上海交大离散数学之数理逻辑2
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结数理逻辑部分第2章一阶逻辑2.1 一阶逻辑基本概念个体词（个体）: 所研究对象中能够独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域: 个体变项的取值范围有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2}无限个体域，如N, Z, R, …全总个体域: 宇宙间一切事物组成谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：F(a)：a是人谓词变项：F(x)：x具有性质F一元谓词: 表示事物的性质多元谓词(n元谓词, n2): 表示事物之间的关系如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x y，…0元谓词: 别含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项量词: 表示数量的词全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等如x 表示对个体域中所有的x存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一具等如x表示在个体域中存在x一阶逻辑中命题符号化例1 用0元谓词将命题符号化要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲符号化为p, 这是真命题在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲符号化为F(a)例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 人都爱美; (2) 有人用左手写字分不取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域.解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为x G(x)(2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为x G(x)(b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中(1) x (F(x)G(x))(2) x (F(x)G(x))这是两个基本公式, 注意这两个基本公式的使用.例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 正数都大于负数(2) 有的无理数大于有的有理数解注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域(1) 令F(x): x为正数, G(y): y为负数, L(x,y): x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值(2) 令F(x): x是无理数, G(y): y是有理数,L(x,y)：x>yx(F(x)y(G(y)L(x,y)))或x y(F(x)G(y)L(x,y)) 两者等值几点注意：1元谓词与多元谓词的区分无特殊要求，用全总个体域量词顺序普通别能随便颠倒否定式的使用考虑：①没有别呼吸的人②别是所有的人都喜爱吃糖③别是所有的火车都比所有的汽车快以上命题应怎么符号化？2.2 一阶逻辑合式公式及解释字母表定义字母表包含下述符号：(1) 个体常项：a, b, c, …, a i, b i, c i, …, i1(2) 个体变项：x, y, z, …, x i, y i, z i, …, i 1(3) 函数符号：f, g, h, …, f i, g i, h i, …, i1(4) 谓词符号：F, G, H, …, F i, G i, H i, …, i1(5) 量词符号：,(6) 联结词符号：, , , ,(7) 括号与逗号：(, ), ，定义项的定义如下：(1) 个体常项和个体变项是项.(2) 若(x1, x2, …, x n)是任意的n元函数，t1,t2,…,t n是任意的n个项，则(t1, t2, …, t n) 是项.(3) 所有的项基本上有限次使用(1), (2) 得到的.个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数和复合函数依然项定义设R(x1, x2, …, x n)是任意的n元谓词，t1,t2,…, t n 是任意的n个项，则称R(t1, t2, …, t n)是原子公式.原子公式是由项组成的n元谓词.例如，F(x,y), F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式定义合式公式（简称公式）定义如下：(1) 原子公式是合式公式.(2) 若A是合式公式，则(A)也是合式公式(3) 若A, B是合式公式，则(A B), (A B), (A B),(A B)也是合式公式(4) 若A是合式公式，则xA, xA也是合式公式(5) 惟独有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合式公式.请举出几个合式公式的例子.定义在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在x和x的辖域中，x的所有浮现都称为约束浮现，A中别是约束浮现的其他变项均称为是自由浮现的.例如, 在公式x(F(x,y)G(x,z)) 中,A=(F(x,y)G(x,z))为x的辖域，x为指导变元, A中x的两次浮现均为约束浮现，y与z均为自由浮现.闭式: 别含自由浮现的个体变项的公式.