15C ．15-D ．35【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则即可求解. 【详解】由已知得()()()213i 226i 13i 13i 13i 13i 1055--===-++-，则复数13i 55-的虚部为35，故选：D. 5．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知复数z 满足()i i 43i z -=+，则z =（ ） A ．25B ．3 C ．3D ．32【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z ，再利用共轭复数及模的意义求解作答. 【详解】 依题意，43ii iz +-=，则有(43i)(i)+i 34i i 33i i (i)z +-==-+=-⋅-，于是得33i z =+，所以223332z =+故选：D6．（2022·全国·模拟预测）已知i 32i z -=，i 为虚数单位，则z =（ ） A ．23i + B ．23i - C ．23i -+ D ．23i --【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的代数运算法则即可解出． 【详解】因为i 32i z -=，所以()232i i 32i 23i23i i i 1z ++-+====--．故选：B ． 7．（2022·青海·模拟预测（理））若2i21ix y -=+（x ，R y ∈，i 为虚数单位），则复数i x y +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数乘法结合复数相等求出x ，y 即可求解作答. 【详解】因2i21i x y -=+，则有2i 22i x y y -=+，而,R x y ∈，有222x y y =⎧⎨-=⎩，解得2,1x y =-=-，所以复数i x y +在复平面内所对应的点(2,1)--位于第三象限. 故选：C8．（2022·广东茂名·二模）已知复数z 在复平面内对应的点为()11，，z 是z 的共轭复数，则1z=（ ） A ．11i 22-+B ．11i 22+C ．11i 22-D ．11i 22--【答案】B 【解析】 【分析】求出z ，再由复数的除法运算可得答案. 【详解】∵复数z 在复平面内对应的点为()11，，∴1i z =+，1i z =-，()()11i 1i 11i 1i 1i 222++===+-+z .故选：B ．9．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知a R ∈，若复数(i)(1i)z a =+-，复数z 的实部是4，则z 的虚部是（ ） A ．2i - B ．2-C ．2iD ．2【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数z ，再根据复数z 的实部是4求解. 【详解】解：()(i)(1i)11i =+-=++-z a a a ，因为复数z 的实部是4，所以14a +=，解得3a =，所以42i z =-，则z 的虚部是-2，故选：B10．（2022·浙江绍兴·模拟预测）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了2i 1=-，17世纪法因数学家笛卡儿把i 称为“虚数”，用i(R)a b a b +∈、表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z 满足方程2250z z ++=，则z =（ ） A ．12i -+ B ．2i --C ．12i -±D ．2i -±【答案】C 【解析】 【分析】设出复数z 的代数形式，再利用复数为0列出方程组求解作答. 【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，因2250z z ++=，则2(i)2(i)50a b a b ++++=，即22(25)2(1)i 0a b a b a -++++=，而,R a b ∈，则222502(1)0a b a b a ⎧-++=⎨+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=±⎩，所以12i z =-±.故选：C 二、填空题11．（2022·上海闵行·二模）若i1im ++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数m =___________； 【答案】-1 【解析】 【分析】先利用复数的除法法则化简得到()()()()()i 1i 11i 1i 1i 2m m m +-++-=+-，根据i1im ++为纯虚数，得到方程，求出1m =-，检验后得到答案. 【详解】()()()()()i 1i 11i 1i 1i 2m m m +-++-=+-，因为i1im ++为纯虚数，所以10m +=，解得：1m =-，此时ii 1im +=+，符合要求， 故答案为：-112．（2022·天津·静海一中模拟预测）已知复数z 满足()1i 34i z +=-（其中i 为虚数单位），则||z =________ 52【解析】 【分析】根据复数的乘除运算法则，化简得z ，进而根据共轭复数得到z ，根据模长公式即可求解. 【详解】由()1i 34i z +=-得()()3-4i 1-i 34i 33i-4i 417i 1i 2222z ---====--+,所以17i 22z =-+,故221752||=222z ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:522 13．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）若i 为虚数单位，复数z 满足11i 2z ≤++≤，则1i z --的最大值为_______. 【答案】32 【解析】 【分析】利用复数的几何意义知复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足12d ≤≤，1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离，数形结合可求得结果.【详解】复数z 满足112z i ≤++≤，即()11i 2z ≤---≤ 即复数z 对应的点Z 到点(1,1)C --的距离d 满足12d ≤≤ 设(1,1)P ，1i z --表示复数z 对应的点Z 到点(1,1)P 的距离数形结合可知1i z --的最大值22||||222232AP CP =+=++= ，故答案为：3214．（2022·浙江·三模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数53i,43i a b =+=+（i 为虚数单位），则22a b -=__________．【答案】96i + 【解析】 【分析】先要平方差公式，再按照复数的四则运算规则计算即可. 【详解】()()()()2253i 43i 53i 43i 96i a b a b a b -=+-=++++--=+ ；故答案为：96i + .15．（2022·全国·模拟预测）请写出一个同时满足①2i 2z z -=-；②22z =的复数z ，z =______． 【答案】()1i ±+ 【解析】 【分析】设i R z a b a b =+∈，，，根据模长公式得出1a b ==±，进而得出z . 【详解】设i R z a b a b =+∈，，，由条件①()()222222a b a b +-=-+a b =，故222221z a b a b =⇒+=⇒==±，()1i z =±+；故答案为：()1i ±+16．（2022·上海交大附中模拟预测）已知1z 、2C z ∈，且12i z =+，234z i =-（其中i 为虚数单位），则12z z -=____________．【答案】15i -+##5i 1- 【解析】 【分析】利用复数的减法化简可得结果. 【详解】122i 34i 15i z z -=+-+=-+.故答案为：15i -+.。
高考数学 真题分类汇编：专题(15)复数(理科)及答案
专题十五 复数1.【20xx 高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．【考点定位】复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．2.【20xx 高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i【答案】C【解析】32222i i i i i i i i-=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3.【20xx 高考广东，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -【答案】D ．【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ．【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-．4.【20xx 高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z+-=i ，则|z|=( )（A ）1 （B （C （D ）2【答案】A【解析】由11z i z +=-得，11i z i -+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z ，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【20xx 高考北京，理1】复数()i 2i -=（ ）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意21i =-.【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.6.【20xx 高考湖北，理1】 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-【答案】A【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,所以607i 的共轭复数．．．．为i ，选A . 【考点定位】共轭复数.【名师点睛】复数中，i 是虚数单位,24142434111()n n n n i i i i i i i n +++=-==-=-=∈Z ；，，，7.【20xx 高考山东，理2】若复数z 满足1z i i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+【答案】A 【解析】因为1z i i=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选：A. 【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.8.【20xx 高考安徽，理1】设i 是虚数单位，则复数21i i-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【答案】B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b .9.【20xx 高考重庆，理11】设复数a +bi （a ，b ∈R ），则（a +bi ）（a -bi ）=________.