二次函数的顶点式
二次函数化为顶点式的公式配方法
二次函数化为顶点式的公式配方法二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数。
对于任意的二次函数，我们都可以通过配方法将其转化为顶点式的形式。
顶点式的形式为f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)是二次函数的顶点坐标。
配方法是一种数学方法，可以将二次函数转化为其顶点式的形式。
通过配方法，我们可以找到二次函数的顶点坐标，并且可以方便地描绘出二次函数的图像。
以下是配方法的详细步骤：第一步：将二次函数写成完全平方的形式对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们先将其写成完全平方的形式。
具体做法是：1.将二次项的系数除以2，得到a/2；2.将a/2的平方加到函数内部，并减去这个平方的值，得到形如f(x)=a(x^2+(b/a)x+____-_____)这样的形式；3.将前三项作为一个完全平方进行因式分解，并将不完全平方项与常数项合并，得到形如f(x)=a(x+____)^2+____的形式。
以上步骤可以将二次函数化为完全平方的形式。
第二步：确定顶点坐标通过观察完全平方的形式，可以确定顶点的横坐标为x=-b/2a。
这是因为在完全平方形式中，x的系数为a(x+h)^2，并且h的值为-b/2a。
将x=-b/2a代入完全平方的形式，就可以得到顶点的纵坐标。
第三步：写出顶点式的形式通过第一步和第二步，我们可以确定二次函数的顶点坐标。
将顶点坐标代入完全平方的形式，就可以得到二次函数的顶点式的形式。
通过以上三步，我们可以将任意的二次函数化为顶点式的形式。
举个例子：假设有一个二次函数f(x)=x^2+4x+3，我们可以通过配方法将其转化为顶点式的形式。
第一步：将二次函数写成完全平方的形式将二次项的系数除以2，得到1/2、然后将1/2的平方加到函数内部，并减去这个平方的值，得到形如f(x)=(x^2+4x+4-4)+3第二步：确定顶点坐标观察完全平方的形式，可以确定顶点的横坐标为x=-4/(2*1)=-2、将x=-2代入完全平方的形式，就可以确定顶点的纵坐标。
二次函数公式顶点式交点式两根式
二次函数公式顶点式交点式两根式二次函数是中学数学中的一个重要概念，也是数学基本的一种函数类型。
在解题中，对于二次函数的不同公式形式的掌握以及它们的应用是非常重要的。
本文将详细介绍二次函数的三种常用公式形式：顶点式、交点式和两根式。
一、顶点式：顶点式也叫标准式，它是二次函数最常用的一种表示形式。
顶点式的一般形式为：y=a(x-h)²+k，其中a表示抛物线开口的方向和大小，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；(h,k)表示抛物线的顶点坐标。
顶点式提供了抛物线的顶点坐标，因此很容易确定抛物线的最值。
当a>0时，抛物线的最小值为k，当a<0时，抛物线的最大值为k。
此外，顶点式也可以很方便地求出对称轴的方程，对称轴的方程为x=h。
顶点式的一个重要应用是求解二次函数的最值问题。
通过求解顶点的坐标，可以得到二次函数的最值点，进而解决各种最值问题，如求抛物线经过的点中的最大或最小值等。
二、交点式：交点式是通过已知抛物线上两个点求解二次函数的一种表示形式。
交点式的一般形式为：y=a(x-x₁)(x-x₂)，其中(x₁,y₁)和(x₂,y₂)表示抛物线上两个已知点的坐标。
交点式提供了抛物线上的两个点，通过已知两点可以直接写出二次函数的全式形式。
交点式也可以通过展开得到全式形式，展开后，得到二次函数的一般形式y=ax²+bx+c，其中a、b、c的数值可以通过已知的两个点求解。
交点式的一个重要应用是求解二次函数的方程，通过已知的两个点，可以将二次函数的方程写成交点式的形式，从而可以直接解出二次方程，求出解的个数以及具体的解。
三、两根式：两根式也是二次函数的一种常见表示形式，它主要用于求解二次方程的两个根（零点）。
两根式的一般形式为：y=a(x-x₁)(x-x₂)，其中(x₁,y₁)和(x₂,y₂)表示抛物线与x轴相交的两个点的坐标。
两根式主要通过已知抛物线与x轴相交的两个点来求解二次方程的两个根。
二次函数抛物线顶点式顶点坐标顶点式y=a(x-h)^2+k
二次函数抛物线顶点式顶点坐标 顶点式：y=a(x-h)^2+k 顶点坐标：(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) 在二次函数的图像上 顶点式：y=a(x-h)^2+k 抛物线的顶点P（h,k） 顶点坐标：对于二次函数 y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)考点扫描 1．会用描点法画出二次函数的图象． 2．能利用图象或配方法确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置． 3．会根据已知图象上三个点的坐标求出二次函数的解析式． 4. 将一般式化为顶点式。
讲解 1．二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 顶点坐标 (0，0) (h，0) (h，k) () 对 称 轴 x=0 x=h x=h x= 当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到． 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便． 2．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=，顶点坐标是()． 3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤时，y随x的增大而减小；当x≥时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤时，y随x的增大而增大；当x≥时，y随x的增大而减小． 4．抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； (2)当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x2-x1|=． 当△=0．图象与x轴只有一个交点； 当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0． 5．抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=时，y最小(大)值=． 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值． 6．用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax2+bx+c(a≠0)． (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h) 2+k(a≠0)． (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)． 7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。
二次函数怎么化为顶点式
二次函数怎么化为顶点式
要将二次函数化为顶点式，可以按照以下步骤进行：
1. 将二次函数的标准式写成完全平方形式：y = ax^2 + bx + c, 其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
2. 将二次函数中的常数项 c 移至等式的右侧。
3. 对于 x^2 + bx + (b^2/4a^2) 形式的部分，进行配方，即完全平
方平衡法。
此处的平方项为(b/2a)^2。
4. 将配方后的结果与常数项合并，并整理为一个完全平方的二次项，即 (x+b/2a)^2。
5. 将整理后的形式写成顶点式，即 y = a(x - h)^2 + k。
其中(h, k)为顶点坐标。
例子：
将二次函数 y = x^2 + 4x + 3 化为顶点式：
1. 标准式为 y = x^2 + 4x + 3。
2. 将常数项 3 移至等式右侧，得到 y - 3 = x^2 + 4x。
3. 完全平方配方，将 x^2 + 4x 配方为 (x + 2)^2。
4. 合并常数项和配方项，得到 y - 3 = (x + 2)^2。
5. 将顶点式的形式写出来，即 y = (x + 2)^2 + 3。
所以，二次函数 y = x^2 + 4x + 3 的顶点式为 y = (x + 2)^2 + 3。
如何把二次函数一般式化为顶点式
如何把二次函数一般式化为顶点式二次函数是数学中常见的一种函数形式，它的一般式可以表示为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，a≠0。
而顶点式则是二次函数的另一种常见表达形式，它可以更直观地展示二次函数的特点和性质。
本文将介绍如何将二次函数从一般式转化为顶点式，并详细解释其中的步骤和原理。
一、二次函数的顶点式定义及特点顶点式是一种将二次函数表示为顶点坐标形式的表达方式。
顶点式的一般形式为：f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为二次函数的顶点坐标。
顶点式的优势在于能够直观地展示二次函数的顶点位置和开口方向，便于分析和应用。
二、将一般式化为顶点式的步骤要将一般式化为顶点式，需要经过以下几个步骤：步骤一：确定二次函数的顶点横坐标h二次函数的顶点横坐标h可以通过公式 h = -b / (2a) 来计算。
其中，b为一般式中x的系数，a为一般式中x^2的系数。
步骤二：计算二次函数的顶点纵坐标k将顶点横坐标h代入一般式中，即可计算二次函数的顶点纵坐标k。
代入公式后，顶点纵坐标k = f(h) = ah^2 + bh + c。
步骤三：将一般式化简为顶点式将步骤一中求得的顶点横坐标h和顶点纵坐标k代入顶点式的一般形式，即可得到化简后的顶点式。
化简后的顶点式为：f(x) = a(x - h)^2 + k。
三、一个实例的详细转化过程为了更好地理解如何将一般式化为顶点式，我们以一个具体的实例来进行详细的转化过程。
假设有一个二次函数 f(x) = 2x^2 + 4x + 1，我们要将其化为顶点式。
步骤一：确定顶点横坐标h根据公式 h = -b / (2a)，代入a = 2，b = 4，可以得到 h = -4 / (2 * 2) = -1。
步骤二：计算顶点纵坐标k将顶点横坐标h = -1代入一般式中，即可计算顶点纵坐标k = f(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = -1。
二次函数一般式怎么化成顶点式
二次函数一般式怎么化成顶点式
二次函数一般式化成顶点式公式:y=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)14a。
1.二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
2.变量不同于未知数，不能说二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
3.未知数只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，变量可在一定范围内任意取值。
在方程中适用未知数的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数--也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别。
- 1 -。
顶点式二次函数
顶点式二次函数
顶点式二次函数：
1. 介绍：
顶点式二次函数是数学中比较常见的一种函数形式。
它是一种二次函数，它的形式为 y=ax²+bx+c，其中 a, b 和 c 是常数，x 是一个变量。
在函数图像中，顶点式二次函数的曲线是以它的顶点（）为依据的上下凹曲线。
2. 定义：
顶点式二次函数的定义是指它的形式为 y=ax²+ bx+ c，其中 a, b, c 是常数，x 是变量，且a≠0. 此函数的顶点的坐标为（（-b）/2a, (4ac-
b²)/4a).