给定公式A=x(F(x)G(x))成真解释: 个体域N, F(x): x>2, G(x): x>1代入得A=x(x>2x>1) 真命题成假解释: 个体域N, F(x): x>1, G(x): x>2 代入得A=x(x>1x>2) 假命题咨询: xF(x)x F(x) 有成真解释吗？xF(x)x F(x) 有成假解释吗？被解释的公式别一定全部包含解释中的4部分.闭式在任何解释下基本上命题，注意别是闭式的公式在某些解释下也也许是命题.永真式（逻辑有效式）：无成假赋值矛盾式（永假式）：无成真赋值可满脚式：至少有一具成真赋值几点讲明：永真式为可满脚式，但反之别真谓词公式的可满脚性（永真性,永假性)是别可判定的利用代换实例可判某些公式的类型定义设A0是含命题变项p1, p2, …,p n的命题公式，A1,A2,…,A n是n个谓词公式，用A i处处代替A0中的p i (1i n)，所得公式A称为A0的代换实例.例如:F(x)G(x), xF(x)yG(y) 等基本上p q的换实例，x(F(x)G(x)) 等别是p q 的代换实例.定理重言式的代换实例基本上永真式，矛盾式的代换实例基本上矛盾式.2.3 一阶逻辑等值式等值式定义若A B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A B，并称A B 为等值式.基本等值式:命题逻辑中16组基本等值式的代换实例如，xF(x)yG(y) xF(x)yG(y)(xF(x)yG(y)) xF(x)yG(y) 等消去量词等值式设D={a1,a2,…,a n} xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)xA(x)A(a1)A(a2)…A(a n)量词否定等值式设A(x)是含x自由浮现的公式xA(x)x A(x)xA(x)x A(x)量词分配等值式x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)注意：对无分配律，对无分配律例将下面命题用两种形式符号化(1) 没有别犯错误的人(2) 别是所有的人都爱看电影解(1) 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))请给出演算过程，并讲明理由.(2) 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影.x(F(x)G(x))x(F(x)G(x))给出演算过程，并讲明理由.前束范式定义设A为一具一阶逻辑公式, 若A具有如下形式Q1x1Q2x2…Q k x k B, 则称A为前束范式, 其中Q i(1i k)为或，B为别含量词的公式.例如，x y(F(x)(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))是前束范式, 而x(F(x)y(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))别是前束范式.定理（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式注意:公式的前束范式别惟一求公式的前束范式的办法: 利用重要等值式、置换规则、换名规则、代替规则举行等值演算.换名规则: 将量词辖域中浮现的某个约束浮现的个体变项及对应的指导变项，改成其他辖域中未曾浮现过的个体变项符号，公式中其余部分别变，则所得公式与原来的公式等值.代替规则: 对某自由浮现的个体变项用与原公式中所有个体变项符号别同的符号去代替，则所得公式与原来的公式等值.例求下列公式的前束范式(1) x(M(x)F(x))解x(M(x)F(x))x(M(x)F(x)) （量词否定等值式）x(M(x)F(x))两步结果基本上前束范式，讲明前束范式别惟一.(2) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x) （量词否定等值式）x(F(x)G(x)) （量词分配等值式）另有一种形式xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)xF(x)y G(y) ( 换名规则) x y(F(x)G(y)) ( 量词辖域扩张) 两种形式是等值的(3) xF(x)xG(x)解xF(x)xG(x)xF(x)x G(x)x(F(x)G(x)) （为啥？）或x y(F(x)G(y)) （为啥？）(4) xF(x)y(G(x,y)H(y))解xF(x)y(G(x,y)H(y))zF(z)y(G(x,y)H(y)) （换名规则）z y(F(z)(G(x,y)H(y))) （为啥？）或xF(x)y(G(z,y)H(y)) （代替规则）x y(F(x)(G(z,y)H(y)))(5) x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))解用换名规则, 也可用代替规则, 这个地方用代替规则 x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z)))x(F(x,u)y(G(x,y)H(x,z)))x y(F(x,u)G(x,y)H(x,z)))注意：x与y别能颠倒。
离散数学-第一部分 数理逻辑-第二章 命题逻辑等值演算
名称
M0 M1 M2 M3
20
实例
由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项.
极小项
公式
成真赋值 名称
p q r 0 0 0 m0
p q r 0 0 1 m1
p q r 0 1 0 m2
p q r 0 1 1 m3
p q r 1 0 0 m4
p q r 1 0 1 m5
p q r 1 1 0 m6
p(qr) (pq) r p(qr) 不与 (pq) r 等值
2
等值式例题
例1 判断下列各组公式是否等值: (1) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr) pq (pq)r