【答案】3【解析】由a +得=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.【考点定位】复数的运算.【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得a +，复数相乘可根据平方差公式求得()()a bi a bi +-22()a bi =-22a b =+，也可根据共轭复数的性质得()()a bi a bi +-22a b =+．10.【20xx 高考天津，理9】i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .【答案】2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.【考点定位】复数相关概念与复数的运算.【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.11.【20xx 江苏高考，3】设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.【解析】22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=【考点定位】复数的模【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：2211121222||||||||||||.||z z z z z z z z z z ==⋅=，， 12.【20xx 高考湖南，理1】已知()211i i z -=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.13.【20xx 高考上海，理2】若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】1142i +【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i a b z i ++-=+⇒==⇒=+且 【考点定位】复数相等，共轭复数【名师点睛】研究复数问题一般将其设为(,)z a bi a b R =+∈形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.【20xx 高考上海，理15】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若1z 、2z 皆是实数，则12z z -一定不是虚数，因此当12z z -是虚数时，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当1z 、2z 中至少有一个数是虚数，12z z -不一定是虚数，如12z z i ==，即充分性不成立，选B.【考点定位】复数概念，充要关系【名师点睛】形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.。
复数多选题专项训练知识点及练习题及答案(1)
复数多选题专项训练知识点及练习题及答案(1)一、复数多选题1．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ）A ．若12z z =，则12=z z B ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >答案：BCD 【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案. 【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD 【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案. 【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确； 当两个复数的模相等时，复数不一定相等，比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的； 因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确； 故选：BCD. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.2．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上 答案：AC 【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项. 【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项. 【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC 【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题. 3．已知复数z ，下列结论正确的是（ ） A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件 B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件 C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件 D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件答案：BC 【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论. 【详解】 设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数， 所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数， 所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件；若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件. 故选：BC.本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题. 4．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．|z |=B ．z 的共轭复数为3122i + C ．z 的实部与虚部之和为2D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限答案：CD 【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得. 【详解】由题得，复数，可得，则A 不正确；的共轭复数为，则B 不正确；的实部与虚部之和为，则C 正确；在复平面内的对应点为，位于第一解析：CD 【分析】根据复数的四则运算，整理复数z ，再逐一分析选项，即得. 【详解】 由题得，复数22(2)(1)13131(1)(1)122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，可得||2z ==，则A 不正确；z 的共轭复数为1322i -，则B 不正确；z 的实部与虚部之和为13222+=，则C 正确；z 在复平面内的对应点为13(,)22，位于第一象限，则D 正确.综上，正确结论是CD. 故选：CD 【点睛】本题考查复数的定义，共轭复数以及复数的模，考查知识点全面. 5．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数 B ．若32a bi i -=+，则3,2a b == C ．若0b =，则a bi +为实数D ．纯虚数z 的共轭复数是z -答案：AB 【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得． 【详解】 解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确；当时，复数为实数，故C 正确； 对于B ：，则即，故B 错误； 故错误的有AB解析：AB 【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得． 【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确； 当0b =时，复数为实数，故C 正确； 对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误；故错误的有AB ； 故选：AB 【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题．6．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（ ）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根答案：ABCD 【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确. 【详解】 因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD 【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确. 【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i=-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确；所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确； 因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.7．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A ．z 不可能为纯虚数 B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12答案：BC 【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项. 【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC 【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项. 【详解】当0a =时,1b =,此时zi 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC 【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.8．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ）A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =答案：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解． 【详解】解：复数（其中为虚数单位）， ，故错误； ，故正确； ，故正确； ．故正确． 故选：． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD 【分析】利用复数的运算法则直接求解． 