直线的法向量和点法式方程 PPT
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新教材苏教版数学选择性必修第一册课件：1.2.2 直线的两点式方程
2．方程xy－ －yx11＝xy22－－xy11和方程yy2－－yy11＝xx2－－xx11表示同一图形吗？ 提示：不表示同一圆形．
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．
()
(2)方程yy2－－yy11＝xx2－－xx11和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示的图形相
THANK YOU
x2－－33，即 2x＋y－8＝0.
答案：A
2．直线xa＋by＝1 过第一、三、四象限，则
A．a>0，b>0
B．a>0，b<0
()
C．a<0，b>0
D．a<0，b<0
解析：因为直线过第一、三、四象限，所以它在 x 轴上的截距为正，在 y
轴上的截距为负，所以 a>0，b<0.
答案：B
3．过坐标平面内两点 P1(2，0)，P2(0，3)的直线方程是
第一
章
直线与方程
1．2 直线的方程
1．2.2 直线的两点式方程
新课程标准解读 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式 方程 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围
核心素养 数学抽象 逻辑推理
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以 桥面所在直线为 x 轴，桥塔所在直线为 y 轴建立平面直角 坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的 直线．
[母题探究] (变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在 x 轴 上的截距是 y 轴上截距的 2 倍”，其它条件不变，如何求解？ 解：①当直线 l 在两坐标轴上的截距均为 0 时，方程为 y＝25x，即 2x－5y＝0 符合题意． ②当直线 l 在两坐标轴上的截距均不为 0 时，可设方程为2xa＋ay＝1， 又 l 过点(5，2)，∴25a＋2a＝1，解得 a＝92. ∴l 的方程为 x＋2y－9＝0.
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．
()
(2)方程yy2－－yy11＝xx2－－xx11和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示的图形相
THANK YOU
x2－－33，即 2x＋y－8＝0.
答案：A
2．直线xa＋by＝1 过第一、三、四象限，则
A．a>0，b>0
B．a>0，b<0
()
C．a<0，b>0
D．a<0，b<0
解析：因为直线过第一、三、四象限，所以它在 x 轴上的截距为正，在 y
轴上的截距为负，所以 a>0，b<0.
答案：B
3．过坐标平面内两点 P1(2，0)，P2(0，3)的直线方程是
第一
章
直线与方程
1．2 直线的方程
1．2.2 直线的两点式方程
新课程标准解读 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式 方程 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围
核心素养 数学抽象 逻辑推理
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以 桥面所在直线为 x 轴，桥塔所在直线为 y 轴建立平面直角 坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的 直线．
[母题探究] (变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为：“在 x 轴 上的截距是 y 轴上截距的 2 倍”，其它条件不变，如何求解？ 解：①当直线 l 在两坐标轴上的截距均为 0 时，方程为 y＝25x，即 2x－5y＝0 符合题意． ②当直线 l 在两坐标轴上的截距均不为 0 时，可设方程为2xa＋ay＝1， 又 l 过点(5，2)，∴25a＋2a＝1，解得 a＝92. ∴l 的方程为 x＋2y－9＝0.
《直线的方程》课件1(人教版必修2(A))1
5
直线L与直线4x+2y-3=0的距离为____1_0____
7. 若 直 线 l1 ： mx+2y+6=0 和 直 线 l2:x+(m-1)y+m2-
1=0平行但不重合，则m的值是___-_1__.
8．若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=-2x+4的交点在 第一象限，则k的取值范围是___-_2_/3_＜__k_＜__2___.
(6)向量式:
OP OA t为ta参数， 为方a向向量.
(7)参数式：设直线过 点 P（0 x0，y0），v=（a，b）
是它的一个方向向量 ， P（x，y是）直线上任一点，
x
ab（t为参称数）为直线的参数方程
。
(8)点向式： x x0 y y0（ab 0a）、b称为方向数.
（2）若直线 则
l1：A1x+B1y+C1=0， l2：A2x+B2y+C2=0，
l1// l2 A1B2—A2B1=0 l1⊥l2 A1A2+B1B2=0
无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所 以此公式用起来更方便.
2.两条直线l1,l2相交构成四个角，它们是两对
对 顶 角 ， 把 l1 依 逆 时 针 方 向 旋 转 到 与 l2 重 合 时
4.直线l 在x,y轴上截距的倒数和为常数
1/m，则直线过定点____(_m_,_m__) __.
5．A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，
且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为
x-y+1=0，则直线PB的方程为( B )
(A) 2x-y-1=0
(B) x+y-5=0
北师版高中数学选择性必修第一册1.3 直线的方程三-四授课课件
零，解方程组可得 x，y 的值，即为直线过的定点.
