半参数回归模型虚拟1
(整理)第七章非参数回归模型与半参数回归模型
第七章 非参数回归模型与半参数回归模型第一节 非参数回归与权函数法一、非参数回归概念前面介绍的回归模型，无论是线性回归还是非线性回归，其回归函数形式都是已知的，只是其中参数待定，所以可称为参数回归。
参数回归的最大优点是回归结果可以外延，但其缺点也不可忽视，就是回归形式一旦固定，就比较呆板，往往拟合效果较差。
另一类回归，非参数回归，则与参数回归正好相反。
它的回归函数形式是不确定的，其结果外延困难，但拟合效果却比较好。
设Y 是一维观测随机向量，X 是m 维随机自变量。
在第四章我们曾引进过条件期望作回归函数，即称g (X ) = E (Y |X ) （7.1.1）为Y 对X 的回归函数。
我们证明了这样的回归函数可使误差平方和最小，即22)]([min )]|([X L Y E X Y E Y E L-=-（7.1.2）这里L 是关于X 的一切函数类。
当然，如果限定L 是线性函数类，那么g (X )就是线性回归函数了。
细心的读者会在这里立即提出一个问题。
既然对拟合函数类L (X )没有任何限制，那么可以使误差平方和等于0。
实际上，你只要作一条折线(曲面)通过所有观测点(Y i ，X i )就可以了是的，对拟合函数类不作任何限制是完全没有意义的。
正象世界上没有绝对的自由一样，我们实际上从来就没有说放弃对L(X)的一切限制。
在下面要研究的具体非参数回归方法，不管是核函数法，最近邻法，样条法，小波法，实际都有参数选择问题(比如窗宽选择，平滑参数选择)。
所以我们知道，参数回归与非参数回归的区分是相对的。
用一个多项式去拟合(Y i ，X i )，属于参数回归；用多个低次多项式去分段拟合(Y i ，X i )，叫样条回归，属于非参数回归。
二、权函数方法非参数回归的基本方法有核函数法，最近邻函数法，样条函数法，小波函数法。
这些方法尽管起源不一样，数学形式相距甚远，但都可以视为关于Y i 的线性组合的某种权函数。
也就是说，回归函数g (X )的估计g n (X )总可以表为下述形式：∑==ni i i n Y X W X g 1)()(（7.1.3）其中｛W i (X )｝称为权函数。
时间序列资料预测的半参数回归模型
3.误差估计 3.误差估计
（1）大样本 当定义误差的总体方差σ2的估计为
1 2 ˆ σ = N ˆ% ( X ij − bi ) 2 ∑∑
i =1 j =1 n l
(5)
ˆ 2 为σ2的一个渐进正态估计。 则σ
（2）小样本 误差的总体方差σ2的估计为
n l 1 2 ˆ%) 2 ˆ σ = ∑∑ ( X ij − bi N − l − 1 i =1 j =1
2.把(3)式代入(2)后b的最小二乘估计 2.
作变换
% = i − n +1, X ij = X ij − X j , i 2 % X ij % X ij i ∑ ∑i ij ˆ = ij b = % %2 i l∑i ∑
i i
则
(4)
ˆ 由文献Leabharlann 知, N (b − b) (N=nl为样本含量)收敛于 ˆ 一个0均值的正态分布,且 g ( j ) 也收敛于 g ( j )
季节性时间序列资料预测的 半参数回归模型
一般的半参数回归模型是指:
Y = β ′ X + g (T ) + ε
(1)
其中(X,T)∈Rp×R1为随机向量或设计点列, T 的支撑集为有界闭集,β为P×1的未知参数 向量, g(·)是定义于一有界闭集上的未知函数,ε 为随机误差,E(ε)=0,E(ε2)=σ2(未知), 且ε与(X,T)相互独立。
对季节性时间序列资料 X ij (i=1,2…,n;j =1,2…,l),其中 为年份长度 为季节长度。 其中n为年份长度 为季节长度。 其中 为年份长度,l为季节长度 根据时间序列资料的加法原理有如下半参数回 归模型 X ij = bi + g ( j ) + ε ij (2) 其中b为模型参数 主要反应时间序列在年度 其中 为模型参数,主要反应时间序列在年度 为模型参数 上的增长趋势。 为未知函数,主要反应时 上的增长趋势。g(j)为未知函数 主要反应时 为未知函数 2 间序列在季节上的效应, 间序列在季节上的效应 E (ε ij ) = 0, E (ε ij ) = σ 2 相互独立。显然模型中不应包含常数项, 且 ε ij 相互独立。显然模型中不应包含常数项 因为常数项可包含在季节效应中。 因为常数项可包含在季节效应中。
半参数回归模型及模拟实例分析_陈长生
16 12.5233 4.4313 1.40592 70.742 36 13.7830 6.7970 0.10761 46.426
17 16.2130 9.0616 -7.86257 47.241 37 11.7396 6.5214 2.97025 44.074
19 12.7037 6.6083 4.72638 58.156 38 9.2977 5.9949 -4.85962 32.179
x2
ε
y
1 13.7573 9.0395 3.75143 117.821 21 13.2374 8.2352 -2.20841 38.275
2 15.0520 7.3279 1.14067 122.813 22 14.1714 6.0503 1.91203 55.233
3 8.6033 7.3862 0.23542 94.179 23 12.1480 5.0736 -5.52984 44.491
7 16.2680 6.4557 9.27355 114.115 27 14.0647 6.6078 2.63609 47.195
8 10.1680 5.2876 -3.75255 81.923 28 10.9326 6.8775 0.81989 32.828
9 13.2466 5.3008 0.40266 92.177 29 12.3795 6.8564 3.39402 40.131
模型#43;1 个解释变量 , 其 中 p 维向量 xi 和数量变量 t , 如果反应变量 y 线性相
关于解释变量 x , 则有以下模型
y i = x′iβ +g(t i)+εi
(1)
其中 β 为未知的 p 维回归系数向量 , g(t)为未知的光
半参数回归模型的渐进性质及其应用的开题报告
半参数回归模型的渐进性质及其应用的开题报告一、研究背景及意义半参数回归模型是一种在不确定因素较多的情况下进行预测的统计工具，可以在不知道全部自变量的情况下，通过对已知自变量与因变量的数据进行拟合，预测出因变量的值。
由于现实生活中不同变量之间存在着复杂的关联关系，因此常常难以建立完整的回归模型。
而半参数回归模型的特点在于，能够解决变量之间相关性较强，但有一些变量无法被准确预测的问题，具有重要的理论与应用价值。
