数值计算课后答案1
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习 题 一 解 答
1．取3.14，3.15，
227，355113
作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:
e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。 相对误差：
3()0.0016
()0.51103.14
r e x e x x -==≈⨯
有效数字：
因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。 而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…
所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311
101022
--⨯=⨯
所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:
e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。 相对误差：
2()0.0085
()0.27103.15
r e x e x x --==≈-⨯
有效数字：
因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。 而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…
所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211
101022
--⨯=⨯
所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。 （3）绝对误差:
22
() 3.14159265
3.1428571430.0012644930.00137
e x π=-=-=-≈-
相对误差：
3()0.0013
()0.4110227
r e x e x x
--=
=≈-⨯
有效数字：
因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 22
3.1428571430.3142857143107
==⨯，m=1。 而22 3.14159265 3.1428571430.0012644937π-=-=-
所以 2213
22 3.14159265 3.1428571430.0012644930.005
7
11
0.510101022
π----=-=≤=⨯=⨯=⨯
所以，22
7
作为π的近似值有3个有效数字。
（4）绝对误差:
355
() 3.14159265 3.141592920.00000027050.000000271
113
e x π=-=-=-≈-相对误差：
7()0.000000271
()0.86310355113
r e x e x x
--==≈-⨯
有效数字：
因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 355
3.141592920.31415929210113
==⨯，m=1。 而355 3.14159265 3.141592920.0000002705113π-=-=-
所以
6617
355 3.14159265 3.141592920.00000027050.0000005
113
11
0.510101022π----=-=≤=⨯=⨯=⨯
所以，355
113作为π的近似值有7个有效数字。
指出：
①实际上，本题所求得只能是绝对误差限和相对误差限，而不是绝对误差和相对误差。
2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。 346．7854，7．000009，0．0001324580，0．600300 解：346．7854≈346．79， 7．000009≈7．0000，
0．0001324580≈0．00013246， 0．600300≈0．60030。 指出： 注意0。
只要求写出不要求变形。
3、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。
12340.0315,0.3015,31.50,5000x x x x ====。
分析：首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。其次，应当先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数字个数。有效数字由定义可以直接得出。
解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是
1234()0.00005,()0.00005,()0.005,()0.5x x x x εεεε==== 由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限分别是
111222
333
444
()0.00005
()0.16%,
0.0315
()0.00005
()0.02%,
0.3015()0.005
()0.002%,31.5()0.5
()0.01%.5000
x x x x x x x x x x x x εδεδεδεδ==≈==≈==≈=
=
≈
有效数字分别有3位、4位、4位、4位。 指出：
本题显然是直接指出有效数位、直接写出绝对误差，用定义求出相对误差。