中考数学《几何探究问题》

如图2,△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,
∠BAC=∠DAE=90°,点D在边BC的延长线上,
连接CE,请判断∠ACE的度数及线段AC,CD,CE
之间的数量关系,并说明理由.
(3)问题解决
如图3,在Rt△ABC中,AC=3,BC=5,∠ACB=90°,若点P满足PA=PB,∠APB=90°,请直接写出线
形的性质得到
，再利用勾股定理求出 AB 即可得到 AE 的长.(2)①通
过证明四条边相等判断四边形 AEMF 为菱形；②连接 AM 交 EF 于点 O，设
AE=x，先证明△CME∽△CBA，得到
， 求出 CM 长，再利用勾股
定理得 AM，然后根据菱形的面积公式计算 EF；(3)如图 3，作 FH⊥BC 于点 H，先证明△NCE∽△NHF，利用相似比得到 FH:NH=4:7，设 FH=4x，NH=7x，
∴∠DCF=∠DCA+∠ACF=90°,
∴CF⊥CE,∴EF2=FC2+CE2,
将⑥⑦代入得DE2=BD2+CE2.
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1.(1)问题发现
如图1,△ABC和△ADE均为等边三角形,点D在BC的延长线上,连接CE,请填空:
①∠ACE的度数为
;
②线段AC,CD,CE之间的数量关系为
.
(2)拓展探究
∴AE=EM=MF=AF,
∴四边形AEMF为菱形.
②连接AM交EF于点O,如图2,
设AE=x,则EM=x,CE=4-x,
∵四边形AEMF为菱形,∴EM∥AB,
∴△CME∽△CBA,
∴
,
题型1
题型2
题型3
在 Rt△ACM 中,AM=
,
∵S 菱形 AEMF= EF·AM=AE·CM,
∴EF=2×
.
(3)如图3,作FH⊥BC于点H, ∵EC∥FH,∴△NCE∽△NHF,
∴AB=
=5,
∵∠EAF=∠BAC,∴Rt△AEF∽Rt△ABC,
∴
,
∴AE= .
题型1
题型2
题型3
(2)①四边形AEMF为菱形.理由如下:
如图2,∵△ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点M处,
∴AE=EM,AF=MF,∠AFE=∠MFE,
∵MF∥AC,∴∠AEF=∠MFE,
∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,
∴△BAD≌△CAF,
∴BD=CF,②
且∠ACF=∠ABD=45°,即∠ECF=90°,
在△ECF中,结合已证明的①②得DE2=BD2+CE2.
题型1
题型2
题型3
(3)解法1:将△CAE顺时针旋转90°得△BAF,连接DF,如图2所示.
∴BF=CE,③
AF=AE,
∵∠ACE=135°=∠ABF,∠ABC=45°,
∴DF=
.
题型1
题型2
题型3
题型2 与相似三角形有关的探究 典例2 (2016·内蒙古包头)如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中 ∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E,F分别是AC,AB边上的点,连接EF. (1)如图1,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,且使S四边形 ECBF=3S△EDF,求AE的长. (2)如图2,若将纸片ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在BC边上的点M处,且使MF∥CA. ①试判断四边形AEMF的形状,并证明你的结论; ②求EF的长.
常用的解题策略: 1.找特征或模型:如中点、特殊角、折叠、相似结构、三线合一、三角形面积等; 2.找思路:借助问与问之间的联系,寻找条件和思路; 3.照搬:照搬前一问的方法和思路解决问题,如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照 搬相似等; 4.找结构:寻找不变的结构,利用不变结构的特征解决问题.常见的不变结构及方法:有直 角,作垂线,找全等或相似;有中点,作倍长,通过全等转移边和角;有平行,找相似,转比例.