二、研究目的本文旨在研究半参数回归模型的渐进性质，分析其在理论和应用方面的优势，并探究半参数回归模型在实际社会生活中的应用情况。
希望通过本文的研究，可以为半参数回归模型的理论研究和实际应用提供有益的参考和帮助。
三、研究方法本文将采用文献资料法、案例分析法和实证分析法，并结合具体实例对半参数回归模型的渐进性质以及其应用进行深入研究。
通过理论分析和案例实证，探讨半参数回归模型的优势与不足，以及其在实际应用中的局限性和改进途径。
同时，我们还将使用统计软件进行实证分析，以得到更具说服力的结论。
四、预期结果通过本文的开题研究，我们预计得到以下几个方面的结果：1.探讨半参数回归模型的理论基础和渐进性质，发现半参数回归模型在某些假设条件下具有较好的渐进性质，这对于模型优化和改进具有很大的意义。
2.分析半参数回归模型在实际应用中的优势与不足，探讨其局限性，并提出改进的途径和方法。
3.以实例为基础，使用实证分析法对半参数回归模型进行应用研究，验证其预测能力和拟合效果。
4.通过本文的研究，能够为半参数回归模型的理论研究和实际应用提供有益的参考和帮助，提高其在实际社会应用中的效果和价值，为社会经济的发展做出贡献。
半参数截尾回归模型
半参数截尾回归模型一个回归模型是截尾的，当在一定范围内的多次观察位于该范围的端点以外，切断对因变量所记录的数据。
当数据是截尾的时候，所观测的因变量的变化将低估“真实”因变量的回归元的效应。
因此，标准最小二乘法回归使用截尾数据产生的最典型地系数估计结果就是有偏与零。
传统的统计方法使用极大似然或相关程序去处理截尾数据的问题。
然而，这种方法的有效性需要正确的设定误差的分布，实践中这是有问题的。
在过去的二十年，提出了解决截尾问题的许多半参数方法。
在一个半参数方法中，通常是回归函数部分地设定为函数形式，通过研究者基于貌似可性的假定参数化的设定，模型剩余的部分是非参数化的。
理论文献已经提出了若干半参数的估计量对于截尾数据模型，发表的这些估计量应用于经济学的实证问题已经远远地滞后。
本文回顾了一小部分关于截尾回归模型建议的半参数估计量的计算，各种估计量被用来检验十九世纪60年代黑人与白人收入不等的变化，围绕1964年民权法的颁布，基于纵向的社会保障总署的收入记录。
这些收入记录在最高应纳税额处截尾，也就是说，任何人收入超过最大纳税值在社会保障规定下是要纳税的。
因此，上述的最大值，收入的数据不能精确的反映真实的收入。
普通最小二乘法分析这些数据意味着在十九世纪六十年代期间黑人和白人工作者的收入出现了小的收敛。
另一方面，半参数模型的估计量解释了截尾表明在1964年后黑人和白人收入显著的收敛。
比较参数和半参数的结果有助于准确描述参数方法在误设的情形。
截尾回归模型和估计量社会保障总署数据集我们分析时受困于数据截尾的简单形式，区间截尾，“真实”因变量*y 是可观测的，只要他们落在已知的单边的区间[a,b]。
否则，观测的区间的闭断点就会代替*y 。
Tobin (1958)应用这个模型去分析消费者汽车支出，端点0a =和b =∞，经济学家一般提到的回归模型有非负约束作为Tobit 模型。
其他的典型的这些截尾回归模型的应用就是右截尾数据，这里0a =和b =∞表示因变量的一个最大记录值。
非参数回归模型与半参数回归模型讲解
第七章 非参数回归模型与半参数回归模型第一节 非参数回归与权函数法一、非参数回归概念前面介绍的回归模型，无论是线性回归还是非线性回归，其回归函数形式都是已知的，只是其中参数待定，所以可称为参数回归。
参数回归的最大优点是回归结果可以外延，但其缺点也不可忽视，就是回归形式一旦固定，就比较呆板，往往拟合效果较差。
另一类回归，非参数回归，则与参数回归正好相反。
它的回归函数形式是不确定的，其结果外延困难，但拟合效果却比较好。
设Y 是一维观测随机向量，X 是m 维随机自变量。
在第四章我们曾引进过条件期望作回归函数，即称g (X ) = E (Y |X ) （7.1.1）为Y 对X 的回归函数。
我们证明了这样的回归函数可使误差平方和最小，即22)]([min )]|([X L Y E X Y E Y E L-=-（7.1.2）这里L 是关于X 的一切函数类。
当然，如果限定L 是线性函数类，那么g (X )就是线性回归函数了。
细心的读者会在这里立即提出一个问题。
既然对拟合函数类L (X )没有任何限制，那么可以使误差平方和等于0。
实际上，你只要作一条折线(曲面)通过所有观测点(Y i ，X i )就可以了是的，对拟合函数类不作任何限制是完全没有意义的。
正象世界上没有绝对的自由一样，我们实际上从来就没有说放弃对L(X)的一切限制。
在下面要研究的具体非参数回归方法，不管是核函数法，最近邻法，样条法，小波法，实际都有参数选择问题(比如窗宽选择，平滑参数选择)。
所以我们知道，参数回归与非参数回归的区分是相对的。
用一个多项式去拟合(Y i ，X i )，属于参数回归；用多个低次多项式去分段拟合(Y i ，X i )，叫样条回归，属于非参数回归。
二、权函数方法非参数回归的基本方法有核函数法，最近邻函数法，样条函数法，小波函数法。
这些方法尽管起源不一样，数学形式相距甚远，但都可以视为关于Y i 的线性组合的某种权函数。
也就是说，回归函数g (X )的估计g n (X )总可以表为下述形式：∑==ni i i n Y X W X g 1)()(（7.1.3）其中｛W i (X )｝称为权函数。
具有先验信息约束的半参数回归模型及其虚拟观测值解法
文献 标识 码 ： Ａ
Ｓ ＥＭ ＩＰＡＲＡＭ ＥＴＲＩ ＲＥＧＲＥＳ Ｉ ． Ｃ Ｓ ＯＮ ＯＤＥＬ Ｍ ＣＯＮＳ ＴＲＡＩ ＮＥＤ Ｉ Ｗ ＴＨ
ＰＲＩ ｏＲＩＩ ＮＦｏＲＭ ＡＴＩ ｏＮ ＡＮＤ ＴＳ ＶＩ Ｉ ＲＴＵＡ Ｌ ＢＳ ｏ ＥＲＶＡＴＩ ＮＳ ＳｏＬＵＴＩ ｏ ｏＮ
Ｌ ｅｕ ， ｉ Ｂ ｎａ ｄＺ ｕＪ ｎｕ ｅＫ ｊｎ Ｑｕ ｉ ｎ ｈ ｉ ｊｎ ａ
（ ｃｏｌｆＩ ｏＰ ｙｉ ｎ ｅｍ ｔｓＥ ｇｎｅｉ ｅｔ ｌ ｏｔ ｎｖｒｔ， ｈ ｎ ｓａ ４ ８ ） Ｓｈ ｏ ｏ ｆ —ｈ ｓ ｓ ｄＧ ｏ ａｉ ｎ ｉ ｒ ｇ ｏ Ｃ ｎｒ ｕｈ Ｕ ｉ ｓｙ Ｃ ａｇｈ ０ ３ ｎ ｃａ ｃ ｅ ｎ ｆ ａＳ ｅｉ １ ０ Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｉ ｒｅ ｒｖ ｅｒｔ ｎ ｌｙｄ ｒ ｇｔｅｍ ｄｌ ｇ ｗ ｒｐ ｓｄｔｅｓｍ —ａａ ｔｃｒｇｅｓ ｎ ｓ ｒ ｃ ｎｏｄｒ ｏｉ ｏｅｔ ｉ ａｉ ｕ ｎ ｏ ｅ ｎ ． ｅｐｏ ｏｅ ｅ ｉ ｒｍｅ ｉ ｅｒｓｉ ｔ ｍｐ ｈ ａｏ ｔ ｉ ｈ ｉ ｈ ｐ ｒ ｏ
第２ 卷 第６ ８ 期
２０ ０ ８年 １ ２月
大 地 测 量 与 地 球 动 力 学
Ｊ ＵＲＮＡＬ ＯＦ ＧＥＯＤ Ｙ ０ ＥＳ ＡＮＤ Ｇ ＥＯＤ ＹＮＡＭＩ Ｓ Ｃ