3. 特点：
（1）表达式形式很简单：y=ax²+bx+c，a,b,c 是常数，x 为变量，且a≠0。
（2）图形为一下凹曲线，顶点坐标为（（-b）/2a, (4ac-b²)/ 4a). （3）凹凸性由参数 a 的符号确定，当 a>0 时，函数图像从顶点开始朝两边凹陷，叫做凹函数，而当 a<0 时，函数图像朝两边凸起，叫做凸函数。
4. 应用：
（1）在建筑学、结构学中，经常用于绘制桥梁结构图形。
（2）在力学、机械学中，二次函数经常用来描述物体运动规律。
（3）在多变量函数中也经常会用到。
5. 例子：
例如：函数 y=-x²+2x+2 就是一个顶点式二次函数，它的顶点坐标是（1,-2）,此函数图像为一条凹函数，从 x=1 开始朝两边凹陷。
二次函数的顶点式的图像及性质
顶点式的图像特点
顶点式的图像特点包括：对称性（关于顶点对称）、顶点的坐标与图像的位 置、抛物线的开口方向和形状。
顶点式与二次函数的关系
顶点式是一种方程形式，通过顶点和开口方向表达了二次函数的图像特点， 能够帮助我们更好地理解和分析二次函数。
顶点式与平移变换的关系
顶点式可以通过改变顶点的坐标实现平移变换，从而在坐标平面上移动和调整抛物线的位置。
顶点式的性质
顶点式具有区间可见性、单调性、最值、极值点的性质等，这些性质帮助我 们更好地理解和分析二次函数的图像特点。
顶点式的应用示例
顶点式在物理学、经济学等领域有广泛的应用。例如，通过顶点式可以研究抛物线的最小值、最大值以及最优 解等问题。
二次函数的顶点式的图像 及性质
本节介绍二次函数的顶点式，包括定义、一般形式和性质。我们将展示顶点 式的图像特点，并说明与二次函数、平移变换的关系，最后提Байду номын сангаас应用示例。
顶点式的含义
顶点式是用来表示二次函数的一种方程形式。它通过给出顶点的坐标和抛物 线的开口方向来描述二次函数的图像。
顶点式的一般形式
二次函数的顶点式一般形式为：y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)表示顶点的坐标，a表示抛物线的开口方向和形状 （正值为开口向上，负值为开口向下）。
二次函数怎么配方成顶点式
二次函数怎么配方成顶点式二次函数在数学中是一类非常重要的函数，具有广泛的应用。
在学习二次函数的过程中，我们需要了解不同的表示形式。
顶点式是一种常见的表示形式，它能够直观地显示二次函数的顶点坐标和对称轴方程。
本文将详细介绍如何将二次函数配方成顶点式，并通过示例进行说明。
1. 什么是顶点式?二次函数有多种表示形式，其中顶点式是一种常见形式。
顶点式表示二次函数的顶点坐标和对称轴方程。
对于一般形式的二次函数，其顶点式可表示为：f(x) = a(x-h)^2 + k其中，(h, k)为顶点的坐标，a为二次项系数。
这种形式能够直观地展示二次函数的顶点位置和对称轴方程。
2. 如何将二次函数配方成顶点式?对于已知的一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过完成平方或配方法将其配方成顶点式。
平方配方法:通过平方配方法，我们可以将一般形式的二次函数配方成顶点式。
以下是具体的步骤：步骤 1: 将二次项系数a提取出来，得到f(x) = a(x^2 + (b/a)x) + c。
步骤 2: 对于x^2 + (b/a)x这一项，确定能够平方得到x^2 + (b/a)x的两个数值p和q，使得p + q = b/a且pq = b^2/(4a^2)。
步骤 3: 在二次函数的基础上加上补全项(p/2a)^2 - (p/2a)^2，得到f(x) = a(x^2 + (b/a)x + (b^2/(4a^2)) - (b^2/(4a^2))) + c。
步骤 4: 利用完全平方式将x^2 + (b/a)x + (b^2/(4a^2))部分进行平方，得到f(x) = a((x + b/(2a))^2 - (b^2/(4a^2))) + c。
步骤 5: 化简方程，得到顶点式f(x) = a(x - (-b/(2a)))^2 + c - (-b^2/(4a))。
最终得到的顶点式为:f(x) = a(x - h)^2 + k其中，h = -b/(2a)，k = c - (-b^2/(4a))。
二次函数顶点式推导
二次函数顶点式推导
二次函数是一种形如y = ax²+ bx + c 的函数，其中a、b、c 是常数。
顶点式是一种将二次函数转化为顶点坐标形式的方法，其形式为y = a(x - h)²+ k，其中(h,k) 是顶点坐标。
现在我们来推导二次函数顶点式的公式。
首先，我们将二次函数转化为完全平方形式，即将x²项写成(x - h)²的形式，其中h 是一个常数。
这可以通过配方法来实现。
具体来说，我们可以将 b 项的系数拆分成两个数，使其构成一个完全平方式。
例如，对于函数y = 2x²+ 4x + 1，我们可以将其写成y = 2(x²+ 2x + 1/2) + 1 - 1/2。
这样，我们就得到了一个完全平方式2(x + 1)²。
