第4章-三铰拱和悬索结构的受力分析
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结构力学-3.6 三铰拱.ppt
7.5 0.832 9.015kN
kN
9
N图
13.300 10.958 9.015 7.749 7.500 7.433 1.421 6.796 3.325 11.235 11.665 11.700
0.600 0.354 0.003 0.472 1.000
3.331 1.060 0.600
Q图 kN
对于三铰拱，竖向荷载作用下任意截面上弯矩计算公式为：
M M Hy
它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状有关。
令
M M Hy 0
yx M x
H
在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁
的弯矩纵标值成比例。
10
例1 设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。
qc+.f
qc q qc y
yx
f y*
d2y dx2
1 H
d 2M dx2
对简支梁来说，
d2M dx 2
qx
而 qx qc y,
d2y dx 2
1 H
qc
y
即 y y qc , 特征方程为：
HH
2 0
H
H
x
x
y C1e H C2e H
y
ex shx chx ex chx shx
q
y
C
q
A l/2
f
Bx
A
ql x
l/2
2
B
ql 2
[解] 由式 yx M x 先列出简支梁的弯矩方程
H
M x q xl x
2
拱的推力为：
H
M
C
ql 2
f 8f
kN
9
N图
13.300 10.958 9.015 7.749 7.500 7.433 1.421 6.796 3.325 11.235 11.665 11.700
0.600 0.354 0.003 0.472 1.000
3.331 1.060 0.600
Q图 kN
对于三铰拱，竖向荷载作用下任意截面上弯矩计算公式为：
M M Hy
它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状有关。
令
M M Hy 0
yx M x
H
在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁
的弯矩纵标值成比例。
10
例1 设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。
qc+.f
qc q qc y
yx
f y*
d2y dx2
1 H
d 2M dx2
对简支梁来说，
d2M dx 2
qx
而 qx qc y,
d2y dx 2
1 H
qc
y
即 y y qc , 特征方程为：
HH
2 0
H
H
x
x
y C1e H C2e H
y
ex shx chx ex chx shx
q
y
C
q
A l/2
f
Bx
A
ql x
l/2
2
B
ql 2
[解] 由式 yx M x 先列出简支梁的弯矩方程
H
M x q xl x
2
拱的推力为：
H
M
C
ql 2
f 8f
结构力学之三铰拱
下面我们研究拱截面的受力情况。
QM
R
N
e
拱截面一般承受三种内力：M、Q、N。 若用合力 R 代替截面所有内力，则其偏心距为e = M/N，显
然我们可以求出各个截面的合力大小、方向和作用点。
P1 P2
作用线
G
F
rD
D
k2
C
k1
A
RA
RA
P1
D 大小和方向 o 23
P2
RB
P3
P3
（1）确定各截面合力的
q=2kN .m
P=8kN
例 1、三铰拱及其所受荷载如
y
34
5
图所示拱的轴线为抛物线方程
2 1
2
y2
0
6 7 8
f=4m
y
4f l2
xl x
计算反力并绘
x
制内力图。
A
7.5kN
x2=3m 6m
VA 11kN
B
3m
H 7.5kN （1）计算支座反力
6m
VB 9kN
VA
VA
2
698 12
3
例3、设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱的合理轴线，设
填土的容重为，拱所受的分布荷载为 q qC y。
[解]由拱截面弯矩计算式 M M Hy 在本例的座标系中可表达为：
M M H y M H f y 0
M y f
H
因事先 M 得不到，故改用q(x)和y(x)表示：
§5-3 拱的合理轴线 在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理 轴线。由上述可知，按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。 从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。
拱和悬索
2． 类型——按推力由谁承受
拱是有推力的结构，拱脚支座应能可靠地传递和承受水平推力，否
则拱的结构性能将无法保证。
（1） 推力由拉杆承受——拉杆拱
拉杆中的拉力==水平推力H，则支承拱的砖墙或柱不受推力。
拉杆截面：
给排水实验室
拉杆落地拱
型钢：H大时
当地质条件不好
圆钢：H小时
时，较为经济
（2）推力通过刚性水平结构集中传递给拉杆
2、类型 组成 索网 边缘构件 下部支撑结构
3、适用范围——大跨 用于L>=60m的建筑物 L=（100~150）m，经济合理 受力合理，施工方便，节约材料，造型美观
4、悬索结构（屋盖）的刚度及屋面构造 （1） 屋盖的刚度和稳定 悬索是悬挂的柔性索网，故结构的刚度及稳定性较差。
吸力s=-1.6~-1.9
三铰拱：均布竖向荷载 合理轴线：抛物线
三铰拱垂直于拱轴上的均布压力 合理轴线：圆弧线
实际工程中，只能根据某种主要荷载确定合理拱轴，一般采用抛物
线，使M尽可能小。
（2） 拱的矢高f
影响合理拱轴形状——建筑外形
影响拱身轴力N
影响拱脚推力H的大小，三铰拱时：
受力合理
H=Mc0/f
屋盖结构:一般取f=L/5~L/7，且应>=L/10，f小，H大。
首先
H
水平屋盖结构
两端拉杆（内部无拉杆）
（3）推力由侧面框架结构承受
崇文门菜市场
（4）推力由基础直接承受
当地质条件好时可采用，此时基础尺寸大，材料用量多。
3． 拱轴的形式
（1） 合理轴线——在某种荷载作用下，使拱处于M=0状态的拱 轴曲线，称为拱的合理轴线。不同的结构型式、不同的荷 载作用，合理轴线不同。
三铰拱PPT课件
F B
FS
FN FQ0sin FS cos
I
l/2
FVB
.
