深圳大学 高数试题

函数的连续性与可微性

拉格朗日从1772年就开始了他那重建微积分基础的雄心勃勃的尝试。导数概念就是拉格朗日引进的。拉格朗日认为微积分面临的困境和逻辑矛盾是由使用无穷小量引起的，如果在微积分中不用无穷小量，也就是说寻找一种不用无穷小量的方法建立微积分的基础，那么，所有对微积分的攻击就都不攻自破了。拉格朗日认为当时的代数学的严密性是毋庸置疑的。因此，他力图用纯代数的方法建立微各分基础。他把微积分建立在任一连续函数都存在泰勒展式这一假设上。他认为，如果将连续函数展在无穷级数，那么由所得到的无穷级数的各项系数就可以得到该函数的各阶导数，从而就避免了用无穷小量和求极限。他没有考虑到各阶导数的存在问题。拉各朗日确信连续函数一定是可微的。

在18世纪寻求建立微积分基础的工作中数学巨匠尤其是欧拉和拉格朗日给出了不正确的思路和逻辑基础。因为他们是数学界的权威，他们的思想和方法给同时代的大大小小的数学家以巨大的影响，以至许多数学家不加分析，不加批判地重复他们提出的观点，甚至在他们给出的基础上进一步发展。因而在18世纪结束之际，微积分和建立微积分基础上的其它分支的逻辑处于一种混乱的状态中。

人们总以为在社会科学和社会发展史上，政治家、思想家方面的权威对政治和社会形势的错误估计会造成政治思想上的混乱，会影响社会的发展，从上面的例子也可以看到，科学技术上的权威对对新生事物的错误认识也会造成逻辑上的混乱，也会影响科学技术的发展。欧拉和拉格朗日虽然在重建微积分基础的逻辑上出现了失误，但他们的失误和他们对人类作出的贡献相比，错误只是沧海一粟，他们的失误是英雄的失误。

柯西把函数的连续性和导数概念的严密化提到了相当的高度，柯西给出的连续函数的定义为：

如果在两个界限之间（即某一区间）变量的无穷小增量总使函数产生一个

无穷小增量，则称函数在这两个界限之间连续。

连续性和可微性是微积分的基本概念。认为连续函数一定是可微的，在今天对一个学过高等数学的学生来说都是不可原谅的，然而犯错误的人都是当时的伟人：欧拉、拉格朗日、柯西、

高斯等。和柯西同时代的几乎所有数学家都确信连续函数一定是可微的。最早明确区别连续性和可微性的例子，出现德国大数学家黎曼1854年的论文中。1817年波察诺为了发表他的论文，需要一个精确的连续函数的定义，于是波尔察诺第一个开始对函数性质仔细研究。第一个用极限概念给出了在某一区间内连续的恰当定义：

如果在某区间内任一处，只要充分小，就能使任意小，则称

在该区间上连续。

这与定义函数连续性的现代方法——非常类似。

维尔施特拉斯给出了函数连续性的现代定义：

如果对任意给定的，总存在，使当时，恒有

在处连续。

成立，则称

魏尔施特拉斯用和这种静态的有限量刻划了动态的无限量，既排除了无穷小这个有争议的概念，又消除了波尔察诺和柯西定义中的小于任意给定的量的说法的含糊性。它标志着微积分从动态化达到静态化，是对常量的否定之否定。

波尔察诺1824年觉察到了连续函数和可微性的区别。最早明确地以几何形式（1830年）给出了区别连续性和可微性的例子，但没有发表。1872年魏尔施特拉斯在柏林科学院的一次讲演中，通过一致收敛级数，用分析式给出了历史上第一个处处连续而处处不可微函数的经典例子：