变式训练 3 已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0 为直线 l 的方程，求证：不论
k 取何实数，直线 l 必过定点，并求出这个定点的坐标.
证明：将直线方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0化为k(x－y－2)＋x＋y＝ 0，
－－＝，
＝，
水平二：直线的一般式方程的系数和斜率和截距的关系(逻辑推理).
基础训练
自主预习
1. 定义：关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0 (A，B 不同时为 0)叫
作直线方程的一般式.
2. 斜率：直线 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)，当 B≠0 时，其斜率是
k＝－ (B≠0)，在
零，即当x＝0时，y＝－
≤0，5a≥0，∴a≥3. 即a的取值范围为[3，＋ ∞).
通法提炼
含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，一般求定点时，只要将方程化
为点斜式即可求得定点的坐标. 在变形后特点如果还不明显，可将方程变形，
把 x，y 作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为
∴ቐ
∴m＝－2.
＝－或＝－，
通法提炼
1. 把直线方程的一般式 Ax＋By＋C＝0 化成其他形式时，要注意式子成立的
条件，特别是当 B＝0 时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜
截式的形式.
2. 要学会直线方程的一般式与特殊形式之间的相互转化，在求直线方程时，
并不一定要设一般式，根据题目的条件选择恰当的形式，但最终结果一般要
C. 4x＋3y－42＝0
B. 4x＋3y＋7＝0
D. 3x＋4y－42＝0
变式训练 3 已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0 为直线 l 的方程，求证：不论
k 取何实数，直线 l 必过定点，并求出这个定点的坐标.
证明：将直线方程(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0化为k(x－y－2)＋x＋y＝ 0，
－－＝，
＝，
水平二：直线的一般式方程的系数和斜率和截距的关系(逻辑推理).
基础训练
自主预习
1. 定义：关于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0 (A，B 不同时为 0)叫
作直线方程的一般式.
2. 斜率：直线 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)，当 B≠0 时，其斜率是
k＝－ (B≠0)，在
零，即当x＝0时，y＝－
≤0，5a≥0，∴a≥3. 即a的取值范围为[3，＋ ∞).
通法提炼
含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，一般求定点时，只要将方程化
为点斜式即可求得定点的坐标. 在变形后特点如果还不明显，可将方程变形，
把 x，y 作为参数的系数，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为
∴ቐ
∴m＝－2.
＝－或＝－，
通法提炼
1. 把直线方程的一般式 Ax＋By＋C＝0 化成其他形式时，要注意式子成立的
条件，特别是当 B＝0 时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜
截式的形式.
2. 要学会直线方程的一般式与特殊形式之间的相互转化，在求直线方程时，
并不一定要设一般式，根据题目的条件选择恰当的形式，但最终结果一般要
C. 4x＋3y－42＝0
B. 4x＋3y＋7＝0
D. 3x＋4y－42＝0
高数课件 10.3 平面与直线
||
三元一次方程
D
Ax By Cz D 0 称为 平面的一般方程，
并且法向量 n {A, B, C} ．
一些特殊的三元一次方程的图形特征: (1) D=0, Ax+By+Cz=0 表示通过原点的平面; 缺常数项 (2) C=0, Ax+By+D=0 表示平行于z轴的平面; 缺z项
B=0, Ax+Cz+D=0 表示平行于y轴的平面; 缺y项 A=0, By+Cz+D=0 表示平行于x轴的平面; 缺x项 (3) C=D=0, Ax+By=0 表示含z轴的平面; 缺z项和常数项 B=D=0, Ax+Cz=0 表示含y轴的平面; 缺y项和常数项 A=D=0, By+Cz=0 表示含x轴的平面; 缺x项和常数项 (4) A=B=0, Cz+D=0 表示平行于xoy面的平面; 缺x,y项
各种平面的画法
❖ 平行于各坐标面的平面(含坐标面) ❖ 平行于各坐标轴的平面 ❖ 过各坐标轴的平面 ❖ 过原点的平面 ❖ 与三轴都相交的平面
三. 两平面的夹角
n2
n1
定义 两平面法线向量的夹角 , 称为两平面的夹角(0 )．
2
2
