4克莱姆法则
克莱姆法则
第三节 克莱姆法则教学目的及要求： 1.克莱姆法则2.利用克莱姆法则求解线性方程组教学重点、难点： 克莱姆法则的应用教学过程：一、复习利用行列式求解二元线性方程组 二、新课讲授1.n 元线性方程组的概念 从二元线性方程组的解的讨论出发，对更一般的线性方程组进行探讨。
在引入克莱姆法则之前，我们先介绍有关 n 元线性方程组的概念。
含有 n 个未知数 x 1,x 2, , x n 的线性方程组a 11x 1 a 12x 2 a 1n x nb 1,a 21x 1a 22x 2a 2n x nb 2,(1)a n1x 1 a n2x 2 a nn x nb n ,a 11 a 12 a 1n Da 21a 22a 2na n1 a n2 a nn2. 克莱姆法则定理 1 ( 克莱姆法则 ) 若线性方程组 解,其解为性方程组 ,当 b 1,b 2 , ,b n 全为零时 , 线性方程组 (1)称为齐次线性方程组，即a 11x 1 a 12x 2 a 1n x n0,a 21x 1a 22x 2 a 2n x n0,(2)a n1x 1 a n2x 2 a nn x n0.称为 n 元线性方程组 .当其右端的常数项 b 1,b 2, 线性方程组 (1)的系数 a ij 构成的行列式称为该方程组的系数行列式 D ，即,b n 不全为零时 ,线性方程组 (1) 称为非齐次线 (1)的系数行列式 D 0, 则线性方程组 (1)有唯一2 2 5 20,20,8545D jx j D(j 1,2, ,n) (3)其中D j(j 1,2, ,n)是把D中第j列元素a1j,a2j, ,a nj对应地换成常数项b1,b2, ,b n,而其余各列保持不变所得到的行列式.一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解. 用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法.克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值. 撇开求解公式(3), 克莱姆法则可叙述为下面的定理.定理 2 如果线性方程组(1)的系数行列式 D 0, 则(1)一定有解,且解是唯一的.在解题或证明中，常用到定理 2 的逆否定理:定理 2 如果线性方程组(1) 无解或有两个不同的解, 则它的系数行列式必为零.对齐次线性方程组(2), 易见x1 x2 x n 0 一定该方程组的解, 称其为齐次线性方程组(2)的零解. 把定理2应用于齐次线性方程组(2)，可得到下列结论.定理 3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组(2)只有零解. 定理3 如果齐次方程组(2) 有非零解,则它的系数行列式D 0.注: 在第三章中还将进一步证明,如果齐次线性方程组的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组(2)有非零解.三、例题选讲例 1 用克莱姆法则求解线性方程组：2x1 3x2 5x3 2x1 2x2 53x 2 5x3 4解D20235D1( 2) 2 5D260,1820.D 1D 2 D 3x 11, x 23, x 311D2D 3D例 3（ E02） 大学生在饮食方面存在很多问题 ，很多人不重视吃早饭，多数大学生日常饮食 没有规律， 为了身体的健康就要制订营养改善行动计划， 大学生一日食谱配餐： 需要摄入一 定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下边是三种食物，它们的质量用适当的单位计量。
4 克莱姆法则
的系数行列式不等于零, 即 a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n D= ≠ 0, M M M an1 an2 L ann
则方程组有唯一的解,且唯一的解为
D1 x1 = , D D2 x2 = ,L , D Dn xn = , D
其中 Dj (j=1,2,…,n) 是系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的
线性方程组叫做齐次线性方程组. 齐次线性方程组. 齐次线性方程组 x1 = x2 = … = xn = 0 一定是它的解,这个解叫做齐次线性方程组的零解 齐次线性方程组的零解. 不全为零的数是齐次线性方程组的解,称这个解为 齐次线性方程组的非零解 故对于齐次线性方程组一定有解,我们关心的是齐次线 性方程组什么时候只有零解?什么时候有非零解?.