然后，我们将完全平方形式的二次函数写成顶点式的形式。
我们可以通过移项和合并常数项来完成这一步。
具体来说，我们可以将完全平方形式的二次函数写成y = a(x - h)²+ k 的形式，其中h 和k 分别是完全平方式的顶点坐标。
例如，对于y = 2(x + 1)²- 1/2，我们可以将其写成y = 2(x - (-1))²- 1 的形式，即y = 2(x - h)²+ k，其中h = -1，k = -1/2。
因此，二次函数的顶点式公式为y = a(x - h)²+ k，其中(h,k) 是二次
函数的顶点坐标，a 是二次函数的开口方向和大小。
这个公式可以用来方便地求解二次函数的性质，如顶点坐标、开口方向和大小等。
二次函数顶点式公式的推导方法
二次函数顶点式公式的推导方法摘要：1.二次函数顶点式公式简介2.二次函数顶点式公式的推导过程3.顶点式公式在实际问题中的应用4.结论与总结正文：【1】二次函数顶点式公式简介二次函数是中学数学中的重要内容，其一般形式为y = ax^2 + bx + c。
顶点式公式是二次函数的一种特殊表示形式，形式为y = a(x - h)^2 + k。
顶点式公式更容易理解二次函数的图像特征，如顶点位置、开口方向等。
【2】二次函数顶点式公式的推导过程要将二次函数转化为顶点式公式，我们可以通过以下步骤进行推导：1.先将二次函数的一般形式进行完全平方处理，得到y = a(x^2 + b/2a x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + c。
2.化简上式，得到y = a(x + b/2a)^2 - (b^2/4a) + c。
3.由此可知，二次函数的顶点式公式为y = a(x - h)^2 + k，其中h = -b/2a，k = c - (b^2/4a)。
【3】顶点式公式在实际问题中的应用顶点式公式在实际问题中具有广泛的应用，如求解最值问题、几何问题等。
以下是一个求解最值问题的例子：已知二次函数y = 2x^2 - 4x + 3，求其在x轴上的最大值。
解析：首先求出顶点坐标，h = -b/2a = -(-4)/(2*2) = 1，k = c -(b^2/4a) = 3 - (0/4*2) = 3。
所以顶点坐标为(1, 3)。
由于a > 0，所以二次函数开口向上，因此在顶点处取得最小值。
将x = 1代入原函数，得到最小值为y = 2*1^2 - 4*1 + 3 = 1。
所以二次函数在x轴上的最大值为1。
【4】结论与总结通过以上分析，我们可以看出二次函数顶点式公式具有直观、易于理解的特点。
掌握顶点式公式的推导过程和实际应用，有助于提高我们的数学素养和解决问题的能力。
二次函数 顶点式
二次函数顶点式
二次函数顶点式是一种表示二次函数的方式。
它的一般形式如下：y = a(x - h)^2 + k
其中，a表示二次函数的开口方向和大小，h和k表示顶点的横坐标和纵坐标，也就是二次函数的最低点或最高点。
在二次函数顶点式中，如果a>0，则二次函数开口向上；如果
a<0，则二次函数开口向下。
同时，顶点的横坐标h可以表示二次函数的轴对称线，即x = h。
二次函数顶点式还可以转换成标准式和一般式，其中标准式为：y = ax^2 + bx + c
一般式为：
ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0
二次函数顶点式的优点是可直接读出顶点坐标和开口方向，适用于绝大多数的解题场合。
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
二次函数公式：顶点式、交点式、两根式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y=ax2+bx+c (a，b，c为常数，a0)，则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a0)。
(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式
y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。
(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。
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二次函数顶点式与交点式推导
二次函数顶点式与交点式推导二次函数可以用顶点式和交点式两种形式来表示。
首先我们来看顶点式的推导。
顶点式是指二次函数的标准形式为y = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)表示顶点的坐标，a表示抛物线的开口方向和开口大小。
我们可以通过完全平方公式将一般式的二次函数转换为顶点式。
首先，我们将一般式的二次函数表示为y = ax^2 + bx + c。