【例2】求图示三铰拱式屋架在竖向荷载作用下的支反力和内力。
解： (1) 计算支座反力
F H 0 , F V A F V 0 A , F V B F V 0 B
(2)计算拉杆内力：F S
M
0 C
f
(3)计算拱身内力
q
y FH
A FVA
受轴向压力FN作用。
仅在左半跨作用均布 荷载时的M图
仅在左半跨作用均布 荷载时的FQ图
仅在右半跨作用均布 荷载时的M图
仅在右半跨作用均布 荷载时的FQ图
(3) 这种在给定荷载作用下，拱处于无弯矩状态的拱轴线，是三
铰拱最合理的拱轴线（ reasonable axis of arch） 。
.
• 三铰拱的合理拱轴线计算公式：
.
三铰拱压力线的求解步骤
设三铰拱所承受荷载如图4-8a所 示，现作其压力线。 第一步，作合力多边形
• 第二步，确定各截面合力的作 用线。
• 第三步，确定压力线 多边形AHIJB是由拱各段的 合力作用线构成的，称为三 铰拱在所给荷载作用下的压 力多边形，简称压力线 。 压力线应通过A、B、C三个 铰的铰心。
第五章 三铰拱（ three-hinged arch ）
.
内容： 三铰拱的支座反力和内力，合理拱轴。
要求： 1、了解静定拱的合理拱轴线的概念； 2、理解静定拱的基本概念及基本特点； 3、掌握静定拱的反力及内力计算。
重点：静定拱反力、内力的计算。 难点：静定拱的内力计算。
.
§5-1 概述 一、实例——拱桥（Arch Bridge）
.
结构力学 三铰拱
4 4 yk 2 4(16 4) 3m 求MK 16 MK 0 MK 12.5 4 10 3 20kN.m(下拉)
求MJ
yJ 3m
M
J
0
M J 7.5 4 10 3 30 30 0
3. 求FQ、FN的计算公式
拱轴任意截面D切线与水平线夹角为φ。 相应代梁中， F 设为正方向。
FP1=15kN K FHA A yk 4m
l/2
C f=4m
MC 0
FVA
4m
l l FVA FHA f FP1 0 2 4 0 MC 1 l l FHA ( FVA FP1 ) () f 2 4 f
0 上式中，M C 为代梁C截面弯矩。
M FHB () f
0 ND右 QD右 sin D H cosD 12 0.555 10.5 0.832 15.4kN
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。
三、三较拱的合理轴线
在给定荷载作用下，三铰拱任一截面弯 矩为零的轴线就线为合理拱轴。 三铰拱任一截面弯矩为 M M FH y
超静定拱
拉杆拱 静定拱
拱顶
C
拱轴线 拱高 f
B
拱趾
A
起拱线 跨度 l
f l
f
高跨比
l 通常 f l 在1-1/10之间变化，f 的值对内力有 很大影响。
工程实例
拱桥 （无铰拱）
超静定拱
世界上最古老的铸铁拱桥（英国科尔布鲁克代尔桥)
万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥
二、三铰拱的计算
A 12.5kN K左 Fº ＝12.5kN QK左 A 12.5kN
美院4.6三铰拱的受力分析
拱顶
拱高
拱肋 拱趾 跨度
拱肋 拱趾
f/l——高跨比 f/ ——高跨比 ——
5、拱的共性
1.曲杆 1.曲杆 2.竖向荷载作用下有水平推力 2.竖向荷载作用下有水平推力 在竖向荷载作用下产生水平推力的曲杆结构称为拱。 在竖向荷载作用下产生水平推力的曲杆结构称为拱。 3.由于水平推力的存在，拱比同跨度、 3.由于水平推力的存在，拱比同跨度、同荷载的简支梁的 由于水平推力的存在 弯矩小； 弯矩小； 4.内力一般有M 许多情况下F 是主要内力。 4.内力一般有M、FQ、FN，许多情况下FN是主要内力。 内力一般有
15kN 16.图示三铰拱的水平推力为________。
12.5kN
17.5kN
12.图示三铰拱，水平推力H__________。
Pl 8f
P/4
3 P/4
F2
FBH
FAH
A
FAV
x
l1
1 ( Fa1 + F2a2 ) 1 l 1 FAV = ( Fb1 + F2b2 ) 1 l
0 FBV = FBV
0 FAV = FAV
∑ Fx = 0
FAH = FBH = FH
以AC为研究对象 AC为研究对象
∑ MC = 0
A F1
0 FAV
B
FH
0 FBV
x
A l1
4.6.3 三铰拱合理拱轴线的概念
在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理轴 在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理轴 无弯矩状态 线。由上述可知，按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。 由上述可知，按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。 从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。 从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。 对拱结构而言，任意截面上弯矩计算式子为： 对拱结构而言，任意截面上弯矩计算式子为：
