九年级数学圆中的计算问题华东师大版知识精讲

九年级数学圆中的计算问题华东师大版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容： 圆中的计算问题

【知识与技能】

1. 探索归纳圆的弧长、扇形面积公式，会恰当运用公式进行弧长、扇形面积的有关计算。

2. 了解圆柱、圆锥的特征，认识圆柱、圆锥的侧面展开图分别是矩形、扇形，并会计算侧面积及全面积。

【过程与方法】

在探索归纳弧长、扇形面积公式时，体现了“从特殊到一般”的数学思维方法。

【情感、态度、价值观】

在探求公式过程中，提高推理、归纳能力及应用意思，培养与他人合作能力，进一步发展我们对立体图形的了解，同时也增强空间立体感。

【教学过程】 1. 弧长公式：l n r

=

π180

注意：（1）在弧长公式中，n 表示“1°”的圆心角的倍数，在应用公式计算时，“n ”和“180”不应再写单位。 （2）在计算时，若题目中没有标明精确度，可以用“π”表示弧长，如弧长是3π，π，15.π等。

（3）在弧长公式中已知l n r 、、中的任意两个量都可以求出第三个量。

2. 扇形：

（1）定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。 如图：

（2）周长：扇形的周长等于弧长加上两个半径的长，即l r +2。

（3）面积：S n r =π2360或S lr =1

2

注意：①公式S n r =π2

360

中的“n ”与弧长公式中“n ”的意义一样，表示“1°”圆心

角的倍数，参与计算时不带单位。 ②S lr =

12与三角形面积公式S ah =1

2

十分相似，为了便于记忆，可以把扇形看作曲边三角形，把弧长看作底，半径r 看作底边上的高。

③注意二个公式的区别。

如：已知半径r、圆心角度数求S，用S

n r

=π2 360

。

已知半径r、弧长l求S，用S lr

=

1

2

。

④已知：S l n r

、、、四个量中任意两个量，可以求出另外两个量。

3. 圆柱的侧面积与全面积

（1）侧面展开图是矩形，一组对边等于母线长，另一组对边等于底面圆的周长。

（2）S rh

柱侧

=2π（r为底面半径，h为高）

（3）S S S

全柱侧底

=+2

注意：圆柱有无数条母线，母线长等于圆柱的高。

4. 圆锥的有关概念

圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，如图（1），我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。

5. 圆锥的侧面积和全面积

沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线长。

如图（2）所示，若圆锥的底面半径为r，母线长为a，则它的侧面积：

()

S a r ra

S S S ra r r a r

侧

全侧底

·

==

=+=+=+

1

2

2

2

ππ

πππ

注意：①圆锥有无数条母线，圆锥的母线长不等于圆锥的高。

②圆锥的母线长为侧面展开后扇形的半径，注意与圆锥底面半径区分。

6. 阴影部分面积的求法

常用的有公式法、割补法，还有等积变形法、方程法、对称法等。

【典型例题】

例1. 一圆弧的圆心角为300°，它所对的弧长等于半径为6cm 的周长，求该圆弧所在圆的半径。

分析：已知弧长与圆周长之间的关系，考虑运用弧长公式和圆周长公式。 解：设弧所在圆的半径为R

根据题意得：

300180

26ππR

=⨯ 解得：R cm =72.()

说明：弧长公式中l n R

=π180

中，三个量l n R 、、已知其中两个量，都可以求出第三个

量，其中n 没有单位，l 与R 的单位要一致。

例2. 如图，正△ABC 内接于⊙O ，边长为4cm ，求图中阴影部分的面积。

分析：连结OA 、OC ，阴影部分面积看作是扇形AOC 与△AOC 的面积之差，所以关键是求⊙O 的半径及∠AOC 。

此题考查组合图形面积的求法及扇形面积公式等。 解：连结BO 并延长交AC 于E ，连结OA 、OC ∵△ABC 是正三角形且内接于⊙O ∴BE ⊥AC AE AC cm =

=1

2

2 ∠AOC ＝120°，∠AOE ＝60° ∴在Rt AEO ∆中，

OA AE cm

OE OA cm

=

︒====sin 6023

2

4

331223

3

∴==⎛⎝ ⎫⎭⎪===⨯⨯=S n R S AC CE AOC AOC 扇形··πππ

2

2

360120360433163121242334

3

3

∆ ∴=-=-

⎛⎝ ⎫⎭⎪S S S cm AOC AOC 阴扇∆16

94332π 本题还可另解：()

S S S O

ABC 阴影⊙=

-1

3∆

S R A R B R C R D R E 阴·····=

︒∠+︒∠+︒∠+︒∠+︒∠πππππ22222

360360360360360 ()()=︒∠+∠+∠+∠+∠=︒⨯-⨯︒

=n R A B C D E n R πππ22

360360521803

例4. 解：