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1Hale Waihona Puke 110 00111 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
结论: p(qr) (pq) r
3
等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r qr p(qr)
000 1
1
001 1
1
010 0
1
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 0
0
111 1
1
pq (pq)r
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
离散数学第2版课后习题答案
离散数学第2版课后习题答案离散数学是计算机科学和数学领域中一门重要的学科，它研究离散对象及其关系、结构和运算方法。
离散数学的应用非常广泛，包括计算机科学、信息科学、密码学、人工智能等领域。
而离散数学第2版是一本经典的教材，它系统地介绍了离散数学的基本概念、原理和方法。
本文将为读者提供离散数学第2版课后习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握离散数学的知识。
第一章：基本概念和原理1.1 命题逻辑习题1：命题逻辑的基本符号有哪些？它们的含义是什么？答：命题逻辑的基本符号包括命题变量、命题联结词和括号。
命题变量用字母表示，代表一个命题。
命题联结词包括否定、合取、析取、条件和双条件等，分别表示“非”、“与”、“或”、“如果...则...”和“当且仅当”。
括号用于改变命题联结词的优先级。
习题2：列举命题逻辑的基本定律。
答：命题逻辑的基本定律包括德摩根定律、分配律、结合律、交换律、吸收律和否定律等。
1.2 集合论习题1：什么是集合？集合的基本运算有哪些？答：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合的基本运算包括并、交、差和补等。
习题2：列举集合的基本定律。
答：集合的基本定律包括幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律和德摩根定律等。
第二章：数理逻辑2.1 命题逻辑的推理习题1：什么是命题逻辑的推理规则？列举几个常用的推理规则。
答：命题逻辑的推理规则是用来推导命题的逻辑规则。
常用的推理规则包括假言推理、拒取推理、假言三段论和析取三段论等。
习题2：使用推理规则证明以下命题：如果A成立，则B成立；B不成立，则A不成立。
答：假言推理规则可以用来证明该命题。
根据假言推理规则，如果A成立，则B成立。
又根据假言推理规则，如果B不成立，则A不成立。
2.2 谓词逻辑习题1：什么是谓词逻辑？它与命题逻辑有何区别？答：谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑系统，它引入了谓词和量词。
与命题逻辑不同，谓词逻辑可以对个体进行量化和描述。
交大数理逻辑课件2-2 命题逻辑的等值和推理演算共35页
是谁？
主析取范式的应用举例
② (1) (A D B D) (2) ( A D B D) (3) ( A D B D) (4) ( A D B D)
(可满足式）
用主析取范式判断公式的类型
((PQ) P)Q = ((PQ ) P) Q = ( P Q ) P Q = m10 m0x mx1 = m10 m00 m01 m01 m11 = m0 m1 m2 m3 = (0,1,2,3) =T （重言式）
主析取范式的用途
如 m1 m2 m6 用 (1,2,6) 表示。
求公式 A=(PQ)R 的主析取范式
解法1： (PQ)R
= ( P Q) R ,
= (PQ) R
（析取范式） ①
(PQ)
= (PQ) (RR)
= (PQR) (PQR)
= m6m7
②
R
=(PP) (QQ) R
=(PQR) (PQR) (PQR) (PQR)Leabharlann = (PQ)R （消去第二个）
= (PQ)R
（否定号内移——摩根律）
这已为析取范式（两个简单合取式构成）
继续： (PQ)R
= (PR)(QR) （对分配律）
这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）
极小项
定义
n个命题变项的简单合取式，其中每个命题变项与其否 定不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，这样 的简单合取式称为极小项。
如：两个命题变元P和Q，其极大项为：
P Q， P Q ， P Q ， P Q
M11
M10
说明
离散数学上海课后习题答案
离散数学上海课后习题答案离散数学是一门研究离散结构和离散对象的数学学科，其应用广泛，涉及到计算机科学、信息科学、电子工程等领域。
在学习离散数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要环节。
本文将为大家提供一些离散数学上海课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这门学科。
第一章命题逻辑1. 命题逻辑是研究命题之间关系的数学分支。
其中，命题是指可以判断真假的陈述句。
命题逻辑的基本运算有与、或、非、蕴含和等价等。
2. 真值表是用来表示命题逻辑中命题的真假取值的表格。
通过真值表，可以判断命题之间的逻辑关系。
3. 简化命题是指将复杂的命题通过逻辑运算简化为更简单的形式。
常用的简化方法有代入法、等价变换法和逻辑运算法则等。
4. 命题公式是由命题变量和逻辑运算符组成的表达式。
命题公式可以通过真值表来验证其真假。
第二章集合论1. 集合是由一些确定的对象组成的整体。
集合论是研究集合性质、集合间关系以及集合运算的数学理论。
2. 集合的基本运算有并、交、差和补运算。
并集是指将两个或多个集合中的元素合并在一起；交集是指两个或多个集合中共有的元素；差集是指一个集合中去掉与另一个集合中相同的元素；补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素。