然后，利用配方法将x^2项与常数项相结合，得到y = a(x^2 + (b/a)x) + c。
接下来，我们需要加上一个适当的常数使得括号内成为一个完全平方的形式。
这个常数是(b/2a)^2，所以我们加上并减去(b/2a)^2，得到y = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 (b/2a)^2) + c。
然后，我们将完全平方的三项式进行因式分解，得到y = a((x + b/2a)^2(b/2a)^2) + c。
最后，化简得到y = a(x + b/2a)^2 a(b/2a)^2 + c，化简得到y = a(x + b/2a)^2 (b^2-4ac)/4a。
这样我们就得到了二次函数的顶点式表示形式。
接下来我们来看交点式的推导。
二次函数的交点式表示为y = a(x-p)(x-q)，其中p和q分别是函数与x轴交点的横坐标。
我们可以通过将顶点式展开来得到交点式。
首先，将顶点式y = a(x-h)^2 + k展开得到y = a(x^2 2hx + h^2) + k。
然后，将这个式子进行展开得到y = ax^2 2ahx +ah^2 + k。
接下来，我们可以将这个式子进行因式分解，得到y = a(x^2 2hx + h^2) + k，再进行因式分解得到y = a(x-h)^2 + (k-ah^2)。
这样，我们就得到了二次函数的交点式表示形式。
总结来说，通过完全平方公式和因式分解，我们可以推导出二次函数的顶点式和交点式表示形式。
这两种形式可以相互转换，方便我们在不同的情况下使用。
二次函数顶点式正负号
二次函数顶点式正负号二次函数的顶点式可以表示为：$$y=a(x-h)^2+k$$其中，$(h,k)$为顶点坐标，$a$为开口方向和开口程度的系数。
在这个式子中，正负号起到了重要的作用。
我们来讨论$a$的正负号对二次函数的开口方向的影响。
当$a$为正数时，二次函数的开口方向向上，形状类似于一个"U"；当$a$为负数时，二次函数的开口方向向下，形状类似于一个"∩"。
这是因为$a$决定了二次函数的凹凸性质，正数对应凹形，负数对应凸形。
我们来讨论顶点坐标$(h,k)$中$k$的正负号对二次函数的顶点位置的影响。
当$k$为正数时，顶点在$y$轴上方；当$k$为负数时，顶点在$y$轴下方。
这是因为顶点的纵坐标$k$决定了二次函数的最低点或最高点的位置。
二次函数顶点式正负号的不同会影响二次函数的开口方向和顶点的位置。
通过改变正负号，我们可以得到不同形状的二次函数图像。
接下来，我们将通过实例来进一步说明二次函数顶点式正负号的作用。
例1：$y=2(x-3)^2+1$在这个例子中，$a$的正负号为正，表示二次函数的开口方向向上。
顶点坐标为$(3,1)$，其中$k$的正负号为正，表示顶点在$y$轴上方。
根据这些信息，我们可以确定这个二次函数的图像是一个开口向上的"U"形，最低点在$(3,1)$处。
例2：$y=-2(x+1)^2-4$在这个例子中，$a$的正负号为负，表示二次函数的开口方向向下。
顶点坐标为$(-1,-4)$，其中$k$的正负号为负，表示顶点在$y$轴下方。
根据这些信息，我们可以确定这个二次函数的图像是一个开口向下的"∩"形，最高点在$(-1,-4)$处。
通过以上两个例子，我们可以看出二次函数顶点式的正负号对二次函数的图像形状起到了至关重要的作用。
正负号不同，开口方向和顶点位置也会有所变化。
总结起来，二次函数顶点式正负号决定了二次函数的开口方向和顶点的位置。
二次函数的三种表示方式
二次函数的三种表示方式1．二次函数的一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．二次函数的顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x 1＋x2＝，x1x2＝，即＝－(x1＋x2)，＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a( )= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．二次函数的交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．。
初中数学二次函数如何化为顶点式
初中数学二次函数如何化为顶点式二次函数是初中数学中非常重要的一个知识点，常见的二次函数一般可以用一般式表示，但是对于计算和解题来说并不是很方便。
因此，我们需要将二次函数化为顶点式。
首先，我们需要了解二次函数的标准形式：$$y=ax^2+bx+c$$其中，$a$，$b$，$c$ 都是实数，$a\neq 0$ 。
二次函数的顶点式为：$$y=a(x-h)^2+k$$其中，$(h,k)$ 表示函数图像上的顶点。
那么如何将二次函数化为顶点式呢？下面就来详细讲解一下。
一、求顶点坐标首先，我们需要求得二次函数的顶点坐标 $(h,k)$ 。