05三铰拱和悬索
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5 三铰拱和悬索
【例5.2】 求三铰拱在沿水平方向均匀分布竖向荷载作 用下的合理拱轴线。
【解】
M y H
0
MC0 H f
M0=qlx/2-qx2 /2 =qx(l-x)/2 MC0=ql2/8 H=ql2/8f
y=4fx(l-x)/l2
抛物线
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5 三铰拱和悬索
（1）在沿水平线均匀 分布的竖向荷载作用下 ，三铰拱的合理轴线为 二次抛物线。
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5 三铰拱和悬索
b. 截面D的内力
0 MD MD HyD =12 3-10.5 3 4.5kN m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 QD左 QD 0.832-10.5 (0.555) 4.16kN 左 cos D H sin D (-2） 0 ND左 QD (0.555)-10.5 0.832 9.85kN 左 sin D H cos D =-(-2） 0 QD右 QD 0.832-10.5 (0.555) 4.16kN 右 cos D H sin D =(-12） 0 ND右 QD (0.555)-10.5 0.832 15.4kN 右 sin D H cos D -(-12）
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5 三铰拱和悬索
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5 三铰拱和悬索
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5 三铰拱和悬索
5.4 三铰拱的受力特性
一、三铰拱的受力特征：
0 0 VA VA VB VB ，与拱轴线形状及拱高无关。 （1）竖向反力， （2）H M C 0 推力只与三铰位置及荷载有关，与拱轴线无关。 f f 大，H 小。 （3）在竖向荷载作用下，拱截面上有轴力，轴力较大，是拱的 0 主要内力。 N Q sin H cos
第4章三铰拱
M = M − FH y = 0 0 M y= FH 在竖向荷载作用下， 在竖向荷载作用下，三
0
铰拱的合理拱轴线的纵 只限于三铰平拱受 坐标与相应简支梁弯矩 竖向荷载作用 图的竖标成正比。 图的竖标成正比。
试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下 的合理拱轴线 MC0=ql2/8 FH=ql2/8f /8f
K
y P 1
QK M K
C
A
C
B
FQK=F cosϕ−FHsinϕ QK
0
三铰拱在竖向荷载作用 F =−F0 sin ϕ−F cosϕ a1 b1 NK H QK 下轴向受压。 下轴向受压。 FVA0 a2 b2 FVB0
q=2kN .m y
2 1 0 A 3 4 5 6
P=8kN
例 1、三铰拱及其所受荷载如 图所示拱的轴线为抛物线方程
4f ⋅ x(l − x) 2 l 制内力图。 y=
ϕ2 y2 x
7 8 B
f=4m FH = 7.5kN FVB= 9kN
计算反力并绘
7.5kN x2=3m FVA =11kN 3m 6m 6m
（1）计算支座反力
（2）内力计算
y2 =
以截面2为例
4f 4×4 x( l − x ) = × 3(12 − 3) = 3m 2 2 M 2 = M 2 − FHy 2 = (11× 3 − 2 × 3 × 1.5) − 7.5 × 3 l 12
拱 (arch)
一、简介
1.拱的定义 拱的定义
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。 平反力。
--杆轴线为曲 拱--杆轴线为曲 线，在竖向荷载 作用下会产生水 作用下会产生水 平推力的结构 的结构。 平推力的结构。
结构力学35三铰拱受力分析.
YB
无力Y关与A .拱荷轴载线与形跨M状度c0 一定时，水平推
等代梁请A 问P:1有水平C荷载,或P2 YA铰 不 论0 是 还Ca不1平是再拱正a顶2确,右部的边b,1或吗的?结b2
B
YB0
YB=YB0
YA=YA0
XA=XB =H
力与矢Y高A0 成反比.
H
1 f
[YA
l 2
P1 (
l 2
a1)]
M
0 c
[YA0
l 2
l P1( 2
a1)]
H= MC0 / f
二、三铰拱的数解法 y P1 K C
----内力计算 P2
载及A 三三个x铰铰拱y的的位内f 置力有不关但，与B而荷 XB X A
XA且与拱轴l/线2 的形状l/有2x 关。
YA
QK M K P1
NK
P1
M
0 K
YA 由于推力的l 存在，拱Y的B
抛物线
作业：
YA0
QK0
弯矩比相应简支梁的弯矩要
小。 P1
A
KC
P2
B
三铰拱在竖向荷载作用
MK
M
0 K
Hy
QK Q 0Kcos H sin
下轴向a1受压。 b1
NK Q 0Ksin H cos
