反比例函数案例设计

反比例函数案例设计说明

一、教学目标

知识与技能：（1）从现实情境和已有知识出发，讨论两个变量的相依关系，加深对函数概念的理解。

（2）探索现实生活中数量之间的反比例关系，进一步体会和认识反比例函数这种刻画现实世界中特定关系的数学模型，并能从实际问题中求出反比例关系的解析式。

过程与方法：经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比函数的概念。

情感与态度、价值观：从现实情境和已有知识经验出发研究两个变量之间的相互关系，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点。体现数学来源于生活实际，激发学生学习数学的热情和兴趣。

二、教材分析

地位作用与方法：

本小节属于《全日制义务教育数学课程标准实验稿》中“数与代数”领域，是我们在学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数领域，通过本小节的学习，让学生感受到函数是反映现实生活的一种有效模型，同时，本小节的学习内容，直接关系到后续内容的学习，也可以说是后续内容基础。由于学生已学过正比例关系，一次函数，正比例函数等概念，由于打算采用新旧知识相联系的方法，让学生通过比较发现从而掌握新知识。通过观察、比较、发现、 概括的方法来学习新知识。

教学重点：反比例函数的概念。

教学难点：正确理解反比例函数的概念

三、教学过程

㈠ 忆旧导新

师：我们已经学习了一次函数，请同学们对下列函数做出判断，请看大屏幕。（出示课件）

下列函数哪一个函数不是一次函数？

（1）y=-2x+3 （2）y=2x （3）y=x

2 （4）y=2x -1 生：（3）（4）不是。

师：⑶⑷都不是一次函数？那么它们是什么函数呢？

生（一小部分）：-------（露出茫然的神色）

生（一大部分）：-------(窃窃私语)[这个问题已经激发了这部分同学的好奇心和求知欲]

生（个别的几个）：是反比例函数吧。[声音很小，显得很不自信]

师：（教师板书课题）对，就是反比例函数，为了清楚的了解它，下面我们一起对它做出具体的探究。

[学生已经具有了一次函数的概念，并且知道一次函数的一般形式，通过比较、辨析等活动，得出（3）（4）非一次函数，初步体验非一次函数的存在，为形成反比例函数埋下伏笔。（2）式与（3）式的结构是非常相似的，仅仅只是自变量的位置不同，这一变化，函数的特性发生了变化，将生成一种新的函数，从而会促进学生对新函数的探究意识。]

㈡操作探究

师：我们学校距县城大约8千米，想一想，我们有哪些方式到县城？

生1：乘汽车。

生2：骑自行车。

生3：做小车。

生4：步行也可以。

师：很好。请大家完成表格的填写。（多媒体课件展示）

活动1：见表格1：从南营到宜城有8千米，可以步行、骑自行车，坐公汽和小轿车，具体速度（千米/时）见下表：

生1：是的，因为速度在变化，时间也在变化。

生2：不全面，对于每一个v的取值，有唯一确定t的值与之对应。

师：好极了，这两个变量之间的独特关系是什么？

生4：随着v的增大，t在逐步减少？

师：是，还有别的吗？

生5：两个变量之积是8。

师：很好。（板书：vt =8）

师：想一想：v与t之间的关系还可以怎样表示？

生6：v=8/t ,t=8/v

[教师从学生各种乘车的经历入手，自然导入，使学生带着欢乐、求知、好奇的心态进入学境。从课程上讲，就是要把学生的个人知识、直接经验、生活的世界看成是重要的课程资源，尊重“儿童文化”，发掘“童心”、“童趣”的课程价值。从教学上讲，就是鼓励学生对教科书的自我解读、自我理解，尊重学生的个人感受和独特见解，使学习的过程成为富有个性的过程。从学习上讲，就是要把直接经验的改造与发展作为重要的学习目的。]

活动2、（课件展示）

生：无数个。

师：矩形的宽是长的函数吗？为什么？

生1：对于x的每一个确定值，y有唯一确定的值与之对应？

师：在这两个问题中，y与x的关系相同吗？

生2：不相同，上例中两个变量之积等于8，本题中两个变量之积等于20。

生3：8和20都是常量，所以两个变量之间的关系是相同的。

师：生3的思考非常有理，事实上，上述两个问题的背景虽然不同，但两个变量之间的关系是相同的，即两个变量之积是常量（数）我们把其中一个变量称

为另一个变量的反比例函数。[板书：y=k/x(k≠0 )][“做”是一种尝试性探究活动，在实践中获得体验，在体验中感悟数学知识的价值（长方形面积公式），只有做，才能让猜想与假设变为真理。由于少年儿童习惯用孤立的观点看待周围的事物，总觉得量之间关系很神秘，让学生动手设计制作长方形实质是一个不断验证假设与猜想的过程。在这个过程中，他们能够体验到长与宽之间的相互联系、相互制约，从而加深理解和产生认识、情感、行为的变化。]

[让生活走进数学课堂，是课改所要求的基本教学理念，生活走进课堂，有利于学生以身体之、以心验之，生活走进课堂，能够大大提高学生学习热情，本

例的两个情境是学生非常熟悉的且这两个情境中都蕴含有反比例函数关系的因素，因而多数学生都能够参与学习，在活动中体验反比例函数的关系本质特征，进而形成反比例函数概念。]

练习：下列函数表达式中，x表示自变量，那么哪些是反比例函数？k的值为多少？

①y=0.4/x ②y= x/2 ③x y=3

④y=－6x+3 ⑤x y+7=0 ⑥y=5x－1

[练习的重要目的是“识别”，识别是概念形成的重要环节，同时反馈反比例函数是否理解，反比例函数解析式是否掌握。⑤⑥的形式与反比例函数一般式有所变化，这其实是一种变式，不同的形式反映的本质特征是相同的，因此它容易激活学生思维。对数学知识的普遍联系性和数学的和谐美，在更高的层次上体验、领悟，进而将知识内化。]

㈢应用提高

小明是一个爱动脑筋的学生，一次住院打点滴时，发现瓶中剩余药量随着时间推移而越来越少，因此，他认为瓶中剩下的药液量是时间的反比例函数，你认为他的想法对吗？

生：（齐）对

师：为什么？

生1：一个变量增加，另一个变量减少，这不就是反比例函数吗？

师：真的吗？下面我们一起来验证。

（假设药瓶中有药液500毫升，每分钟滴25毫升。）

生：真的还不是。

师：你能写出v与t的关系式吗？

生：v=500-25t

师：其实v是t的一次函数。

[把握概念的本质特征需要一个过程，在这个过程中突出一些非体质因素的干扰，进而使概念的本质特征更加突出。]