这里有两种方法。
方法一：通过平移坐标轴的方法，将二次函数化为顶点在原点的顶点式。
具体操作如下：$$y=ax^2+bx+c \Rightarrow y=a(x+\frac{b}{2a})^2+c-\frac{b^2}{4a}$$这样，二次函数就被化为了顶点在原点的顶点式 $y=a(x-0)^2+(c-\frac{b^2}{4a})$ ，其中顶点坐标为 $(0,c-\frac{b^2}{4a})$ 。
方法二：通过配方法，将二次函数化为顶点式。
具体操作如下：$$y=ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2+c-\frac{b^2}{4a}$$这样，二次函数就被化为了顶点在 $(\frac{-b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$ 的顶点式 $y=a(x-\frac{-b}{2a})^2+(c-\frac{b^2}{4a})$。
二、判断开口向上还是向下接下来，我们需要判断二次函数的开口方向，也就是二次函数的系数 $a$ 的正负。
当 $a>0$ 时，二次函数的开口向上。
当 $a<0$ 时，二次函数的开口向下。
三、得出顶点式知道顶点坐标和开口方向后，我们就可以得出二次函数的顶点式了。
当二次函数的开口向上时，顶点式为：$$y=a(x-h)^2+k$$其中，$a$ 和 $(h,k)$ 分别为：$$a>0,\quad (h,k)\text{为二次函数的顶点坐标}$$当二次函数的开口向下时，顶点式为：$$y=a(x-h)^2+k$$其中，$a$ 和 $(h,k)$ 分别为：$$a<0,\quad (h,k)\text{为二次函数的顶点坐标}$$综上所述，二次函数化为顶点式，可以很好地帮助我们计算和解题，因此，我们需要掌握好这一知识点。
二次函数顶点坐标公式的推导过程
⼆次函数顶点坐标公式的推导过程 ⼆次函数顶点坐标公式的推导过程是什么呢?感兴趣的⼩伙伴快来和⼩编⼀起看看吧。
下⾯是由店铺⼩编为⼤家整理的“⼆次函数顶点坐标公式的推导过程”，仅供参考，欢迎⼤家阅读。
⼆次函数顶点坐标公式的推导过程 ⼆次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k) 推导过程：y=ax^2+bx+cy=a(x^2+bx/a+c/a) y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2) y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a 对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) 拓展阅读：⼆次函数的顶点表达式 y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k) [4] ，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开⼝⽅向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最⼤(⼩)值=k.有时题⺫会指出让你⽤配⽅法把⼀般式化成顶点式。
例：已知⼆次函数y的顶点(1,2)和另⼀任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)²+2，把(3,10)代⼊上式，解得y=2(x-1)²+2。
注意：与点在平⾯直⾓坐标系中的平移不同，⼆次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越⼤，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正⽅向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下⾯⼏种情况： 当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平⾏移动h个单位得到; 当h>0时，y=a(x+h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平⾏移动h个单位得到;当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平⾏移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图像; 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平⾏移动h个单位，再向下移动k个单位，就可以得到y=a(x+h)²-k的图像; 当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平⾏移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图像; 当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平⾏移动|h|个单位，再向上移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图像。