【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限答案：AD 【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD 【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果. 【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0ab ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+，所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--，所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.10．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ） A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b = B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠ C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称答案：AC 【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确； 对于：若复数是纯虚数则且，故错误； 对于：若，互为共轭复数解析：AC 【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确；对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误； 故选：AC 【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．11．已知复数1z =-+(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数zw z=，则下列结论正确的有（ ）A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 答案：ABC 【分析】对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解. 【详解】 对选项由题得 .所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确解析：ABC 【分析】对选项,A 求出1=2w -+，再判断得解；对选项B ，求出1w =再判断得解；对选项,C 复数w 的实部为12-，判断得解；对选项D ,w 判断得解. 【详解】对选项,A 由题得1,z =-1=2w ∴===-.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC 【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．已知复数z 满足2724z i =--，在复平面内，复数z 对应的点可能在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：BD 【分析】先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】 设复数， 则， 所以， 则，解得或，因此或，所以对应的点为或， 因此复解析：BD 【分析】先设复数(),z a bi a b R =+∈，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z ，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈， 则2222724z a abi b i =+-=--， 所以2222724z a abi b i =+-=--，则227224a b ab ⎧-=-⎨=-⎩，解得34a b =⎧⎨=-⎩或34a b =-⎧⎨=⎩，因此34z i =-或34z i =-+，所以对应的点为()3,4-或()3,4-， 因此复数z 对应的点可能在第二或第四象限. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.13．已知复数122z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）．A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =答案：BCD 【分析】计算出，即可进行判断. 【详解】 ，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； ，故C 正确； ，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD 【分析】计算出23,,,z z z z ，即可进行判断. 【详解】122z =-+，221313i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222222z ，故C 正确；2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.14．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ）A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =答案：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题.15．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 答案：BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC. 16．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =答案：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数，所以z 的虚部为1，，故AC 错误，BD 正确.故选：AC解析：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】 因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =故AC 错误，BD 正确.故选：AC17．下面是关于复数21i z =-+（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A ．||2z = B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i +D ．z 的虚部为1- 答案：BD【分析】把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：，，A 错误；，B 正确；z 的共轭复数为，C 错误；z 的虚部为，D 正确.故选：BD.【点解析：BD【分析】 把21iz =-+分子分母同时乘以1i --，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】 解：22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--，||z ∴=A 错误；22i z =，B 正确；z 的共轭复数为1i -+，C 错误；z 的虚部为1-，D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念，属于基础题.18．已知复数12ω=-（i 是虚数单位），ω是ω的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ）A ．2ωω=B ．31ω=-C ．210ωω++=D ．ωω> 答案：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵所以，∴，故A 正确，，故B 错误，，故C 正确，虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC.【点睛】本题主要考查复数的有关概念解析：AC【分析】根据复数的运算进行化简判断即可.【详解】解：∵12ω=-所以122ω=--，∴213142422ωω=--=--=，故A 正确，32111312244ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误，2111102222ωω++=---++=，故C 正确， 虚数不能比较大小，故D 错误，故选：AC .【点睛】本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．19．已知i 为虚数单位，则下列选项中正确的是（ ）A ．复数34z i =+的模5z =B ．若复数34z i =+，则z （即复数z 的共轭复数）在复平面内对应的点在第四象限C ．若复数()()2234224m m m m +-+--i 是纯虚数，则1m =或4m =-D ．对任意的复数z ，都有20z答案：AB【分析】求解复数的模判断；由共轭复数的概念判断；由实部为0且虚部不为0求得值判断；举例说明错误．【详解】解：对于，复数的模，故正确；对于，若复数，则，在复平面内对应的点的坐标为，在第四解析：AB【分析】求解复数的模判断A ；由共轭复数的概念判断B ；由实部为0且虚部不为0求得m 值判断C ；举例说明D 错误．【详解】解：对于A ，复数34z i =+的模||5z ==，故A 正确；对于B ，若复数34z i =+，则34z i =-，在复平面内对应的点的坐标为(3,4)-，在第四象限，故B 正确；对于C ，若复数22(34)(224)m m m m i +-+--是纯虚数，则223402240m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得1m =，故C 错误； 对于D ，当z i 时，210z =-<，故D 错误．故选：AB ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，属于基础题．20．下列命题中，正确的是（ ）A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数 答案：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与解析：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确． 对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．21．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方 答案：CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误 解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.22．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( )A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y ==B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数答案：BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.。
