高中数学41坐标系单元测试苏教版选修44
高中数学4.1坐标系4.1.2极坐标系自我小测苏教版选修4-4(2021学年)
高中数学4．1 坐标系4.１．2 极坐标系自我小测苏教版选修4-4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学 4.1 坐标系 4.1.２极坐标系自我小测苏教版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4.1。
２ 极坐标系自我小测1.点M 的极坐标为25,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭，化成直角坐标形式是_____＿_＿_＿． 2．点A 的极坐标为π2,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭，化成直角坐标形式是________＿_．3．点P 的直角坐标为（化成极径是正值，极角在0到2π之间的极坐标为___＿＿_＿＿__. ４．已知两点的极坐标π3,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π3,6B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则|AB |=_＿＿＿_＿__,直线AB 的倾斜角为＿_______.5．直线l 过点π7,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,π7,6B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线l 与极轴所在直线的夹角等于______＿_． ６.在极坐标系中,若π3,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，7π4,6B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则△ABO 的面积为____＿_____． (1）ρ>0，θ∈（－２π，0)下的极坐标是_＿______＿_；(2）ρ＜０,θ∈(２π，４π)下的极坐标是__＿_______．7．点π5,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在条件： （１）ρ＞０,θ∈(－2π,0）下的极坐标是＿＿__＿＿＿＿_＿;（2)ρ<0,θ∈（２π，4π）下的极坐标是________＿_.8.已知极点在点(2,-2)处,极轴方向与x 轴正方向相同的极坐标系中，点M 的极坐标为π4,6⎛⎫ ⎪⎝⎭,求点M 在直角坐标系中的坐标. 9.在极坐标系中，(1）求7π5,36A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，43π12,36B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点间的距离； （2)已知点P 的极坐标为(ρ,θ)，其中ρ＝1,θ∈Ｒ，求满足上述条件的点P 的位置． 1０.将下列极坐标化成直角坐标．(１）π4⎫⎪⎭；（2)π6,3⎛⎫- ⎪⎝⎭;(3）（５,π）.参考答案1答案：52⎛-⎝⎭解析：255cos π32x ==-，25sin π3y ==,所以点M 的直角坐标为5,22⎛-⎝⎭。
高中数学 4.1 坐标系 2 极坐标系学业分层测评 苏教版选修44
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 4.1 坐标系 2 极坐标系学业分层测评 苏教版选修4-4(建议用时：45分钟)学业达标]1．在极坐标系中，作出下列各点：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，D ⎝⎛⎭⎪⎫4，－3π4，E (4，0)，F (2.5，π)．【解】 各点描点如下图．2．极坐标系中，点A 的极坐标是(3，π6)，求点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标．【解】 极坐标系中的点(ρ，θ)关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)(k ∈Z )，利用此，即可写出其中一个为(3，5π6)．3．已知点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－5π6，若限定ρ＞0,0≤θ＜2π，求点M 的极坐标． 【解】 ∵(－ρ，θ)与(ρ，θ＋π)表示同一点，∴(－2，－5π6)与(2，π6)为同一点的极坐标，故点M 的极坐标为(2，π6)．4．在极坐标中，若等边△ABC 的两个顶点是A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，那么顶点C 的坐标是多少？【解】 如右图，由题设可知A 、B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点． 又AB ＝4，△ABC 为正三角形，OC ＝23，∠AOC ＝π2，C 对应的极角θ＝π4＋π2＝3π4或θ＝π4－π2＝－π4，即C 点极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π4. 5．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为30(万千米)时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为π6，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标．【解】 如图所示，建立极坐标系，使极点O 位于抛物线的焦点处，极轴Ox 过抛物线的对称轴，由题设可得下列四种情形：(1)当θ＝π6时，ρ＝30(万千米)；(2)当θ＝5π6时，ρ＝30(万千米)；(3)当θ＝7π6时，ρ＝30(万千米)；(4)当θ＝11π6时，ρ ＝30(万千米)．彗星此时的极坐标有四种情形：(30，π6)，(30，5π6)，(30，7π6)，(30，11π6)．6．已知A 、B 两点的极坐标分别是⎝⎛⎭⎪⎫2，π3、⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，求A 、B 两点间的距离和△AOB 的面积．【解】 求两点间的距离可用如下公式：AB＝4＋16－5π6－π3＝20＝2 5.S △AOB ＝12|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝12|2×4×sin(5π6－π3)|＝12×2×4＝4. 7．已知定点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π3.(1)将极点移至O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标；(2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标．【导学号：98990005】【解】 (1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知OO ′＝23，OP ＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，∴∠POO ′＝π6.在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2， ∴sin ∠OPO ′＝sinπ62·23＝32，∴∠OPO ′＝π3.∴∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，∴∠PP ′x ＝2π3.∴∠PO ′x ′＝2π3.∴P 点的新坐标为(2，2π3)．(2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.∴P 点的新坐标为(4，π2)．能力提升]8．已知△ABC 三个顶点的极坐标分别是A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，π3，试判断△ABC 的形状，并求出它的面积．【解】 ∵C (43，4π3)，∠AOB ＝π2－π6＝π3，且AO ＝BO ，所以△AOB 是等边三角形，AB ＝5， BC ＝ 52＋32－2×5×434π3－π2＝133， AC ＝52＋32－2×5×432π3＋π6＝133，∵AC ＝BC ，∴△ABC 为等腰三角形，AB 边上的高为43＋5×32＝1332， ∴S △ABC ＝12×5×1332＝6534.。
高中数学44参数方程单元测试苏教版选修44
4.4 参数方程单元测试一、选择题（每题只有一个选项是正确的,请把正确选项填在题后的括号内） 1在方程⎩⎨⎧==θθ2cos ,sin y x (θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( ) A.(2,-7) B.(32,31) C.(21,21) D.(1,0) 思路解析：把参数方程化为普通方程要注意范围的等价性,普通方程是y=1-2x 2(-1≤x≤1),再根据选择肢逐个代入进行验证即可.答案：C2下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是…( )A.⎩⎨⎧==ty t x |,| B.⎩⎨⎧==t y t x 2cos ,cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y t x 2cos 12cos 1,tan D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y t x 2cos 12cos 1,tan 思路解析：注意参数范围,可利用排除法.普通方程x 2-y 中的x∈R ,y≥0,A 中x=｜t ｜≥0,B 中x=cost∈［-1,1］,故排除A 和B.而C 中y=tt 22sin 2cos 2=cot 2t=221tan 1x t =, 即x 2y=1,故排除C.答案：D3直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 2y x (θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心思路解析：把圆的参数方程化为普通方程得x 2+y 2=4,得到半径为2,圆心为(0,0),再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,即可判断直线和圆的位置关系.答案：C4参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=2,1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线思路解析：根据参数中y 是常数可知,方程表示的是平行于x 轴的直线,再利用不等式知识求出x 的范围可得x≤-2,或x≥2,可知方程表示的图形是两条射线.答案：B5双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 21,tan 2y x (θ为参数)的渐近线方程为( ) A.y-1=±21(x+2) B.y=±21x C.y-1=±2(x+2) D.y+1=±2(x -2)思路解析：根据三角函数的性质把参数方程化为普通方程得4)1(2-y -(x+2)2=1,可知这是中心在(1,-2)的双曲线,利用平移知识,结合双曲线的渐近线的概念即可.答案：C6设r>0,那么直线xcos θ+ysin θ=r 与圆⎩⎨⎧==ϕϕsin ,cos r y r x （φ是参数）的位置关系是…( ) A.相交 B.相切C.相离D.视r 的大小而定思路解析：根据已知圆的圆心在原点,半径是r,则圆心(0,0)到直线的距离为d=θθ22sin sin |00|+-+r =r,恰好等于圆的半径,所以,直线和圆相切.答案：B7设直线l 1:⎩⎨⎧-=+=ααsin 2,cos 1t y t x (t 为参数),如果α为锐角,那么直线l 1到直线l 2:x+1=0的角是( ) A.2π-α B.2π+α C.α D.π-α 思路解析：根据方程可知,l 1的倾斜角为π-α,l 2的倾斜角为2π,根据直线到角的定义,只需让l 1逆时针旋转2π+α即与l 2重合.所以,直线l 1到l 2的角为2π+α. 答案：B8直线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=ty t x 23,22(t 为参数)上与点P(-2,3)的距离等于2的点的坐标是…( ) A.(-4,5) B.(-3,4)C.(-3,4)或(-1,2)D.(-4,5)或(0,1)思路解析：可以把直线的参数方程转化为标准式,或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得(22)2()2(+-｜t ｜=222±=⇒t ,将t 代入原方程,得⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=2,14,3y x y x 或∴所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2).答案：C9半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0,那么其横坐标可能是( )A.πB.2πC.12πD.14π思路解析：根据条件可知圆的摆线的参数方程为⎩⎨⎧-=-=ϕϕϕcos 33,sin 33y x (φ为参数),把y=0代入可得cos φ=1,所以φ=2k π(k∈Z ).而x=3φ-3sin φ=6k π.根据选项可知选C.答案：C二、填空题（请把正确的答案直接填写在题后的横线上）10已知参数方程⎩⎨⎧+=+=θλθλsin ,cos bt y at x (a,b,λ均不为零,0≤θ<2π),当(1)t 是参数时，(2)λ是参数时,(3)θ是参数时,分别对应的曲线为_________,_________,_________.