设平面 1：A1 x B1 y C1z D1 0
1
化简为
14x 9 y z 15 0
注意：不共线的三点才唯一地 确定一平面 ．
例 3. 一平面通过两点M1 (1, 1, 1)和M2 (0, 1, 1)且垂直于平面
x y z 0，求它的方程．
解 由于所求平面与 x y z 0 垂直，
则又M其1法, M向2在量该n平与面上n1，则{1,n1, 1M} 垂1M直2，，
直线的方向向量和法向量
量常用 n k , 1 ，当斜率不存在时的法向量常用 n 1,0 。 3、若直线方程是 Ax By C 0 ，则其法向量常用 n A, B ，向量常用 a B, A 。
例 1、 （1）直线 l 的倾斜角是 150 ，则该直线的一个方向向量是
例 3、 直线 l1 : px qy 3 0, l2 : sx ty 3 0, 相交于点 M (3 4) ， 求过点 P 1 ( p, q), Q( s, t ) 的直线方程。
直线的方向向量和法向量 点法式方程
直线的方向向量与法向量 1、 与一条直线平行或在直线上的非零向量叫该直线的方向向量，有无数多，当直线斜率存
在时的方向向量常用 a 1, k ，当斜率不存在时的方向向量常用 a 0,1 。
2、 与一条直线垂直的非零向量叫该直线的方向向量，有无数多，当直线斜率存在时的法向
Байду номын сангаас
（2）直线 l 的方向向量是 a (3, 3sin ) ，则该直线的倾斜角的取值范围是 （3）直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a (2,1), b (3,1) ，则这两直线的夹角是 （4）直线 l 上两点 P ，斜率= 1 1,2 , P 2 2, a ，其方向 a 1,0 ，则 a
。
直线的点法式方程：直线过点 P( x0 , y0 ) ，法向量 a=(A，B) ，则直线方程是
A x x0 B y y0 0
例 2、 （1）写出直线 x 2 y 3 0 的一个方向向量和法向量； （2）直线 l 过点 P(3,8) ，且与直线 x 2 y 3 0 平行，求该直线。垂直呢？
11直线的点法式方程
例3. 已知点A(-1, 2)B(2, 1)C(0, 4)求△ABC三条高所 在的直线方程.
解 AB (2 1, 1 2) (3,1), AC (0 1, 4 2) (1, 2).
BC (0 2, 4 1) (2, 3).
如图所示: △ABC三条高分别为 由点法式方程得CD方程为： CD、AE、BF，
x 1 y 2 （1 ） 1 2 2x 1 (2) 3 y 5
答案：（ 1 ） d （ 1， 2）， n （2， 1 ）
（2） n （2， 15） ,d （ 15， 2）
例2.
例5.
A
解：l1 l 2 n 1 n 2 (2 a, a) (1,a) 2 a a 2 0 a 2或a 1
a( x x0 ) b( y y0 ) 0
③
l
n ( a , b)
d (u, v)
（2）：若直线的一个方向向量是d (u, v) 则它的一个法向量是n (v,u ) 反之，若直线的一个法向量是n (a, b) 则它的一个方向向量是d (b,a)
练习：观察下列方程，并写出各直线 的一个方向向量和一个法向量。
y C(0,4) F D A(-1,2) B (2,1) 0 x E
3(x-0)+(-1)(y-4) = 0 即 3x - y+4 = 0
由点法式方程得AE方程为：
(-2)(x+1) + 3(y - 2) = 0 即 2x-3y+8 = 0
由点法式方程得BF方程为：
1(x - 2) თ.1.2 直线的点法向式和一般式方程
直线的方程(第2课时直线方程的两点式与一般式)课件-2024-2025学年高二上学期数学选择性必修一
5(x+1)+2(y-3)=0,即5x+2y-1=0.
答案:5x+2y-1=0
.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)直线方程的一般式可表示任意一条直线.( √ )
(2)直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线.( × )
(3)直线方程的两点式适用于求不过原点,且与两坐标轴不垂直的直线的方
(3)若已知直线在坐标轴上的截距是否可以确定直线方程?
提示:可以.
2.(1)直线方程的两点式:过点A(x1,y1),B(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线方程
-1
-1
的两点式为 - = - ,与 坐标轴 垂直的直线没有两点式方程.
2 1
2 1
(2)直线方程的截距式:经过两点P(a,0),Q(0,b)(其中ab≠0)的直线l方程的截
D.5
+ 3 =0
).
二、直线方程的一般式
【问题思考】
1.(1)当B≠0时,方程Ax+By+C=0表示怎样的直线?B=0(A≠0)呢?
提示:当 B≠0 时,由 Ax+By+C=0,得
y=- x- ,所以该方程表示斜率为- ,在
上截距为- 的直线;
当 B=0,A≠0 时,由 Ax+By+C=0,得
图1-1-4
(1)在上述问题中,解题关键是确定直线AB,那么直线AB的方程确定后,点
A,B能否确定?
提示:能确定.