YA0
a2
b2 YB0
三、三铰拱的合理拱轴线
(reasonable axis of arch)
第二章 静定结构受力分析
§2-3 三铰拱受力分析
拱 (arch)
一、概述
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水
结构力学考研知识点归纳
结构力学考研知识点归纳结构力学是土木工程专业研究生入学考试的重要科目之一，它主要研究建筑结构在外力作用下的内力、变形和稳定性问题。
以下是结构力学考研的一些关键知识点归纳：基本概念和原理- 力的基本概念：力的三要素（大小、方向、作用点）。
- 静力学基本定理：平衡条件、力矩平衡等。
- 材料力学性质：弹性模量、泊松比、屈服强度等。
静定结构分析- 静定梁的内力分析：弯矩、剪力、轴力的计算。
- 静定桁架的内力分析：节点法、截面法。
- 三铰拱和悬索结构的内力分析。
超静定结构分析- 力法、位移法和弯矩分配法的原理和应用。
- 连续梁和框架结构的分析。
- 影响线的概念及其应用。
稳定性分析- 临界载荷的确定方法。
- 欧拉公式及其应用。
- 稳定性与结构形式、材料特性的关系。
能量方法- 虚功原理和最小势能原理。
- 莫尔定理和卡斯特拉诺定理。
- 能量方法在结构分析中的应用。
矩阵位移法- 局部坐标系和全局坐标系的建立。
- 刚度矩阵的组装和边界条件的处理。
- 结构的自由振动分析。
非线性问题- 材料非线性：塑性变形、破坏。
- 几何非线性：大变形问题。
- 接触非线性问题的处理方法。
结构动力分析- 单自由度和多自由度系统的振动分析。
- 地震作用下的结构响应分析。
- 随机振动和疲劳分析。
结构优化设计- 结构优化的基本概念和方法。
- 拓扑优化、形状优化和尺寸优化。
- 优化设计在实际工程中的应用。
结束语结构力学作为一门应用广泛的学科，其知识点繁多且相互关联。
考研复习时，不仅要掌握上述知识点，还要注重理论与实践的结合，通过大量的练习来加深理解。
希望以上的归纳能够帮助考生们更系统地复习结构力学，为考研做好充分的准备。
第三章 静定结构受力分析-三铰拱
0 K
F N FQ
sin FH cos
注意： （1）以上简化公式只对平拱有效； （2）α 角度取截面的切线至水平轴的锐角， 顺时针为正。
§3-3
三铰拱
例1：计算图示三铰拱 K 截面内力。
M
0 Fy B 1 12 (100 3 20 6 9) 115 kN
A
FY
P2
B
FY 0
A
FQ 0
0 K
K
P1 A a1 FY
0 A
K
M
K
K
M
0 K
FH y
C b1
B FQ FQ cos FH sin
F N FQ
K 0 K
sin FH cos
a2
b2 FY
0 B
§3-3
三铰拱
三铰拱的内力不但与荷 载及三个铰的位置有关， 而且与拱轴线的形状有 关。
结论： ①简支梁不存在水平推力，三铰结构水平推力不为零； ②对于平拱、竖向反力与拱高无关； 平拱 ③反力与拱轴线形式无关，只与三个铰的位置有关； ④水平推力与拱高成反比。
y P 1
A
2、内力计算
K
C
P2
B
FQ
P1
FX
B
M
K
K
x
y f l/2 x l/2 l
FN
P1
0 K
K
FX
A
FX
FY
M
A
A
FY
§3-3
三铰拱
§3-3
一、拱式结构的特点及应用 1、拱的定义
三铰拱
什么叫拱？
一般指杆的轴线为曲线形状，并且在竖向荷载
F N FQ
sin FH cos
注意： （1）以上简化公式只对平拱有效； （2）α 角度取截面的切线至水平轴的锐角， 顺时针为正。
§3-3
三铰拱
例1：计算图示三铰拱 K 截面内力。
M
0 Fy B 1 12 (100 3 20 6 9) 115 kN
A
FY
P2
B
FY 0
A
FQ 0
0 K
K
P1 A a1 FY
0 A
K
M
K
K
M
0 K
FH y
C b1
B FQ FQ cos FH sin
F N FQ
K 0 K
sin FH cos
a2
b2 FY
0 B
§3-3
三铰拱
三铰拱的内力不但与荷 载及三个铰的位置有关， 而且与拱轴线的形状有 关。
结论： ①简支梁不存在水平推力，三铰结构水平推力不为零； ②对于平拱、竖向反力与拱高无关； 平拱 ③反力与拱轴线形式无关，只与三个铰的位置有关； ④水平推力与拱高成反比。
y P 1
A
2、内力计算
K
C
P2
B
FQ
P1
FX
B
M
K
K
x
y f l/2 x l/2 l
FN
P1
0 K
K
FX
A
FX
FY
M
A
A
FY
§3-3
三铰拱
§3-3
一、拱式结构的特点及应用 1、拱的定义
三铰拱
什么叫拱？
一般指杆的轴线为曲线形状，并且在竖向荷载
第5章三铰拱和悬索.ppt
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2019/10/25 14:39
主 讲：朱占元、李静
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§5-4 三铰拱的合理轴线
当各截面弯矩为零，只受轴力作用，正应力沿 截面均匀分布，拱处于无弯矩状态。这时材料的使 用最经济。在固定荷载作用下使拱处于无弯矩状态
的轴线称为合理拱轴线。
M M 0 Hy 0 y M0
0 A
6 8 3 1 6 3 4kN() 12