思路解析：本题主要考查参数方程的有关含义,强调在一个方程中,不同的量作为参数会得到不同的含义.把t 作为参数消去t 可得bx-ay-b λcos θ-a λsin θ=0表示直线;把λ看作参数可得y-bt=cot θ(x-at)表示直线;同理,把θ看作参数,消去θ可得(x-at)2+(y-bt)2=λ2表示圆.答案：直线 直线 圆11圆锥曲线⎩⎨⎧==θθsec 3,tan 2y x (θ为参数)的准线方程是____________.思路解析：根据条件和三角函数的性质可知,对应的普通方程为4922x y -=1,表示的曲线是焦点在y 轴的双曲线,且对应的a=3,b=2,c=13,所以准线方程是y=±13139. 答案：y=±13139 12直线l 经过点M 0(1,5),倾斜角是3π,且与直线x-y-32=0交于点M,则｜M 0M ｜的长为____________. 思路解析：直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x 235,21(t 为参数),代入方程x-y-32=0中,解得t=-(10+36),根据t 的几何意义,可知｜M 0M ｜=｜t ｜=10+36.答案：10+3613在圆的摆线上有点(π,0),那么在满足条件的摆线的参数方程中,使圆的半径最大的摆线上,参数φ=4π对应点的坐标为____________. 思路解析：首先根据摆线的参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数),把点(π,0)代入可得⎩⎨⎧-=-=)cos 1(0),sin (ϕϕϕπr r ,1cos =⇒ϕ则sin φ=0,φ=2k π(k∈Z ),所以r=k k 212=ππ(k∈Z ),又r>0,所以k∈N *,当k=1时r 最大为21.再把φ=4π代入即可. 答案：(422,822--π)三、解答题（请写出详细的解答过程）14A 为椭圆92522y x +=1上任意一点,B 为圆(x-1)2+y 2=1上任意一点,求|AB|的最大值和最小值.v 思路分析：化普通方程为参数方程,再求出圆心坐标,利用两点间距离公式转化为三角函数求值域问题来解决.解：化普通方程为参数方程⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 5y x (θ为参数),圆心坐标为C(1,0),再根据平面内两点之间的距离公式可得｜AC ｜=16135)165(cos 1610cos 10cos 16sin 9)1cos 5(2222+-=+-=+-θθθθθ, 所以当cos θ=165时,|AC|取最小值为4153,cos θ=-1时,|AC|取最大值为6,所以当cos θ=165时,|AB|取最小值为4153+1；当cos θ=-1时,|AB|取最大值为6+1=7. 15设抛物线y 2=4x 有内接△OAB,其垂心恰为抛物线的焦点,求这个三角形的周长.思路分析：因为抛物线的焦点恰为三角形的垂心,则抛物线的对称轴即x 轴与AB 垂直,且A 、B 关于x 轴对称,所以△OAB 为等腰三角形.解：抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0),F 为△OAB 的垂心,所以x 轴⊥AB,A、B 关于x 轴对称.设A(4t 2,4t)(t>0),则B(4t 2,-4t),所以k AF =1442-t t ,k OB =t t t 1442-=-.因为AF⊥OB,所以k AF ·k OB =1442-t t ·(t 1-)=-1.所以t 2=45.由于t>0,得t=25,所以A(5,52).所以｜AB ｜=54,｜OA ｜=｜OB ｜=53,这个三角形的周长为510.16已知点M(2,1)和双曲线x 2-22y =1,求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在的直线l 的方程.思路分析：这是直线和圆锥曲线的综合应用题,首先可以设出直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x (t 为参数),代入双曲线的方程,得到关于t 的二次方程.设方程的两根分别为t 1,t 2,若M 为弦AB 中点,则有t 1+t 2=0,可得α的方程,从而得到直线的斜率,即可得直线的方程.解：设直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x (t 为参数),代入双曲线的方程可得关于t 的二次方程(2+tcos α)22)sin 1(2αt +=1, 即(2cos 2α-sin 2α)t 2+(8cos α+2sin α)t+5=0.并设弦的两个端点A,B 对应的参数分别为t 1,t 2.由于M 是中点,所以t 1+t 2=0,即αααα22sin cos 2sin 2cos 8-+-=0, 所以tan α=-4,即直线的斜率是-4.所以直线的方程是y-1=-4(x-2),即4x+y-9=0.。
高中数学 4.1 坐标系 1 直角坐标系学业分层测评 苏教版选修44
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 4.1 坐标系 1 直角坐标系学业分层测评 苏教版选修4-4(建议用时：45分钟)学业达标]1．已知点Q (1,2)，求Q 点关于M (3,4)的对称点． 【解】 设点P 的坐标为(x ，y )， 由题意知，M 是PQ 的中点，因此⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y ＋2＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝6，∴点P 的坐标为(5,6)．2．设△ABC 的三个顶点坐标分别为A (3，－1)，B (8,2)，C (4,6)，求△ABC 的面积． 【解】 如图，作直线l ：y ＝－1，过点B 、C 向l 引垂线，垂足分别为B 1、C 1，则△ABC 的面积为S ＝S △AC 1C ＋S 梯形C C 1B 1B －S △AB 1B ＝12×1×7＋12(7＋3)×4－12×5×3＝16.3．已知点P (0,4)，求P 点关于直线l ：3x －y －1＝0的对称点． 【解】 设P 点关于l 的对称点Q 的坐标为(a ，b )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3·b －4a ＝－1，3×a 2－b ＋42－1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3b －12＝0，3a －b －6＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3，∴P 点关于直线l 的对称点坐标为(3,3)．4．已知一条长为6的线段两端点A ，B 分别在x ，y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．【导学号：98990002】【解】 如图，设A (x A,0)，B (0，y B )，M (x ，y )，∵AB ＝6，∴x 2A ＋y 2B ＝6，即x 2A ＋y 2B ＝36，① 又∵AM ∶MB ＝1∶2， ∴x ＝x A1＋12，y ＝12y B 1＋12，即⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝32x ，y B ＝3y ，代入①得94x 2＋9y 2＝36，即x 2＋4y 2＝16.得动点M 的轨迹方程为x 2＋4y 2＝16.5．设点P 是矩形ABCD 所在平面上任意一点，试用解析法证明：PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2. 【证明】 如图，以(矩形的)顶点A 为坐标原点，边AB 、AD 所在直线分别为x 轴与y 轴建立平面直角坐标系，并设B (b,0)、D (0，d )，则点C 的坐标为(b ，d )．又设P (x ，y )，则PA 2＋PC 2＝x 2＋y 2＋(x －b )2＋(y －d )2，PB 2＋PD 2＝(x －b )2＋y 2＋x 2＋(y －d )2.比较两式，可知PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2.6．有相距1 400 m 的A 、B 两个观察站，在A 站听到爆炸声的时间比在B 站听到时间早4 s ．已知当时声音速度为340 m/s ，试求爆炸点所在的曲线．【解】 由题知：爆炸点P 到B 的距离比到A 的距离多340×4＝1 360米． 即PB －PA ＝1 360＜1 400，PB ＞PA .故P 在以A 、B 为焦点的双曲线上，且离A 近的一支．以A 、B 两点所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由题意得，2a ＝1 360,2c ＝1 400，故a ＝680，c ＝700，b 2＝7002－6802＝27 600，故爆炸点所在曲线为x 2462 400－y 227 600＝1(x ＜0)．7．在黄岩岛海域执行渔政执法的渔政310船发现一艘不明船只从离小岛O 正东方向80海里的B 处，沿东西方向向O 岛驶来．指挥部立即命令在岛屿O 正北方向40海里的A 处的我船沿直线前往拦截，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴，岛屿O 为原点，建立平面直角坐标系并标出A ，B 两点，若两船行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我船最快拦住不明船只的位置，并求出该点的坐标．【解】 A ，B 两点如图所示，A (0,40)，B (80,0)，∴OA ＝40(海里)，OB ＝80(海里)． 我船直行到点C 与不明船只相遇， 设C (x,0)，∴OC ＝x ，BC ＝OB －OC ＝80－x . ∵两船速度相同， ∴AC ＝BC ＝80－x .在Rt △AOC 中，OA 2＋OC 2＝AC 2，即402＋x 2＝(80－x )2，解得x ＝30. ∴点C 的坐标为(30,0)．能力提升]8．学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图412，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M (0，647)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)．观测点A (4,0)，B (6,0)．图412(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，航天器离观测点A 、B 分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647，∵ 点D (8,0)在抛物线上，∴a ＝－17，∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1， ①y ＝－17x 2＋647， ②得4y 2－7y －36＝0.y ＝4或y ＝－94(舍去)，∴y ＝4.得x ＝6或x ＝－6(舍去)．∴C 点的坐标为(6,4)，AC ＝25，BC ＝4.所以当航天器离观测点A 、B 的距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令．。
(教师用书)高中数学 坐标系综合检测 苏教版选修4-4
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 坐标系综合检测 苏教版选修4-4(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．极坐标为M (8，－9π5)，N (8，11π5)，P (－8，4π5)，Q (－8，6π5)的四点中，与点A (8，π5)表示同一点的有________个．【答案】 32．已知点P 的直角坐标为(－3，3)，其极坐标为________． 【答案】 (23，2π3) 3．曲线的极坐标方程ρ＝－4sin θ化成直角坐标方程为________． 【答案】 x 2＋(y ＋2)2＝44．在极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A 、B ，则AB ＝________. 【解析】 平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1分别表示圆x 2＋(y ＋2)2＝4和直线x ＝1，作图易知AB ＝2 3.【答案】 2 3 5．极坐标方程ρ＝162－cos θ表示的曲线是______．【答案】 椭圆6．以(1，π)为圆心，且过极点的圆的极坐标方程是________． 【答案】 ρ＝－2cos θ7．(2013·北京高考)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．【解析】 极坐标系中点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.【答案】 18．已知点M 的柱坐标为(2π3，2π3，2π3)，则点M 的直角坐标为________，球坐标为________．【解析】 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π3cos 2π3＝－π3，y ＝2π3sin 2π3＝33π，z ＝2π3，由⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝22π3，cos φ＝22，即⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，φ＝π4.所以点M 的直角坐标为(－π3，3π3，2π3)，球坐标为(22π3，π4，2π3)．【答案】 (－π3，33π，23π) (223π，π4，23π)9．在极坐标系中，曲线ρ＝2cos θ和ρcos θ＝2的位置关系是________． 【答案】 相切10．极坐标方程sin θ＝－32表示的曲线是______． 【答案】 两条直线11．