(2)根据图1-1-4,以O为原点,OA所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,建立平面
直线的法向量和点法式方程00876
P0(x0 , y0)
点法式方程
反 1、理解一个概念—— 直线的法向量
——与直线垂直的非零向量
思 2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
小
A( x - x0 ) +B( y - y0 )=0
结 3、利用直线的点法式方程可以解决
已知直线上一点和直线的法向量求直线方程
布
置
作
P86 练习第4题
业
什么叫方向向量 ？
知
与一条直线平行的非零向量叫做这条
识 直线的方向向量 通常用v表示
回
y
顾
o
x
向量a（a1,a2)与向量b（b1,b2)
问 垂直的充要条件是 a1b1+a2b2=0
题 直线l的一个法向量n=(A,B),则直线l
的一个方向向量v如何表示？
探 究
设v =(v1,v2) ∵v⊥n ∴v1A+v2B=0 即v1A=-v2B
图3
公
yl
式
已知直线经过点P0(x0,y0),
一个法向量n=(A,B),求直
推
线的方程
导o P0(x0 , y0)
n =(A,B)
x
已知法向量n=(A,B),
公
y
则方向向量v=(B,-A)
v=(B,-A) 代入点向式方程，得
式 推
x-x0
B
＝
y-y0 -A
化简，得
导
o
n =(A,B)
x
A(x-x0)+B (y-y0)=0
∴v =(B,-A) 或
v =(-B,A)
∴ v1 =－ B
v2
A
口
答
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
直线点法式
直线点法式直线的点法式是指通过直线上的一点及其法向量来确定直线的方程。
这种表示方法在解决直线与平面相交、直线的垂直平分线等问题时非常有用。
下面将详细介绍直线的点法式及其应用。
一、直线的点法式的定义和推导直线的点法式是一种通过直线上的一点及其法向量来表示直线的方程。
设直线上一点为P(x₁, y₁, z₁)，直线的法向量为n(a, b, c)，则直线的点法式可表示为：(x - x₁) / a = (y - y₁) / b = (z - z₁) / c其中，(x, y, z)为直线上任意一点的坐标。
推导直线的点法式的关键在于理解直线的法向量的作用。
直线的法向量垂直于直线，即与直线上的任意向量都垂直。
因此，直线上的一点加上直线的法向量可以确定直线的方向。
二、直线的点法式的应用1. 直线与平面的交点确定直线的点法式可以很方便地确定直线与平面的交点。
考虑一个平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，直线的点法式为(x - x₁) / a = (y - y₁) / b = (z - z₁) / c。
将直线的点法式代入平面的方程中，得到一个关于x, y, z的方程组。
解方程组可以得到交点的坐标，从而确定直线与平面的交点。
2. 直线的垂直平分线确定直线的点法式可以方便地确定直线的垂直平分线。
设直线上两点为P₁(x₁, y₁, z₁)和P₂(x₂, y₂, z₂)，直线的垂直平分线的方程可表示为：(x - (x₁ + x₂) / 2) / a = (y - (y₁ + y₂) / 2) / b = (z - (z₁+ z₂) / 2) / c其中，(x, y, z)为垂直平分线上任意一点的坐标。
通过直线的点法式和两点的坐标，可以方便地确定直线的垂直平分线。
3. 直线的平行判定直线的点法式还可以用于判断两条直线是否平行。
如果两条直线的法向量相等或成比例，那么它们是平行的。
设直线₁的点法式为(x - x₁) / a₁ = (y - y₁) / b₁ = (z - z₁) / c₁，直线₂的点法式为(x - x₂) / a₂ = (y - y₂) / b₂ = (z - z₂) / c₂。
直线的法向量和点法式方程
精品课件
顾知
什么叫方向向量 ？
与一条直线平行的非零向量叫做这条
直线的方向向量 通常用v表示
识y
回
o
x
精品课件
顾知
l2
B
识
A
回l1
精品课件
成 概与一条直线 垂平直行 的非零向量叫做
这条直线的法方向向量 通常用n表示
念思考：
1、一条直线的法向量是唯一的吗？
形2、这些法向量的位置关系是怎样的？
3、同一条直线的方向向量v和法向量n的位 置关系是怎样的？
整=理0得
3x+ 4y-11 =0
精品课件
结 反1、理解一个概念——直线的法向量
——与直线垂直的非零向量
思2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
A( x - x0 ) +B( y -
小3、利用直线的y0点)=法0 式方程可以解决
已知直线上一点和直线的法向量求直线方程
精品课件
业布 置 作
P86 练习第4题
⑶ -2(x-3)4(y+5)=0
P0=(-3,5) n=(2,-4)
P0=(3,-5) n=(-2,-4) 或(2,4)
精品课件
A(x-x0)+B(y-y0)=0
用学
（x0,y0）
(A,B)
例1：求过点P(1, 2),且一个法向量为n =
(3,4)
以的直线方程。 解：代入直线的点法式方,得
