4克莱姆法则
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§4克莱姆法则
第一节课我们就提到,对于三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 (1) a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 (2) a31 x1 a32 x2 a33 x3 b2 (3)
引进记号,
a11 a12 a13
b1 a12 a13
D a21 a22 a23 , D1 b2 a22 a23
a1n xn 0 ann xn 0
只有零解
x1 x2 xn 0.
4
一般情形克莱姆法则的证明
存在性.证明克莱姆法则给出的 xj Dj / D是解.
按第j行展开Dj ,
n
Dj bk Akj .
k 1
把入方x程j 左DDj端代,
n aij
j1
Dj D
1 D
n
aij Dj
j1
1 D
4 12 2 2
2 3 8 2
2 3 0 8
15 2 1
1522
D3 3
1
7
1 6, D4 3
1 1
6. 7
4 1 12 2
4 1 2 12
8
Maple命令计算行列式(仅供参考)
> A:=[[2,-3,0,2],[1,5,2,1],[3,-1,1,1],[4,1,2,2]];A1:=[[8,-3,0,2],[2,5,2,1],[7,1,1,1],[12,1,2,2]];A2:=[[2,8,0,2],[1,2,2,1],[3,7,1 ,-1],[4,12,2,2]];A3:=[[2,-3,8,2],[1,5,2,1],[3,1,7,-1],[4,1,12,2]];A4:=[[2,3,0,8],[1,5,2,2],[3,1,1,7],[4,1,2,12]];D0:=det(A);D1:=det(A1); D2:=det(A2);D3:=det(A3);D4:=det(A4);x1: =D1/D0;x2:=D2/D0;x3:=D3/D0;x4:=D4/D0;
a31 a32 a33
b3 a32 a33
1
a11 b1 a13
a11 a12 b1
D2 a21 b2 a23 , D3 a21 a22 b2
a31 b3 a33
a31 a32 b3
如果D≠0,则
x1
D1 D
, x2
D2 D
, x3
D3 D
.
是方程组的解.
2
这里的推导容易推广到一般情形:
a11 x1 a12 x2
akj x j bk , k 1, , n.
b1 Dj
j1
n
nn
bn
Dm bk Akm
akj x j Akm
j列
k 1
k1 j1
nn
n
n
akj x j Akm x j akj Akm
j1 k1
j1 k1
n
x j mj D
j1
xm D, xm
Dm D
.
例 解线性方程组
2x1 3x2 +2x4 8,
x1
5 x2
2 x3
x4
2,
3x1 x2 x3 x4 7,
解
4x1 x2 2x3 2x4 12.
2 3 0 2
1521
D
6 0,
3 1 1 1
4122
方程组有唯一解。 7
8 3 0 2
2802
2 521
1221
D1 7
1 1 1 18, D2 3
7
0, 1 1
12 1 2 2
(**)
an1
x1
an2
x2
a1n xn b1 ann xn bn
3
系数行列式 列式记作Dj..
aij n记作D,其第j列换成b1, …,bn所得行
定理 如果D≠0,则方程组(**)有唯一解:
xj
Dj D
,
j
1,
,n
推论 如果D≠0,则齐次方程组
a11 x1 a12 x2 an1 x1 an2 x2
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 = 108
15
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6 27
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0 27
kx1 kx2 (2k 1)x3 0.
解 齐次方程组有非零解，其系数行列式必为0。
1 k2 1 2
1 k2 1 2
D 1 2k 1 2 0 k(2 k) 0
k k 2k 1 0 k3 1
k(2 k) 0.
k1 0, k2 2.
12
1 D 1
k
k2 1 2k 1
k
2 2 (r2 r1 ) 2k 1 (r3 kr1 )
D0 := -6 D1 := -18 D2 := 0
D3 := 6 D4 := -6
> with(linalg); > A:=[[2,-3,0,2],[1,5,2,1],[3,-1,1,1],[4,1,2,2]];b:=[8,2,7,12];linsolve(A,b);
[3, 0, -1, 1]
所以
x1
D1 D
18 6
3, x2
D2 D
0 6
0,
x3
D3 D
6 6
1, x4
D4 D
6 6
1.
例下列齐次方程组有非零解，求其中的k的值。
x1
(k 2
1) x2
2 x3
0,
源自文库
x1 (2k 1)x2 2x3 0,
kx1
kx2
(2k
1) x3
0.
11
x1
(k 2
1) x2
2 x3
0,
x1 (2k 1)x2 2x3 0,
解
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
r1 2r2 r4 r2
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
14
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0 27 0
7 7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6 81
1 k2 1 2
k(2 k) 0
0 k(2 k) 0 0 k3 1
k3
1
k(2 k) 0.
k1 0, k2 2.
13
例 解线性方程组
2x1 x2 5x3 x4 8,
x1 3x2 2x2
6x4 9, x3 2x4 5,
x1 4x2 7 x3 6x4 0.
n
n
aij bk Akj
j1 k1
1 D
n j1
n
bkaij Akj
k 1
1 D
n k 1
n
bkaij Akj
j1
交换求 和次序
1 D
n
bk
k 1
n
aij Akj
j1
1 D
n
bk ik D bi
k 1
提出bk
唯一性.证明所有解 xj( j 1, ,n) 有形式 xj Dj / D.
n
第一节课我们就提到,对于三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 (1) a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 (2) a31 x1 a32 x2 a33 x3 b2 (3)
引进记号,
a11 a12 a13
b1 a12 a13
D a21 a22 a23 , D1 b2 a22 a23
a1n xn 0 ann xn 0
只有零解
x1 x2 xn 0.