(2013·天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.【解析】 由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,23)，因此|CP |＝2 3.【答案】 2 312．(2012·湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将(22，0)代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 【答案】2213．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1，则曲线C 的方程为________．【解析】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5xy ′＝3y代入2x ′2＋8y ′2＝1，得：2·(5x )2＋8·(3y )2＝1，即50x 2＋72y 2＝1. 【答案】 50x 2＋72y 2＝114．已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为________．【解析】 将ρ＝2cos θ化为ρ2＝2ρcos θ，即有x 2＋y 2－2x ＝0，亦即(x －1)2＋y 2＝1.将ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0化为x －2y ＋7＝0， 故圆心到直线的距离d ＝|1＋7|12＋ －22＝855. 【答案】855二、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)在极坐标系中，点M 坐标是(2，π3)，曲线C 的方程为ρ＝22sin(θ＋π4)；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过点M 和极点．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，求线段AB 的长． 【解】 (1)∵直线l 过点M (2，π3)和极点，∴直线l 的极坐标方程是θ＝π3(ρ∈R )．ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0. (2)点M 的直角坐标为(1，3)，直线l 过点M 和原点， ∴直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .曲线C 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离为d ＝3－12，∴AB ＝3＋2.16．(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．【解】 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1. 化简，得(x －52)2＋(y ＋3)2＝14.该曲线是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆．17．(本小题满分13分)过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O ，作两垂直的弦OA 、OB ，求△AOB 的面积的最小值．【解】 取O 为极点，Ox 轴为极轴，建立极坐标系，将抛物线方程化成极坐标方程，有ρ2sin 2θ＝2p ρcos θ，设点B 的极坐标为(ρ1，θ)，因为OA ⊥OB ，所以A 的极坐标为(ρ2，π2＋θ)．所以ρ1＝2p cos θsin 2θ，ρ2＝2p cos π2＋θsin 2π2＋θ. 所以S △AOB ＝12OA ·OB＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2p cos θsin 2θ·2p cos π2＋θ sin 2π2＋θ＝2p 2|sin θcos θ|＝4p 2|sin 2θ|≥4p 2， 当θ＝π4时取到等号，因此△AOB 的面积的最小值为4p 2.18．(本小题满分13分)过曲线ρ＝21－3cos θ的右焦点作一倾斜角为60°的直线l ，求l 被曲线截得的弦长．【解】 设直线与曲线的两个交点分别为A ，B . 设A (ρ1，θ)，则B (ρ2，π＋θ)．弦长AB ＝|ρ1＋ρ2|＝|21－3cos θ＋21－3cos π＋θ |＝|21－3cos θ＋21＋3cos θ|＝|41－9cos 2θ| ＝|41－9cos 260°|＝165.。
苏州市高中数学选修4-4第一章《坐标系》检测(含答案解析)
一、选择题1．在极坐标系中，圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为（ ） A ．1(,)23π-B ．1(,)23πC ．(1,)3π-D ．(1,)3π2．已知曲线C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C经过伸缩变换12x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩后，得到的曲线是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线3．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为sin 42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线2C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）.若1C 与2C 有且只有一个公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A．B．(C ．[1,1)-D ．[1,1)-4．将正弦曲线sin y x =先保持纵坐标y 不变，将横坐标缩为原来的12；再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以得到曲线3sin 2y x =，上述伸缩变换的变换公式是（ ）A ．1'2'3x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．'2'3x xy y =⎧⎨=⎩C ．'21'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩5．221x y +=经过伸缩变换23x xy y''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ） A．B．C ．4D ．66．若22,3P π⎛⎫⎪⎝⎭是极坐标系中的一点，则8552,,2,,2,,2,3333Q R M N ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四个点中与点P 重合的点有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．在极坐标系中，点A 是曲线8sin ρθ=上一动点，以极点O 为中心，将点A 绕O 顺时针旋转90︒得到点B ，设点B 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的极坐标方程为( ) A ．8cos ρθ= B ．8sin ρθ= C ．8cos ρθ=-D ．8sin ρθ=-8．在满足极坐标和直角坐标互化的条件下，极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+经过直角坐标系下的伸缩变换1'2'x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩后，得到的曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．直线9．已知直线1:1x t l y at =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线221613sin ρθ=+的相交弦中点坐标为(1,1)，则a 等于（ ）A ．14-B ．14C ．12-D ．1210．极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=表示的曲线是（ ） A ．一个圆B ．两个圆C ．两条直线D ．一个圆和一条直线11．在同一坐标系中，将直线1x y +=变换为直线236x y +=的一个伸缩变换是（ ）A ．32x x y y ''=⎧⎨=⎩B ．23x xy y ''=⎧⎨=⎩C ．1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩D ．1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩12．在极坐标系中，两条曲线1πC :ρsin θ14⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2C :ρ=的交点为A,B ，则AB =（ ）A ．4B．C ．2D ．1二、填空题13．若直线l 的极坐标方程为ρcos ()4πθ-=C ：ρ＝1上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．14．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线C ：2cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．15．在极坐标系中，曲线2ρ=与cos sin 00θθθπ+=≤≤（）的交点的极坐标为__________．16．在极坐标系中，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，点2,6M π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标是__________． 17．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 .18．已知直线l 和曲线Γ的极坐标方程分别为()sin cos 1ρθθ-=和1ρ=，若l 和Γ相交于两点,A B ，则AB =_______.19．在极坐标系中，已知两点(2,)3P π和)6Q 5π，则PQ 的中点M 的极坐标为_________．20．在极坐标系中，直线cos 10ρθ+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为__________．三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，求OA 的中点所在曲线的极坐标方程. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数），曲线()222:11C x y -+=，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程； (2)若射线(0)6πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，求AB .23．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 24sin x y αα=+⎧⎨=⎩ (α为参数)，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求||AB 的值． 24．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为3cos ,3sin x m a y α=+⎧⎨=⎩（α为参数，m 为常数）.在以原点O 为极点、以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 与圆C 有两个公共点，求实数m 的取值范围.25．已知平面直角坐标系xOy ，直线l 过点P ，且倾斜角为α，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24cos()103πρρθ---=．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的标准方程；（2）设直线l 与圆C 交于M 、N 两点，若||||PM PN -=，求直线l 的倾斜角α的值．26．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩(ϕ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点．(1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当04πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，求OA OB +的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由圆cos()3πρ=θ+，化为21(cos )2ρρθθ=，∴2212x y x y +=-，化为2211()(44x y -+=，∴圆心为1(,4，半径r=12．∵tanα=3π-，∴圆cos()3πρ=θ+的圆心的极坐标为1(,)23π-．故选A ．2．C解析：C 【分析】将曲线C 的极坐标方程222123cos 4sin ρθθ=+化为普通方程，再将曲线C 的普通方程进行12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩的伸缩变换后即可解. 【详解】解：由极坐标方程22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=⇒+=+， 可得：223412x y +=，即22143x y +=，曲线C经过伸缩变换12x x y y⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩，可得2x x y =⎧=''⎪，代入曲线C 可得：221x y ''+=，∴伸缩变换得到的曲线是圆． 故选：C ． 【点睛】考查曲线的极坐标方程化普通方程以及曲线方程的变换.其中将12x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩转化为2x xy =⎧=''⎪为解题关键. 3．D解析：D 【解析】 【分析】先把曲线1C ，2C 的极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程和一般方程，若1C 与2C 有且只有一个公共点可转化为直线和半圆有一个公共点，数形结合讨论a 的范围即得解. 【详解】因为曲线1C的极坐标方程为sin ,42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即)ρθθ= 故曲线1C 的直角坐标方程为：0x y a +-=.消去参数θ可得曲线2C 的一般方程为：221x y +=，由于0θπ，故0y ≥如图所示，若1C 与2C 有且只有一个公共点，直线与半圆相切，或者截距11a -≤< 当直线与半圆相切时122O l d a -==∴=由于为上半圆，故02a a >∴= 综上：实数a 的取值范围是[1,1)-2故选：D 【点睛】本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程、一般方程的互化，以及直线和圆的位置关系，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于中档题.4．A解析：A 【分析】首先设出伸缩变换关系式，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，可得答案。