3. 集合的基数是指集合中元素的个数。
对于有限集合，可以通过数数的方式确定其基数；对于无限集合，可以通过一一对应的方式确定其基数。
4. 集合的运算律是指集合运算满足的一些基本性质。
常见的集合运算律有交换律、结合律、分配律等。
第三章关系与函数1. 关系是指集合之间元素之间的一种对应关系。
关系可以用集合的形式表示，也可以用矩阵的形式表示。
2. 函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
函数可以用箭头图表示，也可以用公式表示。
3. 函数的性质有单射、满射和双射等。
单射是指函数中不同的输入对应不同的输出；满射是指函数的值域等于其陪域；双射是指函数既是单射又是满射。
离散数学之数理逻辑2
第一篇数理逻辑数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律的学科，它起源于公元十七世纪。
十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电子元件设计和性质分析的工具。
冯·诺意曼，图灵，克林，…等人研究了逻辑与计算的关系。
基于理论研究和实践，随着1946年第一台通用电子数字计算机的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。
除古典二值（真，假）逻辑外，还研究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。
不仅有演绎逻辑，也还有归纳逻辑。
计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序逻辑等。
现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。
第1-1章命题逻辑学习要求: 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习范式时与集合的范式进行对比。
表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表述各门学科的规则、理论等，除使用自然语言（这常常是上有歧异性的）外，还要使用一些特定的术语、符号、规律等“对象语言”，这些是所研究学科的一种特殊的形式化语言，研究思维结构与规律的逻辑学也有其对象语言。
本章就是讨论逻辑学中的对象语言—命题及其演算，它相当于自然语言中的语句。
§1-1-1 命题逻辑联结词与真值表一、命题的基本概念首先我们从下面的例子加以分析。
例1-1-1.1人总是要死的。
例1-1-1.2苏格拉底是人。
例1-1-1.3苏格拉底是要死的。
例1-1-1.4中国人民是勤劳和勇敢的。
例1-1-1.5鸵鸟是鸟。
例1-1-1.6 1是质（素）数。
[PDF] 离散数学基础：数理逻辑
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对于广义关系R， 若它满足对任意的三个元素x, y, z ， 若 x, y ∈R且 x, z ∈R， 则y = z ， 则称R为 广义函数(general function)。 不过我们通常考虑从A到B 的 （全） 函数(total function)f : A→B ， 它满 足： (i) f ⊆ A×B ； (ii) 对任意元素x， 若x∈A， 则存在y ∈B 使得 x, y ∈f ； (iii) 对任意三个元素x, y, z ， 若 x, y ∈f 且 x, z ∈f ， 则y = z 。 函 数是 现 代 数 学 的 核 心 概 念，函 数f : A→B 给 出A到B 的 一 种 特 殊 的对 应，这 种 特 殊 性 体 现 在：(i) 存在性：即对任意x∈A，都存在y ∈B 使得 x, y ∈f ；(ii) 惟一性：即对任意x∈A，仅存在惟一 的y ∈B 使得 x, y ∈f 。只所以这两个性质特别重要， 因为这是数学家一直追求的内容。大家知道， 古 代数学（到十五、六世纪）为止，数学（特别是代数学）的核心是求解方程，而求解方程追求的正是 方程要有解（存在性） ，而且要有惟一的解（惟一性） 。因此存在且惟一永远是数学家所追求的目标， 而函数这种对应则体现了这个目标。 我们可以将存在且惟一合称为函数性 (functionality)，很多时候，我们在对集合（信息、对象、 系统）进行变换（处理）的时候都希望有这种函数性，例如，我们常见的运算，数的加、减、乘、除，
参考文献
i
ii
目录
第一章
预备知识
我们在这一章讨论一些学习离散数学的预备知识，主要是与集合、关系及函数有关的一些基本 概念，并在讨论数学归纳法的基础上稍微深入一点讨论归纳原理，因为归纳原理在离散数学课程具 有十分重要的地位。
离散数学讲义 第二章命题逻辑PPT课件
解 令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
于是上述命题可表示为P→Q。
7
5．等值“”
定义2.2.5 设P和Q是两个命题，则它们的等值命
题是一个复合命题，称为等值式复合命题，记作“P Q” （读作“P当且仅当Q”）。
当P和Q的真值相同时,PQ取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
德.摩根定律
E11
PQP∨Q
E12
P Q (P∧Q)∨(P∧Q)
E13
P (QR) (P∧Q) R
E14
P Q (PQ)∧(QP)
E15
PQQP
23
三、等价式的判别
有两种方法：真值表方法，命题演算方法
1、真值表方法
例1 用真值表方法证明 E10： (PQ) PQ
解 令：A= (PQ)，B= PQ，构造A，B
一个复合命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起；
R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真的.