Ｖｏ． ． １ ２８ Ｎｏ ６ Ｄｅ ．． ０ ｃ ２ ０８
文章 编号 ：６ １ ９ ２ ２ ０ ） ６０ ０ －６ １７ — ４ （０ ８ ０ －１ ７０ ５
１８ ０
大地测量与地球动力学
２ ８卷
半参 数 回归模 型 的研 究 主要 集 中在 以下 几 个 方 面 ：
了该模型相应 的虚拟观测值解法 和正则化矩阵与正则化参数 在测 量的物理意义 ； 明了该新 解法与补偿 最小二 证 乘法 的等价性 以及该新模 型的有 效性 和合理性 。
半参数模型估计方法概述
半参数模型估计方法概述半参数模型估计的一个重要应用是生存分析，即对个体从其中一起始点到达其中一事件发生点所经历的时间进行建模和估计。
在生存分析中，通常关注其中一事件的发生率，如死亡率、失业率等。
半参数模型估计的目标是估计这些事件的发生率，并且不对事件发生率所在的整个分布进行参数化。
1. 首先，确定不完全参数化模型的形式，如生存函数。
生存函数是指在给定时间点t，个体在此时间点之前未发生事件的概率。
常用的生存函数包括Kaplan-Meier estimator和Nelson-Aalen estimator。
2.接下来，通过最大似然估计或其他适当的方法估计模型中的参数。
这些参数可能是已知的常数，也可能是需要估计的未知数。
3. 然后，根据已知参数和已估计的参数，将非参数部分转化为参数化形式。
这可以通过使用半参数估计方法，如Cox比例风险模型来实现。
Cox比例风险模型是生存分析中最常用的半参数模型之一4.最后，使用估计的模型对新数据进行预测，并根据预测结果进行决策或推断。
然而，半参数模型估计也存在一些限制。
首先，由于半参数模型的非参数部分无法精确估计，因此估计结果可能不如完全参数化模型中的估计结果准确。
其次，半参数模型估计通常需要较大的样本量，以获得可靠的估计结果。
最后，半参数模型估计在解释变量和响应变量之间的因果关系上存在一定的局限性。
总结来说，半参数模型估计是一种用于估计不完全参数化概率分布的方法，常用于生存分析和其他有界面数据或缺失数据的分析。
它的基本思想是将参数问题转化为非参数问题，并使用经验似然方法进行估计。
半参数模型估计优点是能够处理复杂的数据，并且不需要对整个分布进行参数化；但也存在一些限制，如估计结果可能不如完全参数化模型准确，需要较大的样本量等。
非参数回归模型及半参数回归模型
第七章 非参数回归模型与半参数回归模型第一节 非参数回归与权函数法一、非参数回归概念前面介绍的回归模型，无论是线性回归还是非线性回归，其回归函数形式都是已知的，只是其中参数待定，所以可称为参数回归。
参数回归的最大优点是回归结果可以外延，但其缺点也不可忽视，就是回归形式一旦固定，就比较呆板，往往拟合效果较差。
另一类回归，非参数回归，则与参数回归正好相反。
它的回归函数形式是不确定的，其结果外延困难，但拟合效果却比较好。
设Y 是一维观测随机向量，X 是m 维随机自变量。
在第四章我们曾引进过条件期望作回归函数，即称g (X ) = E (Y |X ) （7.1.1）为Y 对X 的回归函数。
我们证明了这样的回归函数可使误差平方和最小，即22)]([min )]|([X L Y E X Y E Y E L-=-（7.1.2）这里L 是关于X 的一切函数类。
当然，如果限定L 是线性函数类，那么g (X )就是线性回归函数了。
细心的读者会在这里立即提出一个问题。
既然对拟合函数类L (X )没有任何限制，那么可以使误差平方和等于0。
实际上，你只要作一条折线(曲面)通过所有观测点(Y i ，X i )就可以了是的，对拟合函数类不作任何限制是完全没有意义的。
正象世界上没有绝对的自由一样，我们实际上从来就没有说放弃对L(X)的一切限制。
在下面要研究的具体非参数回归方法，不管是核函数法，最近邻法，样条法，小波法，实际都有参数选择问题(比如窗宽选择，平滑参数选择)。
所以我们知道，参数回归与非参数回归的区分是相对的。
用一个多项式去拟合(Y i ，X i )，属于参数回归；用多个低次多项式去分段拟合(Y i ，X i )，叫样条回归，属于非参数回归。
二、权函数方法非参数回归的基本方法有核函数法，最近邻函数法，样条函数法，小波函数法。
这些方法尽管起源不一样，数学形式相距甚远，但都可以视为关于Y i 的线性组合的某种权函数。
也就是说，回归函数g (X )的估计g n (X )总可以表为下述形式：∑==ni i i n Y X W X g 1)()(（7.1.3）其中｛W i (X )｝称为权函数。
虚拟变量回归模型课件.ppt
7.1 虚拟变量
7.1.1 虚拟变量的概念及作用
1．虚拟变量的内涵 在计量经济学中，我们把反映定性（或属性）因素变化，取值为0和1的人工变量称为 虚拟变量(Dummy Variable)，或称为哑变量、虚设变量、属性变量、双值变量、类型变量、 定性变量、二元型变量、名义变量等，习惯上用字母D表示。例如
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虚拟变量
为什么要引入“虚拟变量” ？？ 许多经济变量是可以定量度量的或者说是可以直接观测的
如商品需求量、价格、收入、产量等
但是也有一些影响经济变量的因素无法定量度量或者说无法直接观测
如职业、性别对收入的影响，战争、自然灾害对GDP的影响，季节 对某些产品(如冷饮)销售的影响等。
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临界指标的虚拟变量的引入
在经济发生转折时期，可通过建立临界指 标的虚拟变量模型来反映。
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当截距与斜率发生变化时，则需要同时引入加法与乘 法形式的虚拟变量。
OLS法得到该模型的回归方程为
则两时期进口消费品函数分别为：
当t<t*=1978年， Dt = 0
•女职工本科以上学历的平均薪金： E(Yt | Xt , D1 = 0, D2 = 1) = (b 0 + b3 ) + b1 Xt
•男职工本科以上学历的平均薪金：
E(Yt | Xt , D1 = 1, D2 = 1) = (b0 + b 2 + b3 ) + b1 Xt
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2、乘法方式
第8页，共32页。
这种“量化”通常是通过引入“虚拟变量”来完成的。根据这些
基于半参数回归模型的批处理确定卫星轨道方法
基于半参数回归模型的批处理确定卫星轨道方法
本文介绍了一种基于半参数回归模型的批处理确定卫星轨道方法。
该方法利用半参数回归模型的优点，可以有效地处理卫星轨道数据中的不确定性和噪声，从而提高轨道确定的精度和稳定性。
基于半参数回归模型的批处理确定卫星轨道方法