VB
VB0
1 69 89 6 12
10kN()
H
M
0 C
466
4.5kN
f
4
(2)内力计算（以x=3m的截面E为例说明）
A、截面E的几何参数
y3
4f l2
x(l x)
44 (12)2
E 的 内 力
M
Z 3
M
0 3
Z
Hy
4 3 4.5 3
1.5kN m
M
y 3
M
0 3
y
Hy
436
4.5 3
7.5kN m
Q3 Q30 cos H sin 40.832 4.50.555 0.83kN
N3 Q30 sin H cos 40.555 4.50.832 5.96kN
第5章 三铰拱和悬索
§5-1 三铰拱的组成和类型
…
§5-2 竖向荷载作用下三铰拱的支座反力
及截面内力计算公式
…
§5-3 三铰拱的受力特性
…
§5-4 三铰拱的合理轴线
结构力学-三铰拱
关于内力
关于内力
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析 竖向荷载作用下拱反力计算 竖向荷载作用下指定截面内力计算 内力图均不再为直线； 集中力作用处，剪力图将发生突变； 集中力偶作用处，弯矩图将发生突变； 上述公式仅适合于平拱，且承受竖向荷载情况； 拱的内力仍然有FS=dM/ds
竖向荷载作用下指定截面内力计算
B
A
C
P1
P2
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算
FBy=YBy0
FAy=YAy0
FH= MC0 / f
FAx=FBx =FH
拱的竖向反力与其相应简支梁的竖向反力相等； 水平反力只与三个铰的位置有关而与拱轴线形状无关; 荷载与跨度一定时，水平推力与矢高成反比，且总是正的。 该组结论仅适合于平拱，且承受竖向荷载。
竖向荷载作用下拱反力计算 第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
拱的内力图 由于拱轴线是弯曲的，所以内力图都是曲线形的，内力图要通过逐点描图的方法绘制，总的规律仍符合荷载和内力的微分关系。
01
03
02
FP=8kN
q=2kN·m
C
A
B
l=16m
f=4m
1、支座反力计算
例题：三铰拱所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线方程
[解]
FAy
FAx
FBx
FBy
计算其反力并绘制内力图
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
[解]
2、求截面 3 内力
FP=8kN
C
A
B
l=16m
f=4m
q=2kN·m
FP2=8kN
q=2kN·m
3
10
关于内力
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析 竖向荷载作用下拱反力计算 竖向荷载作用下指定截面内力计算 内力图均不再为直线； 集中力作用处，剪力图将发生突变； 集中力偶作用处，弯矩图将发生突变； 上述公式仅适合于平拱，且承受竖向荷载情况； 拱的内力仍然有FS=dM/ds
竖向荷载作用下指定截面内力计算
B
A
C
P1
P2
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
1 竖向荷载作用下拱反力计算
FBy=YBy0
FAy=YAy0
FH= MC0 / f
FAx=FBx =FH
拱的竖向反力与其相应简支梁的竖向反力相等； 水平反力只与三个铰的位置有关而与拱轴线形状无关; 荷载与跨度一定时，水平推力与矢高成反比，且总是正的。 该组结论仅适合于平拱，且承受竖向荷载。
竖向荷载作用下拱反力计算 第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
拱的内力图 由于拱轴线是弯曲的，所以内力图都是曲线形的，内力图要通过逐点描图的方法绘制，总的规律仍符合荷载和内力的微分关系。
01
03
02
FP=8kN
q=2kN·m
C
A
B
l=16m
f=4m
1、支座反力计算
例题：三铰拱所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线方程
[解]
FAy
FAx
FBx
FBy
计算其反力并绘制内力图
第二节 竖向荷载作用下三铰拱的受力分析
[解]
2、求截面 3 内力
FP=8kN
C
A
B
l=16m
f=4m
q=2kN·m
FP2=8kN
q=2kN·m
3
10
第三章静定结构受力分析三铰拱
（1）求反力：Fy (2)列弯矩方程
(3)令M (x) 0 y
qL A FV B 2
M (x) Fy Ax
1 FH
(Fy Ax
1 2
12qFxHq2x)2q8q8LFfL2fH2
y
(1 2
qLx
1 2
qx2
)
4f L2
(L x)x
结论：均布荷载作用下，合理拱轴线方程为抛物线。
§3-3 三铰拱
a2
b2
F =F YA
YA0
F =F XA
XB
=FH
FYB0
M
0 c
[FYA0
l 2
l P1( 2
a1)]
FH= MC0 / f
§3-3 三铰拱
结论： ①简支梁不存在水平推力，三铰结构水平推力不为零；
②对于平拱、竖向反力与拱高无关； 平拱