例9 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜
就读完它。”符号化。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
9
命题符号化
利用联结词可以把许多日常语句符号化。基本步骤如下：
离散数学基础-第二章-数理逻辑
g) 你获得这一职位表明你有最好的信誉。 h) 要成为美国公民，只要你生在美国就行了。 i) 除非下大雨，否则我是一定要出门的。 j) 要在服务器登录必须有一个有效的口令。
42
【定义】设P, Q是两个命题,复合命题“P当且仅 当Q” 称为P与Q的等价式，记做 P Q， 称为等 价联结词 。
是可兼或还是不可兼或。
▶若是可兼或，以及p, q不能同时为真的不可兼 或①，均可直接符号化为p∨q的形式。 ▶如果是不可兼或②，并且p与q可同时为真，就 应符号化为 (p∧┐q)∨(┐p∧q) 的形式。
31
【例】 将下列命题符号化。 (1)张三选修了英语课或者微积分课。 (2)今晚张三要么只看书要么只听音乐。 (3)a>0或a=0。
例：如果1+1=2，那么雪是白的。
37
4) 在数学和其他自然科学中， “如果p, 则q” 往往表达前件p为真，后件也为真的推理关 系；而在数理逻辑中，当前件p为假，不管 后件是真是假，规定 p→q都是真 (∵复合 命题p →q应有真值)。
例：校长宣布： 如果气温超过38℃，则全校停课。
38
关于“只有……, 才……”和“除非……, 否 则……”的符号化：
做 p → q， → 称为蕴涵联结词， p称为 前件， q称为后件。
“→ ”的读法：implies, if…then… （英）
蕴涵、如果…则… （中）
p→q的真值定义为：
p→q为假 iff p为真而q为
假
34
p→q的真值定义为： p→q为假 iff p为真而q为假
表2.4 p→q真值表
pq 00 01 10 11
(1) 相容或(可兼或)： 用它联结的命题具有相容性：命题可以同时为真， 如：张三会讲英语或日语。
离散数学2
1/13/2020 5:08 AM
Discrete Math. , huang liujia
13
例1.5 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。CHAPTER
(1) 如果3+3 = 6, 则雪是白色的。
ONE
(2) 如果3+3 ≠6, 则雪是白色的。
(3) 如果3+3 = 6, 则雪不是白色的。
(4) 如果3+3 ≠6, 则雪不是白色的。
(5) 只要 a 能被４整除，则 a 一定能被２整除。
(6) a 能被４整除，仅当 a 能被２整除。
(7) 除非 a 能被２整除，a 才能被４整除。
(8) 除非 a 能被２整除，否则 a 不能被４整除。
(9) 只有 a 能被２整除，a 才能被４整除。
(10) 只有 a 能被４整除，a 才能被２整除。(a 是一个给定的正整数）。
注：p↔q 可理解为“q与p互为充分必要条件”；
它与(p→q)∧(q→p)的逻辑关系完全一致。
1/13/2020 5:08 AM
Discrete Math. , huang liujia
15
例 1.6 将下列命题符号化，并讨论它们的真值。CHAPTER ONE
(1) √3 是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。 (2) 2+3=5的充要条件是√3是无理数。 (3) 若两圆的面积相等, 则它们的半径相等, 反之亦然。 (4) 当王小红心情愉快时, 她就唱歌, 反之, 当她唱歌时, 一定心情愉快。 解：(1)令p:√3是无理数；q: 加拿大位于亚洲，则符号化为
2
CHAPTER ONE
逻辑学: 研究人的思维形式和规律的科学．由于研究的 对象和方法各有侧重而又分为形式逻辑、辩证逻辑和数理逻 辑．
离散数学 第2章 命题逻辑
6
程序解法：
#include "stdio.h" #include "conio.h" main() { int p,q,r,A1,A2,A3,B1,B2,B3,C1,C2,C3,E; for(p=0;p<=1;p++) for (q=0;q<=1;q++) for(r=0;r<=1;r++) { A1=!p&&q;A2=(!p&&!q)||(p&&q);A3=p&&!q; B1=p&&!q;B2=(p&&q)||(!p&&!q);B3=!p&&q; C1=!q&&r;C2=(q&&!r)||(!q&&r);C3=q&&r; E=(A1&&B2&&C3)||(A1&&B3&&C2)||(A2&&B1&&C3)||(A2&&B3&&C1)||(A3&&B1&&C2)||(A3 &&B2&&C1); if (E==1) printf("p=%d\tq=%d\tr=%d\n",p,q,r); } getch(); }
复合命题： E=(A1 ∧B2 ∧C3) ∨ (A1 ∧B3 ∧C2) ∨ (A2 ∧B1 ∧C3) ∨ (A2 ∧B3∧C1) ∨ (A3 ∧B1 ∧C2) ∨ (A3 ∧B2 ∧C1)
A1 ∧B2 ∧C3 = (p ∧q ) ∧ ((p ∧ q) ∨(p ∧ q) ) ∧(q ∧ r) 0 A1 ∧B3 ∧C2 = (p ∧q ) ∧ ( p ∧ q) ∧( (q ∧ r) ∨(q ∧ r ) ) p ∧q ∧ r A2 ∧B1 ∧C3 =A2 ∧B3∧C1 = A3 ∧B2 ∧C1 = 0 A3 ∧B1 ∧C2 p ∧ q ∧ r E (p ∧q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r) 所以王教授是上海人。
离散数学PPT课件 12数理逻辑介绍(ppt文档)
数理逻辑把推理符号化之二
• 设M(x): x是金属 . 设C(x): x能导电. 设x 表示: 所有的x . 设 a 表示铜.
例2的推理过程表示为：
前提:x(M(x)C(x)) (所有金属都导电.)
前提:M(a)
(铜是金属.)
结论:C(a)
(铜能导电.)