在卫星轨道确定中，半参数回归模型是一种常用的方法。
该方法可以利用卫星轨道数据中的部分信息，同时考虑到数据中的不确定性和噪声，从而提高轨道确定的精度和稳定性。
本文介绍了一种基于半参数回归模型的批处理确定卫星轨道方法。
该方法主要包括以下几个步骤:
1. 数据预处理：对卫星轨道数据进行预处理，包括数据清洗、去噪、插值等。
2. 建立半参数回归模型：根据卫星轨道数据的特点，选择合适的半参数回归模型，并根据实验数据进行模型参数的估计。
3. 模型验证：对建立的半参数回归模型进行验证，包括模型的预测能力、稳定性等。
4. 轨道确定：利用建立的半参数回归模型，对卫星轨道进行确定，并根据确定结果进行轨道修正。
本文还介绍了该方法的实验结果，以及在实际应用中的效果和优点。
基于半参数回归模型的最小一乘局部线性算法
基于半参数回归模型的最小一乘局部线性算法苏正军;刘迎照【摘要】Based on the least absolute deviation estimation, local linear least absolute deviation algorithm is derived. The effectiveness and robustness of our method are verified by simulation compared with the least absolute deviation kernel algorithm and local linear least squares algorithm. The model can also reduce the boundary effect.%根据最小一乘准则，推导出最小一乘局部线性估计的计算方法，并通过对模拟数据的计算和分析，对比最小一乘核算法和最小二乘局部线性算法，验证了最小一乘局部线性算法是一种有效的，稳健的估计方法，并且有降低边界效应的作用。
【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2013(000)005【总页数】7页(P513-519)【关键词】半参数回归模型;最小一乘;局部线性估计;算法;稳健性【作者】苏正军;刘迎照【作者单位】洛阳师范学院数学科学学院,河南洛阳,471022;洛阳师范学院数学科学学院,河南洛阳,471022【正文语种】中文【中图分类】O242.1考虑半参数回归模型[1]:其中,Xi是p维随机变量,β为p维待估参数,g(·)为R1上未知的Borel函数,{ui}是独立同分布的随机误差序列,且E(ui)=0,0＜＜∞.半参数回归模型的估计问题就是基于(Yi,Xi,Ti)估计β和g.目前,对于半参数回归模型的估计算法有两种思路:一种是对非参数部分加以光滑限制,使用合理的参数逼近,即将非参数部分参数化;另外一种是分别对参数和非参数部分进行估计的两阶段估计方法.可以先假定参数已知,使用标准的非参数方法估计非参数部分,然后去掉非参数部分,再使用标准的参数方法估计参数部分.对于参数部分的估计,多数估计方法选择最小二乘准则,如最小二乘核估计,最小二乘k近邻估计,最小二乘局部线性估计等.但是最小二乘估计受异常点的影响较大,而最小一乘准则要小很多,最小一乘准则的稳健性比最小二乘准则好[2],在经常出现异常值的现实数据处理上,使用最小一乘准则拟合效果会更好一些.本文将基于最小一乘准则的局部线性拟合的方法应用于半参数回归模型.对非参数部分进行局部线性拟合,对线性部分采用最小一乘估计.通过对模拟数据的计算和分析,将此方法的拟合效果与最小一乘核算法和最小二乘局部线性算法作对比,验证最小一乘局部线性算法的有效性和稳健性.2.1 最小一乘最小二乘估计得到广泛应用的一个重要原因是计算简单,它的极小值求解可以通过简单的公式表达出来.而最小一乘估计的极值求解是不可微的优化问题,计算复杂.文献[2]分情况讨论了最小一乘估计的算法,文献[3]研究了基于模拟退火算法的最小一乘回归算法,这些都为我们通过M atlab软件计算最小一乘估计提供了可能.因此,在本文中采取最小一乘估计方法对参数部分进行估计.2.2 局部多项式估计虽然核估计算法实现了局部加权,但是权重在局部邻域内是常量,由于加权是基于整个样本点的,所以在边界处的估计往往不理想.常用的解决方法是用一个变动的函数取代局部固定的权重.就是在待估点t的邻域内用一个线性函数g(Ti)=a+bTi,Ti∈[t-hn,t+hn]取代g(Ti)的平均,其中a和b是两个局部参数,进而得到了局部线性估计算法.在内点,使ˆg(t,hn)的均方误差达到最小的最优核函数是:K(t)=0.75(1-t2)+,此时局部线性估计的收敛速度O(n-2/5)(见文献[4]).局部线性估计避免了通常核估计的边界效应问题.并且已被证明无论在边界点还是内点都是最佳线性估计[5],因此,在本文中采取局部线性回归方法对非参数部分进行估计.2.3 最小一乘局部线性算法可见参数β=1,非参数部分g(t)=1+cos(8t+5),图1为g(t)的真实曲线图.选择Enanechnikov(抛物核)K(u)=0.75(1-u2)+,这是因为它是在内点,使得均方误差达到最小的最优核函数.3.1 窗宽选取对拟合效果的影响窗宽可以反映光滑程度,降低拟和曲线在峰顶区域的偏差以及尾部区域的方差,提高拟合曲线的灵活性[7].使得均方误差达到最小的最佳窗宽为hn=,其中c与n无关,只与回归函数,解释变量的密度函数和核函数有关[4].关于最优窗宽的选取,一般的方法是由对渐近加权积分均方误差W ISE极小化而得到.窗宽的选取问题,在文献[5]中有详细的讨论,在本文中不对此问题加以研究,只是将最小一乘局部线性拟合方法与变窗宽思想结合,所得估计继承了二者的优点,hn初始窗宽的理论值最优窗宽可以通过交错鉴定法获得[6].使用交错鉴定法确定的最优窗宽近似为hn=(n=300),在此选取c=0. 1;c=0. 3;c=0.9,通过模拟数据,分析窗宽的选取对拟合效果的影响.分别采用最小一乘准则和最小二乘准则分别进行5次模拟,并比较βˆ和真实β=1的平均绝对误差.结果如表1:通过表1数据可以看出,随着c的增大,βˆ的平均绝对偏差也增大,说明窗宽越大,拟合误差越大.当c=0.1时,窗宽过小,标准差虽小,但是拟合曲线缺乏光滑性,是没有意义的估计,拟合效果图见图2a;当c=0.9时,窗宽过大,拟合曲线虽然光滑,但是却以增大标准差为代价,拟合效果变差,拟合效果图见图2b.由此可见,在半参数线性回归模型中窗宽的变化不但影响β的估计精度,而且影响曲线的拟合精度,所以选择最优窗宽是必须的. 当c=0.3,不论采用最小一乘局部线性估计,还是最小二乘局部线性估计,估计值与真实值的平均绝对误差都很小,估计效果都很理想,可见最小一乘局部线性估计是一种对半参数回归模型有效的估计方法.