例2 设曲线
y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3
通过四点
(1, 3)、 (2, 4)、 (3, 3)、 (4, -3)，求系数 a0 , a1 , a2 , a3 . 、 、 、 ， 解:
a0 + a1 + a2 + a3 = 3 a + 2a + 4a +8a = 4 由题意可得 0 1 2 3 a0 + 3a1 + 9a2 + 27a3 = 3 a0 + 4a1 +16a2 + 64a3 =−3
有唯一解, 并求出其解. 有唯一解, 并求出其解
取何值时, 例 4 问 λ 取何值时, 齐次线性方程组
(5 − λ ) x + 2 y + 2 z = 0 , 2 x + (6 − λ ) y = 0, 2 x + (4 − λ ) z = 0
第二章(4) 克莱姆法则
A⋅ A = →
A 可逆 → det A≠0
引理
A ⋱
A
=| A| ⋅E = (det A) ⋅ E
1 所 以， = A A* det A
−1
1 A⋅ ( A*) = E det A
AA = A A = (det A) ⋅ E
∗
∗
一个很重 要的式子
−1 −1 −1 1
3 2 −1 −1
9 x1 = = 1, 9
18 27 −9 x2 = = 2, x3 = = 3, x4 = = −1 9 9 9
1 * 例2.25 设A是3阶矩阵， A = , A 是伴随矩阵，求 det((3 A)−1 − 2 A* ) det 2 1 −1 −1 * * 解： A A = (det A) E, A = (det A) E ⋅ A = A 2 1 −1 1 −1 2 −1 −1 * (3 A) − 2 A = A − 2 ⋅ A = − A 3 2 3 2 −1 2 det((3 A) − 2 A ) = det(− A ) = − det( A−1 ) 3 3 8 8 16 −1 = (det A) = ⋅ 2 = − 27 27 27
定 2.7 义
设 A = (aij )n×n
A 是 素 ij在det A 中 代 余 式 的 数 子 ij 元 a A1 1 A A∗ = 12 ⋮ 1 An A 21 A22 ⋮ A2n ⋯ An1 ⋯ An2 ⋮ ⋯ Ann
称 A 伴 矩 记 A*. 为的 随 阵 为
第四节
克莱姆法则
引 理 若 阶 阵 = (aij )n×n的 素 ij在det A 中 n 矩 A 元 a 的 数 子 为 ij， 对 意 , s, 1≤ r, s ≤ n 代 余 式 A 则 任 r
§1-4克莱姆法则
b
bn
a12 a1n D1 a n 2 a nn
同理可证 k2 D D2， ，kn D Dn
1. 用克莱姆法则解n元线性方程组有两个前提: (1) 方程组个数等于未知数个数; (2) 系数行列式不等于零。 2. 用此法则解n元线性方程组要算n+1个n 阶行列式计算大，
b1 a11 A12 D1，A13 bn a n1
所以 bi D ai 1 D1 ai 2 D2 ain Dn 0，
Dn D1 D2 ai 1 ai 2 ain bi，i 1， 2， ，n D D D
即（2）是（1）的解
再证解唯一,
( i 1， 2， ，n)
先证解的存在，即(2)是(1)的解, 再证解的唯一，即(2)是(1)的唯一解.
先证解的存在，要证(2)是(1)的解, 即证
Dn D1 D2 ai 1 ai 2 ain bi，i 1， 2， ，n D D D
即证 bi D ai1 D1 ai 2 D2 ain Dn 0
§1- 4 克莱姆(Cramer)法则
现在应用行列式讨论n元线性方程组的解, 将得到于 二、三元线性方程组相仿的公式
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 线性方程组 （1） a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
若x1 k1，x2 k2， ，xn kn 是(1)的任一解, 证明必有 Dn D1 D2 k1 ，k2 ， ，kn ，即证 ki D Di，i 1， 2， ，n D D D 行列式 k1 D中分别将第 2列乘以 k 2，第3列乘以 k 3， ，第n列乘
克莱姆法则
a1n a2n L ann
,
3
当 D ≠ 0 时，方程组有且仅有一个解 Dj xj = j =1,2,L, n D 其中
a11 L a1 j−1 b1 Dj = ai1 L aij−1 bi
a1 j+1 L a1n aij+1 L ain anj+1 L ann
(1)
D≠0
则（1）只有惟一的零解。 ）只有惟一的零解。
定理3 齐次方程组（ ） 定理 齐次方程组（1） 有非零解
6
例3
解齐次方程组
x1 + 3x2 + 2x3 = 0 2x1 − x2 + 3x3 = 0 3x + 2x − x = 0 2 3 1
解
1 3 D = 2 −1 3 2
2 3 = 42≠ 0 −1
因此方程组只有零解
x1 = x2 = x3 = 0
7
例4
λ 取何值时下列齐次方程组有非零解
λx1 + x2 + x3 = 0 x1 + λx2 + x3 = 0 x + x + λx = 0 3 1 2
解