高中数学选修44坐标系与参数方程练习题含详解1
数学选修 4-4坐标系与参数方程[ 基础训练 A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为x 1 2t (t 为参数 ) ，则直线的斜率为（ ）y 2 3t A ．2B ．2 3 D ．333C ．222．以下在曲线x sin 2( 为参数 ) 上的点是（）ycossinA ．(1,2)B ． (3,1)C ． (2, 3)D ． (1,3)24 23．将参数方程x 2 sin 2为参数 ) 化为一般方程为（y sin2( ）A ． y x2B ． y x 2C ． y x 2(2 x 3)D ． yx 2(0 y 1)4．化极坐标方程2cos0 为直角坐标方程为（）A ． x 2y 20或 y 1B ． x 1C ． x 2 y 20或 x 1D ． y 15．点 M 的直角坐标是 (1, 3) ，则点 M 的极坐标为（）A ． (2,) B ． (2,) C ． (2,2)D ． (2,2 k),( k Z )33336．极坐标方程cos 2sin 2 表示的曲线为（）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题1．直线x 3 4t (t 为参数 ) 的斜率为 ______________________。
y 4 5t2．参数方程x e te t) (t 为参数) 的一般方程为 __________________。
y2(e te t3．已知直线 l 1 :x 1 3ty 2 (t 为参数 ) 与直线 l 2 : 2x 4 y 5 订交于点 B ，又点 A(1,2) ，4t则 AB_______________。
x 2 1 t4．直线2(t 为参数 ) 被圆 x 2 y 2 4 截得的弦长为 ______________。
y1 1t25．直线 x cos y sin 0 的极坐标方程为 ____________________ 。
三、解答题1．已知点 P(x, y) 是圆 x 2y 2 2y 上的动点，（ 1）求 2xy 的取值范围；（ 2）若 xy a 0恒建立，务实数 a 的取值范围。
【高考领航】高考数学总复习 第1节 坐标系练习 苏教版选修44
x4-4-1 坐标系练习 苏教版选修4-4一、填空题1．在极坐标系中，点P (ρ0，θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是________．解析：设点P (ρ0，θ0)关于极点的对称点为(ρ，θ)，则ρ＋ρ0＝0，θ＝θ0＋π，∴对称点为(－ρ0，θ0)．答案：(－ρ0，θ0)2．过点(2，π4)平行于极轴的直线的极坐标方程是________． 解析：设直线上点坐标P (ρ，θ)，则ρsin θ＝2cos (90°－45°)＝ 2.答案：ρsin θ＝ 23．在极坐标系中，与点(3，－π3)关于极轴所在直线对称的点的极坐标是________． 解析：由于极径不变，极角关于极轴对称，∴其对称点为(3，π3)． 答案：(3，π3) 4．(2011·高考陕西卷)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．解析：消参数θ得曲线C 1的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1，将ρ＝1化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，两圆的圆心距为5，故|AB |的最小值为5－1－1＝3.答案：35．(2011·高考湖南卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－si n θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．解析：依题意，曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1；曲线C 2的直角坐标系下的方程为x －y ＋1＝0.易判断圆心(0，1)在直线x －y ＋1＝0上．故C 1与C 2的交点个数为2.答案：26．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．解析：由ρ＝6cos θ知ρ2＝6ρcos θ，即x 2＋y 2－6x ＝0，其直角坐标方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心是(3，0)．所求直线的直角坐标方程为x ＝3，其极坐标方程为ρcos θ＝3.答案：ρcos θ＝37．已知极坐标系中，极点为O ，将点A (4，π6)绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且|OA |＝|OB |，则点B 的直角坐标为________． 解析：依题意，点B 的极坐标为(4，5π12)， ∵cos 5π12＝cos (π4＋π6) ＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝22·32－22·12＝6－24， sin 5π12＝sin (π4＋π6)＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝22·32＋22·12＝6＋24， ∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2， y ＝ρsin θ＝4×6＋24＝6＋2， ∴点B 的直角坐标为(6－2，6＋2)． 答案：(6－2，6＋2)8．已知点M 的极坐标为(6，11π6)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________． 解析：∵点M 的极坐标为(6，11π6)， ∴x ＝6cos 11π6＝6cos π6＝6×32＝33， y ＝6sin 11π6＝6sin (－π6)＝－6×12＝－3， ∴点M 的直角坐标为(33，－3)，∴点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为(－33，－3)．答案：(－33，－3)9．从极点作圆ρ＝2a cos θ的弦，则各条弦中点的轨迹为________．解析：设所求曲线上动点M 的极坐标为(r ，φ)， 由图可知⎩⎪⎨⎪⎧φ＝θr ＝12ρ.把θ＝φ和ρ＝2r 代入方程ρ＝2a cos θ，得2r ＝2a cos φ，即r ＝a cos φ.(⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤φ≤π2， 这就是所求的轨迹方程．由极坐标方程可知，所求轨迹是一个以(a 2，0)为圆心，半径为a 2的圆． 答案：以(a 2，0)为圆心，以a 2为半径的圆 二、解答题10．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解：化为平面直角坐标系：圆：x 2－2x ＋y 2＝0，即：(x －1)2＋y 2＝1.直线：3x ＋4y ＋a ＝0. ∵直线和圆相切，∴|3＋a |32＋42＝1，∴a ＝2或a ＝－8.11．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos (θ－π6)上的动点，试求PQ 的最大值．解：∵ρ＝12sin θ.∴ρ2＝12ρsin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.又∵ρ＝12cos (θ－π6)，∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)， ∴有x 2＋y 2－63x －6y ＝0，即(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴PQ max ＝6＋6＋（33）2＋（－3）2＝18.12．(2011·高考福建卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P (0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22， 由此得，当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。
高中数学41坐标系413球坐标系与柱坐标系同步测控苏教版选修44
4.1.3 球坐标系与柱坐标系同步测控我夯基，我达标1.设点M 的直角坐标为（-1，3-，3），则它的柱坐标是（ ）A.（2，3π，3） B.（2，32π，3） C.（2，34π，3） D.（2，35π，3）解析：∵ρ=22)3()1(-+-=2，θ=34π，z=3,∴M 的柱坐标为（2，34π，3）.答案：C2.设点M 的直角坐标为（-1，-1，2），则它的球坐标为（ ）A.（2，4π，4π） B.（2，4π，45π）C.（2，45π，4π）D.（2，43π，4π）解析：由坐标变换公式，得r=222z y x ++=2,cos θ=r z =22, ∴θ=4π.tan φ=x y =-11--=1,∴φ=45π.∴M 的球坐标为（2，4π，45π）.答案：B3.已知点M 的球坐标为（4，4π，43π），则它的直角坐标为______________，它的柱坐标是______________.解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标. 答案：（-2，2，22）（22，43π，22）. 4.设点M 的柱坐标为（2，6π，7），则它的直角坐标为______________. 解析：∵ρ=2,θ=6π,z=7, ∴x=ρcos θ=2cos 6π=3,y=ρsin θ=2sin 6π=1.∴点M 的直角坐标为（3，1，7）. 答案：（3，1，7）5.在球坐标系中，方程r=1表示，方程θ=4π表示空间的______________. 解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状.答案：球心在原点，半径为1的球面顶点在原点，轴截面顶角为2π,中心轴为z 轴的圆锥面 6.设地球的半径为R ，在球坐标系中，点A 的坐标为（R ，45°，70°），点B 的坐标为（R ，45°，160°），求A 、B 两点的球面距离. 思路分析：要求A 、B 两点间球面距离，要把它放到△AOB 中去分析，只要求得∠AOB 的度数，AB 的长度，就可求球面距离.解：如图，由点A 、B 的球坐标可知，∠BOO′=45°，∠AOO′=45°，这两个点都在北纬90°-45°=45°圈上.设纬度圈的圆心为O′，地球中心为O ，则∠xOQ=70°,∠xOH=160°，∴∠AO′B=160°-70°=90°.∵OB=R，∴O′B=O′A=22R. ∴AB=R.则AO=BO=AB=R. ∴∠AOB=60°.∴=61·2πR=3πR. 即A 、B 两点间的球面距离为3πR. 我综合，我发展7.已知点P 的柱坐标为（2，4π，5），点B 的球坐标为（6，3π，6π），则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标分别为（ ） A.P 点（5，1，1），B 点（463，423，26） B.P 点（1，1，5），B 点（463，423，26） C.P 点（463，423，26），B 点（1，1，5） D.P 点（1，1，5），B 点（26，463，423） 解析：此题考查空间直角坐标系与空间柱坐标系、球坐标系的互化.只要我们记住互化公式,问题就能够解决.球坐标与直角坐标的互化公式为⎪⎩⎪⎨⎧===;cos ,sin sin ,cos sin θϕθϕθr z r y r x 柱坐标与直角坐标的互化公式为⎪⎩⎪⎨⎧===.,sin ,cos z z y x θρθρ设P 点的直角坐标为(x,y,z),则x=2cos4π=2×22=1,y=2sin 4π=1,z=5. 设B 点的直角坐标为(x,y,z),则x=6sin3πcos 6π=6×23×23=463, y=6sin3πsin 6π=6×23×21=423,z=6cos 3π=6×21=26.所以点P 的直角坐标为(1,1,5),点B 的直角坐标为(463,422,26).选B. 答案：B8.