拟合效果见图3.3.2 降低边界效应对比最小一乘局部线性算法和最小一乘核算法[8-9]的拟合图,验证最小一乘局部线性算法有效的降低了边界效应.最小一乘核算法的拟合曲线左边和右边的边界点处有高估的现象(见图4),g(t)曲线的真实走向(见图1)有很大的线性倾斜,最小一乘局部线性估计很好的拟合出了这一趋势,有效的降低了边界效应.3.3 最小一乘局部线性算法的稳健性分别从伸缩和平移两种情况,引入两个异常值y1=10y1和y2=y2+5,当c=0.3时对数据进行5次模拟,并比较ˆβ和真实β=1的平均绝对误差.结果如表2:由上表可以看出,在引进异常值之前,最小二乘局部线性算法和最小一乘局部线性算法的平均绝对误差都很小,引进异常值后,两种估计方法的平均绝对误差都有增加,但是最小一乘局部线性算法的增加值仅为0.000 32,最小二乘局部线性算法平均绝对误差增加值为0.026 38,引入异常值前后最小二乘局部线性算法的估计偏差比最小一乘局部线性算法的估计偏差大,由此说明最小一乘局部线性算法的稳健性.引进异常值前最小一乘局部线性算法与最小二乘局部线性算法的拟合图见图5a,它们拟合曲线基本重合,与g(t)的真实曲线(见图1)走势趋向非常相近,进一步验证了最小一乘局部线性算法的有效性.引进异常值后最小一乘局部线性算法与最小二乘局部线性算法的拟合图见图5b,由图5可以看出,最小二乘局部线性算法拟合曲线变化较大,而最小一乘局部线性算法拟合曲线变化相对很小,从而进一步验证了最小一乘局部线性算法对异常值处理的稳健性.本文提出的半参数回归模型的最小一乘局部线性算法,经模拟数据验证其在模型拟合上非常理想;通过与最小一乘核算法比较,验证了最小一乘局部线性估计在降低边界效应的优势;通过对异常数据的分析,验证了最小一乘局部线性算法比最小二乘局部线性算法表现的更加稳健.【相关文献】[1]柴根象,孙平,蒋泽云.半参数回归模型的二阶段估计[J].应用数学学报,1995,18(3):353-363[2]陈希孺.最小一乘线性回归(上)[J].数理统计与管理,1989(5):48-55.[3]王福昌,张宝雷,曹慧荣.基于模拟退火算法的最小一乘回归新算法[J].数理统计与管理,2008,27(6):1047-1052.[4]王星.非参数统计[M].北京:清华大学出版社,2009.[5]Fan J,Gijbels I.Local Polonom inal Modeling and Its App lications[M].London:Chapman and Hall,1996.[6]樊明智,王芬玲,郭辉.纵向数据半参数回归模型的最小二乘局部线性估计[J].数理统计与管理,2006,25(2): 170-174.[7]叶阿忠.非参数计量经济学[M].天津:南开大学出版社,2003.[8]吕书龙,刘文丽.最小一乘估计快速算法[J].应用概率统计,2008,24(6):621-630.[9]吕书龙,梁飞豹,刘文丽.半参数线性回归模型的最小一乘核估计[J].福州大学学报,2011,39(2):187-191.。
中国人口预测的半参数自回归模型
中国人口预测的半参数自回归模型摘要本文首先列举了常用的一些人口预测经典模型，如Logistic模型、年龄移算模型、线形回归模型、宋健人口发展方程、时间序列模型、灰色预测模型、BP神经网络的预测模型、半参数自回归模型等，并进一步分析了这些模型的优缺点。
鉴于大部分模型存在的诸如参数难以确定、忽视非线性、维数祸根、变量较多及方程复杂等问题，我们最终决定建立人口预测的半参数自回归模型。
在对原始数据平稳化处理后，首先建立线形自回归模型，通过t检验值选取滞后2、3、5、7阶显著性变量，然后分别将各显著性变量作为非参数部分，其余部分作为线性部分，建立四个半参数自回归模型，利用建立的四个半参数模型分别预测2009年-2012年人口，滞后七阶作非参数部分的预测明显好于2、3、5阶，预测误差分别为：0.16%、0.13%、0.16%、0.26%。
基于以上的研究，我们针对深圳市的人口现状和计划生育新政策情况，比较“单独二胎”政策实施前后深圳市新生儿的出生情况对人口数量和人口结构进行研究。
本文分别从深圳市人口出生率、人口性别比、人口年龄结构分布的变化出发，重点结合延迟退休年龄分析了计划生育新政策与深圳市人口数量及结构的关系，并进一步讨论其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。
关键词：人口预测、半参数自回归、计划生育新政策一、问题重述和分析人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。
计划生育政策实施30多年来，有效地控制了人口的快速增长，为中国现代化建设、实现小康打下坚实的基础，同时其负面影响也开始显现：小学招生人数（1995年以来）、高校报名人数（2009年以来）逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道，人口抚养比的相变时刻即将到来。
对此，党的十八届三中全会提出了开放单独二孩，许多地方相继出台了计划生育新政策，为了更好地研究新政策对人口年龄及结构的影响，人口的准确预测变得尤为重要。
人口预测首先应对一般参数进行认定，如：生育率参数，死亡率参数，迁移率参数等等，然后再选取合理适用的模型或对模型进行创新。
非参数回归模型与半参数回归模型
第七章 非参数回归模型与半参数回归模型第一节 非参数回归与权函数法一、非参数回归概念前面介绍的回归模型，无论是线性回归还是非线性回归，其回归函数形式都是已知的，只是其中参数待定，所以可称为参数回归。
参数回归的最大优点是回归结果可以外延，但其缺点也不可忽视，就是回归形式一旦固定，就比较呆板，往往拟合效果较差。
另一类回归，非参数回归，则与参数回归正好相反。
它的回归函数形式是不确定的，其结果外延困难，但拟合效果却比较好。
设Y 是一维观测随机向量，X 是m 维随机自变量。
在第四章我们曾引进过条件期望作回归函数，即称g (X ) = E (Y |X ) （7.1.1）为Y 对X 的回归函数。
我们证明了这样的回归函数可使误差平方和最小，即22)]([min )]|([X L Y E X Y E Y E L-=-（7.1.2）这里L 是关于X 的一切函数类。
当然，如果限定L 是线性函数类，那么g (X )就是线性回归函数了。
细心的读者会在这里立即提出一个问题。
既然对拟合函数类L (X )没有任何限制，那么可以使误差平方和等于0。
实际上，你只要作一条折线(曲面)通过所有观测点(Y i ，X i )就可以了是的，对拟合函数类不作任何限制是完全没有意义的。
正象世界上没有绝对的自由一样，我们实际上从来就没有说放弃对L(X)的一切限制。
在下面要研究的具体非参数回归方法，不管是核函数法，最近邻法，样条法，小波法，实际都有参数选择问题(比如窗宽选择，平滑参数选择)。