λ 1 1 1 1 1 1 1 1 D = 1 λ 1 = (λ + 2)1 λ 1 = (λ + 2) 0 λ −1 0 1 1 λ 1 1 λ 0 0 λ −1
这样求解二元一次方程组归结为求三个二阶行列式 的值。 同样用此方法可解n元一次方程组。 元一次方程组。 的值。 同样用此方法可解 元一次方程组
2
定理1（克莱姆法则） 定理 （克莱姆法则） 个方程， 当含有 n 个方程，n 个未知数的线性方程组
1.4 克莱姆( Cramer )法则
1 1 6 1 1 1 6 1 D3 144, 1 2 6 8 1 2 6 8
1 1 1 1 D4 1 2 1 2
1 6 1 6 72, 4 6 4 6
D1 576 所以 a0 8, D 72
D3 144 a2 2, D 72
D2 72 a1 1, D 72
(1 ) (2 )
2
因为方程组有非零解, 则
D (1 )2 (2 ) 0
故 λ =1 或 λ= −2.
12
例3 问 取何值时, 齐次线性方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0 2 x1 3 x2 x3 0 有非零解？ x x 1 x 0 2 3 1
其余 xi ( i j ) 的系数均等于0, 而等式右端为 D j 于是
Dx j Dj j 1, 2,
,n
2
当D≠0时, 方程组(2)有唯一的一个解为
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D
3
(1)
的系数行列式 D
a21 a n1
0
则线性方程组(1)有唯一解，且
D3 D1 D2 x1 , x2 , x3 , D D D Dn , xn . D
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程组
右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式, 即
a11 Dj a n1
解 先求系数行列式，得
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
r1 2r2
克莱姆法则的证明及应用
克莱姆法则及其应用前 言克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的，克莱姆 （Cramer,Gabriel,1704-1752）,瑞士数学家。
生于瑞士，卒于法国。
在巴塞尔时与与约翰·伯努利、欧拉多人学习交流，并成为挚友，，曾任教学和哲学教授，克莱姆对数学的贡献主要指在高等代数和解析几何方面。
克莱姆法则是高等代数的重点内容之一，以及克莱姆法则在理论上和应用上都有着十分重要的意义。
例如计算行列式，在生活中也有很多地方用到了克莱姆法则。
1. 预备知识若想学习克莱姆法则，必须知道什么是系数行列式。
现在就给介绍一下系数行列式。
设含有n 个未知量n 个方程的111122112212222212n n n n nn n a x a x a b a x a x a b a a a b +++=+++=+++=（1-1）其系数构成的行列式111212122212n nn n nna a a a a a D a a a =称为方程组（1-1）的系数行列式。
1. 克莱姆法则的定义克莱姆法则（Cramer Rule ）：一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组（1-1)当它的系数行列式0D ≠时，有且仅有一个解：1212,,,.n n D D D x x x D D D === （1-2）期中JD 是将D 的第j 列换成常数项21,,,nb b b 而其余列不变的行列式。
即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=1122,(1,2,).j j n nj b A b A b A j n =+++=2. 克莱姆法则的证明方法克莱姆法则有多种证明方法，在此我中立出三种证明方法，分别是2.1克莱姆法则的一般证明方法2.1.1 克莱姆法则的一般证明方法在给 在第一节中已经给出克莱姆法则的定义，再次就不在家赘述。
克莱姆法则PPT资料优秀版
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn b1, a2n xn b2 ,
ann xn bn.
为n元线性方程组。
（1）
克莱姆法则
定理1：克莱姆法则 如果线性方程组(1)的系数行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a11 j a21
a1, j1 b1 a1, j1 a2, j1 b2 a2, j1
a1n
a2n j 1, 2, , n
an1
an, j1 bn an, j1
ann
克莱姆法则
注意！
一、用克莱姆法则求解含有n 个方程、n 个未知量的线性方程组,
有两个条件必须满足: 1. 方程组中方程的个数与未知量的个数相等; 2. 方程组的系数行列式不等于零，即 0
解 如果齐次线性方程组（3）的系数行列式Δ≠0,则它只有唯
所以,在一般情况下,我们不采用克莱姆法则求解线性方程组.