复数的考点知识点归纳总结
复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。
本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。
一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。
3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。
4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。
5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。
6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。
三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。
2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。
3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。
复数题型总结
1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i ).复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→.例：在复平面内，若复数z=（m 2-m -2）+（m 2-3m+2）i 对应点：（1）在虚轴上；（2）在第二象限；（3）在直线y=x 上，分别求实数m 的取值范围（2）复数加法的几何意义：若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1―→， OZ 2―→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1―→，OZ 2―→为邻边的平行四边形的对角线OZ ―→所对应的复数.（3）.复数减法的几何意义：复数z 1－z 2是OZ 1―→－OZ 2―→＝Z 2Z 1―→所对应的复数.2212211221)()(y y x x Z Z z z d -+-==-=3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． 常用结论汇总 (1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i. (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)． (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)； i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N *)．(4)z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n .题型一 复数的概念 例1 (1)(2015·福建)若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( ) A ．3，－2 B ．3,2 C ．3，－3 D ．－1,4(2)若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(3)(2016·天津)i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________．命题点3 复数的综合运算 例4 (1)(2016·山东)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )(2)(2016·全国丙卷)若z ＝4＋3i ，则z |z |等于( )A ．1 B ．－1C ．45＋35i D ．45－35i (3)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A ．－4 B ．－45 C ．4 D.45(1)(2015·山东)若复数z 满足z 1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z 等于(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 017＝________. 题型三 复数的几何意义 1.设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z，12i z z +=，则12||z z -=__________.2. (1)△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( )A ．内心 B ．垂心C ．重心 D ．外心3.已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________. 1.（2019全国II 文2）设z =i(2+i)，则=A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2iD ．–1–2i 4.（2019全国1文1）设，则=A ．2 BCD ．1 7.(2019全国III 文2）若，则A ． B ．C ．D ． 2．(2018全国卷Ⅰ)设1i 2i 1i z -=++，则||z =A ．0 B ．12 C ．1 D 6．（2017新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．2i(1i)+ B ．2i (1i)- C ．2(1i)+ D ．i(1i)+8．（2017新课标Ⅲ）复平面内表示复数i(2i)z =-+的点位于第-----象限A ．一 B ．二 C ．三 D ．第四11．（2016年全国I 卷）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=A ．−3 B ．−2 C ．2 D ．323．（2014新课标2）设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =31．（2013新课标1）若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为A ．－4 B ．－45 C ．4 D ．45 ]1748年,瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写出以下公式e i x =cos x+isin x ,这个公式在复变论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据此公式可知,e 2i 表示的复数所对应的点在复平面中位于第 象限. A ．一 B ．二 C ．三 D ．第四](2019·全国1卷)设复数z 满足|z -i |=1,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则A.(x+1)2+y 2=1B.(x -1)2+y 2=1C.x 2+(y -1)2=1D.x 2+(y+1)2=1 14.设f (n )=(1+i 1−i )n +(1−i 1+i )n (n ∈N *),则集合{f (n )}中元素的个数为 .求和i+i 2+i 3+…+i 2 015的值是复数 z 满足条件∣z+2∣-∣z-2∣=4，则复数z 所对应的点 Z 的轨迹是（）双曲线 （B ）双曲线的右支 （C ）线段 （D ）射线 若复数z 满足条件1=z ，求i z 2-的最值。
全国通用版高中数学第七章复数考点题型与解题方法
(名师选题)全国通用版高中数学第七章复数考点题型与解题方法单选题1、已知下列三个命题：①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数；②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数；③复数z是实数的充要条件是z=z.则其中正确命题的个数为A．0个B．1个C．2个D．3个答案：C解析：运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数z1和z2的模相等,例如z1=1+i,z2=√2i,则z1和z2是共轭复数是错误的;对于②z1和z2都是复数,若z1+z2是虚数,则其实部互为相反数,则z1不是z2的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z是实数,令z=a,则z̅=a所以z=z̅,反之当z=z̅时,亦有复数z是实数,故复数z是实数的充要条件是z=z̅是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C小提示：本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.2、已知i为虚数单位，则i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=（）A．i B．−i C．1D．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0，得到i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=i2021，即可求解.根据虚数的性质知i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=1+i−1−i=0，所以i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=505×0+i2021=i.故选：A.3、已知复数z满足z−z=2i，则z的虚部是（）A．−1B．1C．−i D．i答案：A分析：设z=a+bi(a,b∈R)，根据z−z=2i，求得b=−1，即可求得复数z的虚部，得到答案.设z=a+bi(a,b∈R)，因为z−z=2i，可得z−z=a−bi−(a+bi)=−2bi=2i，则−2b=2，可得b=−1，所以复数z的虚部是−1.故选：A小提示：关键点点睛：本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等的应用，其中解答中熟记复数相等的条件是解答的关键，属于基础题.4、已知复数z对应的点在第二象限，z为z的共轭复数，有下列关于z的四个命题：甲：z+z=−2；乙：z−z=2i；丙：z⋅z=4；丁：z÷z=−12−√32i．如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁答案：B分析：设z=a+b i,z=a−b i，根据复数所在象限、复数加法、减法、乘法和除法，结合“只有一个假命题”进行分析，由此确定正确选项.设z=a+b i,z=a−b i，由于z对应点在第二象限，所以a<0,b>0，z+z=2a<0，z−z=2b i，z⋅z=a2+b2，z =a+b ia−b i=(a+b i)2(a−b i)(a+b i)=a2−b2+2ab ia2+b2=a2−b2a2+b2+2aba2+b2i.