如图，在柱坐标系中，长方体ABCO-A 1B 1C 1O 1的一顶点在原点,另两个顶点坐标为A 1（4，0，5），C 1（6，2π，5），则此长方体外接球的体积为______________.解析：由顶点的柱坐标求出长方体的三边长,其外接球的直径恰为长方体的对角线长. 由长方体的两个顶点坐标A 1(4,0,5),C 1(6,2π,5), 可知OA=4,OC=6,OO 1=5. 则对角线长为77654222=++.那么球的体积为34·π·(277)3=67777π. 答案：67777π 9.用两平行平面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A （25，arctan724，θA ）、B （25，π-arctan 43,θB ）,求出这两个截面间的距离.思路分析：根据已知可得球半径为25,这样,我们就可以在Rt△AOO 1和Rt△BOO 2中求出OO 1及OO 2的长度,从而可得两个截面间的距离O 1O 2. 解：由已知,OA=OB=25,∠AOO 1=arctan724,∠BOO 1=π-arctan 43,即在△AOO 1中,tan∠AOO 1=724=11OO AO ； 在△BOO 2中,∠BOO 2=arctan43,tan∠BOO 2=43=22OO B O . ∵OA=25,∴OO 1=7；又∵OB=25,∴OO 2=20.则O 1O 2=OO 1+OO 2=7+20=27，即两个截面间的距离O 1O 2为27.10.在赤道平面上，我们选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线OX 为极轴，建立坐标系.有A 、B 两个城市，它们的球坐标分别为A （R ，4π，6π）、B （R ，4π，32π），从A 到B ，飞机应该走怎样的航线最短，其最短航程为多少？ 思路分析：我们根据A 、B 两地的球坐标找到地球的半径、纬度、经度,当飞机走A 、B 两地的大圆时,航线最短,所走的航程实际上是求过A 、B 两地的球面距离. 解：如图所示,因为A(R,4π,6π),B(R,4π,32π),可知∠AOO 1=∠BOO 1=4π. 又∠xOC=6π,∠xOD=32π,∴∠COD=32π-6π=2π.∴∠AO 1B=∠COD=2π. 在Rt△OO 1B 中,∠O 1OB=4π,OB=R, ∴O 1B=22R.同理，O 1A=22R. ∵∠AO 1B=2π,∴AB=R. 在△AOB 中,AB=OB=OA=R, ∴∠AOB=3π. 则经过A,B 两地的球面距离为3πR. 即走经过A 、B 两地的大圆,飞机航线最短,其最短航程为3πR. 我创新，我超越11.结晶体的基本单位称为晶胞，图（1）是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为21的小正方体堆积成的正方体），图形中的点代表钠原子，如图（2），建立空间直角坐标系O —xyz 后，试写出全部钠原子所在位置的球坐标、柱坐标.思路分析：在空间直角坐标系中,我们需要找点的x,y,z ；在柱坐标系中,需要找到ρ,θ,z ；在球坐标系中,需要找到r,θ,φ.解：把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标.下层的原子全部在xOy 平面上,它们所在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0),(1,2π,0),(2,2π,4π),(1,2π,2π),(22,2π,4π),它们的柱坐标分别为(0,0,0),(1,0,0),(2,4π,0),(1,2π,0),(22,4π,0)； 中层的原子所在的平面平行于xOy 平面,与z 轴交点的竖坐标为21,所以,这四个钠原子所在位置的球坐标分别 为(22,4π,0),(26arccos 66,arctan 21),(26,arccos 66,arctan2),(22,4π,2π),它们的柱坐标分别为(21,0,21),(25,arctan 21,21),(25,arctan2,21),(21,2π,21)； 上层的钠原子所在的平面平行于xOy 平面,与z 轴交点的竖坐标为1,所以,这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(1,0,0),(2,4π,0),(3,arctan 2,4π),(2,4π,2π),(26,arctan 21,4π),它们的柱坐标分别为(0,0,1),(1,0,1),(2,4π,1),(1,2π,1),(22,4π,1).。
高中数学 4.1 坐标系 4.1.1 直角坐标系同步测控 苏教版选修44
4.1.1 直角坐标系同步侧控我夯基,我达标1.如图，在正方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且｜EB ｜=2｜EB 1｜，则点E 的坐标为（ ）A.（2，2，1）B.（2，2，32） C.（2，2，31） D.（2，2，34）解析：设E(x,y,z),由EB⊥平面xOy 及棱长为2知x=2,y=2.由｜EB ｜=2｜EB 1｜知EB=34,所以z=34,即E （2，2，34）. 答案：D2.平行四边形ABCD 中三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-1，2）、（3，0）、（5，1），则D 的坐标是（ ）A.（9，-1）B.（-3，1）C.（1，3）D.（2，2）解析：平行四边形对边互相平行,即斜率相等,可求出D 点坐标.设D(x,y),则⎩⎨⎧==,,BC ADDC AB k k k k ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-----=---.531012,513102xy x y ∴⎩⎨⎧==.3,1y x 故D(1,3). 答案：C3.已知点E 的坐标是（2，2，34），则E 点关于z 轴的对称点E′的坐标为（ ） A.（-2，-2，1） B.（-2，-2，34-） C.（-2，-2，34） D.（2，2，32-）解析：求对称点时,关于哪个轴对称，哪个坐标不变，其余相反.答案：C4.点（2，0，3）在空间直角坐标系的位置是（ ）A.y 轴上B.xOy 平面上C.xOz 平面上D.第一象限内 解析：画出坐标系，找到点（2，0，3）的位置，可知在xOz 平面上. 答案：C5.点M （2，-3，1）关于坐标原点的对称点是（ ）A.（-2，3，-1）B.（-2，-3，-1）C.（2，-3，-1）D.（-2，3，1） 解析：点关于原点对称时，每个轴上坐标都互为相反数. 答案：A6.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，求B 1关于平面xOy 对称的点的坐标，B 1关于原点O 对称的点的坐标.思路分析：可以设出点的坐标，然后根据对称的性质列方程组求解.解：设B 1关于平面xOy 的对称点为P （x 0，y 0，z 0）,可知B 为B 1P 的中点，又B （1，1，0），B 1（1，1，1），∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=,210,211,21100z y x 得⎪⎩⎪⎨⎧-===.1,1,1000z y x ∴P(1,1,-1).再设B 1关于原点O 对称的点为M （x 1,y 1,z 1），可知O 为B 1M 的中点，又O （0，0，0），B 1（1，1，1），∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=,210,210,210111z y x 得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.1,1,1111z y x ∴M(-1,-1,-1).7.有一种大型商品，A 、B 两地都有销售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，每千米运回的费用：A 地是B 地的3倍，已知A 、B 两地相距10千米，顾客选A 或B 地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购买地点.思路分析：将问题看作数学中的不等关系，建立适当的坐标系，利用坐标法列式求解.解：如图，以A 、B 所确定的直线为x 轴，AB 中点O 为坐标原点建立直角坐标系，则A （-5，0）、B （5，0）.设某地P 的坐标为（x,y ），且P 地居民选择A 地购买商品便宜，并设A 地的运费为3a 元/千米，B 地的运费为a 元/千米.所以3a 22)5(y x ++≤a 22)5(y x +-.因为a ＞0，所以322)5(y x ++≤22)5(y x +-.两边平方，得9（x+5）2+9y 2≤（x-5）2+y 2,即（x+425）2+y 2≤（415）2，所以以点（425-，0）为圆心，415为半径长的圆是这两地售货区域的分界线.圆内的居民从A 地购买便宜； 圆外的居民从B 地购买便宜；圆上的居民从A 、B 两地购买的总费用相等，可随意从A 、B 两地之一购买.我综合,我发展8.在空间直角坐标系中，已知点M （a,b,c ），关于下列叙述:①点M 关于x 轴的对称点的坐标是M 1（a ，-b ，c ）;②点M 关于yOz 平面的对称点M 2的坐标是（a ，-b ，-c ）;③点M 关于y 轴对称的点的坐标是M 3（a ，-b ，c ）;④点M 关于原点对称的点的坐标是M 4（-a ，-b ，c ）. 其中正确叙述的个数是（ ）A.3B.2C.1D. 0 解析：①②③④全错. 答案：D9.△ABC 中，若BC 的长度为4，中线AD 的长为3，则A 点的轨迹方程是____________. 解析：取B 、C 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则B （-2，0）,C （2，0），D （0，0）. 设A （x,y ），所以｜AD ｜=22y x +.答案：x 2+y 2=9(y≠0)10.在河CM 的一侧有一塔CD=5m ，河宽BC=3m ，另一侧有点A ，且AB=4m ，求点A 与塔顶D 的距离AD.思路分析：可以建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，利用两点间的距离公式求AD 长.解：以C 点为原点，CB 、CD 、CM 所在的直线分别为x 轴、z 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，则A （3，4，0），D （0，0，5）. 所以｜AD ｜==++22254325（m ）， 即点A 与塔顶D 的距离AD 等于25 m.11.正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，CM=BN=a （0＜a ＜2）.（1）求MN 的长；（2）当a 为何值时，MN 的长最小？ 思路分析：本题的求解方法尽管很多，但利用坐标法求解，应该说是既简捷，又易行的方法.方法的对照比较，也更体现出坐标法解题的优越性. 解：（1）因为平面ABCD⊥平面ABEF ，平面ABCD∩平面ABEF=AB,AB⊥BE， 所以BE⊥平面ABC.所以AB 、BC 、BE 两两垂直.以B 为原点，分别以BA 、BE 、BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则M （22a,0,1-22a ），N （22a,22a,0）.则｜MN ｜=222)0221()220()2222(--+-+-a a a a . 21)22(1222+-=+-=a a a （2）由（1）知当a=22时，｜MN ｜最短，长度为22. 此时，M 、N 恰为AC 、BF 的中点.12.如图，已知A 、B 、C 是直线m 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线m 于点A ，又过B 、C 作⊙O′异于m 的两切线，切点分别为D 、E ，设两切线交于点P ，(1)当⊙O′的半径改变时，求点P 的轨迹方程;(2)经过点C 的直线l 与点P 的轨迹交于M 、N 两点，且点C 分所成比等于2∶3，求直线l 的方程. 思路分析：（1）先根据圆切线的定义,可得到点P 的轨迹是椭圆,然后建立适当的坐标系求出点P 的轨迹方程来；（2）根据定比分点坐标公式,找出相关点的坐标来,列出方程组求出点M 、N 的坐标,从而求出直线方程. 解：（1）∵|PE|=|PD|,|BD|=|BA|,|CE|=|CA|,∴|PB|+|PC|=|PD|+|DB|+|CE|-|PE|=|BD|+|CE|=|AB|+|CA|=18＞6=|BC|, ∴P 点轨迹是以B 、C 为焦点,长轴长等于18的椭圆. 以B 、C 两点所在直线为x 轴,线段BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则可设椭圆的方程是12222=+by a x (a ＞b ＞0).∵a=9,c=3,∴b 2=72.∴P 点的轨迹方程是1728122=+y x (y≠0).（2）设M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2),∵C(3,0)分MN 所成的比为2∶3,则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++=.321320,3213232121y y x x整理，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.32,3252121y y x x又172812121=+y x , ∴172)32(81)325(2222=-+-y x .由 ① 又172812222=+y x , ② 由①②消去y 2,得1)811(94)325(8112222=-+-x x . 解之，得x 2=-3,y 2=±8,即N(-3,±8).∴由C 、N 可得直线的方程是4x+3y-12=0或4x-3y-12=0.13.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S=lh 4π,柱体体积为底面积乘以高.本题结果精确到0.1米） 思路分析：（1）当最大拱高h 为定值时,隧道设计的拱宽l 即为2a ；（2）当最大拱高h 为变量时,可根据均值定理,得到半个椭圆面积的最小值.