直线的法向量和点法式方程 PPT
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成 3、同一条直线的方向向量 v 和 法向量 n
的位置关系是怎样的？
两 向 量 a (a1,a2), b (b1,b2)垂 直
问 的 充 要 条 件 是 a1b1+a2b2 0
题 直 线 的 一 个 法 向 量 n = ( A , B ) ,
探
则 直 线 的 一 个 方 向 向 量 v 如 何 表 示 ？
直线的法向量和点法式方程
知 什么叫方向向量 ？
与一条直线平行的非零向量叫做这条
识 直线的方向向量 通 常 用 v表 示
回
y
顾
o
x
知l2
B
识
A
回
顾 l1
概 与一条直线 平垂行直 的非零向量叫做这
条直线的方法向向量 通常用n 表示
念 思考：
形 1、一条直线的法向量是唯一的吗？
2、这些法向量的位置关系是怎样的？
式
⑶ -2(x-3)- 4(y+5)=0 P0 (3, 5)
n(2,4)
n(2,4)
A(x-x0)+B(y-y0)=0
学
（x0 , y0）
（A,B）
例1：求过点P(1, 2),且一个法向量为n=(3,4)
以 的直线方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
致 解：代入直线的点法式方程,
得 3 (x-1)+ 4(y-2) =0
用 整理得 3x+ 4y-11 =0
练习1. 求过点p，且一个法向量为n 的直线方程. (1) p(－1，2)， n =(3，－4)
(2) n = (－3,2), P(1，－5)，
学 例2：已知点A(3,2)和点B(-1,-4)求线段
AB的垂直平分线方程。
以
解 ： 中 点 c的 坐 标
y
l
致
3分 用2-1析,点2 ：2 4
法
1, 1
式求直线方程
法 向 量AB
用
o c
B
x点1c3， 42法 向 量 4A， B6
代中入点直坐标线公的式 点法式方程,
x1
得 x2
2
,
y-1 42 y2(x-1)-6x2( y+x1,1y)2 =y01
整理得 2x+3y+1 =0
学
练习：已知点A( ？, ？)和点B( ？, ？)
以 求线段AB的垂直平分线方程。 致
推
nA,B
B
A
导
o P0(x0 , y0)
即A(x-x0)+B (y-y0)=0
x
概
y
念
形
o
x
成
式o P0(x0 , y0)
x A(x-x0)+B(y-y0)=0
A(x-x0)+B(y-y0)=0
根据直线 l 的方程，写出直线 l 经过的一个
熟 已知点P0和直线 l 的一个法向量 n 的坐标.
记 ⑴ 2(x-3)+4(y-5)=0 P0 (3, 5 ) n(2,4)
公
⑵ 2(x+3)-4(y－5)=0 P0 (3,5)
n
o
x
图2
画出符合要求的直线
3、既经过点P0又垂直于非零向量 n
y
P0
n
o
x
图3
公
yl
式
已知直线经过点P0(x0,y0)，
一个法向量n=(A,B)，
推
求直线的方程
nA,B
导o P0(x0 , y0)
x
直线的点法式方程
熟
y
l
记
直线经过点P0(x0,y0 )，
一个法向量n=(A,B)，
公
nA,B
则直线的点法式方程
置
作 补充（附加） 三角形ABC,A(1,-3),B(-2,4),C(0，-2)
A
业 求（1）BC边中垂线方程
（2） BC边高线方程 B
（3）BC边中线方程
D EC
敬请指导
直线的点法式方程
公
y
式
推
导
o P0(x0 , y0)
(1)向量P 0 P 的坐标为：
(x-x0 , y-y0 ) ,
P(x, y)
设方向向量v (x, y)
究
n v
Ax By 0
v(B,A)
整理得
x B
y
A
或 v(B,A)
口
答
n
v
练
(2,3)
(4,5)
习
口 答 练 习
画出符合要求的直线 1、经过点P0 y
P0
o
x
图1
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
画出符合要求的直线 2、垂直于非零向量 n y
用
反 1、理解一个概念——直线的法向量
——与直线垂直的非零向量
思 2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
小
A( x - x0 ) +B( y - y0 )=0
3、利用直线的点法式方程可以解决
结 （1）已知直线上一点和直线的法向量
（2）求线段的垂直平分线方程
（3）求三角形一边的高线所在直线方程
布 必做：P86 练习4、5、6
nA,B(2) P 0 P 与n=(A,B)的位置关系
是： 垂直 ,
x (3) P 0 P 与n 垂直的充要条件是：
A(x-x0)+B (y-y0)=0 ,
公 v(B,A)
y
（1） 法 向 量 n ( A , B )， 则