③反力与拱轴线形式无关，只与三个铰的位置有关；
④水平推力与拱高成反比。
例2：求集中荷载作用下的合理拱轴线
（1）求反力：Fy A FyB 1.5P
(2)求合理拱轴线
FH
1 (1.5P 2a P a) a
2P
AD段 : M (x)
DC段 : M (x)
1.5Px FH y
1.5Px P(x a)
0
FH
y
y0
3x 4
y
(直线)
1 (0.5Px 2P
Pa)
§3-3 三铰拱
MK
M
0 K
FH y
FQK
FQ
0 K
cos FH
sin
FNK
F Q
0 K
sin FH
cos
3静定结构的受力分析-三铰拱结构力学
1 结构力学多媒体课件一、拱式结构的特征 1、拱与曲梁的区别拱式结构：指的是杆轴线是曲线，且在竖向荷载作用下会产生水平反力（推力）的结构。
FABH A ＝0 FABH A ＝0 三铰拱F PF P曲梁H≠0H≠0是否产生水平推力，是拱与梁的基本区别。
拱结构的应用：主要用于屋架结构、桥梁结构。
拱结构的应用：主要用于屋架结构、桥梁结构。
拱桥 （无铰拱）超静定拱 世界上最古老的铸铁拱桥（英国科尔布鲁克代尔桥) 万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥 灞陵桥是一座古典纯木结构伸臂曲拱型廊桥, 号称“渭水长虹”、“渭水第一桥” 主跨：40 米 建成时间：三峡工程对外交通专用公路下牢溪大桥（上承式钢管混凝土拱桥，主跨：160米 ，建成时间：1997）2、拱的类型三铰拱两铰拱无铰拱拉杆拱静 定 拱超 静 定 拱3、拱的优缺点a、在拱结构中，由于水平推力的存在，其各截面的弯矩要比相应简支梁或曲梁小得多，因此它的截面就可做得小一些，能节省材料、减小自重、加大跨度b、在拱结构中，主要内力是轴压力，因此可以用抗拉性能比较差而抗压性能比较好的材料来做。
c、由于拱结构会对下部支撑结构产生水平的推力，因此它需要更坚固的基础或下部结构。
同时它的外形比较复杂，导致施工比较困难，模板费用也比较大4、拱的各部分名称lf 高跨比 BACf拱顶拱轴线拱高 f拱趾 起拱线跨度 l 平拱斜拱二、三铰拱的计算 1、支座反力的计算L 2L 1Lb 2a 2b 3a 3b 1a 1k y kx kCBAfF P1F P2F P3kCBAF P1F P2F P3B M =∑0Pi iYA YAFbF FL ==∑0A M =∑0Pi iYB YBF a F FL==∑取左半跨为隔离体：CM=∑()()01111212YA P P CH F L F L a F L a M F ff⨯----==F HF H1、支座反力的计算L 2L 1Lb 2a 2b 3a 3b 1a 1k y kx kCBA fF P1F P2F P3kCBAF P1F P2F P3在竖向荷载作用下，三铰拱的支座反力有如下特点： 1）支座反力与拱轴线形状无关，而与三个铰的位置有关。
结构力学 5静定结构受力分析-三铰拱
tg 2 =
4 f 2x 1 l l
x =3
=
4 × 4 2 × 3 1 12 12
= 0.667
2 = 33 41′, sin 2 = 0.555,cos 2 = 0.832
M 2 = M 2 Hy2 = (11 × 3 2 × 3 × 15) 7.5 × 3 . = 15kN m .
q=2kN .m y
P=8kN
f=4m
0
例 5.1 三铰拱及其 所受荷载如图所示拱 的轴线为抛物线方程
y= 4f x(l x) 2 l
7.5kN
A
x 6m 3m 6m
B
H= 7.5kN VB = 9kN
计算反力
x2=3m VA =11kN
并绘制内力图。
解：（1）计算支座反力
2×6×9+8×3 VA = VA = = 11kN 12 2 × 6× 3+ 8× 9 VB = VB = = 9 kN 12 M C 11 × 6 2 × 6 × 3 H= = = 7.5kN f 4
M 0 ( x) 则轴线方程为： y ( x) ≡ H
② 竖向荷载下三铰拱的合理拱轴线 例1：求均布荷载q作用下三铰拱的合理拱轴线。
q y A l/2 l/2 C f B x
A x
q l
B
解：
q C f B l/2 x
M 0 ( x) y y ( x) = H A 1 1 2 0 M ( x) = qlx qlx l/2 2 2 1 l 1 l 2 1 2 ql ql × q × ( ) 0 MC 2 2 2 2 =8 H= = f f f 1 1 2 qlx qlx 4f 2 2 y ( x) = = 2 x(l x) 1 2 l ( ql / f ) 8
铰拱和悬索结构的受力分析
稳定性分析
悬索结构在长期荷载作用 下可能发生屈曲失稳，需 要进行稳定性分析。
悬索结构的优缺点
优点
自重轻、跨越能力强、施工方便、经济性好等。
缺点
对锚固和固定端的构造要求高，易受环境因素影响，如风雨、温度变化等。
03
铰拱与悬索结构的比较
结构形式的比较
铰拱
由拱圈和铰支座组成，通过铰支座将拱圈与基础连接。铰拱 的拱圈在竖向荷载作用下产生弯曲变形，并通过铰支座传递 到基础。
悬索结构
悬索结构适用于大跨度、轻质结构的桥梁和大型工业厂房等建筑结构。由于悬索结构的受力性能较为简单，因此 在设计、施工和维护方面相对较为方便。
04
铰拱和悬索结构的设计与优 化
结构设计的基本原则
稳定性