线性方程组（3）称为齐次线性方程组。
若齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式Δ=0,即 解线性方程组 所以,在一般情况下,我们不采用克莱姆法则求解线性方程组. 方程组中方程的个数与未知量的个数相等; 此方程组的解是(2)式.
2 1 1 2 1 2 1 2 已知齐次线性方程组
有非零解,问λ 应取何
解 线性代数在线开放课程
而： (货物运输)：某物流公司有3辆汽车同时运送一批货物,一天共运8800吨,如果第1辆汽车运2天,第2辆汽车运3天,共运货物13200吨,如果第1辆汽车运1天,第2辆汽车运2天,第3辆汽车运3天
4 0 1 4 2 4 1 4 ,共运货物18800吨,问每辆汽车每天可运货物多少吨?
1.4 克莱姆法则
，当时，方程组的解为：
，
因为，.
时，方程组
(1其中：，.
当系数行列式时，方程组
(1
，，.
类似二元、三元线性方程组，我们给出用行列式求解元线性方程组的克莱姆法则：设含有个未知数的线性方程组为
记行列式为线性方程组
如果，那么，方程组
???
其中()是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即
， (1，…，).
明该方程组有唯一解，其次求分别用常数项去替代系数行列式中第列（）后的行列式的
行乘以和，在列乘以分别加到第列，再在处展开，即
＝.
由于系数行列式，所给方程组存在唯一解计算()
，??为所求方程组的解
?
因为，该方程组存在唯一解计算()
?
?
?
?
，, , , 为所求方程组的解
若,
显然是
的系数行列式，那么它只有零解．
有非零解的必要条件是系数行列式．
19 为什么值时，下列方程组有非零解
，齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式，即：
若要，即要或，即当或时，所给齐次线性方程组有非。
用克莱姆法则求解方程 概述及解释说明
用克莱姆法则求解方程概述及解释说明1. 引言1.1 概述本文将介绍克莱姆法则在解方程中的应用。
克莱姆法则是一种求解线性方程组的方法，通过使用矩阵和行列式的概念，能够简洁地求得方程组的解。
本文将详细说明该方法的原理、适用条件、算法步骤以及其在不同领域中的应用。
1.2 文章结构文章分为以下几个部分：引言、克莱姆法则概述、克莱姆法则的应用领域、克莱姆法则局限性与优缺点分析以及结论和总结。
下面将对每个部分进行详细说明。
1.3 目的本文旨在全面介绍克莱姆法则，并通过实例和案例分析展示其在实际问题中的应用。
同时，对于该方法所具有的局限性和优缺点进行客观评述，以便读者深入理解和掌握克莱姆法则并对其进行合适的应用选择。
请根据以上内容撰写“1. 引言”部分内容，确保信息传达清晰连贯，并避免包含网址或其他特殊格式。
2. 克莱姆法则概述:2.1 原理说明:克莱姆法则（Cramer's Rule）是一种用于求解线性方程组的方法。
它基于矩阵论和行列式的相关知识，通过分别计算系数矩阵和增广矩阵的行列式来求解未知量。
克莱姆法则适用于含有n个方程、n个未知量的线性方程组，并且假设该方程组有唯一解。
在克莱姆法则中，我们首先需要构建一个系数矩阵A，然后将其与一个列向量B 进行合并形成增广矩阵。
接下来，我们可以通过计算A和B的行列式来求得每个未知量对应的结果。
具体而言，若方程组为Ax=B，则克莱姆法则给出了如下公式：x_i = det(A_i) / det(A)其中，x_i表示第i个未知量的值，det(A_i)表示将第i列替换为B所形成的新矩阵A_i的行列式，det(A)表示原始系数矩阵A的行列式。
2.2 适用条件:克莱姆法则适用于以下条件：- 方程组必须是线性方程组；- 方程组中包含的未知量个数和方程个数相同；- 系数矩阵A必须是一个非奇异矩阵，即其行列式不为零。
2.3 算法步骤:克莱姆法则的求解步骤如下：1. 根据给定的线性方程组，构建系数矩阵A和列向量B。
克莱姆法则
2
x1
x1 3
2x2 4x3
x2 x3
0, 0,
x1 x2 1 x3 0,
有非零解？
解
1
D 2 1
2
3
1
4 1
1 2 1 1
3 1
0
4 1
1
1 3 3 41 21 3
若常数项 b1,b2, ,bm不全为零, 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 若常数项 b1, b2 , , bm 全为零, 此时称方程组为齐次线性方程组.