所以我们知道，参数回归与非参数回归的区分是相对的。
用一个多项式去拟合(Y i ，X i )，属于参数回归；用多个低次多项式去分段拟合(Y i ，X i )，叫样条回归，属于非参数回归。
二、权函数方法非参数回归的基本方法有核函数法，最近邻函数法，样条函数法，小波函数法。
这些方法尽管起源不一样，数学形式相距甚远，但都可以视为关于Y i 的线性组合的某种权函数。
也就是说，回归函数g (X )的估计g n (X )总可以表为下述形式：∑==ni i i n Y X W X g 1)()(（7.1.3）其中｛W i (X )｝称为权函数。
半参数模型估计方法概述
半参数模型估计方法概述1 线性半参数模型的估计方法概述线性半参数模型的一般向量形式为:Y=Xβ+S+ε(1)其中Y表示为n维观测向量,Y=(Y1,Y2,…,Y n)T;X为n×p维列满秩设计矩阵,X=(X1,X2,…,X n)T,rank(X)=p;β为p维参数向量,β=(β1,β2,…,βp)T;ε为n维偶然误差向量,εN(0,∑),ε=(ε1,ε2,…,εn);S表示描述系统误差的n维非参数向量,S=(S1,S2,…,S n)T。
1.1 补偿最小二乘估计法对于线性半参数回归模型,将上式改写成观测方程:Y+V=Xβ+S(2)得出V=Xβ+S-Y,将此带入V TPV+αJ(S)=min化简整理为(Xβ+S-Y)TP(Xβ+S-Y)+αS TRS=min(3)由此可以按照求极值方法求解,即满足:(X,I)βS-Y TP(X,I)βS-Y+αβT,S T000R(β,S)=min(4)则法方程为:X TPXX TP PXP+αRβS=X TPX PY(5)从而有X TPXβ+X TPS=X TPY,PXβ+(P+αR)S=PY,由此可以得到=(X TPX)-1X TPY-(X TPX)-1X TPS(6)=(P+αR-PX(X TPX)-1X TP)-1(PY-PX(X TPX)-1X TPY)(7)补偿最小二乘法的关键是如何确定光滑因子α和正则矩阵R,对于α的选择方法可由交叉核实法CV以及L-曲线法等方法确定。
正则矩阵R是一个具有正则特征的矩阵,它的作用在于半参数模型是否可解,其中R的构成可由三次样条曲线法或矩阵构造法来实现。
1.2 正则核估计方法将半参数模型改写为:Y=BX+S+ε,式中B为n×t固定(或随机)设计满秩(或秩亏)矩阵,s i=s(i)。
根据最小二乘原理得到法方程:B TPB X+B TP S=B TPY(8)式中,P为正定方阵,是观测值Y的权。
未知量为参数X和非参数S,共有(t+n)个,而方程有n个。
2011半参数估计算例
P1
L1 L2 L3 L4
O
P2
L5
下面以一组水平角观测 数据处理为例， 数据处理为例，对该方法 进行试算。各角如图1所 进行试算。各角如图 所 示，已知AOB=85°，设 已知 ° 为独立等精度观测。 为独立等精度观测。 采用原始数据如表1 采用原始数据如表1
B
图1 水平角观测示意图
A
P1
L1 L2 L3 L4
Байду номын сангаас
将表2中的数据作为观测数据进行数据处理， 将表2中的数据作为观测数据进行数据处理，取各 γ： 1, Pn = I , α = 4.5085 ×10−5 时，GCV取最小值 参数： GCV取最小值 参数 = 2.3417，取此时的α值进行计算，由最小二乘法与 2.3417，取此时的α值进行计算， 半参数回归分别得到平差残差见表3 半参数回归分别得到平差残差见表3。
半参数回归模型中的自然样条插值函数
L = Bx + S + ∆
S = [ s1 , s 2 , L , s n ]
T
（12） 12） （13） 13）
ti 上的自然样条插值函数， 设 s (t ) 为区间[t1 , t n ] 上的自然样条插值函数， 为节点， 满足插值条件： 为节点，且 t1 < L < t n ， s (t ) 满足插值条件：
O
表1
P2
水平角观测数据
L5
数据节点 观测量 观测值 ′″） （°′″） 1 L1 30 00 23 2 3 4 5 L2 L3 L4 L5 60 30 54 24 20 20 59 39 40 17 37 20
B
在各节点处加入系统差 系统误差后数据如表2所示。 系统误差后数据如表2所示。
含指标项半参数回归模型的估计与检验的开题报告
含指标项半参数回归模型的估计与检验的开题报告1. 研究背景及意义半参数回归模型（Semi-parametric Regression Model）是指同时包含非参数项和参数项的回归模型。
与传统的参数回归模型相比，半参数回归模型可以处理非线性关系和高维数据，具有更高的灵活性和拟合能力。
在实际应用中，半参数回归模型被广泛应用于医学、经济学、社会学等领域，例如，分析肿瘤大小与患者生存期的关系、研究收入与教育水平的关系等。
然而，半参数回归模型也存在一些问题，例如：如何选择非参数项的函数形式？如何评价模型的拟合效果？如何对模型的假设进行检验？为了解决这些问题，需要引入含指标项的半参数回归模型。
指标项可以用来解决函数形式和分段问题，并且可以通过显著性检验来评价模型的拟合效果和检验假设。
因此，研究含指标项的半参数回归模型的估计与检验具有重要的理论和实际意义。
2. 研究目的和内容本研究旨在探讨含指标项的半参数回归模型的估计与检验方法，具体目的和内容如下：（1）分析半参数回归模型的基本原理和含指标项的半参数回归模型的构建方法，探讨指标项在模型中的作用。
（2）研究含指标项的半参数回归模型的估计方法，包括局部加权平滑估计法、核回归估计法等方法。
（3）研究含指标项的半参数回归模型的检验方法，包括残差检验、假设检验等方法，提供模型选择和评价的依据。
（4）应用所提出的含指标项的半参数回归模型估计与检验方法在实际数据中进行案例分析，验证所提出方法的可行性和有效性。
3. 研究方法和步骤本研究将采用以下研究方法和步骤：（1）文献资料法：通过查阅相关文献，研究半参数回归模型的基本理论和方法以及含指标项的半参数回归模型的构建方法、估计方法、检验方法等。
（2）数学统计分析法：应用数学统计学方法对所研究的含指标项的半参数回归模型进行建模和分析，并探讨其性质和特点。
（3）计算机仿真法：采用计算机辅助软件进行实验和仿真，验证所提出的含指标项的半参数回归模型的估计和检验方法的可行性和有效性。
半参数回归模型在测量数据处理中的应用
半参数回归模型在测量数据处理中的应用
金丽宏
【期刊名称】《武汉工业学院学报》
【年(卷),期】2004(023)004
【摘要】考虑半参数测量模型,利用核函数并综合最小二乘法建立了参数β和s的估计量β、s,其次,用一个模拟的平差算例从估值的稳定性、均方差等方面与最小二乘法进行了比较,最后,将所得结果应用到自由网平差和GPS测量中.结果说明,半参数测量模型比参数模型更能反应真实情况.