确保结构在各种工况下 都能保持稳定，不发生
失稳或过大变形。
承载能力
满足结构的承载要求， 保证结构在承受设计载
荷时不会发生破坏。
经济性
在满足功能和安全的前 提下，尽量降低结构的
成本。
耐久性
考虑结构的寿命和耐久 性，确保结构在使用期
限内保持良好性能。
结构优化的方法与技巧
尺寸优化
通过调整结构尺寸，如梁的截 面尺寸、杆的直径等，以实现
最优的结构性能。
形状优化
改变结构的形状，如拱的曲线 形状、梁的弯曲程度等，以改 善结构的受力性能。
优点
铰拱结构具有较好的适应性和灵活性，能够适应地基的不均匀沉降和温度变化 的影响。同时，铰拱结构的构造简单，施工方便，造价相对较低。
缺点
铰拱结构的承载能力相对较低，且在水平推力作用下可能产生较大的位移和剪 切变形，需要采取相应措施进行加固。此外，铰拱结构的抗震性能也较差，需 要进行抗震设计。
结构力学-曲杆和三铰拱-PPT
（5）构造复杂，施工费用高。
三、拱的种类：
三铰拱
两铰拱
无铰拱
吊杆 拉杆
花篮螺丝
带拉杆的三铰拱
带吊杆的三铰拱
四、拱各部分的名称：
§4－1概述
一.三铰拱的基本形式
（一）无拉杆的三铰拱
1.平拱－ 两个拱脚铰在同一水平线 2.斜拱－两个拱脚铰不在同一水平线上
（二）有拉杆的三铰拱（弓弦拱）
二. 三铰拱的组成
（4-17）
D
3、剪力计算 VD VAcosφ D P1cosφ D Hsin φD
(VA P1 )cosφ D Hsin φD
0 0 VD VA P1 VA P1
0 VA VD cosφD Hsin φD
HA A VA P1 A VA0 xD D C P2 B
三铰拱计算简图
P1 A VA0
X 0 :
H A HB H
M
B VB0
C
VAl1 P1 (l1 a1 ) Hf 0
1 [VA l1 P1 (l1 a 1 )] f
0 MC H f
HA0 = 0
D
C
P2
H
xK
0 MC VAl1 P1 (l1 a1 )
P C HA
P HB B VB HA=0
A
VA
A VA
B VA
拱结构
曲梁结构
例题4－1 求图4－5a所示圆弧形曲杆任意截面的内力M、V、N。 解:以极坐标φ表示B截面的位置，取图4－5c所示BC部分隔离体， 设B截面的内力分别为Mφ、Vφ、Nφ, 参照图4－5b并考虑到ds=Rdα, 由平衡条件得 ∑MB=0 Mφ=∫S qdsRsin（φ－α） =qR2∫0φsin(φ-α）dα=qR2（1－cosφ) 式 (4-1)
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得
l2
y x x2
FVA=70kN 4m
4m 4m l=16m
4m FVB=50kN
q=10kN/m A
FP=40kN B
2) 求φ
16
tany 1x
DCE 16m
8
代入各x值，即可查得相应的φ值。
F
0 VA
F
0 VB
为绘内力图将拱沿跨度分为8个等分，计有9个控制截面
，求出各截面的y、 φ等值，列于表中。
(3) 在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的 截面内轴力较大，且一般为压力（拱轴力仍以拉力为 正、压力为负）。
小结
(4) 内力与拱轴线形式(y,j)有关。
(5) 关于φ值的正负号：左半跨φ取正号；右半跨φ取负 号，即式(4-2)中，cos(- φ) = cos φ ，sin(- φ) = -sin φ 。
用同样的方法和步骤，可求得其它控制截面的内力。列表进行计算，如 表4-1所示。
(4)作内力图
C D
15
A
20
15
5
E
20
5
B
M图(kN·m)
78
67
60.6
60
60.6
76 58.1
91.9
D
C
E
78 77.8
A
B
FN图(kN)
C 4.9 17.9
4 7.1
A
E
D 4.9
10 17.9
4
B
7
FQ图(kN)
二、三铰拱的合理拱轴线
1 、合理拱轴线
在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线，称为 合理拱轴线。 2 、合理拱轴的数解法
由 M M 0F H y0 得
y M0 FH
上式表明，在固定荷载作用下，三铰拱的合理拱轴 线y与相当简支梁弯矩图的竖标M 0成正比。
(1)满跨竖向均布荷载
【例4-4】设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载， 试求其合理拱轴线。
FVA
FVB
b) 曲梁
二、拱结构的形式
1、基本形式 般有三铰拱、两铰拱和无铰拱三种基本形式
拱顶
拱身
拱 趾
拱高f
拱 趾
起拱线
跨度l
三铰拱
二铰拱
无铰拱
2、带拉杆的拱结构
拉杆
拉杆
拉杆
三、拱结构的力学特性
拱结构截面内一般有弯矩、剪力和轴力，但在竖向荷 载作用下，由于有水平推力的存在，使得其弯矩和剪 力都要比同跨度、同荷载的梁小得多，而其轴力则将 增大。因此，拱结构主要承受压力。
l/2
M
0 C
FP2 B
l/2
F
0 VB
F N F Q 0sin F H cos
l
FQ0
FH
FQ0 cos FP1
x
sin
F
0 Q
FH
cos
K y
M
FHFH
s
in
S
A
FVA
R
FP1
A
K M0
F
0 Q
F
0 VA
