123456求法

数列通项公式的十种求法

例1 已知数列{}n a 满足1

232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 例3 已知数列{}n a 满足1

12313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。 例4

已知数列{}n a 满足1

132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

例5 已知数列{}n a 满足1

12(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

例6 （2004年全国I 第15题，原题是填空题）已知数列{}n a 满足

11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。

例7 已知数列{}n a 满足1

12356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。 例8 已知数列{}n a 满足1

135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。 例9 已知数列{}n a 满足21

123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

例10 已知数列{}n a 满足5

1

23n n n a a +=⨯⨯，17a =，求数列{}n a 的通项公式。

例11 已知数列{}n a 满足3(1)21

15n

n n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。

例12 已知数列{}n a 满足1122

8(1)8

(21)(23)9

n n n a a a n n ++=+

=++，，求数列{}n a 的通项公式。 例13 已知数列{}n a

满足1

11

(14116

n n a a a +=

+=，，求数列{}n a 的通项公式。 例14 已知数列{}n a 满足1

12124

441

n n n a a a a +-=

=+，，求数列{}n a 的通项公式。

例15 已知数列{}n a 满足1

172

223

n n n a a a a +-=

=+，，求数列{}n a 的通项公式。

一、选择题：

3、等比数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =2n －1，则

a 12＋a 22＋a 32＋…+a n 2等于 ( )

A ．2

)12(-n B ．)12(31-n C ．14-n D ．

)14(3

1-n

8.数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n －

1，…的前n 项和为（ ）

A.2n －n －1

B.2n +1－n －2

C.2n

D.2n +1－n

9．已知数列{}n a 的通项公式为n

n n

a 2=，则该数列的前n 项的和为 ( ) A. 242n n +- B. 22

n

n + C. 222n n +- D. 1242n n

++- 11. 数列｛a n ｝中，

n a =

，若s n = 9 ，则n 等于 （ ）

A. 9

B. 10

C. 99

D. 100 三、解答题：

17.（本小题满分10分）已知等差数列{a n }中，a 2=8,前10项和S 10=185.

（1）求通项n a ；

（2）若从数列{a n }中依次取第2项、第4项、第8项 (2)

项……按原来的顺序组成一个新的数列{b n }，求数列{b n }的前n 项和T n .

18．（2003年天津文19）已知数列).2(3

,1}{11

1≥+==--n a a a a n n n n 满足

（Ⅰ）求;,32a a （Ⅱ）证明.2

1

3-=n n a 20. 数列{a n }的前n 项和为.64,8}{,53112

+==+=n n n n b b b b n n S 中数列 （1）求通项a n ；

（2）是否存在常数a 、b ，使得对一切自然数n 都有b b a n a n +=log 成立.若存在，

求出a 、b 的值；若不存在，说明理由.

21.设数列{n a }的首项1a =1前n 项和n s 满足关系式t s t ts n n 3)32(31=+--(t>0,n ∈N,n ≥2)． （1） 求证数列{n a }是等比数列；

（2） 设数列{n a }的公比为)(t f ，作数列{n b }，使11=b ，)1

(

1

-=n n b f b ，(n ∈ N,n ≥2)，求b n ．

22.数列｛a n ｝满足a 1=1,a n =

1

2

a n-1+1 (n ≥２) ⑴ 写出数列｛a n ｝的前５项；

⑵ 求数列｛a n ｝的通项公式。

答 案

3.D 8. B 9. C 11.C 二、解答题：

17.（本小题满分10分）已知等差数列{a n }中，a 2=8,前10项和S 10=185.

（1）求通项；

（2）若从数列{a n }中依次取第2项、第4项、第8项…第2n 项……按原来的顺序组成一个新的数列{b n }，求数列{b n }的前n 项和T n .

考查等差、等比数列性质、求和公式及转化能力.【解】 （1）设{a n }公差为d ,有

⎪⎩

⎪

⎨⎧=⨯+=+18529

1010811d a d a 解得a 1=5,d =3∴a n =a 1+(n －1)d =3n +2(2)∵b n =a n 2=3×2n +2 ∴T n =b 1+b 2+…+b n =(3×21+2)+(3×22+2)+…+(3×2n +2)=3(21+22+…+2n )+2n =6×2n

+2n －6.

18． （Ⅰ）∵a 1=1 . ∴a 2=3+1=4, a 3=32+4=13 . （Ⅱ）证明：由已知a n －a n －1=3n －

1,故

.

2

1

3133

3

)()()(2

1

1

12211-=++++=+-++-+-=-----n n n n n n n n a a a a a a a a 所以

证得2

1

3-=n n a

20. 数列{a n }的前n 项和为.64,8}{,53112

+==+=n n n n b b b b n n S 中数列 （1）求通项a n ；

（2）是否存在常数a 、b ，使得对一切自然数n 都有b b a n a n +=log 成立.若存在，

求出a 、b 的值；若不存在，说明理由.

解：①.8,2623n n n b n a -=+=

②假设存在这样的a ,b ，使得对一切自然数n 都有,log 成立b b a n a n +=

则.8log 38log 8log )23(8log log 26223a a a n a n a b n b n b b b n ++=+-=+=+=+--

令⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎪⎩

⎪⎨⎧-===⎩⎨⎧+==--.11,

21,8log 32)21(8,8log 32,8log 662

62b a b a b a a a 即∴存在这样的数.11,21==b a

21. 分析 由已知等式作递推变换，转化为关于1+n a 与n a 的等式，在此基础上分析1-n a 与

n a 的比值，证得（1）的结论后，进一步求)(t f ，再分析数列{n b }的特征，并求其通项公

式．（1）证明：由11a s ==1，22121a a a s +=+=，t t a t 31)32()1(32=⋅+-+，得