解：（1）如图建立坐标系,则点P 的坐标为(11,4.5),椭圆方程为1222=+2by a x .将b=h=6与点P 坐标代入椭圆方程,得a=7744.∴l=2a=7788≈33.3.故隧道的拱宽约为33.3米.（2）由椭圆方程12222=+by a x 及P 点坐标,得15.4112222=+b a .因为22225.411ba +≥ab 5.4112⨯⨯,即ab≥99,且l=2a,h=b, 所以S=4πlh=2ab π≥299π. 当S 取最小值时,有215.411222==2ba ,得a=211,b=229.此时,l=2a=222≈31.1,h=b≈6.4.故当拱高约为6.4米,拱宽约为31.1米时,土方工程量最小.我创新，我超越14.设有半径为3km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，B 向北直行，A 先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B 相遇.设A 、B 两人速度一定，其速度比为3∶1，问两人在何处相遇？思路分析：注意到村落为圆形，且A 、B 两人同时从村落中心出发分别沿东、北方向运动，于是可设想以村落的中心为原点，以开始时A 、B 的前进方向为x 、y 轴，建立直角坐标系，这就为建立解析几何模型创造了条件.解：如图建立平面直角坐标系，由题意可设A 、B 两人速度分别为3v 千米/时，v 千米/时，再设A 出发x 0小时，在点P 处改变方向，又经过y 0小时，在点Q 处与B 相遇，则P 、Q 两点坐标分别为(3vx 0,0),(0,vx 0+vy 0).由｜OP ｜2+｜OQ ｜2=｜PQ ｜2，知(3vx 0)2+(vx 0+vy 0)2=（3vy 0）2，即(x 0+y 0)(5x 0-4y 0)=0.∵x 0+y 0＞0，∴5x 0=4y 0①.将①代入k PQ =000000330x y x x y x +-=-+υυυ,得k PQ =43-.又已知PQ 与圆O 相切，直线PQ 在y 轴上的截距就是两人相遇的位置.设直线y=43-x+b 与圆O ：x 2+y 2=9相切，则有343|4|22=+b ,且b ＞0，∴b=415. 答：A 、B 两人的相遇点在离村中心正北415千米处.。
高中数学 4.1 坐标系 4.1.2 极坐标系同步测控 苏教版选修44
4.1.2 极坐标系同步测控我夯基，我达标1.点P 的直角坐标为（-2，2），那么它的极坐标可表示为（ ） A.（2，4π） B.（2，43π） C.（2，45π） D.（2，47π）解析：方法一：因为点P （-2，2）在第二象限，与原点的距离为2，且OP 的倾斜角为43π,故选B.方法二：代入坐标互化公式直接求解. 答案：B2.极坐标系中，与点（3，3π-）关于极轴所在直线对称的点的极坐标是（ ） A.（3，32π） B.（3，3π） C.（3，34π） D.（3，65π）解析：关于极轴对称的点，极径ρ不变，极角互为相反数（或再相差2k π,k∈Z ）.答案：B3.将点P 的极坐标（2，34π）化为直角坐标是_______________. 解析：因为x=2cos 34π=-1,y=2sin 34π=-3,所以直角坐标为（-1，-3）.答案：（-1，-3）4.极坐标系中，点A 的极坐标是（3，6π），则 （1）点A 关于极轴对称的点的极坐标是；_______________ （2）点A 关于极点对称的点的极坐标是；_______________ （3）点A 关于直线θ=2π的对称点的极坐标是_______________.（规定ρ＞0，θ∈［0，2π)）解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化.另外，我们要注意：极角是以x 轴正向为始边，按照逆时针方向得到的.关于极轴对称 关于极点对称关于θ=2π对称 答案：（1）（3，611π）（2）（3，67π）（3）（3，65π）5.已知两点的极坐标A （3，2π）、B （3，6π），则｜AB ｜=_____________，AB 与极轴正方向所夹的角为_____________.解析：如图所示，根据极坐标的定义结合等边三角形性质，可得｜AO ｜=｜BO ｜=3，∠AOB=3π，即△AOB 为正三角形.所以直线AB 与x 轴的夹角为6π,则AB 与极轴的正方向所夹的角为2π+3π=65π.答案：365π 6.如图，在极坐标系中，写出点A ，B ，C 的极坐标，并标出点D （2，6π），E （4，43π），F（3.5，35π）所在的位置.思路分析：关键是确定点的极径ρ和极角θ. 解：由图可得点A ，B ，C 的极坐标分别为（1，0），（4，2π），（5，34π）.点D ，E ，F 的位置如上图所示.7.中央气象台在2004年7月15日10:30发布的一则台风消息：今年第9号热带风暴“圆规”的中心今天上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大约440千米的南海东北部海面上，中心附近最大风力有9级.请建立适当的坐标系，用坐标表示出该台风中心的位置(ρ≥0,0≤θ＜2π).思路分析：首先确定极点和极轴,即确定极坐标系，然后标出点的位置表示出坐标.解：以广东省汕尾市所在地为极点，正东方向为极轴（单位长度为1千米）建立极坐标系，则台风中心所在位置的极坐标为A （440，47π）. 我综合，我发展8.已知点A （ρ1，θ1）、B （ρ2，θ2）的极坐标满足条件ρ1+ρ2=0且θ1+θ2=π，则A 、B 的位置关系是_____________. 解析：可以数形结合，由极坐标的意义得出结论；也可以化为直角坐标得出结论.设B(x 2,y 2),则x 2=ρ2cos θ2=-ρ1cos(π-θ1)=ρ1cos θ1,y 2=ρ2sin θ2=-ρ1sin(π-θ1)=-ρ1sin θ1,∴A、B 关于x 轴对称，即在极坐标系内，A 、B 关于极轴对称. 答案：关于极轴对称9.在极坐标系中，已知两点A （3，3π-），B （1，32π），求A 、B 两点间的距离. 思路分析：数形结合，根据A ，O ，B 位置关系直接求解. 解：∵∠AOB=32π-（3π-）=π，∴A，O ，B 三点共线.∴A、B 两点间的距离为｜AB ｜=3+1=4. 10.已知A 、B 两点的极坐标分别为（1，3π）、（2，32π），求A 、B 两点间的距离. 思路分析：数形结合，由余弦定理求AB 的长. 解：∵｜OA ｜=1，｜OB ｜=2，∠AOB=32π-3π=3π， ∴由余弦定理得 ｜AB ｜2=12+22-2×1×2cos 3π=3. ∴｜AB ｜=3，即A 、B 两点间的距离为3. 11.在极轴上求与点A （24，4π）距离为5的点M 的坐标. 思路分析：题目要求的点M 在极轴上，可设点M （r,0），由于极坐标中有一个量是关于角的，A 、M 两点之间的距离为5，所以可以根据余弦定理求出点M 的坐标来. 解：设M （r,0）, ∵A(24,4π)， ∴｜AM ｜=4cos28)24(22πr r -+=5,即r 2-8r+7=0.解得r=1或r=7.∴M 点的坐标为（1，0）或（7，0）.12.如图是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建立极坐标系，并分别说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来.解：如下图所示，以AB 所在直线为极轴，点A 为极点建立极坐标系.则教学楼A （0，0），体育馆B （60，0），图书馆C （120，3π），实验楼D （603，2π），办公楼E （50，43π）. 我创新，我超越13.在直角坐标系中，以点（x 0,y 0）为极点，以x 轴正向为极轴方向建立极坐标系，如图，写出平面上点的直角坐标和极坐标的变换公式（假定长度单位不变）.思路分析：把直角坐标系内的平移公式转化为极坐标得出结论.解：由直角坐标的平移公式⎩⎨⎧-='-=',,00y y y x x x得⎩⎨⎧=-=-,sin ,cos 00θρθρy y x x 即⎩⎨⎧+=+=;sin ,cos 00θρθρy y x x⎪⎩⎪⎨⎧--=-+-=.tan ,)()(0020202x x y y y y x x θρ 14.如图,求A （ρ1，θ1）、B （ρ2，θ2）、C （ρ3，θ3）围成的△AB C 的面积.思路分析：根据已知条件知OA 、OB 、OC 的长及它们的夹角关系，所以可用割补法及面积公式S=21absin θ间按求S △ABC . 解：S △ABC =S △ABO +S △BCO -S △ACO=21ρ1ρ2sin(θ2-θ1)+21ρ2ρ3sin(θ3-θ2)-21ρ1ρ3sin(θ3-θ1)=21［ρ1ρ2sin(θ2-θ1)+ρ2ρ3sin(θ3-θ2)-ρ1ρ3sin(θ3-θ1)］.。
(新)高中数学4_1坐标系4_1_1直角坐标系课后训练苏教版选修4-41
4.1.1 直角坐标系练习1．已知平面内三点A(2,2)，B(1,3)，C(7，x)，满足BA AC⊥，则x的值为__________．2．椭圆221123x y+=的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为__________．3．已知B，C是两个定点，|BC|＝6，且△ABC的周长为16，顶点A的轨迹方程是________________．4．平面内有一条固定线段AB，|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|OP|的最小值是__________．5．已知△ABC的底边BC长为12，且底边固定，顶点A是动点，且sin B－sin C＝12sinA，若以底边BC为x轴、底边BC的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A的轨迹方程是__________．6．在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹方程是__________．7．平面直角坐标系中，O为原点，已知两点A(4,1)，B(－1,3)，若点C满足OC mOA nOB=+，其中m，n∈[0,1]，且m＋n＝1，则点C的轨迹方程为__________．8．已知△ABC的三边a，b，c满足b2＋c2＝5a2，BE，CF分别为边AC，AB上的中线，则BE与CF的位置关系是__________．9．在△ABC中，底边BC＝12，其他两边AB和AC上中线CE和BD的和为30，建立适当的坐标系，求此三角形重心G的轨迹方程．10．设有半径为3 km的圆形村落，A，B两人同时从村落中心出发，A向东而B向北前进．A出村后不久，改变前进方向，沿着切于村落边界的方向前进，后来恰好与B相遇．设A，B两人的速度都一定，其比为3∶1，问两人在何处相遇？参考答案1. 答案：7解析：∵BA ＝(1，－1)，AC ＝(5，x －2)，又BA AC ⊥，∴=0BA AC ⋅，即5－(x －2)＝0.∴x ＝7.2.答案：解析：设F 1为右焦点，则F 1(3,0)，设P (x 0，y 0)，PF 1的中点M (0，y M )， 则0302x +=，得x 0＝－3， 把(－3，y 0)代入椭圆方程，得0y =∴02M y ⎛+ ⎝⎭==当F 1为左焦点时，F 1(－3,0)，解法同上，所得答案相同．3. 答案：2212516x y +=(y ≠0) 解析：∵△ABC 的周长为16，|BC |＝6，∴|AB |＋|AC |＝10.以BC 所在的直线为x 轴，过BC 的中点作BC 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系， 则B (－3,0)，C (3,0)，设A (x ，y )(y ≠0)，10=(y ≠0)， 化简得顶点A 的轨迹方程是2212516x y +=(y ≠0)． 4. 答案：32解析：以AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，则点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的一部分.2c ＝4,c ＝2,2a ＝3，∴32a =. ∴222974=44b c a ==－－.∴点P 的轨迹方程为223=197244x y x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭. 由图可知，点P 为双曲线与x 轴的右交点时，|OP |最小，|OP |的最小值是32. 5. 答案：221927x y -=(x ＜－3) 解析：由题意知，B (－6,0)，C (6,0)，由sin B －sin C ＝12sin A 得b －c ＝12a ＝6， 即|AC |－|AB |＝6.所以，点A 的轨迹是以B (－6,0)，C (6,0)为焦点，实轴长为6的双曲线的左支且y ≠0，其方程为221927x y -=(x ＜－3)． 6. 答案：22195x y +=(y ≠0) 解析：∵△ABC 的周长为10，∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10，其中|BC |＝4，即有|AB |＋|AC |＝6＞4，∴A 点的轨迹为椭圆除去与x 轴相交的两点，且2a ＝6，2c ＝4.∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5.∴A 点的轨迹方程为22195x y +=(y ≠0)． 7. 答案：2x ＋5y －13＝0(－1≤x ≤4)解析：由题意知，A ，B ，C 三点共线且C 在线段AB 上，点A ，B 所在的直线方程为2x ＋5y －13＝0，且点C 的轨迹为线段AB ，所以，点C 的轨迹方程为2x ＋5y －13＝0，x ∈[－1,4]．8. 答案：垂直解析：如图，以△ABC 的顶点A 为原点O ，边AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (c ,0)，,02c F ⎛⎫⎪⎝⎭. 设C (x ，y )，则,22x y E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2BE y k c x =--，22CF y k x c =-， 由b 2＋c 2＝5a 2，得|AC |2＋|AB |2＝5|BC |2，即x 2＋y 2＋c 2＝5[(x －c )2＋y 2]，整理得2y 2＝(2x －c )(2c －x )，∴22 1.(2)(2)BE CF y k k x c c x -⋅==---∴BE 与CF 互相垂直．9. 解：以BC 所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，过原点且与BC 垂直的直线为y 轴，则B (6,0)，C (－6,0)，|BD |＋|CE |＝30，可知|GB |＋|GC |＝23(|BD |＋|CE |)＝20， ∴G 的轨迹是椭圆，轨迹方程为22110064x y +=(x ≠±10)． 10. 解：以村落中心为原点，A ，B 开始前进方向分别为x 轴正方向、y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图．由题意可设A ，B 两人速度分别为3v km/h ，v km/h ，设A 出发x 0 h 后，在点P 处改变前进方向，又经y 0 h 在点Q 处与B 相遇，则P ，Q 两点的坐标分别是(3vx 0,0)，(0，v (x 0＋y 0))．由于A 从P 到Q 行走的时间是y 0 h ，于是由勾股定理，得|OP |2＋|OQ |2＝|PQ |2，有(3vx 0)2＋[v (x 0＋y 0)]2＝(3vy 0)2.化简整理，得(x 0＋y 0)(5x 0－4y 0)＝0.又x 0＋y 0＞0，∴5x 0＝4y 0. ① 又0003PQ x y k x +=-， ② ①代入②，得34PQ k =-. 由于切线PQ 与y 轴的交点Q 对应的纵坐标v (x 0＋y 0)的值就是问题的答案，于是问题转化为“当直线34y x b -＝＋与圆x 2＋y 2＝9相切时，求纵截距b 的值”．利用圆心到切线的1534b =⇒=(b ＞0)． 答：A 和B 相遇的地点在村落中心正北154km 处．。
