高中数学椭圆与双曲线中点弦斜率公式及推广

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每

椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论

圆锥曲线中点弦问题是问题在高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和韦达定理，设而不求.但一般来说解题过程是相当繁琐的.若能巧妙地利用下面的定理则可以方便快捷地解决问题.

定理1(椭圆中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b

+=弦AB （AB 不

平行y 轴）的中点，则有：2

2AB OM b k k a

⋅=-

证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有

1212

AB

y y k x x -=-，22

1122

22

2222

11x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：2222

1212

22

0x x y y a b --+=整理得：22

2

1222

212y y b x x a

-=--，即2

121221212()()()()y y y y b x x x x a

+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以

0012

001222OM

y x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a

⋅=-

定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为双曲线22

221x y a b

-=弦AB

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每

（AB 不平行y 轴）的中点，则有2

2AB OM

b k k a

⋅= 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212

AB

y y k x x -=-，22

1122

22

2222

11x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：22

2

1222

212y y b x x a -=-，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a

+-=+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012

001222OM

y x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a

⋅= 例1、已知椭圆22

221x y a b

-=，的一条弦所在的直线方程是30x y -+=，弦的中

点坐标是2,1M -（），则椭圆的离心率是（ ） A 、

1

2

B

、2 C

、分析：本题中弦的斜率 1AB k =且1

2

OM

k =-，根据定理有2212b a =，即

222

2112

a c e a -=-=

，解得e =，所以B 答案正确.

例2、过椭圆22

1164

x y +

=内的一点(2,1)M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程.

解：设弦所在的直线为AB ，根据椭圆中点弦的斜率公式知1

4

AB OM k k ⋅=-，显

然12OM k =，所以12AB k =-，故所求的直线方程为1

1(2)2y x -=--，即

240x y +-=.

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每例3、过椭圆22

16436

x y +

=上的一点(8,0)P -作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程.

解：设PQ 的中点为(,)M x y ，则OM y k x

=

，8PQ y k x =+，由椭圆中点弦的的斜

率公式得9816y y x x ⋅=-+，即所求的轨迹方程为29

(8)16

y x x =-+

例4、已知椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂

直平分线l 与x 轴交于0(,0)P x ，求证：2222

0a b a b x a a

---<<. 证明：设AB 的中点为11(,)M x y ，由题设可知AB 与x 轴不垂直，10y ∴≠，由椭圆的中点弦斜率公式得:21

21

AB

x b k a y =-⋅

2121l a y k b x ∴=，所以直线l 的方程为：21

1121

()a y y y x x b x -=-，令0y =解得

21022a x x a b =-，1||x a <，2022a a x a a b ∴-<<-，即：2222

0a b a b x a a ---<<

例5、已知双曲线2

2

12

y x -=，经过点(1,1)M 能否作一条直线l ，使l 交双曲线 于A 、B 两点且点M 是线段AB 的中点，若存在这样的直线l ，求出它的方程； 若不存在，说明理由.

解：若存在这样的直线l 的斜率为k ，则1OM k =，由双曲线中点弦的斜率公式知：2k =，此时l 的方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-，将它代入双曲线方

程2

2

12

y x -=并化简得：22430x x -+=，而该方程没有实数根.故这样的直线