甲⇒2a=−2,a=−1，乙⇒2b=2,b=1，丙⇒a2+b2=4，丁⇒a 2−b2a2+b2=−12,2aba2+b2=−√32⇒b=−√3a，由于“只有一个假命题”，所以乙是假命题，b的值应为√3. 故选：B5、若i(1−z)=1，则z+z̅=（）A．−2B．−1C．1D．2答案：D分析：利用复数的除法可求z，从而可求z+z̅.由题设有1−z=1i =ii2=−i，故z=1+i，故z+z̅=(1+i)+(1−i)=2，故选：D6、3+i1−3i=（）A．1B．−1C．i D．−i答案：C解析：根据复数运算将分之分母同乘以1+3i，化简即可得出答案.解：3+i1−3i =(3+i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=3+3i2+10i10=3−3+10i10=i.故选：C.小提示：复数乘除法运算技巧：（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．7、在复平面内，把复数3−√3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是()A ．2√3B ．−2√3iC ．√3−3iD ．3+√3i答案：B分析：由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．解：∵由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，∴旋转后的向量为(3−√3i )[cos(−π3)+i sin(−π3)]=(3−√3i )(12−√3i 2)=32−3√3i 2−√3i 2+3i 22=−2√3i ．故选：B ．8、设2(z +z )+3(z −z )=4+6i ，则z =（ ）A ．1−2iB ．1+2iC ．1+iD ．1−i答案：C分析：设z =a +bi ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .设z =a +bi ，则z =a −bi ，则2(z +z )+3(z −z )=4a +6bi =4+6i ，所以，{4a =46b =6，解得a =b =1，因此，z =1+i . 故选：C.9、若复数z 满足z(1−2i )=5，则（ ）A ．z =1−2iB ．z +1是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则cos α=√55 答案：D分析：利用复数的除法求复数z 及对应点坐标，并确定所在的象限，结合各选项描述判断正误.由题设，z=51−2i=1+2i且对应点在第一象限，A、C错误；z+1=2+2i不是纯虚数，B错误；由z在复平面内对应的点为(1,2)，所以cosα=√55，D正确.故选：D10、已知复数z满足(z−i)(2+i)=6−2i，则|z|=（）A．√3B．2C．√5D．√6答案：C分析：利用复数的运算先求z，再利用复数的模长公式求解. 因为(z−i)(2+i)=6−2i，所以z=6−2i2+i +i=(6−2i)(2−i)(2+i)(2−i)+i，=2−2i+i=2−i，所以|z|=√22+(−1)2=√5.故选：C.11、欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ(e为自然底数，i为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名､最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数e2i在复平面内对应点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B分析：根据欧拉公式有e2i=cos2+isin2，判断cos2, sin2即可确定e2i对应点所在象限.由题意知：e2i=cos2+isin2，而π2<2<π，∴cos2<0, sin2>0，故e2i对应点在第二象限.故选：B12、已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（）A．1B．–1C．2D．–2答案：C分析：根据复数为实数列式求解即可.因为(a−1)+(a−2)i为实数，所以a−2=0，∴a=2，故选：C小提示：本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.填空题13、已知|z|=1，则|z−1+√3i|的最小值是_________．答案：1解析：由|z|=1，得z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为r=1的圆上．|z−1+√3i|=|z−(1−√3i)|，表示Z到点1−√3i所对应的点P(1，−√3)的距离，求出|OP|后减去半径可得最小值．解：因为|z|=1，所以z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心，半径为r=1的圆上．|z−1+√3i|=|z−(1−√3i)|，表示Z到点1−√3i所对应的点P(1，−√3)的距离，∵|OP|=√1+3=2，所以|PZ|min=|OP|−r=1．故答案为1．小提示：方法点睛：本题考查复数模的几何意义，|z|表示复平面上z对应的点Z到原点的距离，|z−z0|表示z 在复平面上z对应的点Z与z0对应的点Z0间的距离．因此有|z−z0|=r表示z0对应的点为圆心，r为半径的圆．14、如果复数z满足|z+i|+|z−i|=2，那么|z+i+1|的最小值是________．答案：1分析：由|z+i|+|z−i|=2的几何意义得z对应复平面的点(a,b)的轨迹为线段AB，再由|z+i+1|的几何意义为复平面内点(a,b)到点(−1,−1)的距离，数形结合即可求出最小值.设z=a+bi，则|z+i|+|z−i|=|z−(−i)|+|z−i|=2的几何意义为复平面内点(a,b)到点(0,−1)及点(0,1)的距离和为2，又1−(−1)=2，设点A(0,−1)和点B(0,1)，则点(a,b)的轨迹为线段AB，又|z+i+1|=|z−[(−1)+(−i)]|的几何意义为复平面内点(a,b)到点(−1,−1)的距离，设P(−1,−1)，结合图像可知，当z=−i时，|z+i+1|的最小值为1.所以答案是：1.15、i是虚数单位，(√21−i )2020＋(1+i1−i)6＝________.答案：－2分析：按照复数除法、乘方运算法则计算即可.(√21−i)2=2−2i=−i(−i)2=i1+i 1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i(√2 1−i )2020＋(1+i1−i)6＝i1010+i6=(−1)505+(−1)3=−2所以答案是：−216、已知i是虚数单位，化简11−3i1+2i的结果为_______．答案：1−5i##−5i+1分析：根据复数代数形式的运算法则即可解出．11−3i 1+2i =(11−3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=11−6−25i5=1−5i．所以答案是：1−5i．17、已知复数z1=1+3i，z2=t+i（i为虚数单位），且z1⋅z̅2是实数，则实数t=___________.答案：13分析：由共轭复数定义和复数乘法运算可求得z1⋅z̅2，利用实数定义可构造方程求得t.∵z1⋅z̅2=(1+3i)⋅(t−i)=(t+3)+(3t−1)i为实数，∴3t−1=0，解得：t=13.所以答案是：13.解答题18、求tan θ，使得复数z=cos2θ+(tan2θ−tanθ−2)i是：（1）实数（2）纯虚数.（3）零.答案：（1）2；（2）1；（3）-1.分析：由复数的代数形式，结合其所代表的复数类型，列方程组求tanθ即可.（1）由题意，tan2θ−tanθ−2=0，得tanθ=−1或tanθ=2.（2）由题意，{cos2θ=0tan2θ−tanθ−2≠0，得{cos2θ=sin2θ(tanθ+1)(tanθ−2)≠0，即{tan2θ=1(tanθ+1)(tanθ−2)≠0，解得tanθ=1.（3）由题意，{cos2θ=0tan2θ−tanθ−2=0，得{cos2θ=sin2θ(tanθ+1)(tanθ−2)=0，即{tan2θ=1(tanθ+1)(tanθ−2)=0，解得tanθ=−1.19、已知i是虚数单位，设复数z满足|z−2|=2.（1）求|z+1−4i|的最小值与最大值；（2）若z+4z为实数，求z的值.答案：（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析解析：（1）根据题意|z −2|=2，可知z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，|z +1−4i |表示点(x,y)到(−1,4)的距离，结合几何意义求得结果；（2）根据z +4z 为实数，列出等量关系式，求得结果.（1）设z =x +yi ，根据|z −2|=2，所以有(x −2)2+y 2=4，所以z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所以|z +1−4i |=|(x +1)+(y −4)i |=√(x +1)2+(y −4)2，其表示点(x,y)到(−1,4)的距离，所以其最大值为圆心(2,0)到(−1,4)的距离加半径，最小值为圆心(2,0)到(−1,4)的距离减半径，所以最大值为√(2+1)2+42+2=7，最小值为√(2+1)2+42−2=3；（2）z +4z =x +yi +4x+yi =x +yi +4(x−yi)x 2+y 2=(x +4x x 2+y 2)+(y −4y x 2+y 2)i ， 因为z +4z为实数，所以y −4y x 2+y 2=0， 即y(1−4x 2+y 2)=0，所以y =0或x 2+y 2=4，又因为(x −2)2+y 2=4，所以{x =0y =0 （舍去），{x =4y =0 ，{x =1y =√3 ，{x =1y =−√3， 所以z =4或z =1+√3i 或z =1−√3i .小提示：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.20、已知a ∈R ，b ∈R ，方程x 2+ax +b =0的一个根为1−i ，复数z 1=a +b i ，满足|z 2|=4.（1）求复数z 1；（2）若z 1⋅z 2>0，求复数z 2.答案：（1）z 1=−2−2i ；（2）z 2=−2√2+2√2i . 分析：（1）将1−i 代入方程x 2+ax +b =0，化简后利用复数相等的知识列方程组，由此求得a,b ，从而求得z 1.（2）设z 2=x +y i ，利用|z 2|=4、z 1⋅z 2>0来求得x,y ，进而求得z 2.（1）依题意，得(1−i )2+a(1−i )+b =0，即(a +b)+(−2−a)i =0，由复数相等的定义及a ，b ∈R ，得{a +b =0−2−a =0， 解得{a =−2b =2. 故复数z 1=a −b i =−2−2i .（2）设z 2=x +y i （x ∈R ，y ∈R ），由|z 2|=4，得x 2+y 2=16， z 1⋅z 2=(−2−2i )(x +y i )=(−2x +2y)−(2x +2y)i ，又z 1⋅z 2>0，得{−2x +2y >02x +2y =0，即{y >x x =−y ， 所以{x 2+y 2=16x =−y y >x，解得{x =−2√2y =2√2 ， 所以z 2=−2√2+2√2i .。
复数的模长与共轭复数
复数的模长与共轭复数前言在数学中，复数是由实数部分和虚数部分组成的数。
