解三角形经典例题及解答

知识回顾:

4、理解定理

(1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数 k 使 a ksinA ， ________________ ， c ksinC ；

（2）」 b J 等价于 ______________________

sin A sin B sin C

(3) 正弦定理的基本作用为:

正弦、余弦定理

1、直角三角形中，角与边的等式关系：在

Rt ABC 中，设 BC=a ，AG=b , AB=c ,

根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 -sin A ，- sin B ，又sinC 1 -，从而在直角三 c

c c 角形ABC 中，-?-

sin A b sin B

c si nC

2、当

ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是CD 根据任意角三角函数的定义,

有 CD=asinB bsinA ，则 一-

b

，同理可得一

sin A sin B sin C

b sin B

从而」-

sin A b sin B

c sin C

3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的

____ 的比相等，即旦

sin A b sin B

c sin C

c b a c

sin C sin B ' sin A sin C

① 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a bsinA ； b

sin B

② 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，

如 sin A a sin B ； sinC

.

b

(4) 一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作 解三角形•

5、知识拓展

6、 勾股定理： ___________________________________

7、 余弦定理：三角形中 __________ 平方等于 _______________________ 减去 _____________

______________ 的两倍，即a 2

b 2 8、余弦定理的推论:

cosC ____________________________ 。

9、在 ABC 中，若a 2 b 2 c 2,则 ______________________ ，反之成立; 典型例题:

a b sin A sin B

c si nC

2R ，其中2R 为外接圆直径.

c 2

cosA

cosB

例1、在ABC中，已知A 45o, B 60o, a 42cm,解三角形.

例2、(1)在厶ABC中，已知a=2, b= ' 2, c= ■ 3+1求cosB.

(2)在厶ABC中，已知a=3'3, c=2 、B=15C°求b.

(3)在厶ABC中，已知a=8, b= 4、2、B=3C0求 c. 例3、在ABC中，b , 3, B 60°,c 1,求a和代C

解：.

b c

sin B sinC

sin C ..b2c2 2

例

4、

ABC 中，c

解:

a c

sin A sinC

600时，B 750,b

b ,3 2

450,a 2,求b和B,C

csin A .6 sin 45 0 3

a

2 2

csin B > 6 sin750

3 1

si nC sin 60°

csin B 1

,6, A

sin C

1 sin 600

例5、在厶ABC中，求

证:

cosB cos A c(

2 2 2

证明：将cosB n厂，cosA

b2 2 c

2bc

代入右边

2 2.2 .2 得右边°（益亠- c2 a2) 2a2 2b2

2abc 2ab

例

6、

证明:

例

7、

2 2

a b a b 亠、丄

左边,

ab b a

a b , cosB

b ；c(HT

在锐角△ ABC中，求证:

•••△ ABC是锐角三角形,

• sin A sin(— B),

2

sin A sin B sinC

在厶ABC

中,

证明：sin A sin

• sin A 例8 在厶ABC中,

cosA)

a

sin A sinB sinC cosA

B —,即一A —

2 2 2

即sin

A

cosA

求证：sin A sin B

cosB cosC

cosB ;同理sin B

cosB cosC

cosC ; sin C

A _ _

sinC 4cos cos二cos

二。

2

cosA

B sinc 2sin B sin(A

2 2

sin B

ABC

sinC 4 cos cos cos—

2 2 2

B)

1200，则求证：汽

证明：要证一$

b c a c 只要证

ab

2 2

a ac

b be b

c ac

c2

即a2 b2 c2ab

而I A B 1200, • C 600

•原式成

立。

C 例9、在厶ABC中，若 a cos2

C

2

2 A

ccos —

2

3b，则求证: 2b