致 3 (x-1)+ 4(y-2)
精品课件
精品课件
向量a（a1,a2)与向量b（b1,b2)
究 问 垂直的充要条件是 a1b1+a2b2=0
直线l的一个法向量n=(A,B),则直线l
顾知
什么叫方向向量 ？
与一条直线平行的非零向量叫做这条
直线的方向向量 通常用v表示
识y
回
o
x
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顾知
l2
B
识
A
回l1
精品课件
成 概与一条直线 垂平直行 的非零向量叫做
这条直线的法方向向量 通常用n表示
念思考：
1、一条直线的法向量是唯一的吗？
形2、这些法向量的位置关系是怎样的？
3、同一条直线的方向向量v和法向量n的位 置关系是怎样的？
整=理0得
3x+ 4y-11 =0
精品课件
结 反1、理解一个概念——直线的法向量
——与直线垂直的非零向量
思2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
A( x - x0 ) +B( y -
小3、利用直线的y0点)=法0 式方程可以解决
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业布 置 作
P86 练习第4题
⑶ -2(x-3)4(y+5)=0
P0=(-3,5) n=(2,-4)
P0=(3,-5) n=(-2,-4) 或(2,4)
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A(x-x0)+B(y-y0)=0
用学
（x0,y0）
(A,B)
例1：求过点P(1, 2),且一个法向量为n =
(3,4)
以的直线方程。 解：代入直线的点法式方,得
致 3 (x-1)+ 4(y-2)
精品课件
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向量a（a1,a2)与向量b（b1,b2)
究 问 垂直的充要条件是 a1b1+a2b2=0
直线l的一个法向量n=(A,B),则直线l
线性代数 74 平面与直线.ppt
所以交点为 B(0,3, 0),
取 s BA {2, 0, 4},
所求直线方程 x 2 y 3 z 4 .
2
0
4
4.3-1 两平面的夹角
定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的
夹角. （通常取锐角）
n2
n1
1 : A1 x B1 y C1z D1 0,
将三点坐标代入得 bB D 0, cC D 0,
a
P
b
Q
AD, BD, C D.
a
b
c
将A D, B D, C D, c
a
b
c
代入所设方程得
b a
x y z 1 平面的截距式方程 a bc
x轴上截距 y 轴上截距 z轴上截距
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1 ,
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2 ,
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
L
o
y
空间直线的一般方程 x
4.2-2 直线的点向式方程与参数方程
方向矢量的定义：
如果一非零矢量平行于 一条已知直线，这个矢量称 为这条直线的方向矢量．
M0( x0 , y0 , z0 ), s {m, n, p},
z s
L
M
M0
o
y
M L, M( x, y, z), x
M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
新教材高中数学第一章第3课时直线方程的一般式点法式课件北师大版选择性必修第一册ppt
即 2x+y-3=0.
(4)由截距式,得直线方程为 + =1,
-3 -1
即x+3y+3=0.
(5)y-2=0.
反思感悟 1.当 A≠0 时,方程可化为 x+ y+ =0,只需求 , 的值;若 B≠0,方程可
化为x+y+=0,只需确定 , 的值.因此,只要给出两个条件,就可以求出直线
为
.
答案 3x-y=0
解析 由直线的点法式方程,得-3(x-1)+(y-3)=0,化简得直线l的方程为3x-y=0.
6.若直线(2a2-4a)x+(a2-4)y+5a2=0的倾斜角是
2
答案 3
π
4 ,则实数a=
.
π
解析 因为直线(2a -4a)x+(a -4)y+5a =0 的倾斜角是4,所以该直线的斜率为
A.m≠0
3
B.m≠2
C.m≠1
3
D.m≠1,m≠-2,m≠0
答案 C
解析 因为方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,
所以2m2+m-3=0,m2-m=0不能同时成立,解得 m≠1.
)
4.直线方程 + =1 的一般式为
3 4
答案 4x+3y-12=0
.
5.如果直线l过点P(1,3),且直线l的法向量为a=(-3,1),则直线l的方程
典例在平面直角坐标系xOy中,设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+62m=0.
