--15.结构的稳定计算

k y1
l
EI
kB
k y2
l
A
y2
P1
1.618
P2 3klP k 2l 2 0
P
3 2
5
2.618kl kl 0.382kl
Pcr 0.382 kl y2 1.618 y1
---临界荷载 ---失稳形式
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第 10 章 结构的稳定计算
三.无限自由度体系
挠曲线近似微分方程为
EIy(x) M (x)
P Q
x
P
Q
M py Q(l x)
EIy(x) Py Q(l x)
M
l
EI
yx
或 y(x) P y Q (l x)
得
EI EI
令 n2 P
EI y(x) n2
y
n2
Q
(l
x)
通解为
P
y(x) Acosnx B sin nx Q (l x)
P
P
P
EI
EI 1个自由度
2个自由度
无限自由度
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第 10 章 结构的稳定计算
例1、分支点失稳示例
一、运用大挠度理论分析：
FP
k
B
根据 mA 0 ：
FPl sin FRl cos 0
l
因 FR klsin
(FP klcos )l sin 0
A
解一： 0
θ A
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第 10 章 结构的稳定计算
例2. 试用静力法求图示结构的临界荷载FPcr，刚度系数为k。
A
EI=∞
C FP
B
l
l
A θ
Fp y l
y
θ
B
失稳变形图
分析：上述结构有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。
C FP
Fp y l
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Nanjing University of Technology
第 十五 章 结构的稳定计算
第 10 章 结构的稳定计算
15.1 绪论
一.第一类稳定问题(分支点失稳)
P
l EI
Pcr
2 EI l2
P Pcr
P Pcr
P Pcr
---临界荷载
稳定平衡 随遇平衡 不稳定平衡
不稳定平衡状态在任意微小外界扰动下失去 稳定性称为失稳(屈曲).
EI=∞
a
θ 失稳变形图
分析：上述结构只有一个稳定自由度，失稳变形如右图所示。
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第 10 章 结构的稳定计算
通过对A点求矩有：
mA 0
2a
Fp
q 2a 1 2a
2
k a a
0
6q k a2 0
可解得临界荷载为：
qcr
k 6
FP= 2qa q
(FP kl)l 0
解一： 0
解二：
FP kl
FP
I
A
平衡路径I 失稳变形：
平衡路径II
k
B FR
FPcr kl
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II
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A
FP B
l
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第 10 章 结构的稳定计算
例2、极值点失稳示例
一、运用大挠度理论分析：
根据 mA 0 ：
FPl sin( ) FRl cos( ) 0
平衡路径I 失稳变形：
解二： FP klcos
FP
I
平衡路径II
k
B FR
FPcr kl
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II
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A
FP B
l
6
第 10 章 结构的稳定计算
二、运用小挠度理论分析：
小挠度、小位移情况下： sin
根据 mA 0 ：
FP
k
B
FPl FRl 0
l
因 FR kl
0l
0
n 1 0
cosnl sin nl 0 稳定方程
nl cosnl sin nl 0
tan nl nl
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第 10 章 结构的稳定计算
静力法举例
例1. 试用静力法求图示结构的临界荷载qcr，设刚度系数为k。
FP= 2qa
FP= 2qa
q q
2a
EI=∞
P
由边界条件
AQl 0 Bn PQ 0
y
P
Acosnl Bsin nl 0
1
0l
0
n 1 0
cosnl sin nl 0
稳定方程
nl cosnl sin nl 0
y(0) 0, y(0) 0, y(l) 0
tan nl nl
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第 10 章 结构的稳定计算
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第 10 章 结构的稳定计算
分支点失稳的特征
P
FP C
l EI
FP 2 FPc r
B A
q
完善体系
D 大挠度理论
小挠度理论 D
P
P
两种平衡状态:轴心受压和弯曲、压缩。
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--- 第一类稳定问题
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ห้องสมุดไป่ตู้
第 10 章 结构的稳定计算
二.第二类稳定问题(极值点失稳)
因 FR kl[sin( ) sin ]
解得： FP
k l c os(
)1
sin sin(
)
FP
FPcr kl
0 0.1
FP kB
l
失稳变形： A
FP
k
B B
FR
l
0.2
A
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第 10 章 结构的稳定计算
15.2 静力法
一.一个自由度体系
P
P
第二类稳定问题
非完善体系
FP FPe
FPc r
A
B C
偏心受压 有初曲率
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第 10 章 结构的稳定计算
三.分析方法
大挠度理论。 小挠度理论。
静力法 能量法
四 .稳定自由度
在稳定计算中,一个体系产生弹性变形时,确定其变形状态 所需的独立几何参数的数目,称为稳定自由度。
y
y(nl) nl y(nl) tan nl
x
P
P
Q
Q
l
EI
y
x
M
2
3
2
5 nl
2
y
得 A Ql 0 Bn PQ 0
P
Acosnl Bsin nl 0
经试算 nl 4.493 tan nl 4.485 Pcr n2 EI ( 4.493)2 EI 20.19EI / l2 l
1
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第 10 章 结构的稳定计算
MB 0 ky1 l P( y2 y1) 0 M A 0 ky2 l ky1 2l Py1 0
(kl P) y1 Py2 0 (2lk P) y1 kly2 0
kl P P 0 ----稳定方程
2kl P kl kl(kl P) P(2lk p) 0
Pk
y1
P
l EI
A
k
1
k
k
MA 0
k Pl sin 0
小挠度、小位移情况下：
sin
(k Pl) 0
0
k Pl 0
----稳定方程（特征方程）
抗转弹簧
Pcr k / l ---临界荷载
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第 10 章 结构的稳定计算
二.N自由度体系
（以2自由度体系为例）