(其中符号M(x)是谓词，所以这就是第二
• 正确的思维： 概念清楚，判断正确，推理合乎逻辑。
• 人们是通过各种各样的学习(理论学习和 从实践中学习)来掌握许多概念和判断。
• 而形式逻辑主要是研究推理的。
• 推理： 是由若干个已知的判断(前提)，推出新 的判断(结论)的思维过程。
推理方法
• 类比推理：由个别事实推出个别结论。 如：地球上有空气、水，地球上有生物。 火星上有空气、水。
第一篇 数理逻辑
• 逻辑--是研究人的思维的科学。 它包含：
• 1.辩证逻辑：是研究人的思维中的辩证法。 例如：用全面的和发展的观点观察事物； 具体问题具体分析； 实践是检查事物正误的唯一标准；等等。
• 2.形式逻辑：是研究人的思维的形式和一 般规律。
• 这里我们只关心形式逻辑。
一 .形式逻辑
• 人的思维过程： 概念 判断 推理
• 这里只讨论“命题逻辑”和“谓词逻辑”。 • 下面就前面两个例子，说明如何将推理符
号化的。
数理逻辑把理符号化之一
• 设 P表示：天下雨。 设Q表示：路上有水。 设表示：如果…则… 例1的推理过程表示为： 前提1:PQ (如果天下雨,则路上有水。) 前提2：P (天下雨了。) 结 论：Q (路上有水。) (这就是第一章命题逻辑中要讨论的问题)
章“谓词逻辑”中所讨论的内容.）
交大数理逻辑课件数理逻辑和集合论复习提纲23页PPT
18周星期三(12月29日)，3:00-5:00 答疑地点：31号楼3楼教师休息室
《数理逻辑》样卷
一、单选题（共10分）
1．下列命题公式中，是重言式的 是____________。
A． (p q) q B. (p q) (p q) C. p∧q D. p q
2．设A、B、C、D为任意集合， 下面命题为真的是 ____________。
《数理逻辑与集合论》
复习提纲
第1章 命题逻辑的基本概念
1.1 命题 1.2 命题联结词及真值表 1.3 合式公式 1.4 重言式（三类公式的关系：P8） 1.5 命题形式化 1.6 波兰表达式
第2章 命题逻辑的等值和推理演算
2.1 等值定理 会运用等值式证明两个公式是否相等、判断公式的类型
2.2 等值公式
五. 证明题（20%）
证明 A=B C=D AC=BD 证： 任取<x,y>
<x,y>AC xA yC xB yD <x,y>BD
《数理逻辑》试题样卷
六.应用题：（20%）
证明苏格拉底三段论: “人都是要死的, 苏格拉底是人，所 以苏格拉底是要死的.”
令 F(x): x是人, G(x): x是要死的, a: 苏格拉底
前提：x(F(x)G(x))，F(a)
结论：G(a)
证明： ① F(a)
前提引入
② x(F(x)G(x)) 前提引入
③ F(a)G(a)
②UI
④ G(a)
①③假言推理
考试和答疑安排
考试时间：
18周星期五(12月31日)，8:00-10:00AM 考试地点：340402
2．符号化下面命题，并用谓词逻辑构造其推证结论的过程： 乌鸦都不是白色的. 北京鸭是白色的. 因此，北京鸭不是乌 鸦.
离散数学作业分析
如当������ ������ = 1, ������ ������ = 1, ������ ������ = 0时， ������ ������ ↑ ������ ↑ ������ = 1 ������ ������ ↑ ������ ↑ ������ = 0
分析： 大家要注意题目的要求，不要忘记举例说明。 上海交通大学 离散数学作业分析 14/52
������ ������ = 1，������ ������ = 0，������ ������ = 1
������ ������ → ������ ⋀ ������⋀������ ⋀≦ ������⋀������ → ������⋀������ =0
������ ������ = 0，������ ������ = 1，������ ������ = 1
1. 2. 3. 4.
������⋀ ≦������ ������ ↔ ������
→ ������
≦ ≦������ ∨ ������
→ ������
������ ↔ ≦ ≦������ ∨ ������
上海交通大学 离散数学作业分析 3/52
1.1 命题与联结词 解：
1. 如果我吃饭前完成作业并且今天不下雨，那么我就去看球赛。 2. 我吃饭前完成作业当且仅当我去看球赛。 3. 如果我吃饭前没完成作业或今天下雨两件事都没发生，那么
1.3 等值演算
10.