法式方程与点法式方程
法式方程与点法式方程法式方程（Cartesian equation）是指将一个曲线或曲面定义为平面直角坐标系下的一个方程。
点法式方程（normal form）是指将一个曲线或曲面定义为点与法向量的关系方程。
1.法式方程：法式方程是将一个曲线或曲面定义为平面直角坐标系下的一个方程。
在二维平面上，一条曲线的法式方程可以表示为：F(x,y)=0其中，F(x,y)是一个关于变量x和y的函数，表示曲线上的点满足的条件。
例如，单位圆的法式方程为：x^2+y^2-1=0在三维空间中，一个曲面的法式方程可以表示为：F(x,y,z)=0其中，F(x,y,z)是一个关于变量x、y和z的函数，表示曲面上的点满足的条件。
例如，一个球的法式方程为：x^2+y^2+z^2-R^2=0其中，R是球的半径。
通过法式方程，我们可以得到曲线或曲面上的所有点的坐标。
2.点法式方程：点法式方程是将一个曲线或曲面定义为点与法向量的关系方程。
对于曲线来说，点法式方程可以表示为：r(t) = p + tv其中，r(t)是曲线上任意一点的位置矢量，p是曲线上的一个已知点的位置矢量，v是曲线在该点的切向量，t是参数。
例如，一条直线的点法式方程可以表示为：r(t) = p + tv对于曲面来说，点法式方程可以表示为：F(r)=0其中，F(r)是一个关于位置矢量r=(x,y,z)的函数，表示曲面上的点满足的条件。
例如，一个平面的点法式方程可以表示为：ax + by + cz + d = 0其中，a、b、c、d是平面的参数。
通过点法式方程，我们可以通过已知的点和法向量来确定曲线或曲面的几何特征，如切线、切面等。
比较法式方程和点法式方程：法式方程是将曲线或曲面定义为平面直角坐标系下的一个方程，而点法式方程是将曲线或曲面定义为点与法向量的关系方程。
两者都是表示曲线或曲面的数学方程，但使用的方式有所不同。
法式方程可以通过方程的形式直接得到曲线或曲面上的所有点的坐标，而点法式方程需要已知的点和法向量才能确定曲线或曲面的几何特征。
直线的点法式方程
直线的点法式方程
点法式方程是u(x-x0)+v(y-y0)=0。
可以表示所有直线方程式u(x-x0)+v(y-y0)=0（u,v不全为零），高中数学中直线方程之一，(x-x0)·u=(y-y0)·v，且u，v不全为零的方程，称为点法向式方程，该方程可以表示所有直线。
平面π上任意一点的坐标都满足这个方程。
而坐标满足方程的点都在π上，于是这个方程就是过点且与向量垂直的平面π的方程，称为平面的点法式方程。
点法式方程的特点
一张平面π可以由π上任意一点和垂直于π的任意一个向量完全确定。
垂直于π的任意向量称为π的法向量。
点法向式就是由直线上一点的坐标和与这条直线的法向量确定的（x0,y0）为直线上一点，｛u,v}为直线的法向向量。
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配湘教版)课件2.2.4直线的方向向量与法向量
(3)过点A且与直线l垂直的直线方程.
解 (1)由题知,直线l的斜率k=
4
3
,所以直线l的一个方向向量u=(3,4).
(2)设P(x,y)是过点A且与直线l平行的直线上的一动点,则 =(x+1,y-2),
当且仅当u∥
,即3×(y-2)-4(x+1)=0时,所求直线与直线l平行,
整理得4x-3y+10=0,即过点A且与直线l平行的直线方程为4x-3y+10=0.
向向量为(1,k)的
非零实数倍
.
名师点睛
1.直线的方向向量可以用来表示直线的方向,并且直线的方向向量并不是
唯一的.
2.(B,-A)只是直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的一个方向向量,所有与(B,-A)
共线的方向向量都是直线的方向向量.
3.平行于x轴的直线或x轴所在直线的一个方向向量的特征是(t,0)(t≠0),平行
(3)设Q(x,y)为所求直线上不同于点A的一动点,则 =(x+1,y-2).设点Q在
过点A且垂直于l的直线上,则u· =0,即3(x+1)+4(y-2)=0,整理得3x+4y5=0,即过点A且与直线l垂直的直线方程为3x+4y-5=0.
规律方法 利用方向向量及法向量求直线方程
已知直线l的一个方向向量为m=(a,b),点Q(x1,y1)为直线上的动点,求直线l
若直线的一个方向向量是n=(a,b),则直线的一个法向量是m=(-b,a)或
m=(b,-a).若a≠0,则直线的斜率k=
;当a=0时,直线的斜率不存在.
探究点二 直线的方向向量与法向量的应用
【例2】 已知A(-1,2),直线l:4x-3y+9=0.