4
一般情形克莱姆法则的证明
存在性.证明克莱姆法则给出的 xj Dj / D是解.
按第j行展开Dj ,
n
Dj bk Akj .
k 1
把入方x程j 左DDj端代,
n aij
j1
Dj D
1 D
n
aij Dj
j1
1 D
4 12 2 2
2 3 8 2
2 3 0 8
15 2 1
1522
D3 3
1
7
1 6, D4 3
1 1
6. 7
4 1 12 2
4 1 2 12
8
Maple命令计算行列式(仅供参考)
> A:=[[2,-3,0,2],[1,5,2,1],[3,-1,1,1],[4,1,2,2]];A1:=[[8,-3,0,2],[2,5,2,1],[7,1,1,1],[12,1,2,2]];A2:=[[2,8,0,2],[1,2,2,1],[3,7,1 ,-1],[4,12,2,2]];A3:=[[2,-3,8,2],[1,5,2,1],[3,1,7,-1],[4,1,12,2]];A4:=[[2,3,0,8],[1,5,2,2],[3,1,1,7],[4,1,2,12]];D0:=det(A);D1:=det(A1); D2:=det(A2);D3:=det(A3);D4:=det(A4);x1: =D1/D0;x2:=D2/D0;x3:=D3/D0;x4:=D4/D0;
a31 a32 a33
b3 a32 a33
1
a11 b1 a13
a11 a12 b1
D2 a21 b2 a23 , D3 a21 a22 b2
a31 b3 a33
a31 a32 b3
如果D≠0,则
x1
D1 D
, x2
D2 D
, x3
D3 D
.
是方程组的解.
2
这里的推导容易推广到一般情形:
a11 x1 a12 x2
akj x j bk , k 1, , n.
b1 Dj
j1
n
nn
bn
Dm bk Akm
akj x j Akm
j列
k 1
k1 j1
nn
n
n
akj x j Akm x j akj Akm
j1 k1
j1 k1
n
x j mj D
j1
xm D, xm
Dm D
.
例 解线性方程组
2x1 3x2 +2x4 8,
x1
5 x2
2 x3
x4
2,
3x1 x2 x3 x4 7,
解
4x1 x2 2x3 2x4 12.
2 3 0 2
1521
D
6 0,
3 1 1 1
4122
方程组有唯一解。 7
8 3 0 2
2802
2 521
1221
D1 7
1 1 1 18, D2 3
7
0, 1 1
12 1 2 2
(**)
an1
x1
an2
x2
a1n xn b1 ann xn bn
3
系数行列式 列式记作Dj..
aij n记作D,其第j列换成b1, …,bn所得行
定理 如果D≠0,则方程组(**)有唯一解:
xj
Dj D
,
j
1,
,n
推论 如果D≠0,则齐次方程组
a11 x1 a12 x2 an1 x1 an2 x2
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 0 5 1 2 1 0 7 6 = 108
15
21 8 1 1 3 9 6 D3 0 2 5 2 14 0 6 27
2 1 5 8 1 3 0 9 D4 0 2 1 5 1 4 7 0 27
kx1 kx2 (2k 1)x3 0.
解 齐次方程组有非零解，其系数行列式必为0。
1 k2 1 2
1 k2 1 2
D 1 2k 1 2 0 k(2 k) 0
k k 2k 1 0 k3 1
k(2 k) 0.
k1 0, k2 2.
12
1 D 1
k
k2 1 2k 1
k
2 2 (r2 r1 ) 2k 1 (r3 kr1 )
D0 := -6 D1 := -18 D2 := 0
D3 := 6 D4 := -6
> with(linalg); > A:=[[2,-3,0,2],[1,5,2,1],[3,-1,1,1],[4,1,2,2]];b:=[8,2,7,12];linsolve(A,b);
[3, 0, -1, 1]
所以
x1
D1 D
18 6
3, x2
D2 D
0 6
0,
x3
D3 D
6 6
1, x4
D4 D
6 6
1.
例下列齐次方程组有非零解，求其中的k的值。
x1
(k 2
1) x2
2 x3
0,
源自文库
x1 (2k 1)x2 2x3 0,
kx1
kx2
(2k
1) x3
0.
11
x1
(k 2
1) x2
2 x3
0,
x1 (2k 1)x2 2x3 0,
解
2 1 5 1 1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
r1 2r2 r4 r2
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
14
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 c3 2c2
3 5 3 0 1 0 27 0
7 7 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 5 2 1 2 0 4 7 6 81
1 k2 1 2
k(2 k) 0
0 k(2 k) 0 0 k3 1
k3
1
k(2 k) 0.
k1 0, k2 2.
13
例 解线性方程组
2x1 x2 5x3 x4 8,
x1 3x2 2x2
6x4 9, x3 2x4 5,
x1 4x2 7 x3 6x4 0.
n
n
aij bk Akj
j1 k1
1 D
n j1
n
bkaij Akj
k 1
1 D
n k 1
n
bkaij Akj
j1
交换求 和次序
1 D
n
bk
k 1
n
aij Akj
j1
1 D
n
bk ik D bi
k 1
提出bk
唯一性.证明所有解 xj( j 1, ,n) 有形式 xj Dj / D.
n