题型1
题型2
题型3
题型1 与全等三角形有关的探究
典例1 (2016·山东泰安)(1)已知:△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是
直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A=60°(如图①),求证:EB=AD;
(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图
图1
图2
图3
题型1
题型2
题型3
【解析】本题考查轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、同角的余角相等、全等三 角形的判定与性质及勾股定理.(1)根据轴对称的性质可得∠DAE=∠FAE,AD=AF,再得出 ∠BAC=∠DAF,然后根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似得以证明;(2)根据轴 对称的性质可得EF=DE,AD=AF,再求出∠BAD=∠CAF,然后利用边角边证明△ABD和 △ACF全等,根据全等三角形性质可得CF=BD,∠ACF=∠ABD,然后求出∠ECF=90°,最后利 用勾股定理证明即可;(3)作点D关于AE的对称点F,连接AF,EF,CF,根据轴对称的性质可得 EF=DE,AF=AD,再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,再结合(2)即可.
(3)如图 3,若 FE 的延长线与 BC 的延长线交于点 N,CN=1,CE= ,求 的值.
题型1
题型2
题型3
图1
图2
图3
题型1
题型2
题型3
【解析】本题考查三角形综合题.(1)先利用折叠的性质得到 EF⊥AB，△AEF≌
△DEF，则易得 S△ABC=4S△AEF，再证明 Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角
几何探究问题是中考必考题型,考查知识全面,综合性强,它把几何知识与代数知识有机 结合起来,渗透数形结合思想,重在考查分析问题的能力、逻辑思维推理能力.如折叠类型、 探究型、开放型、运动型、情境型等,背景鲜活,具有实用性和创造性,在考查考生计算能 力的同时,考查考生的阅读理解能力、动手操作能力、抽象思维能力、建模能力,力求引 导考生将数学知识运用到实际生活中去.需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判 断等来确定所需求的结论、条件或方法,因而解题的策略是将其转化为封闭性问题.
∴AB= ,
过点 D 作 DE⊥AB 于点 E, ∵PA=PB,∠APB=90°,
∴∠PAB=∠PBA=45°,且 A,B,P,C 四点共圆,AP=PB=
,
设 AE=DE=x,则 BE= x,
∴x+
,∴x= ,
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题型3
解法2:作点D关于直线AE的对称点F,连接AF,EF,CF,如图3所示.
∴AD=AF,DE=EF,⑥
∠DAE=∠FAE=α,
∴∠DAF=2α=∠BAC,
即∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC,
∴∠BAD=∠CAF.
又∵AB=AC,AD=AF.
∴△BAD≌△CAF,
∴BD=CF,⑦
且∠ACF=∠ABD=45°,
再证明△BFH∽△BAC，利用相似比可求出 x= ，进而求出 FH 和 BH，接着利
用勾股定理计算出 BF，从而得到 AF 的长，于是可计算出 的值.
题型1
题型2
题型3
【答案】 (1)如图1,∵△ACB的一角沿EF折叠,折叠后点A落在AB边上的点D处,
∴EF⊥AB,△AEF≌△DEF,
∴S△AEF≌S△DEF, ∵S四边形ECBF=3S△EDF,∴S△ABC=4S△AEF, 在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,
∴在△DBE 和△CFD 中,
∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF, ∴EB=AD.
题型1
题型2
题型3
(3)
.
理由如下: 作DF∥BC交AC于点F,如图3所示: 同(1)得:△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF, ∵△ABC是等腰直角三角形,DF∥BC, ∴△ADF是等腰直角三角形,
∴CN∶NH=CE∶FH,即 1∶NH= ∶FH,∴FH∶NH=4∶7,
设FH=4x,NH=7x,则CH=7x-1,BH=3-(7x-1)=4-7x, ∵FH∥AC,∴△BFH∽△BAC,
题型1
题型2
题型3
∴BH∶BC=FH∶AC,即(4-7x)∶3=4x∶4,解得 x= ,
∴FH=4x=
,
在 Rt△BFH 中,BF=
=2,
∴AF=AB-BF=5-2=3,
∴
.
题型1
题型2
题型3
题型3 与全等和相似三角形有关的探究 典例3 (2016·湖北黄石)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α. (1)如图1,若点D关于直线AE的对称点为F,求证:△ADF∽△ABC. (2)如图2,在(1)的条件下,若α=45°,求证:DE2=BD2+CE2. (3)如图3,若α=45°,点E在BC的延长线上,则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗?请说明理由.