它们可用于描述包括电路、信号处理、量子力学等领域中的一些现象和问题。
复数包括实部和虚部，其中虚部以单位虚数单位i来表示。
复数表示形式复数可以用多种形式表示。
最常见的形式是直角坐标形式，也称为直角式。
在直角坐标形式中，一个复数z可写为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部。
还有一种表示形式是极坐标形式，也称为指数形式。
在极坐标形式中，一个复数z可写为$z = r(\\cos\\theta + i\\sin\\theta)$，其中r为模长，$\\theta$为辐角。
复数的模长复数的模长是复数的绝对值，表示复数到原点的距离。
模长用|z|表示。
对于复数z=a+bi，它的模长可以使用以下公式计算：$|z| = \\sqrt{a^2 + b^2}$模长为正实数，表示复数与原点的距离。
举例来说，对于复数z=3+4i，它的模长可以计算如下：$|3 + 4i| = \\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5$因此，复数3+4i的模长为5。
复数的模长具有以下性质：1.若一个复数的模长为0，则该复数为零复数。
2.若两个复数的模长相等，则它们可能相等，也可能互为共轭复数。
3.若两个复数的模长不等，则它们一定不相等。
共轭复数共轭复数是指虚部符号相反的两个复数。
对于复数z=a+bi，它的共轭复数记作$\\overline{z}$，满足$\\overline{z} = a - bi$。
共轭复数的性质如下：1.一个复数和它的共轭复数相加，虚部相互抵消，结果为实数。
2.一个复数和它的共轭复数相乘，实部相乘后加上虚部相乘后的相反数，结果为实数。
举例来说，对于复数z=3+4i，它的共轭复数为$\\overline{z} = 3 - 4i$。
将z 与$\\overline{z}$相加和相乘的结果如下：$z + \\overline{z} = (3 + 4i) + (3 - 4i) = 6$$z \\cdot \\overline{z} = (3 + 4i) \\cdot (3 - 4i) = 9 + 12i - 12i - 16i^2 = 9 + 16 = 25$由此可见，z与$\\overline{z}$相加的结果为实数6，z与$\\overline{z}$相乘的结果为实数25。
2012-2021年高考全国卷●数学真题分类汇编(二十)《复数》试题(解析版)
7．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：设 ，则 ．
8．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）) ( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析： ，故选D．
9．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）) ( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析： ，故选D．
10．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)设 ,则 ( )
A． B． C． D．
A． B． C． D．
【答案】A
解析：由已知得
考点：（1）11．2．2复数的代数运算
难度：A
备注：高频考点
22．(2013高考数学新课标1理科)若复数z满足 ，则z的虚部为( )
A．－4B．－ C．4D．
【答案】D
解析：由题知 = = = ，故z的虚部为 ，故选D．
考点: （1）11．2．1复数的概念；（2）11．2．2复数的代数运算．
【答案】A
解析：由题意知： ,所以 -5,故选A。
考点：（1）复数的乘法；（2）复数的几何意义．
难度：B
备注：常考题
20．(2014高考数学课标1理科) =( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析:∵ = ,选D．
考点:(1)复数的代数运算 (2)转化思想
复数的共轭和模的计算
复数的共轭和模的计算复数是由实数和虚数相加（或相减）而成的数，它包括实部和虚部。
在复数运算中，有两个重要的概念：共轭和模。
本文将详细讨论复数的共轭和模的计算方法。
一、复数的共轭对于一个复数z = a + bi，其中a是实部，bi是虚部，复数z的共轭定义为z* = a - bi。
也就是说，共轭复数的实部与原复数相同，而虚部则是原复数的相反数。
计算一个复数的共轭非常简单，只需要将原复数的虚部取相反数即可。
例如：z = 2 + 3i则z的共轭为z* = 2 - 3i二、复数的模复数的模表示复数到原点的距离，它的计算公式为|z| = √(a^2 + b^2)。
其中a是实部，b是虚部。
计算复数的模也非常简单，只需将复数的实部和虚部分别平方，再相加，最后取平方根即可。
例如：z = 2 + 3i|z| = √(2^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13复数的模可以用来描述复数的大小和距离原点的远近。
三、共轭和模的应用举例通过计算复数的共轭和模，我们可以解决许多实际问题。
以下是一些例子：例1：计算复数的和与差给定两个复数z1 = a1 + b1i，z2 = a2 + b2i，可以通过共轭和模的性质计算它们的和与差。
和：z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i差：z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i例2：判断共轭复数关系若复数z和w满足z = w*，则它们是互为共轭复数。
例3：计算复数的乘积与商给定两个复数z1 = a1 + b1i，z2 = a2 + b2i，可以通过共轭和模的性质计算它们的乘积与商。
乘积：z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i商：z1 / z2 = ((a1a2 + b1b2) / (a2^2 + b2^2)) + ((a2b1 - a1b2) / (a2^2 + b2^2))i例4：求解方程通过对复数进行共轭和模的计算，我们可以解决一些复杂的方程。
复数复习(原创)
方法归纳总结
• 注意的问题： • （1）对于复数a+bi，既要从整体的角度去认识它， 把复数看成一个整体，又要从实部与虚部的角度 分解成两个部分去认识它，这是理解复数的重要 思路之一。 • （2）在复平面内，如果复数变量按某种条件变化， 那么对应的动点就构成具有某种特征的点的集合 或轨迹，这种数形的有机结合，成为复数问题转 化为几何问题的重要解题途径之一，注意数形结 合思想和转化思想的应用。
11.（2009 江西卷理）若复数 z ( x2 1) ( x 1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为 A． 1 B． 0 C． 1 D． 1 或 1
12.(2009 湖北卷理)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复数 （m+ni）(n-mi)为实数的概率为 A、
1 3
（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i
9.（2009 安徽卷理）i 是虚数单位，若
1 7i a bi (a, b R ) ，则乘积 ab 的值是 2i
（D）15
（A）－15 （B）－3 （C）3 10.（2009 安徽卷文）i 是虚数单位，i(1+i)等于 A．1+i B. -1-i C.1-i D. -1+i
z 2.(2010 全国Ⅰ2,★☆☆)已知 , 2 i, 则复数z 1 i A. 1 3i B.1 3i C.3 i D.3 i
3.(2010广东，1，★☆☆)若复数z1=1+i，z2=3-i， 则z1·2= z A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3+i
z的共轭复数和模的关系
z的共轭复数和模的关系1. 引言在复数理论中，共轭复数是一种重要的概念，它与模有着密切的关系。
本文将详细介绍z的共轭复数和模之间的关系，包括定义、性质、计算方法以及应用等方面的内容。
2. 复数和共轭复数的定义在复数理论中，复数是由实数和虚数结合起来构成的数。
一般的复数可以写作z=a+bi，其中a和b分别是实部和虚部。
共轭复数则与原复数的实部相同，而虚部的符号相反，即z的共轭复数记为z，其中z=a-bi。
3. 共轭复数的性质性质1：共轭复数的定义共轭复数的定义如上所述，是原复数的实部不变，虚部的符号相反。
性质2：复数和共轭复数的和与差设z1=a1+ib1和z2=a2+ib2是两个复数，则其和与差的共轭复数分别为：•z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i，(z1+z2)*=(a1+a2)-(b1+b2)i•z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i，(z1-z2)*=(a1-a2)-(b1-b2)i性质3：两个共轭复数的乘积与商设z1=a1+ib1和z2=a2+ib2是两个复数，则它们的乘积与商的共轭复数分别为：•z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i，(z1z2)*=(a1a2-b1b2)-(a1b2+a2b1)i •z1/z2=(a1a2+b1b2)/(a22+b22)+(a2b1-a1b2)/(a22+b22)i，(z1/z2)*=(a1a2+b1b2)/(a22+b22)-(a2b1-a1b2)/(a22+b22)i性质4：共轭复数的模对于复数z=a+ib，其模的平方等于z乘以其共轭复数的结果：•|z|2=z z=a2+b^24. 复数模的计算方法复数的模是一个复数的长度或大小，表示为|z|。
计算复数模的方法如下：对于复数z=a+ib，其模可以通过直角三角形的边长计算得到。
实部a对应于三角形的邻边，虚部b对应于三角形的对边。
根据勾股定理，可以得到模的计算公式：|z| = sqrt(a2+b2)5. 复数模的应用复数模在许多领域中都有广泛的应用，下面列举几个应用案例。
高二数学复数概念和向量表示试题答案及解析
高二数学复数概念和向量表示试题答案及解析1.复数i﹣1（i是虚数单位）的虚部是（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【答案】A．【解析】直接由复数虚部的定义知，i-1的虚部是1，故选A．【考点】复数的基本概念．2.复数z满足方程＝4，那么复数z在复平面内对应的点P的轨迹方程____________【答案】【解析】设则由得，即，则，所以点的轨迹方程为【考点】复数模长的计算.3.已知复数，是实数，是虚数单位．（1）求复数；（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，化简.根据是实数，可得，求得的值，可得的值；（2）化简，根据该复数所表示的点在第一象限，可得，解不等式组求得实数的取值范围.试题解析：(1)因为，所以，又是实数，所以，即，所以.（2）由（1）得，所以，又因为复数所表示的点在第一象限，所以，得.所以实数的取值范围是.【考点】复数代数形式的混合运算；复数的基本概念．4.“”是“复数(,i为虚数单位)是纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C.【解析】复数是纯虚数，故是复数是纯虚数的充要条件.【考点】复数的概念.5.设复数为实数时，则实数的值是_________．【答案】【解析】因为复数为实数的充要条件为，所以依题意有．【考点】复数的基本概念．6.已知．（1）设，求；（2）如果，求实数的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）本小题包含了复数的加法、减法、乘方等运算，可将的值代入所求表达式，利用复数的运算法则即可求出所要求的值；（2）将代入等式的左端再根据复数的运算法则进行化简，最后利用复数相等的定义即可求出实数的值．（1）因为:所以 5分（2）由得:== 6分又因为，所以，=根据复数相等的定义可得，解得 10分．【考点】1．复数的四则运算；2．复数相等与共轭复数的概念．7.复数（为虚数单位）的共轭复数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，所以。