一、克莱姆法则
如果非齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1
a22
a0,a1,a2,a3. 解 将三次曲线在4点处的值代入其方程, 得到关于a0,a1,a2,a3 的非齐次线性方程组
a0 a1 a2 a3 6,
aa00
a1(1) a2 (1)2 a1(2) a2 (2)2 a3
a3(1)3 (2)3 6,
a21x1
a22 x
2
a2
xn n 0
2
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
定理 如果齐次线性方程组 2 的系数行列式 D 0,则齐次线性方程组2 没有非零解.
即只有零解
定理 如果齐次线性方程组 2 有非零解,则它
22 2020/3/11
用Cramer法则求解系数行列式不等于零的n元 非齐次线性方程组, 需要计算n+1个n阶行列式, 它的 计算工作量很大. 实际上关于数字系数的线性方程组 (包括系数行列式等于零及方程个数和未知量个数不 相同的线性方程组)的解法, 一般都采用第2章中介绍 的高斯消元法. Cramer法则主要是从理论上具有重要 意义, 特别是它明确地揭示了方程组的解和系数之间 的关系.
习题1-5-克莱姆法则
1、用克莱姆法则解下列线性方程组：()1251372x y x y +=⎧⎨+=⎩； 【解】方程组系数矩阵为2537D =141510=-=-≠，方程组有惟一解，由于115710327D ==-=-；22143132D ==-=，得方程组惟一解为 1331D x D -===-，2111D y D ===--。
()2121264105729x x x x -=⎧⎨+=⎩。
【解】方程组系数矩阵为64422062057D -==+=≠，方程组有惟一解，由于110470116186297D -==+=；261017450124529D ==-=，得方程组惟一解为 11186362D x D ===，22124262D x D ===。
2、用克莱姆法则解下列线性方程组：()123527222544x y z x y z x y z +-=-⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩；【解】方程组系数矩阵为112527254D -=--21312c c c c -+1005717278--23 r r -100309278-1 r 按展开 0978-630=≠，知方程组有惟一解，由于13122227454D --=--12323 2c c c c ++01016231156----1 r 按展开 163116---63=；21325227244D --=21323 2c c c c ++1005371721081 r 按展开 3717108126=， 31135222254D -=--21313c c c c -+157372710--1 r 按展开 737710--189=，得方程组惟一解为163163D x D ===，2126263D y D ===，3189363D z D ===。
()2 20230 0bx ay ab cy bz bc cx az -+=⎧⎪-+-=⎨⎪+=⎩，其中0abc ≠。
【解】方程组按标准形整理为 2 23 0bx ay ab cy bz bc cx az -=-⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩，于是得系数矩阵为0230ba D cb ca-=-203000abc abc =-+----50abc =-≠， 知方程组有惟一解，由于1202300ab a D bcc b a--=-2240000a bc a bc =++--+25a bc =； 22030b ab D bc b ca -=226000abc ab c =-+--25ab c =-；32020baab D cbc c --=-2200400abc abc =+----25abc =-，得方程组惟一解为2155D a bc x a D abc ===--，2255D ab c y b D abc -===-，2355D abc z c D abc-===-。
3-4克莱姆法则
1
1、克莱姆法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
有非零解.
6
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
(1)
定理1 如果线性方程组1的系数行列式 D 0, 则 1一定有解,且解是唯一的 . 定理2 如果线性方程组 1 无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.