高中数学 4.1 坐标系 3 球坐标系与柱坐标系学业分层测评 苏教版选修44
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 4.1 坐标系 3 球坐标系与柱坐标系学业分层测评 苏教版选修4-4(建议用时：45分钟)学业达标]1．把下列各点的球坐标化为直角坐标：(1)M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，π3；(2)N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，2π3，π2；(3)P ⎝⎛⎭⎪⎫9，3π4，2π3. 【解】 (1)设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，M 在xOy 平面内的射影为M ′，则OM ′＝2 sin π2＝2.于是x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝3，z ＝2cos π2＝0.故点M 的直角坐标为(1，3，0)．(2)x ＝5sin 2π3cos π2＝0，y ＝5sin 2π3sin π2＝523，z ＝5cos2π3＝－52， 点N 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，523，－52.(3)x ＝9sin 3π4cos 2π3＝－942，y ＝9sin3π4sin 2π3＝946，z ＝9cos 3π4＝－922. ∴点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－942，946，－922.2．把下列各点的柱坐标化为直角坐标：(1)Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，－2；(2)R ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，2π3，4；(3)S ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，5π4，－3. 【解】 (1)x ＝0，y ＝5， 故点Q 的直角坐标为Q (0,5，－2)．(2)x ＝6cos 2π3＝－3，y ＝6sin 2π3＝33，故点R 的直角坐标为R (－3,33，4)．(3)x ＝8cos 5π4＝－42，y ＝8sin 5π4＝－42，故点S 的直角坐标为S (－42，－42，－3)．3．已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的边长为AB ＝14，AD ＝6，AA 1＝10，以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB 、AD 、AA 1分别为x 、y 、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C 1的空间直角坐标、柱坐标、球坐标．【导学号：98990008】【解】 如图，C 1点的直角坐标(x ，y ，z )分别对应着CD 、BC 、CC 1；C 1点的柱坐标(ρ，θ，z )分别对应着CA 、∠BAC 、CC 1；C 1点的球坐标(r ，θ，φ)分别对应着AC 1、∠BAC 、∠A 1AC 1.C 1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C 1点的柱坐标为()258，θ，10(其中tan θ＝37)，C 1点的球坐标为(283，φ，θ)(其中cos φ＝58383，tan θ＝37)． 4．在球坐标面内，方程r ＝1表示空间中的什么曲面？方程θ＝π4表示空间中的什么曲面？【解】 方程r ＝1表示球心在原点的单位球面；方程θ＝π4表示顶点在原点，半顶角为π4的圆锥面，中心轴为z 轴． 5．在球坐标系中，求两点P ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，π4，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，3π4的距离．【解】 将P ，Q 两点球坐标转化为直角坐标：P ：x ＝3sin π6·cos π4＝324， y ＝3sin π6·sin π4＝324， z ＝3cos π6＝332，∴P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫324，324，332.Q ：x ＝3sin π6·cos 3π4＝－324， y ＝3sin π6·sin3π4＝324，z ＝3cos π6＝332， ∴Q 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－324，324，332.∴|PQ |＝[342－－3242＋324－3242＋332－3322＝322，即PQ 的距离为322. 6．建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体各个顶点坐标．【解】 以正四面体的一个顶点B 为极点O ，选取以O 为端点且与BD 垂直的射线Ox 为极轴，在面BCD 上建立极坐标系．过O 点与面BCD 垂直的线为z 轴．过A 作AA ′垂直于平面BCD ，垂足为A ′，则BA ′＝323×23＝3，AA ′＝32－32＝6，∠A ′Bx ＝π2－π6＝π3，则A (3，π3，6)，B (0,0,0)，C (3，π6，0)，D (3，π2，0)．7．一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来．【解】 以圆形体育馆中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为203 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转2π16×172＝17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此点A 的柱坐标为(203，17π16，2.8)．能力提升]8．如图4110建立球坐标系，正四面体ABCD 的边长为1，求A 、B 、C 、D 的球坐标(其中O 是△BCD 的中心)．图4110【解】 ∵O 是△BCD 的中心， ∴OC ＝OD ＝OB ＝33，AO ＝63. ∴C (33，π2，0)，D (33，π2，2π3)， B (33，π2，4π3)，A (63，0,0)．。
2019学年高中数学 4.1.2 极坐标系学案 苏教版选修4-4
4.1.2 极坐标系1．了解极坐标系．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．3．体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．[基础·初探]1．极坐标系(1)在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．(2)设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．有序实数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．约定ρ＝0时，极角θ可取任意角．(3)如果(ρ，θ)是点M 的极坐标，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )都可以看成点M 的极坐标．2．极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图413所示)，平面内任一点M 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)可以互化，公式是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x图413通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π.[思考·探究]1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】 建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．为什么点的极坐标不惟一？【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．3．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】 由ρ2＝x 2＋y 2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝y x(x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取得最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝y x按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________写出图图414【自主解答】 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E ()9，0，F (3，π)，G ⎝⎛⎭⎪⎫9，3π2. [再练一题]1．已知边长为a 的正六边形ABCDEF ，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．【导学号：98990003】【解】 以正六边形中心O 为极点，OC 所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形性质得：C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，43π)，B (a ，53π) 或C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，－2π3)，B (a ，－π3).在极坐标系中，求与点M (3，－3)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标．【自主解答】 极坐标系中点M (ρ，θ)关于极轴对称的点的极坐标为M ′(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2k π＋π3)(k ∈Z )．[再练一题]2．在极坐标系中，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)．(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________． (3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是________．【解析】 通过作图如图可求解为【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6)(1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫8，3化成直角坐标；【自主解答】 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此，点M 的直角坐标是(－4,43)． (2)ρ＝62＋－22＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝11π6.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．[再练一题]3．(1)把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 【解】 (1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin7π6＝－1， 故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12＋－32＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3.