复数的共轭与模
复数的共轭与模复数是数学中一种重要的数概念，在很多领域都有广泛的应用。
在复数的运算中，其中一个基本的概念就是共轭与模。
本文将详细讨论复数的共轭与模的概念、性质及其在实际问题中的应用。
一、共轭复数的概念与性质共轭复数指的是保留实部不变，虚部取相反数的复数。
设复数z=a+bi，其中a和b分别表示实部和虚部，其共轭复数记作z=a-bi。
共轭复数具有以下性质：1. 共轭复数的和等于实部的两倍，即z+z=2a。
2. 共轭复数的差等于实部的差的相反数，即z-z=2bi。
3. 共轭复数的乘积等于实部的平方加上虚部的平方，即z z=a^2+b^2。
4. 共轭复数的模等于原复数的模，即|z|=|z|。
二、复数的模的概念与性质复数的模指的是复平面上从原点到复数所对应点的距离，也就是复数与原点的距离。
设复数z=a+bi，其模记作|z|。
复数的模具有以下性质：1. 复数的模非负，即|z|≥0。
2. 若复数的模为0，则该复数必为零向量，即z=0。
3. 复数与其共轭复数的模相等，即|z|=|z|。
4. 复数的模与其共轭复数的乘积等于实部的平方加上虚部的平方，即|z|·|z|=a^2+b^2。
5. 两个复数的模的积等于它们的乘积的模，即|zw|=|z|·|w|。
三、共轭复数与模的应用共轭复数与模在实际问题中有许多应用，以下举例说明：1. 电路中的复数阻抗在交流电路中，电阻、电感和电容都具有复数阻抗。
当电阻元件为纯阻抗时，其共轭复数即为自身；而对于电感和电容元件，其共轭复数与原复数的模相等，可以用于描述它们的电流相位差等特性。
2. 振动的幅度与相位振动现象在物理学、工程学和天文学等领域中广泛存在。
对于复数形式的振幅，其共轭复数可用于描述振动的相位，而振幅的模表示振动的幅度。
3. 信号处理中的频谱分析在信号处理领域中，频谱分析是一种重要的技术手段。
通过对信号进行傅里叶变换，可以得到信号的频谱图。
其中，共轭复数用于描述信号的相位信息，而模则表示信号的振幅。
(完整版)高考真题：复数
高考真题：复数一、单选题1i （A ）1+i （B ）1−i （C ）−1+i （D ）−1−i2．若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z=（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --3．设i 为虚数单位，则复数（1+i ）2=（A ）0 （B ）2 （C ）2i （D ）2+2i4．设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为 （A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 45 （A ）i （B ）1+i （C ）i - （D ）1i -6．若43i z =+，则（A ）1 （B ）1- （C （D 7．若z=1+2i ，则41i zz =- A ． 1 B ． −1 C ． i D ． −i8．设复数z 满足3z i i +=-，则z =A ． 12i -+B ． 12i -C ． 32i +D ． 32i -9．已知()()31z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ． ()31-，B ． ()13-， C ． ()1,+∞ D ． ()3-∞-， 10．设(1+2i)(a +i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ ）A ． −3B ． −2C ． 2D ． 311．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y（A ）1 （B （C （D ）212．(2017高考新课标III，理3)设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ． 12B ． √22C ． √2D ． 213．若复数(1−i )(a +i )在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ． (−∞,1)B ． (−∞,−1)C ． (1,+∞)D ． (−1,+∞)14．已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z =A ． -2iB ． 2iC ． -2D ． 215．若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ． （–∞，1）B ． （–∞，–1）C ． （1，+∞）D ． （–1，+∞）16．已知R a ∈， i 是虚数单位，若z a =， 4z z ⋅=，则a =（）A ． 1或1-B ． 或C ．D ． 17．3+i 1+i =( )A ． 1+2iB ． 1−2iC ． 2+iD ． 2−i18．，2017新课标全国卷II 文科）(1+i )(2+i )=A ． 1−iB ． 1+3iC ． 3+iD ． 3+3i19．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限20．设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ，p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ，p 3：若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=z 2，p 4：若复数z ∈R ，则z̅∈R .其中的真命题为A ． p 1,p 3B ． p 1,p 4C ． p 2,p 3D ． p 2,p 421．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ． i(1+i)2B ． i 2(1−i)C ． (1+i)2D ． i(1+i)二、填空题22，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于______________________.23．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若（1+i ）（1-bi ）=a _______. 24．设a ∈R ，若复数(1i)(i)a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.25．已知a R ∈，i 为虚数单位，若2a ii -+为实数，则a 的值为__________．参考答案1．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）【解析】B. 2．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版）【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故2,1-==b a ，则12i z =-，选B.3．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷精编版）试题分析：22(1i)12i i 2i +=++=，故选C.【答案】A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷精编版）【解析】 试题分析：二项式6(i)x +的展开式的通项为616C i r r r r T x -+=，令64r -=，则2r =，故展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A.5．A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）【解析】A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.6．D【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）【解析】D ． 【考点】复数的运算、共轭复数、复数的模 【名师点睛】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．7．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）【解析】试题分析： ()()44112121i i i zz i i ==-+--，故选C ． 【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 视频 8．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）【解析】试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C.【考点】 复数的运算，共轭复数【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈，据此先化简再计算即可.视频9．A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版）【解析】试题分析：要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30{10m m +>-<，解得31m -<<，故选A.【考点】 复数的几何意义 【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可． 复数z ＝a ＋bi 复平面内的点Z （a ，b ）（a ，b∈R ）．复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）平面向量OZ uuu r . 视频 10．A 【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）【解析】试题分析：(1+2i)(a +i)=a −2+(1+2a)i ，由已知，得，解得，选A.【考点】复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是i 2=−1中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.11．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）【解析】试题分析：因为(1i)=1+i,x y +所以故选B.【考点】复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.12．