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练习
7、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，则点M（
b c
，a）在
y
（ D ）
A、第一象限
C、第三象限
A. 4 B. -1 C. 3 D.4或-1 4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x 轴的一个交点为(1,0),则下列 y 各式中不成立的是( B ) A.b2-4ac>0 B.abc>0 1 o x C.a+b+c=0 D.a-b+c<0 -1
( )
A
5.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平 移3个单位,得抛物线y = x2 - 2x+1,则 ( B ) A.b=2 B.b= - 6 , c= 6
练习
4、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y a>0, b=0, c>0, o x △=0.
练习
5、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y a>0, b=0, c=0, o x △=0.
练习
6、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
(2) y 2( x 3) 2 (3) y ( x 1) 1
2
(4) y 0.4( x 2) 2 向上 (5) y 2 x 2
( 6) y 7 ( x 2) 2 1 ( 7 ) y ( x 2) 2
2
(8) y ( x 1) 2 1
b 4ac b 2 a x . 2a 4a 2 b 4ac b 2 y a x . 2a 4a
2
化简:去掉中括号
∴
一般式：y ax bx c
2
可化为
b 4ac b2 顶点式：y a x . 2a 4a
配方:
2
怎样把函数y=3x2-6x+5的转化成y=a(x-h）2+k的形式?
式通常称为顶 点式
简单说成：一提、二配、三化简
函数y=3x2-6x+5的图象特征
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称 轴,顶点坐标.
y 3x 1 2.
2
∵a=3>0,∴开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).
或
y 2x2 4x 5
6.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶 端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？ 解：如图建立直角坐标系，点（1，3）是图中这段抛物线的顶点， 因此可设这段抛物线对应的函数是 y = a( x －1 )2 ＋3 (0≤x≤3). 由这段抛物线经过点（3，0）可得 0＝a(3－1)2＋3. 解得 3 2 1 1 2 3
盛家坝中学
刘祖芹
指出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： 开口 对称轴 顶点坐标
(1) y 6 x 3
2
向下
向上 向下 向下 向上 向下
2
x=0
x= 3 x=-1 x= 2 x= 0 x= -2 x= 2
(0,-3)
(3,0) (-1,-1) (2,2) (0,0) (-2,-1) (2，-2)
函数y=ax²+bx+c的顶点式
例.求次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标． 配方: y ax2 bx c
c 2 b a x x a c
提取二次项系数 配方:加上再减去一次
2 b b 2 b 2 c 项系数绝对值一半的 a x x 平方 a 2 a 2 a a 2 整理:前三项化为平方形式， b 4ac b 2 a x 后两项合并同类项 2 2a 4a
4.写出一个二次函数的解析式,要求满足下列条件: 2 y ( x 2 ) 3 . ①开口向下;②顶点坐标为(-2,-3). 5.已知一抛物线的顶点坐标为(-1,2),且过点(1,-2), 求该抛物线的解析式. 6.已知抛物线 y x 6x 5 2 y a ( x m ) k 的形式 (1)将函数化为 . 2 (2)说出该函数图象可由抛物线 y x 如何平移得到? (3)说出该函数的对称轴,顶点坐标,最值情况.