因此点P 的极坐标是(2，5π3)．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，求A 、B 两点之间的距离． 【思路探究】 将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解． 【自主解答】 对于A (3，－π3)，x ＝3cos(－π3)＝32；y ＝3sin(－π3)＝－332， ∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)，x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝32，∴B (－12，32)．∵AB ＝32＋122＋－332－322＝4＋12＝4，∴A 、B 两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题．因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了．如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了．[再练一题]4．在极坐标系中，已知三点：A (4,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π6.(1)求直线AB 与极轴所成的角；(2)若A 、B 、C 三点在一条直线上，求ρ的值．【解】 (1)点A 的直角坐标为(4,0)，点B 的直角坐标为(0，－4)，直线AB 在直角坐标系中的方程为x －y ＝4.故直线AB 与x 轴所成角为π4.(2)点C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32ρ，12ρ，代入直线方程得 32ρ－12ρ＝4， 解得ρ＝83－1＝4(3＋1)．[真题链接赏析](教材第17页习题4.1第6题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，11π6，(5，π)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－42，3π4.已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标．(1)A (3，3)；(2)B (－2，－23)； (3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．【命题意图】 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题． 【解】 (1)由题意可知：ρ＝32＋32＝23，tan θ＝33，所以θ＝π6， 所以点A 的极坐标为(23，π6)． (2)ρ＝－2＋－232＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为(4，43π)．(3)ρ＝02＋－2＝2.θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以点C 的极坐标为(2，32π)．(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0.所以D 点的极坐标为(3,0)．1．点P (－2,2)的极坐标(θ∈[0,2π))为________． 【解析】 由ρ＝x 2＋y 2＝－2＋22＝22，tan θ＝2－2＝－1，∵P 点在第二象限内， ∴θ＝3π4，∴ρ的极坐标为(22，3π4)．【答案】 (22，3π4) 2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是________．【导学号：98990004】【解析】 极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)． 【答案】 (ρ，－θ)3．将极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为________．【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 32π＝0，y ＝ρsin θ＝2sin 32π＝－2，故直角坐标为(0，－2)． 【答案】 (0，－2)4．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于________．【解析】 由余弦定理得AB＝ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2θ1－θ2＝32＋－2－－π4－π12＝9＋9＋93＝18＋9 3【答案】36＋322我还有这些不足：(1)_____________________________________________________(2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________(2)_____________________________________________________。
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4.1 坐标系
单元测试
一、选择题（每小题5分,共60分）
1.将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是……( )
A.椭圆
B.比原来大的圆
C.比原来小的圆
D.双曲线
答案:D
2.在极坐标系中,点M(-2,
6π)的位置,可按如下规则确定( ) A.作射线OP,使∠xOP=6
π,再在射线OP 上取点M,使|OM|=2 B.作射线OP,使∠xOP=6
7π,再在射线OP 上取点M,使|OM|=2 C.作射线OP,使∠xOP=6
7π,再在射线OP 的反向延长线上取点M,使|OM|=2 D.作射线OP,使∠xOP=-6
π,再在射线OP 上取点M,使|OM|=2 答案:B
3.极坐标方程sin θ=3
1(ρ∈R )表示的曲线是…( ) A.两条相交直线 B.两条有公共点的射线
C.一条直线
D.一条射线
答案:C
4.直角坐标为(-3,4)的点的极坐标可能是… ( ) A.(5,arctan(3
4-)) B.(5,arcsin 54) C.(-5,-arccos 53) D.(-5,arccos(53-)) 答案:C
5.将极坐标(2,2
3π)化为直角坐标为( ) A.(0,2) B.(0,-2) C.(2,0) D.(-2,0)
答案:B
6.极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是( )
A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
答案:B
7.坐标平面内,集合P={(ρ,θ)|sin θ=-
21,ρ∈R }与集合S={(ρ,θ)|cos θ=2
3,ρ∈R }之间的关系是( ) A.P S P S C.P=S D.上述都不对
答案:D
8.已知点P 的极坐标为(1,π),那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为( )
A.ρ=1
B.ρ=cos θ
C.ρ=θcos 1-
D.ρ=θ
cos 1 解析:画图观察,C 正确.
答案:C
9.在极坐标系中,过点A(6,π)作圆ρ=-4cos θ的切线,则切线长为( ) A.2 B.6 C.32 D.152
答案:C
10.一个三角形的一个顶点在极点,其他两个顶点的极坐标分别为P 1(-5,109°),P 2(4,49°),则这个三角形P 1OP 2的面积为( ) A.35 B.310 C.32
5 D.10 答案:A
11.以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是( )
A.ρ=2cos(θ-4π)
B.ρ=2sin(θ-4
π) C.ρ=2sin(θ-1) D.ρ=2cos(θ-1)
答案:D
12.已知曲线C 与曲线ρ=53cos θ-5sin θ关于极轴对称,则曲线C 的方程是( )
A.ρ=-10cos(θ-
6π) B.ρ=10cos(θ-6
π) C.ρ=-10cos(θ+6π) D.ρ=10cos(θ+6π) 答案:B
二、填空题（每小题4分，共16分）
13.将直角坐标P(-1,3-)化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)为_________.
答案:(2,3
4π) 14.极坐标方程ρcos θ=sin2θ所表示的曲线是________.
答案:一条直线或一个圆
15.在同一平面直角坐标系中,由椭圆9
42
2y x +=1变成圆x′2+y′2=1的伸缩变换公式为________.
答案:⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧='='y y x x 31,21 16.曲线θ=0,θ=3
π(ρ≥0)和ρ=4所围成的面积是________.
答案:3
8π 三、解答题（共74分）
17.(12分)
设有一颗彗星,围绕地球沿一抛物线轨道运行,地球恰好位于该抛物线轨道的焦点处,当此彗星离地球为30(万千米)时,经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30°,试建立适当的极坐标系,写出彗星此时的极坐标.
解:如图,建立极坐标系,使极点O 位于抛物线的焦点处,极轴Ox 过抛物线的对称轴,由题设可得下列情形:
(1)当θ=30°时,ρ=30(万千米);
(2)当θ=150°时,ρ=30(万千米);
(3)当θ=210°时,ρ=30(万千米);
(4)当θ=330°时,ρ=30(万千米).
∴彗星此时的极坐标有四种情形:(30,30°),(30,150°),(30,210°),(30,330°).
18.(12分)(1)将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程:
①(x 2+y 2)2=2a 2xy;②x -3y=0.
(2)将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程:
①ρ2=cos 2θ;②ρ=
θcos 24-. 解:(1)①由(x 2+y 2)2=2a 2xy,得ρ4=2a 2ρ2cos θsin θ.
∴ρ2=2a 2cos θsin θ,即ρ2=a 2sin2θ.
②由x-3y=0,得ρcos θ-3ρsin θ=0,tan θ=
31. ∴θ=arctan
31. (2)①ρ2=cos 2θ两边同时乘以ρ2,得ρ4=ρ2cos 2θ=(ρcos θ)2.
∴(x 2+y 2)2=x 2,即有x 2+y 2=x 或x 2+y 2=-x,它表示两个圆.
②方程可化为2ρ-ρcos θ=4,即2ρ=4+x,两边平方得4ρ2=(x+4)2.
4x 2+4y 2=x 2+8x+16,
即3x 2-8x+4y 2=16.
19.(12分)已知正△ABC 的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出此
最小值.
解:如右图,以BC 所在直线为x 轴,BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则A(0,2
3a),B(2a -,0),C(2a ,0). 设P(x,y),
则|PA|2+|PB|2+|PC|2
=x 2+(y-2
3a)2+(x+2a )2+y 2+(x-2a )2+y 2 =3x 2
+3y 2-3ay+452a =3x 2+3(y-6
3a)2+a 2≥a 2, 当且仅当x=0,y=6
3a 时,等号成立, ∴所求最小值为a 2,此时P 点坐标为P(0,6
3a),是正△ABC 的中心. 20.(12分)已知定点A(a,0),动点P 对极点O 和点A 的张角∠OPA=3
π,在OP 的延长线上取点Q,使|PQ|=|PA|.当P 在极轴上方运动时,求点Q 的轨迹的极坐标方程.
解:由题意可知 |PA|=3sin sin πθ
a .
又|OQ|=|OP|+|PA|,
∴ρ=2acos(3
π-θ). 21.(12分)半径为a 的两个等圆,它们的圆心分别在两条互相垂直相交于点O 的定直线上,且两圆都过点O,过点O 任意作直线l 分别交两圆于A 、B,试求出线段AB 中点P 的轨迹的极坐标方程
.
解:如图,建立极坐标系,设B(ρ1,θ),其轨迹为ρ1=2acos θ.
设A(ρ2,θ),其轨迹为ρ2=2asin θ,设P(ρ,θ),则
ρ=
21(ρ1+ρ2) =2
1(2acos θ+2asin θ) =a(cos θ+sin θ) =2asin(θ+4
π). ∴点P 的轨迹的极坐标方程为ρ=2asin(θ+
4π). 22.(14分)如图,根据指令(r,θ)(r≥0,-180°≤θ≤180°),机器人在平面上能完成下列动作:
先原地旋转角度θ(θ为正时,按逆时针方向旋转θ,θ为负时,按顺时针方向旋转|θ|),再朝其面对的方向沿直线行走距离r.
(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点,且面对x 轴正方向,试给机器人下一个指令,使其移动到点(4,4).
(2)机器人在完成该指令后,发现在点(17,0)处有一个小球正向坐标原点作匀速直线滚动,已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍,若忽略机器人原地旋转所需的时间,问机器人最快可在何处截住小球?并给出机器人截住小球所需的指令.(结果精确到小数点后两位)
解:(1)求得r=24,θ=45°,
故指令为(24,45°).
(2)设机器人最快在点P(x,0)处截住小球,
则因为小球速度是机器人速度的2倍,
所以在相同时间内有|17-x|=22)40()4(2-+-x ,
即3x 2+2x-161=0.
解得x=3
23-或x=7. 因为要求机器人最快地去截住小球,
即小球滚动距离最短,所以x=7.
故机器人最快可在点P(7,0)处截住小球,所给的指令为(5,-98.13°).。