小结
(1) 三铰拱的内力计算公式（竖向荷载、两趾等高）
M M0 FHy
FQ FQ0 cos FH sin FN FQ0 sin FH cos (2) 由于推力的存在（注意前两个计算式右边的第二项）， 拱与相当简支梁相比较，其截面上的弯矩和剪力将减小。 弯矩的降低，使拱能更充分地发挥材料的作用。
F
EC
FH A D
f
F B
解：该三铰拱由拉杆AB来 阻止支座的水平位移，因
拉杆
I
FVA
l/2
l/2
FVB
l
此，拱的一个支座改为可 动铰支座。相当简支梁如 图4-8b所示 I
FP1 FP2
A
C
DE
F
0 VA
l/2 l
FP3
F l/2
B
F
0 VB
(1)计算支座反力
由整体平衡条件∑Fy = 0、 ∑MB = 0和∑MA = 0，可分 别求得
q=10kN/m FP=40kN
C E E
y FH=60kN A
D f=4m
yE
B FH=60kN
x
FVA=70kN 4m
4m 4m l=16m
4m FVB=50kN
【讨论】对于如图4-5a所示的二次抛物线三铰拱：
q
(1) 当仅在左半跨或右半跨作用均 布荷载q时，其M图都是反对称的， 如图所示；而FQ图都是对称的。
仅在左半跨作用均布 荷载时的FQ图
仅在右半跨作用均布 荷载时的M图
仅在右半跨作用均布 荷载时的FQ图
(3) 这种在给定荷载作用下，拱处于无弯矩状态的拱轴线， 是最合理的拱轴线。
四、带拉杆的三铰拱和三铰拱式屋架的计算
【反力和内力。
FP1 FP2 I lC FP3
● 本章内容简介:
4.1 拱结构的形式和特性 4.2 三铰拱的内力计算 4.3 三铰拱的压力线和合理拱轴 *4.4 悬索结构
4.1 拱结构的形式和特性
一、拱结构
在竖向荷载作用下，支座会产生向内的水平反力(推力) 的曲线形结构，称为拱结构。
FHA
FP
FP
FP
FP
FHB FHA=0
FVA
FVB
a) 拱结构
拱的内力图。
解： (1) 计算支座反力
q=10kN/m FP=40kN
y FH=60kN A
C E E
D
f=4m
yE
B FH=60kN
x
FVA=70kN 4m 4m 4m 4m FVB=50kN
l=16m
FVA
FV0A
404
10812 16
70
kN（）
FVB
FV0B
1084 4012 16
50kN（）
(2)竖向连续分布荷载
【例4-5】设在三铰拱的上面填土，填土表面为水平面。试
求在填土容重下三铰拱的合理轴线。设填土的容重为γ ，拱
所受的竖向分布荷载为q = qC+γ y。
q
y
C
x
f
q
解:
A l/2
B
A
x
l/2
ql/2
l
B ql/2
M0 qx(l x) 2
FH
MC0 f
ql2
8f
y M0 FH
4f l2
x(l x)
(4-9)
三铰拱在沿水平方向均匀分布的竖向荷载作用下，其合理轴线为
一抛物线。在方程(4-9)中，拱高f没有确定。因此，具有不同高跨
比的任一抛物线都是合理拱轴。
仅在左半跨作用均布 荷载时的M图
仅在右半跨作用均布 荷载时的M图
仅在左半跨作用均布 荷载时的FQ图
仅在右半跨作用均布 荷载时的FQ图
(2) 显见，当全跨同时作用均布荷载q时，M图将为零，FQ 图也将为零(只须将相应内力图相叠加，即可得到验证)，
拱仅受轴向压力FN作用。
仅在左半跨作用均布 荷载时的M图
F H 0 ,F V A F V 0 A ,F V B F V 0 B
FH=0是其计算特点之一
(2)计算拉杆内力
取截面I-I之右为隔离体。
由∑MC = 0，得
l FS(FVB2FP3lCF )/f
FS
M
0 C
f
FP FP2 I lC FP3
FH
1
F
EC
AD
f
F
B
拉杆
I
FVA l/2
l/2
FVB
F
D K2
K1 A
H K3
B
FRA
FP1
极点
12 23 FP2
O
FRB
FP3
FRA
压力线（一种特殊
FRB
的
索多边形）
自行封闭 的
力多边形
三铰拱各截面合力的作用线可由索多边形中的各索线
来确定,当某段内竖向力连续分布时，该段的压力线为 曲线。
3、压力线的用途
(1)求任一拱截面的内力
(2)选择合理拱轴
由上面分析可知，拱的压力线与拱轴曲线形式无关。 因此，有了压力线之后，可以选择合理的拱轴曲线 形式，应使拱轴线与压力线尽量接近（以减少弯 矩），最好重合（此时截面弯矩为零）。对抗拉强 度低的砖石拱和混凝土拱，则要求截面上合力FR 作用点不超出截面核心(对于矩形截面，压力线应 不超过截面对称轴上三等分的中段范围)。
4.2 三铰拱的内力计算
一、支座反力的计算 1、竖向支座反力
a2
a1 FP1 KC
FP2
yf
FHA
A
x
B FHB
MB0
FVA
l/2
l/2
FVB
l
FVAFV0A
FP1
MA0
FVB FV 0B
FH0A 0 A
F
0 VA
KC
M
0 C
l/2
l
拱的竖向反力与相当简支梁的竖向反力相同
FP2
B
l/2
F
0 VB
2、水平支座反力
二、内力的计算
试求指定截面K的内力。约定弯矩以拱内侧受拉为正。
(1) 由∑MK=0，得
M M 0F Hy
FHA
a2
a1
FP1 K
C
y Ax
FP2 B FHB
(2) 由∑FR=0，得
FVA l/2
l/2
FVB
l
F QF Q 0co sF H sin
0A
(3) 由∑FS=0，得