其中 D j 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
a11 a1 , j 1 b1 a1 , j 1 a1 n D j a n 1 a n , j 1 bn a n , j 1 a nn
3
2、重要定理
(1)
a11 a12 a1 n a 21 a 22 a 2 n 0 的系数行列式不等于零，即D a n1 a n 2 a nn
2
那么线性方程组1 有解，并且解是唯一的，解 可以表为
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0
定理
2
如果齐次线性方程组 2的系数行列式 D 0 则齐次线性方程组 2 没有非零解（只有零解）
克莱姆法则
ll2 1::a a2 1x x b b1 2yy cc1 2 0 0 充 要 条 件 a a1 2
b1 b2
c1 c2 0.
l1:a3xb3yc30
a3 b3 c3
精选课件
37
三点共线充要条件：
x1 y1 1 x2 y2 1 0 x3 y3 1
精选课件
38
同理可得空间直线方程：
x
y
z1
y3 1
精选课件
40
证： 设圆的方程是
A x2 y2 Dx Ey F 0,
圆上任意点为 x, y .则有：
A x 2 y2 Dx Ey F 0
A x12 y12 Dx1 Ey1 F 0
A x22 y22 Dx2 Ey2 F 0
A x32 y32 Dx3 Ey3 F 0
x1D D128713,
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0
27,
x2D D 2217084,
x3D D 322771,
x4
D4 271. D 27
精选课件
12
例2 用克莱姆法则解方程组
3x1 5x2 2x3 x4 3,
3x2 4x4 x1 x2 x3
x13x26x4 9, 2x2x32x4 5,
x14x27x36x4 0.
解 2 1 5 1
0 7 5 13
1 3 0 6 r12r2 1 3 0 6
D 0 2 1 2
r4 r2
0 2 1 2
1 4 7 6
0 7 7 12
精选课件
10
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c12c2 c32c2
35 3 1
线性代数 克莱姆(cramer)法则
而其余xi i j 的系数均为 0; 又等式右端为D j .
于是
Dx j D j j 1,2,, n.
2
当 D 0 时,方程组 2 有唯一的一个解
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
由于方程组 2 与方程组 1 等价, 故
若常数项b1 , b2 ,, bn不全为零, 则称此方程组为非
齐次线性方程组; 若常数项 b1 , b2 ,, bn 全为零,
此时称方程组为齐次线性方程组.
一、克莱姆法则
如果线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn (1)
在把 n 个方程依次相加，得
n n n ak 1 Akj x1 akj Akj x j akn Akj xn k 1 k 1 k 1 bk Akj ,
k 1 n
由代数余子式的性质可知, 上式中x j的系数等于D,
轴平行,故可设其方程为
y c bx ax 2 ,
此方程的系数行列式是范德蒙得行列式,而
1 D 1 1 1 2 3 1 9 1 1 1 2 4 1 3 3 2 3 12 1 2 0. 9
41
所以方程组有唯一解, 又
D1 14, D2 16, D3 4,
故 c 14 2 7,b 16 2 8,a 4 2 2.
2 y 7 8 x 2 x . 即所求的抛物线方程为
克莱姆法则
定理三 如果齐次线性方程组有非零解,则 齐次线性方程组的系数行列式D=0. [证 ] 若 D 0 由克莱姆法则知齐次线性方程组只Hale Waihona Puke 唯一的零解. 与已知矛盾 D=0
由定理三可知,齐次线性方程组的系 数行列式D=0是齐次线性方程组有非零解 的必要条件. 在第四章将会看到,D=0也是齐次线性 方程组有非零解的充分条件. 综合上述,得到: 齐次线性方程组有非 零解的充要条件是系数行列式D=0.
2 1 8 1 1 3 9 6 D3 D3 = 27 x 3 D 0 2 5 2 27 1 4 0 6 = 1 27
2 1 5 8 D4 27 1 3 0 9 =27 x 4 D4 D 27 0 2 1 5 =1 1 4 7 0
二、齐次线性方程组有非零解的充要条件 齐次线性方程组: a11 x1 a12 x 2 a1n x n 0 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0 显然,齐次线性方程组总是有解的.因为 x1=0, x2=0,, xn=0就是一个解,它称为零解.
则该线性方程组有且仅有唯一解: Dn D1 D2 x1 , x2 ,, xn D D D 其中Dj (j=1,2,...,n)是把系数行列式D中第j 列的元素用常数项b1,b2,,bn代替后得到的 n阶行列式. 即 a11 a1, j 1 b1 a1, j 1 a1n a 21 a 2, j 1 b2 a2 , j 1 a 2 n Dj a n1 a n , j 1 bn a n , j 1 ann
线性代数 1-7 第1章7讲-克莱姆法则
an1x1 an2 x2 ann xn 0
则它的的系数行列式为零.