C【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）【解析】由题意可得z =2i 1+i ，由复数求模的法则可得|z 1z 2|=|z 1||z 1|，则|z |=|2i ||1+i |=√2=√2.故选C.【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：(1)z 1±z 2=z 1±z 2，(2)z 1×z 2=z 1×z 2；(3)z ⋅z̅=|z |2=|z̅|2，(4)||z 1|−|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|，(5)|z 1z 2|=|z 1|×|z 2|，(6)|z 1z 2|=|z 1||z 1|. 13．B【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）【解析】试题分析：设z =(1−i )(a +i )=(a +1)+(1−a )i ，因为复数对应的点在第二象限，所以{a +1<01−a >0，解得：a <−1，故选B. 14．A【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）【解析】由i 1i z =+得()()22i 1i z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A. 【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2∈±2i∈(2)∈i,∈∈i.15．B 【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）【解析】试题分析：设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以10{ 10a a +<->，解得： 1a <-，故选B.【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量OZ uuu v .16．A【来源】【全国百强校】河北省曲周县第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题【解析】由,4z a z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈，据此结合已知条件，求得a 的方程即可.17．D【来源】江西省赣州厚德外国语学校2018届高三上学期第一次阶段测试数学（理）试题【解析】3+i 1+i =(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−3i+i+11+1=4−2i 2=2−i故选D18．B【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）【解析】由题意(1+i )(2+i )=2+3i +i 2=1+3i ，故选B. 点睛:首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a +b i )(c +d i )=(ac −bd)+ (ad +bc)i (a,b,c,d ∈R). 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a +b i (a,b ∈R)的实部为a 、虚部为b 、模为√a 2+b 2、对应点为(a,b)、共轭复数为a −b i .19．C【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）【解析】()i 2i 12i z =-+=--，则表示复数()i 2i z =-+的点位于第三象限. 所以选C.【名师点睛】对于复数的四则运算，首先要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()()i i i ,,,a b c d ac bd ad bc a b c d R ++=-++∈.其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数()i ,a b a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应的点为(),a b 、共轭复数为i.a b -20．B【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）【解析】令z =a +b i (a,b ∈R)，则由1z =1a+b i =a−b ia 2+b 2∈R 得b =0，所以z ∈R ，故p 1正确；当z =i 时，因为z 2=i 2=−1∈R ，而z =i ∉R 知，故p 2不正确；当z 1=z 2=i 时，满足z 1⋅z 2=−1∈R ，但z 1≠z 2，故p 3不正确；对于p 4，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故p 4正确，故选B. 点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成z =a +b i (a,b ∈R)的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.21．C【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）【解析】2i 1+i)i 2i=-2,=⋅（ ()2i 1i 1i -=-+ , 2(1i)2i += , ()i 1i 1i +=-+ ,所以选C.22．-3【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（上海卷精编版）【解析】z 的虚部等于−3. 【考点】复数的运算、复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目来看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.23．2【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版）【解析】试题分析：由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩故答案为2．【考点】复数相等【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如答案第7页，总7页 i i i()(a+b )(c+d )=(ac bd)+(ad +bc)a,b,c,d -∈R ，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 、模为、共轭复数为i a b -.24．1-【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）【解析】 试题分析：由题意得(1i)(i)1(1)i 1a a a a ++=-++∈⇒=-R .【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.25．-2【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版） 【解析】()()()()()()2212212222555a i i a a i a i a a i i i i ----+--+===-++-为实数， 则20,25a a +==-. 【考点】 复数的分类【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数(),z a bi a b R =+∈，当0b ≠时， z 为虚数，当0b =时， z 为实数，当0,0a b =≠时， z 为纯虚数.。
第03讲 复数(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
所以
，解得 = 1, = ± 3，
− 2 2 + 2 = 4
当 = 1, = 3时， = 1 + 3i，
故 2 = 1 + 3i
2
= 1 + 2 3i + 3i2 = −2 + 2 3i，
3 = −2 + 2 3i 1 + 3i = −2 + 6i2 = −8；
3
A． 2
3
1
B． 2 i C．− 2 D．−
3 − i = 2i，其中为虚数单位，则的虚部为（ A ）
3
2
【解题方法总结】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括
实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和
虚部都认识清楚．
题型二：复数的运算
【例2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知复数 =
+
−
+
பைடு நூலகம்(
+
+
≠ )
题型三：复数的几何意义
3−i
【例3】（2023·河南郑州·三模）复平面内，复数1+i2023对应的点位于（
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
3−i
3−i
3−i
(3−i)(1+i)
【解析】由题得1+i2023 = 1+i3 = 1−i = (1−i)(1+i) = 2 + i，
别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出
发点．
复数的模及共轭复数 答案
复数的模及共轭复数（答案）1、有关复数的模你知道哪些？（1）2||||||z a bi OZ a =+== （2）22Z Z Z Z == （注意22||z z ≠）（3）1212Z Z Z Z =⋅ 11222(0)ZZ Z Z Z =≠ n n Z Z =如；22(3)(1)(1)i i i i -++=- （3）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|如；若|z|=1，则|z-2|的取值范围是 [1,3] .2、有关共轭复数你知道哪些？ 若(,),z a bi a b R =+∈则z a bi =-如：复数43z i =-的共轭复数为 43i -- 1212z z z z ±=± 1212z z z z ⋅=⋅ 11222()(0)z zz z z =≠ 11()()n n z z = z z = 如：12z i +=，1122z i z i +=-3、设41123(12),,(3)2z i z z i i+==--则2||z = 44、你能写出几个实数集成立，而在复数范围内不成立的命题吗？ （1）a b a c b c >⇔+>+ （2）20a ≥（3）2200a b a b +=⇔==（4）22a a = a = 虚数的模永远去不掉！ （5）a b a b =⇔=± 22a b a b =⇔=±（6）100a a a≠⇒+≠ 5、你能写出几个实数集成立，在复数范围内也成立的命题吗？ （1）222()2a b a ab b +=++ （2）22()()a b a b a b +-=-（3）200a ab a ora b -=⇔== （4）00a b a b +=⇔==6、判断下列是非，错误举出反例。
（1）已知12,Z Z C ∈，若120Z Z ->，则12Z Z > （错）(2)若222(3)(43)10m m m i m m i --<-++, 则(m ∈(错) （3）Z C ∈，若21Z <，则11Z -<< （错） （4）设12,Z Z C ∈ 若12Z Z = 则12Z Z =± （错） （5）22z i z i +=- （ 对 ）7、判断下列是非，错就举出反例。