其中为奇整数，为实数，，

连续性与可微性差异的重大发现，标志着人类对函数认识的进一步深化。人们开始注意到依靠几何直观的思维方法有时是靠不住的。

数学史上一系列的事件发生的顺序是耐人寻味的。魏尔施特拉斯的例子没有过早出现是微积分发展史上的幸事。正如皮卡1905年所说的：“如果牛顿和莱布尼茨知道了连续函数不一定可导，微分学将无以产生。”的确，严谨的思想也可阻碍创造。

函数的连续性与可微性

拉格朗日从1772年就开始了他那重建微积分基础的雄心勃勃的尝试。导数概念就是拉格朗日引进的。拉格朗日认为微积分面临的困境和逻辑矛盾是由使用无穷小量引起的，如果在微积分中不用无穷小量，也就是说寻找一种不用无穷小量的方法建立微积分的基础，那么，所有对微积分的攻击就都不攻自破了。拉格朗日认为当时的代数学的严密性是毋庸置疑的。因此，他力图用纯代数的方法建立微各分基础。他把微积分建立在任一连续函数都存在泰勒展式这一假设上。他认为，如果将连续函数展在无穷级数，那么由所得到的无穷级数的各项系数就可以得到该函数的各阶导数，从而就避免了用无穷小量和求极限。他没有考虑到各阶导数的存在问题。拉各朗日确信连续函数一定是可微的。

在18世纪寻求建立微积分基础的工作中数学巨匠尤其是欧拉和拉格朗日给出了不正确的思路和逻辑基础。因为他们是数学界的权威，他们的思想和方法给同时代的大大小小的数学家以巨大的影响，以至许多数学家不加分析，不加批判地重复他们提出的观点，甚至在他们给出的基础上进一步发展。因而在18世纪结束之际，微积分和建立微积分基础上的其它分支的逻辑处于一种混乱的状态中。

人们总以为在社会科学和社会发展史上，政治家、思想家方面的权威对政治和社会形势的错误估计会造成政治思想上的混乱，会影响社会的发展，从上面的例子也可以看到，科学技术上的权威对对新生事物的错误认识也会造成逻辑上的混乱，也会影响科学技术的发展。欧拉和拉格朗日虽然在重建微积分基础的逻辑上出现了失误，但他们的失误和他们对人类作出的贡献相比，错误只是沧海一粟，他们的失误是英雄的失误。

柯西把函数的连续性和导数概念的严密化提到了相当的高度，柯西给出的连续函数的定义为：

如果在两个界限之间（即某一区间）变量的无穷小增量总使函数产生一个

无穷小增量，则称函数在这两个界限之间连续。

连续性和可微性是微积分的基本概念。认为连续函数一定是可微的，在今天对一个学过高等数学的学生来说都是不可原谅的，然而犯错误的人都是当时的伟人：欧拉、拉格朗日、柯西、高斯等。和柯西同时代的几乎所有数学家都确信连续函数一定是可微的。最早明确区别连续性和可微性的例子，出现德国大数学家黎曼1854年的论文中。1817年波察诺为了发表他的论文，需要一个精确的连续函数的定义，于是波尔察诺第一个开始对函数性质仔细研究。第一个用极限概念给出了在某一区间内连续的恰当定义：

如果在某区间内任一处，只要充分小，就能使任意小，则称

在该区间上连续。

这与定义函数连续性的现代方法——非常类似。

维尔施特拉斯给出了函数连续性的现代定义：

如果对任意给定的，总存在，使当时，恒有

在处连续。

成立，则称

魏尔施特拉斯用和这种静态的有限量刻划了动态的无限量，既排除了无穷小这个有争议的概念，又消除了波尔察诺和柯西定义中的小于任意给定的量的说法的含糊性。它标志着微积分从动态化达到静态化，是对常量的否定之否定。

波尔察诺1824年觉察到了连续函数和可微性的区别。最早明确地以几何形式（1830年）给出了区别连续性和可微性的例子，但没有发表。1872年魏尔施特拉斯在柏林科学院的一次讲演中，通过一致收敛级数，用分析式给出了历史上第一个处处连续而处处不可微函数的经典例