方 向 向 量 v （B,-A)
式
(2)代 入 点 向 式 方 程 得
(xx0) (yy0)
的位置关系是怎样的？
两 向 量 a (a1,a2), b (b1,b2)垂 直
问 的 充 要 条 件 是 a1b1+a2b2 0
题 直 线 的 一 个 法 向 量 n = ( A , B ) ,
探
则 直 线 的 一 个 方 向 向 量 v 如 何 表 示 ？
直线的法向量和点法式方程
知 什么叫方向向量 ？
与一条直线平行的非零向量叫做这条
识 直线的方向向量 通 常 用 v表 示
回
y
顾
o
x
知l2
B
识
A
回
顾 l1
概 与一条直线 平垂行直 的非零向量叫做这
条直线的方法向向量 通常用n 表示
念 思考：
形 1、一条直线的法向量是唯一的吗？
2、这些法向量的位置关系是怎样的？
式
⑶ -2(x-3)- 4(y+5)=0 P0 (3, 5)
n(2,4)
n(2,4)
A(x-x0)+B(y-y0)=0
学
（x0 , y0）
（A,B）
例1：求过点P(1, 2),且一个法向量为n=(3,4)
以 的直线方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
致 解：代入直线的点法式方程,
得 3 (x-1)+ 4(y-2) =0
用 整理得 3x+ 4y-11 =0
练习1. 求过点p，且一个法向量为n 的直线方程. (1) p(－1，2)， n =(3，－4)
(2) n = (－3,2), P(1，－5)，
学 例2：已知点A(3,2)和点B(-1,-4)求线段
AB的垂直平分线方程。
以
解 ： 中 点 c的 坐 标
y
l
致
3分 用2-1析,点2 ：2 4
法
1, 1
式求直线方程
法 向 量AB
用
o c
B
x点1c3， 42法 向 量 4A， B6
代中入点直坐标线公的式 点法式方程,
x1
得 x2
2
,
y-1 42 y2(x-1)-6x2( y+x1,1y)2 =y01
整理得 2x+3y+1 =0
学
练习：已知点A( ？, ？)和点B( ？, ？)
以 求线段AB的垂直平分线方程。 致
推
nA,B
B
A
导
o P0(x0 , y0)
即A(x-x0)+B (y-y0)=0
x
概
y
念
形
o
x
成
式o P0(x0 , y0)
x A(x-x0)+B(y-y0)=0
A(x-x0)+B(y-y0)=0
根据直线 l 的方程，写出直线 l 经过的一个
熟 已知点P0和直线 l 的一个法向量 n 的坐标.
记 ⑴ 2(x-3)+4(y-5)=0 P0 (3, 5 ) n(2,4)
公
⑵ 2(x+3)-4(y－5)=0 P0 (3,5)
n
o
x
图2
画出符合要求的直线
3、既经过点P0又垂直于非零向量 n
y
P0
n
o
x
图3
公
yl
式
已知直线经过点P0(x0,y0)，
一个法向量n=(A,B)，
推
求直线的方程
nA,B
导o P0(x0 , y0)
x
直线的点法式方程
熟
y
l
记
直线经过点P0(x0,y0 )，
一个法向量n=(A,B)，
公
nA,B
则直线的点法式方程
置
作 补充（附加） 三角形ABC,A(1,-3),B(-2,4),C(0，-2)
A
业 求（1）BC边中垂线方程
（2） BC边高线方程 B
（3）BC边中线方程
D EC
敬请指导
直线的点法式方程
公
y
式
推
导
o P0(x0 , y0)
(1)向量P 0 P 的坐标为：
(x-x0 , y-y0 ) ,
P(x, y)
设方向向量v (x, y)
究
n v
Ax By 0
v(B,A)
整理得
x B
y
A
或 v(B,A)
口
答
n
v
练
(2,3)
(4,5)
习
口 答 练 习
画出符合要求的直线 1、经过点P0 y
P0
o
x
图1
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
画出符合要求的直线 2、垂直于非零向量 n y
用
反 1、理解一个概念——直线的法向量
——与直线垂直的非零向量
思 2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
小
A( x - x0 ) +B( y - y0 )=0
3、利用直线的点法式方程可以解决
结 （1）已知直线上一点和直线的法向量
（2）求线段的垂直平分线方程
（3）求三角形一边的高线所在直线方程
布 必做：P86 练习4、5、6
nA,B(2) P 0 P 与n=(A,B)的位置关系
是： 垂直 ,
x (3) P 0 P 与n 垂直的充要条件是：
A(x-x0)+B (y-y0)=0 ,
公 v(B,A)
y
（1） 法 向 量 n ( A , B )， 则
方 向 向 量 v （B,-A)
式
(2)代 入 点 向 式 方 程 得
(xx0) (yy0)