【总页数】4页(P108-111)
【作者】金丽宏
【作者单位】武汉工业学院,数理科学系,湖北,武汉,430023
【正文语种】中文
【中图分类】O212.7;P207
【相关文献】
1.在VB中调用MATLAB的方法及其在测量数据处理中的应用 [J], 朱宝训;金松河;李亚岗
2.半参数回归模型在商品房价格指数中的应用研究 [J], 王一兵
3.半参数回归模型在空气质量指数分析和预测中的应用 [J], 刘锋;银利;张星
4.一种选权迭代法的半参数回归模型在滑坡预测中的应用 [J], 杨义辉;邹进贵;李琴;韩亚坤
5.半参数回归模型及其在数据处理中的应用 [J], 米川
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cox回归等级变量
cox回归等级变量一、什么是Cox回归？Cox回归是一种半参数模型，用于分析生存数据。
它基于风险集函数和危险函数的概念，可以估计不同变量对生存时间的影响。
二、为什么需要处理等级变量？在实际应用中，我们经常会遇到一些分类变量，比如患者的病情等级、产品的质量等级等。
这些等级变量通常不能直接用于Cox回归分析，需要进行适当的处理。
三、如何处理等级变量？处理等级变量的方法有多种，其中一种常用的方法是将等级变量转化为虚拟变量。
虚拟变量是一种二元变量，用于表示分类变量的不同水平。
四、如何进行Cox回归分析？在进行Cox回归分析时，首先需要选择合适的Cox模型，然后根据数据集进行模型拟合和参数估计。
接下来，可以利用估计的模型参数进行预测和推断分析。
五、等级变量的处理示例为了更好地理解等级变量的处理方法，我们以一个假设的研究案例为例进行说明。
假设我们研究了不同癌症患者的生存时间，并且将癌症分为三个等级：低级别、中级别和高级别。
我们需要将等级变量转化为虚拟变量。
假设我们选择低级别作为基准水平，则中级别和高级别分别对应两个虚拟变量。
假设中级别对应虚拟变量X1，高级别对应虚拟变量X2。
这样，我们就可以将等级变量引入Cox回归模型进行分析。
然后，我们根据数据集进行Cox回归模型的拟合和参数估计。
在模型拟合过程中，我们可以考虑其他变量对生存时间的影响，比如年龄、性别、治疗方法等。
通过拟合Cox回归模型，我们可以得到各个变量的估计系数和显著性检验结果。
我们可以利用估计的模型参数进行生存时间的预测和推断分析。
比如，我们可以根据模型预测不同等级患者的生存时间，或者比较不同等级患者的生存曲线。
六、结论通过使用Cox回归模型处理等级变量，我们可以更好地分析生存数据。
等级变量的处理可以通过将其转化为虚拟变量来实现。
在进行Cox回归分析时，我们还需要考虑其他变量的影响，并进行模型拟合和参数估计。
最后，我们可以利用估计的模型参数进行生存时间的预测和推断分析。
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半参数回归模型虚拟1半参数模型解算的虚拟观测法1朱建军冯光财戴吾蛟中南大学信息物理工程学院摘要半参数模型中的非参数部分可以很好地描述测量数据处理规律不是十分明确的系统误差或模型误差，因而近年得到了测绘工作者的广泛重视。
但目前半参数模型的各种解算方法主要还是沿用数学中提出的方法，例补偿最小二乘法，样条函数法，核光滑估计等，这些方法的特点是：所用的参数和语言都是纯数学的、相对抽象的，与具体应用中的实际意义关系不大，如何根据具体的问题确定方法中的有关量，没有成熟可靠的方法。
本文首先介绍半参数回归中常用的补偿最小二乘法。
然后基于先验信息，从纯测量学的观点讨论半参数模型的解算。
即将对问题的先验信息转换成对问题的虚拟观测，用虚拟观测与原观测联合按常规的最小二乘方法求解。
理论和实际1本项目由湖南省自然科学基金项目(02JJY2066)和湖南省科技计划项目联合资助(2004022200611)都证明，该方法与最小二乘补偿法完全等价。
从而在理论上得到一个重要的结论：半参数回归的补偿最小二乘法中的正则矩阵可由虚拟观测的观测方程系数确定，即，lTlA A R =，平滑因子可由观测方差与虚拟观测方差的方差比（权比）22/l L σσα=确定，而该方差比可以在计算中用方差分量估计的方法确定。
由此将半参数回归的解算与传统的测量数据处理方法有机地结合起来了。
实例的计算结果表明，本文提出的虚拟观测方法计算的结果一般要优于常规的补偿最小二乘结果，基本上可达到常规补偿最小二乘法在理论上的最优解。
关键词：半参数模型，补偿最小二乘法，先验信息 虚拟观测中国图书分类号：P207A quasi observation approach for semi-parameter regressionZhu Jianjun Feng Guangcai Dai wujaoSchool of info-physcs and Geomatics, Central South UniversityAbstractThe non-parameter in semi-parametric model can be used to describe the systemic error or model error in geodesy, so semi-parameterregression get a great attention in geodesy. However, all the methods to find solutions of the model are based on mathematics, some concepts in the methods are very abstract, especially some quantities are no relationship to practical situation. So it is very difficult to determine these quantities on practical situations. In this paper the method of penalized least squares(PLS) is introduced at first. And then, the solution of the model is studied on the view of geodesy. It is suggested that the prior information on the semi-parameters is transformed into quasi observations, and the quasi observations are adjusted then together with the real observations. The paper proves that the quasi observations method is equal to PLS. The regular matrix in