������⋀������⋀������ → ������ ⋀ ������ → ������ ∨ ������ ∨ ������ ⟺ ≦ ������⋀������⋀������ ∨ ������ ⋀ ≦������ ∨ ������ ∨ ������ ∨ ������ ⟺ ≦������ ∨ ������ ∨ ≦������ ∨ ≦������ ⋀ ������ ∨ ������ ∨ ������ ∨ ������ ⟺ ≦������ ∨ ������ ⋀ ≦������ ∨ ≦������ ⋀ ������ ∨ ������ ������⋀ ������ ↔ ������ → ������ ⟺ ≦ ������⋀ ������ ↔ ������ ∨ ������ ⟺ ≦������ ∨ ≦ ������ ↔ ������ ∨ ������ ⟺ ≦������ ∨ ������ ∨ ������ ↔ ≦������ ⟺ ≦������ ∨ ������ ∨ ≦������ ∨ ≦������ ⋀ ������ ∨ ������ 分析： 大家要牢记28个基本等值式，做到融会贯通，熟练应用。 这种题型在考试中属于基础得分题，不能轻易放弃。 上海交通大学 离散数学作业分析 10/52
交大网络学院离散数学第二次作业
1. 令f和g分别为从{1，2，3，4}到｛a,b,c，d｝和从{a，b,c,d｝到{1,2，3，4｝的两个函数，且满足f（1)=d, f(2)=c，f(3)=a, f（4)=b和g（a)=2，g（b）=1, g（c)=3，g（d)=2.则：（1）f 是一对一的函数吗？g呢？（2）f是映上函数吗? g呢?（3）f或g是否有逆函数？若有，求出逆函数。
解:(1）∵f=｛（1，d),（2,c),（3，a），（4，b)} ∴f是一对一函数∵g=｛(a，2）,（b，1），(c,3)，（d,2)} 又∵g(a）=2=g(d) ∴g不是一对一函数(2) f是映上函数,因为Y= {a，b,c，d｝中的每个元素至少被X={1，2，3，4｝的一个元素所指向。
g不是映上函数,因为Y={1，2，3，4}中的元素4没有被X=｛a，b,c,d｝的元素所指向.（3）∵f是一对一的映上函数∴f有逆函数，f—1=｛（d,1）,（c，2），（a，3）,(b，4）｝∵g不是一对一且映上的函数∴g没有逆函数2。
以8,14，32,86，248开头的序列之项推测一个表达式,并据此求出该序列的后续三项。
解:3。
方程x1+x2+x3+x4+x5=21有多少个解？其中xi≥2 （i=1，2，3,4,5)是非负整数.解：可将题目转化为把21个相同的球放入5个不同的盒子,每个盒子至少放2个球有多少种方法的问题.使用隔板法可得C（21-5x2+5—1，21—5x2）=C（15，11）= = 1365个解.4. 把6个相同的球放到9个不同的箱子，有多少种方法？解：C（9+6—1, 6）= C(14，6) ==3003 种方法5。
使用ABRACADABRA 中的所有字母可以构造多少个不同的串？解:C(11，5）C(6，2）C（4，2)C(2，1）===41580。
离散数学第二章命题逻辑等值演算
再如 ┑p ∨ q 既是p →q的析取范式又是它的的合取范式
如果公式的范式不唯一则对于将公式按等值进行分类的利用价值就不高
p q (p → q)∧(q→p) (p∧q)∨(┓p∧┓q)
00
1
1
01
0
0
10
0
0
11
1
1
（0,0）与（1,1）为公式的成真赋值。 （0,1）与（1,0）为公式的成假赋值
命题公式的分类（根据公式在赋值下的真值情况进行分类） 1）若命题公式在它的各种赋值下取值均为真,则称命题公式是重言
式或永真式。 2）若命题公式在它的各种赋值下取值均为假,则称命题公式是矛盾
2
如：┐Q∧（Ｐ→Q） → ┐P
4
分析1：若要得出：当设 A为真，B为
假的情况不会出现，
5
那么A →B 为永真式。
6
可证明：设前件为真
7
分析2： 还可以从设 B为假，推出A
为真的情况不会出现（A为假），
9
证明： 设后件为假
8
那么A →B 为永真式。
1 0
(（Ｐ→Q）∧( Q→R)) →(Ｐ→R)
不同真值表的公式 1）当命题变元确定后，通过五个连接词及其命题变元可以构成 无数个不 同表现形式的命题公式。 问题：这些不同形式的命题公式的真值表是否都不相同？ 先看变元仅有两个p,q 那么关于这两个变元的公式的赋值仅有4组
（┐p ∨ q）∧（┐q∨┐p∨r）∧┐q
是含三个简单析取式的合取范式．
2、性质：
1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式
2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式
┐p ∧ P ∨ ┐ q∧ q ⇔ 0 ∨ 0 ⇔ 0
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如¬P∧(P∨Q)∧(P∨¬Q∨R)
合取范式
任意公式均可化归成合取范式
例子：求¬(P∨Q)↔P∧Q的合取范式
定理：一公式是重言式的充要条件是其 合取范式的每一个合取项中均必同时包 含一个命题变元及其否定
特异析取范式
析取范式从形式上并不唯一 但可以化约成一种唯一形式的范式
公式是一个析取式，每个析取项都是一 个合取式，每个合取式中的合取项只是 命题变元或命题变元的否定。
不包含蕴含和等价联结词，否定联结词只作 用在单个的命题变元前
如¬P∨(P∧Q)∨(P∧¬Q∧R)
析取范式
任意公式均可化归成析取范式
将蕴含和等价联结词化归成∧∨¬ 将否定联结词深入至命题变元，并利用