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用
反 1、理解一个概念——直线的法向量
——与直线垂直的非零向量
思 2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
小
A( x - x0 ) +B( y - y0 )=0
3、利用直线的点法式方程可以解决
结 （1）已知直线上一点和直线的法向量
（2）求线段的垂直平分线方程
（3）求三角形一边的高线所在直线方程
布 必做：P86 练习4、5、6
直线的法向量和点法式方程
知 什么叫方向向量 ？
与一条直线平行的非零向量叫做这条
识 直线的方向向量 通 常 用 v表 示 Nhomakorabea回
y
顾
o
x
知l2
B
识
A
回
顾 l1
概 与一条直线 平垂行直 的非零向量叫做这
条直线的方法向向量 通常用n 表示
念 思考：
形 1、一条直线的法向量是唯一的吗？
2、这些法向量的位置关系是怎样的？
式o P0(x0 , y0)
x A(x-x0)+B(y-y0)=0
A(x-x0)+B(y-y0)=0
根据直线 l 的方程，写出直线 l 经过的一个
熟 已知点P0和直线 l 的一个法向量 n 的坐标.
记 ⑴ 2(x-3)+4(y-5)=0 P0 (3, 5 ) n(2,4)
公
⑵ 2(x+3)-4(y－5)=0 P0 (3,5)
式求直线方程
法 向 量AB
用
o c
B
x点1c3， 42法 向 量 4A， B6
代中入点直坐标线公的式 点法式方程,
x1
得 x2
2
,
y-1 42 y2(x-1)-6x2( y+x1,1y)2 =y01
整理得 2x+3y+1 =0
学
练习：已知点A( ？, ？)和点B( ？, ？)
以 求线段AB的垂直平分线方程。 致
nA,B(2) P 0 P 与n=(A,B)的位置关系
是： 垂直 ,
x (3) P 0 P 与n 垂直的充要条件是：
A(x-x0)+B (y-y0)=0 ,
公 v(B,A)
y
（1） 法 向 量 n ( A , B )， 则
方 向 向 量 v （B,-A)
式
(2)代 入 点 向 式 方 程 得
(xx0) (yy0)
置
作 补充（附加） 三角形ABC,A(1,-3),B(-2,4),C(0，-2)
A
业 求（1）BC边中垂线方程
（2） BC边高线方程 B
（3）BC边中线方程
D EC
敬请指导
直线的点法式方程
公
y
式
推
导
o P0(x0 , y0)
(1)向量P 0 P 的坐标为：
(x-x0 , y-y0 ) ,
P(x, y)
推
nA,B
B
A
导
o P0(x0 , y0)
即A(x-x0)+B (y-y0)=0
x
概
y
念
形
o
x
成
式
⑶ -2(x-3)- 4(y+5)=0 P0 (3, 5)
n(2,4)
n(2,4)
A(x-x0)+B(y-y0)=0
学
（x0 , y0）
（A,B）
例1：求过点P(1, 2),且一个法向量为n=(3,4)
以 的直线方程。
致 解：代入直线的点法式方程,
得 3 (x-1)+ 4(y-2) =0
用 整理得 3x+ 4y-11 =0
成 3、同一条直线的方向向量 v 和 法向量 n
的位置关系是怎样的？
两 向 量 a (a1,a2), b (b1,b2)垂 直
问 的 充 要 条 件 是 a1b1+a2b2 0
题 直 线 的 一 个 法 向 量 n = ( A , B ) ,
探
则 直 线 的 一 个 方 向 向 量 v 如 何 表 示 ？
n
o
x
图2
画出符合要求的直线
3、既经过点P0又垂直于非零向量 n
y
P0
n
o
x
图3
公
yl
式
已知直线经过点P0(x0,y0)，
一个法向量n=(A,B)，
推
求直线的方程
nA,B
导o P0(x0 , y0)
x
直线的点法式方程
熟
y
l
记
直线经过点P0(x0,y0 )，
一个法向量n=(A,B)，
公
nA,B
则直线的点法式方程
练习1. 求过点p，且一个法向量为n 的直线方程. (1) p(－1，2)， n =(3，－4)
(2) n = (－3,2), P(1，－5)，
学 例2：已知点A(3,2)和点B(-1,-4)求线段
AB的垂直平分线方程。
以
解 ： 中 点 c的 坐 标
y
l
致
3分 用2-1析,点2 ：2 4
法
1, 1
设方向向量v (x, y)
究
n v
Ax By 0
v(B,A)
整理得
x B
y
A
或 v(B,A)
口
答
n
v
练
(2,3)
(4,5)
习
口 答 练 习
画出符合要求的直线 1、经过点P0 y
P0
o
x
图1
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
画出符合要求的直线 2、垂直于非零向量 n y
反 1、理解一个概念——直线的法向量
——与直线垂直的非零向量
思 2、掌握一个方程—— 直线的点法式方程
小
A( x - x0 ) +B( y - y0 )=0
3、利用直线的点法式方程可以解决
结 （1）已知直线上一点和直线的法向量
（2）求线段的垂直平分线方程
（3）求三角形一边的高线所在直线方程
布 必做：P86 练习4、5、6
直线的法向量和点法式方程
知 什么叫方向向量 ？
与一条直线平行的非零向量叫做这条
识 直线的方向向量 通 常 用 v表 示 Nhomakorabea回
y
顾
o
x
知l2
B
识
A
回
顾 l1
概 与一条直线 平垂行直 的非零向量叫做这
条直线的方法向向量 通常用n 表示
念 思考：
形 1、一条直线的法向量是唯一的吗？
2、这些法向量的位置关系是怎样的？
式o P0(x0 , y0)
x A(x-x0)+B(y-y0)=0
A(x-x0)+B(y-y0)=0
根据直线 l 的方程，写出直线 l 经过的一个
熟 已知点P0和直线 l 的一个法向量 n 的坐标.