PLS can be determined by coefficient matrix of the quasi observation equation, that is, l T l A AR , the smoothing parameter is equal to the ratio of the observation variance to the quasi observation variance. The example shows that the quasiobservation method usually will be better than PLS. And it can get nearly the best theoretical result of PLS1、引言半参数回归模型是20世纪80年才发展起来的一种重要的统计模型，这种模型的特点是既有参数分量又含有非参数分量，参数分量部分可以用来描述函数关系明确的那一部分，而非参数部分可以用来描述函数关系或规律不明确的那一部分[1]。
在测量数据处理中，观测值与被观测的对象的函数关系往往非常明确，但测量的系统误差或模型误差往往则很难用函数来描述，如果把它归入随机误差部分，明显会丢失信息，影响数据处理的精度，但用上述模型中的非参数则可以很好地描述这一部分的信息，即可用上述模型中的参数部分描述观测值与被观测对象的明确函数关系，用非参数部分描述并不完全确定的模型误差或系统误差部分。
因而半参数模型在近年得到了测绘工作者的广泛重视[2-10]。
目前测绘界对半参数模型的研究主要集中在以下几个方面：一是用测量平差的语言和方式介绍半参数回归的有关方法及其处理模型误差和系统误差能力[2-6]，二是研究半参数回归模型与传统平差模型的关系[7-8]，三是研究有关的算法改进及统计性质[9-10]。
半参数回归算法具有较好的处理系统误差和模型误差的能力这一点在多数文献中都进行了肯定，但目前的算法主要还是沿用数学中提出的算法，例补偿最小二乘法，样条函数法，核光滑估计等，这些方法的特点是：所用的参数和语言都是纯数学的、相对抽象的，与具体应用中的实际意义关系不大，例补偿最小二乘准则中的两个重要量：光滑因子和正则矩阵，偏核光滑估计中的光滑矩阵，这些量都是一些纯数学含义的量，他们在测量实际中的含义不是十分明确，因而不利于测量工作者的理解和使用，也不利于测量工作者针对测量的实际情况对半参数估计的有关理论和方法进行深入研究和扩充。
本文将基于先验信息，从纯测量的观点来讨论半参数模型的解算，并由此得出了目前半参数模型解算方法中有关参数的测量学含义。
2、半参数回归方法半参数模型可表示为[1][3]：∆++=SBXL(1) 其中L表示n维的观测向量，X为u维的参数向量，B为系数矩阵，△表示误差，S表示规律不十分明确，难以用简单的函数表示，但又不能归入误差项的非参数部分。
半参数模型有两个特点(文献[1]P5)：一是S可以是任意的函数形式，可以包含任意多的参数；二是模型的目的主要在于估计参数，非参数S 的引入主要是为了得到更准确的参数估计，S本身的大小和精度并不重要。
很显然，对于测量数据处理，S可以描述模型误差或系统误差。
如果把S简单地看作为参数，则上述问题变为具有n+u个未知数，只有n个观测的不定问题，如果不增加其它信息则不可能求解。
目前半参数模型的解法主要是按两种思路进行设计的，一是对非参数S的函数空间施加一定的限制，一般是进行光滑性限制，由于S的函数形式可以任意，使用光滑性后则可以使用合理的参数逼近，将非参数部分参数化。
这种类型的估计是以非参数分量参数化为特征，例，偏光滑样条估计，偏分块多项式估计等。
另一种思路是分别对参数部分和非参数部分进行估计的两阶段估计方法。
例可先假定参数已知，使用标准非参数方法估计非参数部分，然后去掉非参数部分，再使用标准的参数估计方法估计参数部分。
由于篇幅所限，这里我们只简单介绍目前半参数模型求解中广泛应用的补偿最小二乘方法。
将模型(1)改写成观测方程，有：SBXVL+=+（2）为了求得上述问题的解，可以增加对非参数S函数光滑性的限制，即要求：m in)(=+SJPVV Tα（3）其中：⎰=dttSSJ2))("()(是刻划非参数函数光滑性的一个定量指标。
α称为平滑因子，它起到在拟合度(V T PV)和光滑程度之间的平衡作用。
在自然样条的概念下，上述准则等价于：min=+RSSPVV TTα（4）其中R称为正则矩阵，可由所采用的自然样条或其它方法事前确定。
在准则（4）下可求得（2）式的补偿最小二乘解：))(()()(1111PL A PA A PA PL M S PS A PA A PL A PA A X TTT T T T -----=-=（5）PA PA A PA R P M T T 1)(--+=α （6）补偿最小二乘法的关键是如何确定光滑因子α和正则矩阵R 。
由于这两个量的测量学含义并不十分明确，针对各种实际测量工作应该如何确定这两个量目前还没有统一的解释。
当L 是一个观测序列时，如果认为相邻时刻的模型误差或系统误差相差不大，即Si 与Si+1差别不大，文献[2]建议取：GG R T =（7） 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1100110011ΛG （8）而α可以根据交叉核实法在计算中确定(文献[1]P47)。
3．半参数模型的虚拟观测法对于先验信息“认为相邻时刻的模型误差或系统误差相差不大，即Si 与Si+1差别不大”可以用虚拟观测：1=-=+i i i S S l（9）表示。
全体虚拟观测用误差方程形式可表示为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=+n S S S v l M Λ211100110011（10） 即SA v l l =+（11）其中l 为虚拟观测向量，并且有l =0，v 为虚拟观测残差向量，对比（10）（11）和（8）式可知，A l 与式（8）中的G 完全相同。
对于上述先验信息下的虚拟观测，我们可以认为观测等权，但观测方差的大小未知，因而其虚拟观测权可表示为： I P lα=（12） 其中22/l Lσσα=为观测方差与虚拟观测方差的方差比（权比）,虚拟观测与实际观测联合后的观测方程为：SA v l S AX V L l =++=+（13） 在最小二乘准则：min =+v P v PV V lTT（14）下，可求得法方程为：lP A PL S A P A P PAX PLA PS A PAX A l T l l l T l l T T T +=++=+)(（15） 最后可求得：))(()()(1111PL A PA A PA l P A PL M S PS A PA A PL A PA A X T T l T l T T T T -----+=-= （16） 这里PA PA A PA A P A P M T T l l T l 1)(--+=（17）式（16）就是半参数模型的虚拟观测法的解。