8
克莱姆法则
x y z 0
例1
为何值时，方程组
x
y
z
0
有非零解？
2x y z 0
解
1 1
D 1 1 3 1 2 2 3 1 0 1
2 1
故当 1时，方程组有非零解.
9
克莱姆法则
故 x D1 2，y D2 3，z D3 4.
D
D
D
10
克莱姆法则
例3 证 定理2
(a11
1 2
)
x1
a12 x2
a1n xn 0
证明方程组
a21x1
(a22
1 2
)
x2
a2n xn 0 有唯一解，其中aij都是整数。
an1x1 an2 x2
(ann
1 2
)
xn
0
根据定义，除主对角线 上的元素之乘积为奇数， 其余乘积均是偶数
例2
x2 2x3 5
解方程组
x1
x2
4x3
11
2x1 x2 1
012
解
系数行列式 D 1 1 4 2 0 根据克莱姆法则知方程组有唯一解
2 1 0
5 1 2 D1 11 1 4 4
1 1 0
0 5 2
0 1 5
D2 1 11 4 6 D3 1 1 11 8
210
2 1 1
Dn x12
x22
x32
1
xn
xn2
( xi x j )
1 jin
x x x n1
n 1
n 1
1
克莱姆法则及证明
第７节克莱姆(Cｒamｅr）法则一、线性方程组元线性方程组就是指形式为：（1）得方程组,其中代表个未知量,就是方程得个数，,；称为方程组得系数,称为常数项.线性方程组得一个解就是指由个数组成得有序数组，当个未知量分别用代入后,式（１）中每个等式都成为恒等式.方程组(1）得解得全体称为它得解集合,如果两个线性方程组有相同得解集合，就称它们就是同解方程组.ﻫ为了求解一个线性方程组,必须讨论以下一些问题：(1）、这个方程组有没有解?ﻫ (2）、如果这个方程组有解，有多少个解?（３）、在方程组有解时,解之间得关系，并求出全部解.本节讨论方程得个数与未知量得个数相等（即）得情形。
二、克莱姆法则ﻫ定理1（克莱姆法则)如果线性方程组(2）得系数行列式：那么这个方程组有解,并且解就是唯一得，这个解可表示成:(3)其中就是把中第列换成常数项所得得行列式，即。
分析：定理一共有３个结论：方程组有解；解就是唯一得；解由公式（3）给出.因此证明得步骤就是：第一,把代入方程组，验证它确实就是解。
这样就证明了方程组有解，并且(3)就是一个解,即证明了结论与。
第二，证明如果就是方程组（２）得一个解，那么一定有.这就证明了解得唯一性，即证明了结论。
证明：先回忆行列式得一个性质,设阶行列式,则有：接下来证明定理.首先,证明(3）确实就是（2)得解。
将行列式按第列展开得：，其中就是行列式中元素得代数余子式。
现把代入第个方程得左端，得：这说明将（3)代入第个方程后,得到了一个恒等式，所以(３)就是（2）得一个解。
其次，设就是方程组(2）得一个解,那么，将代入(2）后,得到个恒等式：（4)用系数行列式得第列得代数余子式依次去乘(4）中个恒等式,得到：将此个等式相加，得：从而有:。
这就就是说，如果就是方程组（2)得一个解，那么一定有，所以方程组只有一个解。
三、齐次线性方程组在线性方程组中，有一种特殊得线性方程组，即常数项全为零得方程组，称为齐次线性方程组。
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2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 = 108
15
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6 27
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0 27
a1n xn 0 ann xn 0
只有零解
x1 x2 xn 0.
4
一般情形克莱姆法则的证明
存在性.证明克莱姆法则给出的 xj Dj / D是解.
按第j行展开Dj ,
n
Dj bk Akj .
k 1
把入方x程j 左DDj端代,
n aij
j1
Dj D
1 D
n
aij Dj
j1
1 D
(**)
an1
x1
an2
x2
a1n xn b1 ann xn bn
3
系数行列式 列式记作Dj..