记 ⑴ 2(x-3)+4(y-5)=0 P0 (3, 5 ) n(2,4)
公
⑵ 2(x+3)-4(y－5)=0 P0 (3,5)
式求直线方程
法 向 量AB
用
o c
B
x点1c3， 42法 向 量 4A， B6
代中入点直坐标线公的式 点法式方程,
x1
得 x2
2
,
y-1 42 y2(x-1)-6x2( y+x1,1y)2 =y01
整理得 2x+3y+1 =0
学
练习：已知点A( ？, ？)和点B( ？, ？)
以 求线段AB的垂直平分线方程。 致
nA,B(2) P 0 P 与n=(A,B)的位置关系
是： 垂直 ,
x (3) P 0 P 与n 垂直的充要条件是：
A(x-x0)+B (y-y0)=0 ,
公 v(B,A)
y
（1） 法 向 量 n ( A , B )， 则
方 向 向 量 v （B,-A)
式
(2)代 入 点 向 式 方 程 得
(xx0) (yy0)
置
作 补充（附加） 三角形ABC,A(1,-3),B(-2,4),C(0，-2)
A
业 求（1）BC边中垂线方程
（2） BC边高线方程 B
（3）BC边中线方程
D EC
敬请指导
直线的点法式方程
公
y
式
推
导
o P0(x0 , y0)
(1)向量P 0 P 的坐标为：
(x-x0 , y-y0 ) ,
P(x, y)
推
nA,B
B
A
导
o P0(x0 , y0)
即A(x-x0)+B (y-y0)=0
x
概
y
念
形
o
x
成
式
⑶ -2(x-3)- 4(y+5)=0 P0 (3, 5)
n(2,4)
n(2,4)
A(x-x0)+B(y-y0)=0
学
（x0 , y0）
（A,B）
例1：求过点P(1, 2),且一个法向量为n=(3,4)
以 的直线方程。
致 解：代入直线的点法式方程,
得 3 (x-1)+ 4(y-2) =0
用 整理得 3x+ 4y-11 =0
成 3、同一条直线的方向向量 v 和 法向量 n
的位置关系是怎样的？
两 向 量 a (a1,a2), b (b1,b2)垂 直
问 的 充 要 条 件 是 a1b1+a2b2 0
题 直 线 的 一 个 法 向 量 n = ( A , B ) ,
探
则 直 线 的 一 个 方 向 向 量 v 如 何 表 示 ？
n
o
x
图2
画出符合要求的直线
3、既经过点P0又垂直于非零向量 n
y
P0
n
o
x
图3
公
yl
式
已知直线经过点P0(x0,y0)，
一个法向量n=(A,B)，
推
求直线的方程
nA,B
导o P0(x0 , y0)
x
直线的点法式方程
熟
y
l
记
直线经过点P0(x0,y0 )，
一个法向量n=(A,B)，
公
nA,B
则直线的点法式方程
练习1. 求过点p，且一个法向量为n 的直线方程. (1) p(－1，2)， n =(3，－4)
(2) n = (－3,2), P(1，－5)，
学 例2：已知点A(3,2)和点B(-1,-4)求线段
AB的垂直平分线方程。
以
解 ： 中 点 c的 坐 标
y
l
致
3分 用2-1析,点2 ：2 4
法
1, 1
设方向向量v (x, y)
究
n v
Ax By 0
v(B,A)
整理得
x B
y
A
或 v(B,A)
口
答
n
v
练
(2,3)
(4,5)
习
口 答 练 习
画出符合要求的直线 1、经过点P0 y
P0
o
x
图1
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
画出符合要求的直线 2、垂直于非零向量 n y