P∨Q, P→R, Q→R╞ R 两难推论
命题逻辑推理
例子：假设下列推论是正确的
只要姚明上场，火箭就能赢开拓者
如果张三认真听课，姚明就答应上场
只要赢了开拓者，姚明就可以加工资
能否证明：张三不认真听课，姚明就加
不上工资了
不能
命题逻辑推理
能否证明：姚明没加上工资，那张三肯 定没认真听课
特异析取范式
特异析取范式的析取项称为最小项，n个 命题变元可以构成2n个最小项
任意公式均可化归成析取范式，又均可 以化归为若干个最小项组成的特异析取 范式
n个命题变元可以有2n个不同的指派，每 一个指派唯一对应一个最小项使其为T
特异析取范式
因此，还 可以利用 真值表构 造特异析 取范式
PQR
最小项
TTT
P∧Q∧R
TTF
P∧Q∧P∧¬Q∧¬R
FTT
¬P∧Q∧R
F T F ¬P∧Q∧¬R
F F T ¬P∧¬Q∧R
F F F ¬P∧¬Q∧¬R
特异析取范式
定理：一公式的真值表中使其为T的指派 所对应的最小项组成的析取范式即为该 公式的特异析取范式
一个公式的特异析取范式，若命题变元 的个数及出现的顺序是确定的，则特异 析取范式是唯一的
注意：等式A=B代表的含义是A↔B永真， 不是A永真或B永真
等式的对偶定理
定义：设有公式A，其中仅使用了联结词 ∧∨¬，则将其中的联结词∧∨及命题常量 T、F分别换成∨∧和F、T后得到的公式A* 称为A的对偶公式
对偶定理：设有等式A=B，且A,B中均只 使用了联结词∧∨¬，则有A*=B*
即若有一个等式成立，其两边公式的对偶公 式的等式也成立
等式的对偶定理
例子：
由P∨(P∧Q)=P可得P∧(P∨Q)=P 由P∧Q= ¬(¬P∨¬Q) 可得
P∨Q= ¬(¬P∧¬Q) 由F∧P =F 可得
T∨P =T
蕴含重言式
基本蕴含重言式
第182页(43)-(61)，可用真值表证明 P∧Q P意味着P∧Q → P永真
PQ TT TF FT FF
P∧Q T F F F
P∧Q → P T T T T
蕴含重言式
基本蕴含重言式
¬P P→Q Q P→Q ¬P∧(P∨Q) Q (P→Q)∧(Q→R) P→R
此外等价重言式可生成两个蕴含重言式
因为P↔Q = (P→Q)∧(Q→P) 所以若P Q (即P=Q)，则有PQ且QP
命题逻辑推理
离散数学之数理逻辑（2）
上海交通大学软件学院 吴刚
2009年春
内容
命题逻辑
等式的对偶定理 蕴含重言式与命题逻辑推理 范式 命题联结词的归约
回顾命题的公式化
如果我下班早, 就去商店看看, 除非我很累
¬P∧Q→R，其中P代表“我很累”，Q代表“我下班 早”，R代表“我去商店看看”
还可表示为：¬P →(Q→R)
¬¬P=P使命题变元前的双否定词消去 利用分配律将公式化归成析取范式 例子：求¬(P∨Q)↔P∧Q的析取范式
定理：一公式是矛盾的充要条件是其析 取范式的每一个析取项中均必同时包含 一个命题变元及其否定
合取范式
公式是一个合取式，每个合取项都是一 个析取式，每个析取式中的析取项只是 命题变元或命题变元的否定。
P：张三认真听课；Q：姚明上场打球 R：火箭赢开拓者；S：姚明加工资
证明：
前提条件为 P→Q， Q→R， R→S P→Q, Q→R╞ P→R P→R, R→S╞ P→S P→S, ¬S╞ ¬P
范式
能否将公式化归到一种标准的形式？ 这种标准形式就叫做范式 析取范式与合取范式
析取范式
命题逻辑推理
若有PQ，则有P╞ Q 若有P1∧P2∧P3Q，则有
P1,P2,P3╞ Q
命题逻辑推理
一些推理规则 (183页(63)-(72))
¬P, P∨Q╞ Q
析取三段论
¬P∧(P∨Q) Q
P, P→Q╞ Q
假言推论
¬Q, P→Q╞ ¬P
拒取式
P→Q, Q→R╞ P→R 假言三段论
一般推理模式
一组前提，推出一个结论 前提1,前提2,…,前提n╞ 结论 所有的前提是合取关系，与顺序无关 只有在“当所有前提都为真时，结论为真”
成立的情况下，这一推理才是有效的。
定理：
“前提1,前提2,…,前提n╞ 结论”有效的充 要条件是命题公式“(前提1 ∧前提2 ∧… ∧ 前提n) →结论”是重言式
李四是计算机系的学生, 他住在312室或313室
P∧(Q∨R)∧(¬(Q∧R))，其中：P代表“李四是计算 机系学生”，Q代表“李四住312室”，R代表“李 四住313室”
还可表示为：P∧((Q∧¬R)∨(¬Q∧R))
等式的证明
例1： ¬P∧Q→R = ¬P →(Q→R)
例2： P∧(Q∨R)∧(¬(Q∧R))= P∧((Q∧¬R)∨(¬Q∧R))
在每个析取项中，公式的所有命题变元均出现，且 以其自身或其否定的形式出现一次且仅有一次，那 么这种范式就叫特异析取范式
（1）去除永假的析取项 （2）析取项中若某命题变元出现多次，化约成一次 （3）析取项中若某一命题变元未出现，则利用
P∧(Q∨¬Q)=P扩充之，并利用分配律展开成多个析 取项，并去除相同的析取项
特异析取范式
一些结论
n个命题变元可以组成也只能组成2的2n次方 个不同的公式
一公式是重言式的充要条件是它的特异析取 范式包含所有的最小项