C.b= - 8
D.b= - 8 ,
c= 18
6.若一次函数 y= ax + b 的图象经过第二、三、四象限，
则二次函数y = ax2 + bx - 3的大致图象是
y y y
(
C
y
)
o
-3
x
o -3
x
o -3
x
o -3
x
A
B
C
D
7.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （C ）
2
2
3
2
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
1 y 2x2 3x 1;
b 3 = 解：∵ 解：∵ 2a 4 4ac b 2 1 =4a 8
∴对称轴 x
3 4
2 2 1 4a
∴对称轴 x=1 顶点坐标(1,1)
y
1 2 x 2
一、由顶点式说性质：
说出下列抛物线的开口方向、对称轴、增减性及最值： （1）y =2( x+3)2+5; （3）y = 4(x－3)2+7; 解： （1）a=2>0开口向上，对称轴为x=－3， 当x≤-3时，y随x的增大而减小； 当x≥-3时，y随x的增大而增大； 当x=-3时，y有最小值为5; （2）y = －3(x－1)2－2;
抛物线
y a x h k
2
有如下特点：
向上 ；当a<0时，开口_______ 向下 ； （1）当a>0时，开口______ x=h ； （2）对称轴是直线______
（h,k) （3）顶点坐标是_________
函数y=ax²+bx+c的图象
y 3x 6 x 5 5 2 3 x 2 x 提取二次项系数 3 :加上再减去一次项系数 5 配方 2 3 x 2 x 1 1 绝对值一半的平方 3 2 整理:前三项化为平方形式，后两 2 3x 1 项合并同类项 3 老师提示: 2 化简:去掉中括号 配方后的表达 3x 1 2.
y=
______________________
4ac－b 4a
2
（ 6）
△（b2-4ac）的符号：
由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点 b2-4ac>0 b2-4ac=0
b2-4ac<0
与x轴有一个交点 与x轴无交点
练习
1、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
a
3 4
因此 y
3 x 12 3 4
0 x 3
当x = 0时，y = 2.25，也就是说，水管应长2.25m.
五、课内练习
1、y=3x2的图象向 左 平移 2 个单 位，再向 下 平移 5 个单位，就得 到函数y=3(x+2)2-5的图象。
2、抛物线y=-3(x+2)2-4的顶点在第 二 象限。 3、将抛物线y=2(x-1)2+4绕着它的顶点旋转 180°，则旋转后的抛物线的解析式为 （ C ） A、y=2(x+1)2+4 C、y=-2(x-1)2+4 B、y=2(x-1)2-4 D、y=-2(x+1)2+4
y a>0, b<0, c>0, o x △>0.
练习
2、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y a>0, b>0, c=0, o x △>0.
练习
3、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y a<0, b<0, c>0, o x △>0.
b 它的对称轴是直线 x 2a
2
b 4ac b 2 它的顶点坐标（ - , ） 2a 4a
三、把一般式化为顶点式
1.x2-6x+
=(x- 3 )2 3 3 （ ） 2 2.y2+3y+ =(y+ ) 2 2 2 y ( x 3 ) 9 2 3.函数y=x +6x化为顶点式是 。 3 9 y 2 ( x ) 4.函数y=2x2-6x+9化为顶点式是 2 。 2 5. 函数y=ax2+bx+c化为顶点式是 .
3 1 顶点坐标( , ) 4 8
四、利用顶点式求二次函数解析式
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与y=-2x2的形状和开口方向 相同，顶点为（-１，３），则它的函数解析式为 y 2x2 4x 1 . 2.已知抛物线y=ax2+bx+c与y=-2x2的形状相同，顶点 2 y 2 x 4x 1 为（-１，３），则它的函数解析式为 . 3.已知抛物线y=ax2+bx+c由y=-2x2向左平移1个单位， 再向上平移3个单位得到，则它的函数解析式为 2 2 y 2( x 1) . 3即y 2x 4x 1 4.已知抛物线y=ax2+bx+c由y=-2x2+1绕顶点旋转1800得 2 到，则它的函数解析式为 y 2 x 1 . 5.已知抛物线y=ax2+bx+c与y=-2x2+1关于x轴对称， 2 则它的函数解析式为 y 2 x 1 .