aij n记作D,其第j列换成b1, …,bn所得行
定理 如果D≠0,则方程组(**)有唯一解:
xj
Dj D
,
j
1,
,n
推论 如果D≠0,则齐次方程组
a11 x1 a12 x2 an1 x1 an2 x2
4 12 2 2
2 3 8 2
2 3 0 8
15 2 1
1522
D3 3
1
7
1 6, D4 3
1 1
6. 7
4 1 12 2
4 1 2 12
8
Maple命令计算行列式(仅供参考)
> A:=[[2,-3,0,2],[1,5,2,1],[3,-1,1,1],[4,1,2,2]];A1:=[[8,-3,0,2],[2,5,2,1],[7,1,1,1],[12,1,2,2]];A2:=[[2,8,0,2],[1,2,2,1],[3,7,1 ,-1],[4,12,2,2]];A3:=[[2,-3,8,2],[1,5,2,1],[3,1,7,-1],[4,1,12,2]];A4:=[[2,3,0,8],[1,5,2,2],[3,1,1,7],[4,1,2,12]];D0:=det(A);D1:=det(A1); D2:=det(A2);D3:=det(A3);D4:=det(A4);x1: =D1/D0;x2:=D2/D0;x3:=D3/D0;x4:=D4/D0;
1 k2 1 2
k(2 k) 0
0 k(2 k) 0 0 k3 1
k3
1
k(2 k) 0.
k1 0, k2 2.
13
例 解线性方程组
2x1 x2 5x3 x4 8,
x1 3x2 2x2
6x4 9, x3 2x4 5,
x1 4x2 7 x3 6x4 0.
解
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
r1 2r2 r4 r2
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
14
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0 27 0
7 7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6 81
a31 a32 a33
b3 a32 a33
1
a11 b1 a13
a11 a12 b1
D2 a21 b2 a23 , D3 a21 a22 b2
a31 b3 a33
a31 a32 b3
如果D≠0,则
x1
D1 D
, x2
D2 D
, x3
D3 D
.
是方程组的解.
2
这里的推导容易推广到一般情形:
a11 x1 a12 x2
n
n
aij bk Akj
j1 k1
1 D
n j1
n
bkaij Akj
k 1
1 D
n k 1
n
bkaij Akj
j1
交换求 和次序
1 D
n
bk
k 1
n
aij Akj
j1
1 D
n
bk ik D bi
k 1
提出bk
唯一性.证明所有解 xj( j 1, ,n) 有形式 xj Dj / D.
n
D0 := -6 D1 := -18 D2 := 0
D3 := 6 D4 := -6
> with(linalg); > A:=[[2,-3,0,2],[1,5,2,1],[3,-1,1,1],[4,1,2,2]];b:=[8,2,7,12];linsolve(A,b);
[3, 0, -1, 1]
所以
x1
D1 D
18 6
3, x2
D2 D
0 6
0,
x3
D3 D
6 6
1, x4
D4 D
6 6
1.
例下列齐次方程组有非零解，求其中的k的值。
x1
(k 2
1) x2
2 x3
0,
x1 (2k 1)x2 2x3 0,
kx1
kx2
(2k
1) x3
0.
11
x1
(k 2
1) x2
2 x3
0,
x1 (2k 1)x2 2x3 0,
§4克莱姆法则
第一节课我们就提到,对于三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 (1) a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 (2) a31 x1 a32 x2 a33 x3 b2 (3)
引进记号,
a11 a12 a13
b1 a12 a13
D a21 a22 a23 , D1 b2 a22 a23
kx1 kx2 (2k 1)x3 0.
解 齐次方程组有非零解，其系数行列式必为0。
1 k2 1 2
1 k2 1 2
D 1 2k 1 2 0 k(2 k) 0
k k 2k 1 0 k3 1
k(2 k) 0.
k1 0, k2 2.
12
1 D 1
k
k2 1 2k 1
k
2 2 (r2 r1 ) 2k 1 (r3 kr1 )
x1
5 x2
ห้องสมุดไป่ตู้
2 x3
x4
2,
3x1 x2 x3 x4 7,
解
4x1 x2 2x3 2x4 12.
2 3 0 2
1521
D
6 0,
3 1 1 1
4122
方程组有唯一解。 7
8 3 0 2
2802
2 521
1221
D1 7
1 1 1 18, D2 3
7
0, 1 1
12 1 2 2
akj x j bk , k 1, , n.
b1 Dj
j1
n
nn
bn
Dm bk Akm
akj x j Akm
j列
k 1
k1 j1
nn
n
n
akj x j Akm x j akj Akm
j1 k1
j1 k1
n
x j mj D
j1
xm D, xm
Dm D
.
例 解线性方程组
2x1 3x2 +2x4 8,