段PC的长度.
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解:(1)①∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠BAC=60°,
∵△ADE为等边三角形,
∴AD=AE,∠DAE=60°,
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,即∠BAD=∠CAE,
在△BAD 和△CAE 中,
∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴∠ACE=∠B=60°. ②∵△ABD≌△ACE,∴BD=CE, ∴BC=BD-CD=CE-CD, ∴AC=CE-CD.
题型1
题型2
题型3
【答案】 (1)作DF∥BC交AC于点F,如图1所示. ∴∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE, ∵△ABC是等腰三角形,∠A=60°, ∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°, ∴∠DBE=120°,∠ADF=∠AFD=60°=∠A, ∴△ADF是等边三角形,∠DFC=120°,∴AD=DF, ∵∠DEC=∠DCE,∴∠FDC=∠DEC,ED=CD,
②),(1)的结论是否成立,并说明理由;
(3)若将(1)中的“若∠A=60°”改为“若∠A=90°”,其他条件不变,则 的值是多少?(直接写出
结论,不要求写解答过程)
题型1
题型2
题型3
【解析】(1)作DF∥BC交AC于F,由已知得△ABC和△ADF均为等边三角形,则AD=DF,利 用AAS证明△DBE≌△CFD,得EB=DF,从而EB=AD;(2)作DF∥BC交AC的延长线于点F,同 (1)证出△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出结论;(3)作DF∥BC交AC于点F,同(1) 得:△DBE≌△CFD,得出EB=DF,证出△ADF是等腰直角三角形,得出DF= AD,即可得出 结果.
专题五 几何探究问题
几何探究问题主要涉及利用三角形的性质进行相关的探索与证明、三角形和四边形的综 合探索与证明以及几何动态问题等.这是中考对几何推理与证明能力考查的必然体现,重 在提高学生对图形及性质的认识,训练学生的推理能力,解题时应注意演绎推理与合情推 理的结合.全国各地的中考数学试题都把几何探究问题作为中考的压轴题之一,安徽省中 考也是如此,如2016年的第23题、2015年的第23题、第2014年的第23题、2013年的第23 题等.预计2017年安徽中考中,这类问题仍是考查的重点之一,需重点复习.
∴∠FBD=90°,
即DF2=BF2+BD2,④
由旋转的性质,∠BAF=∠CAE,
∴∠BAF+∠FAC=∠CAE+∠FAC=2α,
∴∠DAF=∠FAE-∠DAE=2α-α=α,AF=AE,
又∵AD为公共边,
∴△DAF≌△DAE,即DF=DE.⑤
将③⑤代入④式,
得DE2=BD2+CE2.
题型1
题Hale Waihona Puke Baidu2
在△DBE 和△CFD 中,
∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∴EB=AD.
题型1
题型2
题型3
(2)EB=AD成立. 理由如下: 作DF∥BC交AC的延长线于点F,如图2所示. 由(1)得AD=DF,∠FDC=∠ECD,∠FDC=∠DEC,ED=CD, 又∵∠DBE=∠DFC=60°,
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(2)∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形, ∴AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
在△ACE 与△ABD 中,
∴△ACE≌△ABD(SAS), ∴∠ACE=∠B=45°,BD=CE,即BC+CD=CE, ∴BC=CE-CD,
∴ AC=CE-CD.
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(3)如图(1),点 C,P 在 AB 的同侧时, ∵AC=3,BC=5,∠ACB=90°,
题型1
题型2
题型3
【答案】 (1)∵D,F关于直线AE对称,
∴DE=EF,①
∠DAE=∠FAE=α,
∴∠DAF=2α=∠BAC,
又∵AB=AC,AD=AF,∴△ADF∽△ABC.
(2)∵∠DAF=2α=∠BAC,
∴∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC,即∠BAD=∠CAF,
又AB=AC,AD=AF,