二次函数的顶点式

盛家坝中学
刘祖芹
指出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： 开口 对称轴 顶点坐标
(1) y 6 x 3
2
向下
向上 向下 向下 向上 向下
2
x=0
x= 3 x=-1 x= 2 x= 0 x= -2 x= 2
(0,-3)
(3,0) (-1,-1) (2,2) (0,0) (-2,-1) (2，-2)
或
y 2x2 4x 5
6.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶 端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？ 解：如图建立直角坐标系，点（1，3）是图中这段抛物线的顶点， 因此可设这段抛物线对应的函数是 y = a( x －1 )2 ＋3 (0≤x≤3). 由这段抛物线经过点（3，0）可得 0＝a(3－1)2＋3. 解得 3 2 1 1 2 3
y
1 2 x 2
一、由顶点式说性质：
说出下列抛物线的开口方向、对称轴、增减性及最值： （1）y =2( x+3)2+5; （3）y = 4(x－3)2+7; 解： （1）a=2>0开口向上，对称轴为x=－3， 当x≤-3时，y随x的增大而减小； 当x≥-3时，y随x的增大而增大； 当x=-3时，y有最小值为5; （2）y = －3(x－1)2－2;
a
3 4
因此 y
3 x 12 3 4
0 x 3
当x = 0时，y = 2.25，也就是说，水管应长2.25m.
五、课内练习
1、y=3x2的图象向 左 平移 2 个单 位，再向 下 平移 5 个单位，就得 到函数y=3(x+2)2-5的图象。
2、抛物线y=-3(x+2)2-4的顶点在第 二 象限。 3、将抛物线y=2(x-1)2+4绕着它的顶点旋转 180°，则旋转后的抛物线的解析式为 （ C ） A、y=2(x+1)2+4 C、y=-2(x-1)2+4 B、y=2(x-1)2-4 D、y=-2(x+1)2+4
A. 4 B. -1 C. 3 D.4或-1 4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x 轴的一个交点为(1,0),则下列 y 各式中不成立的是( B ) A.b2-4ac>0 B.abc>0 1 o x C.a+b+c=0 D.a-b+c<0 -1
( )
A
5.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平 移3个单位,得抛物线y = x2 - 2x+1,则 ( B ) A.b=2 B.b= - 6 , c= 6
函数y=ax²+bx+c的顶点式
例.求次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标． 配方: y ax2 bx c
c 2 b a x x a c
提取二次项系数 配方:加上再减去一次
2 b b 2 b 2 c 项系数绝对值一半的 a x x 平方 a 2 a 2 a a 2 整理:前三项化为平方形式， b 4ac b 2 a x 后两项合并同类项 2 2a 4a
b 它的对称轴是直线 x 2a
2
b 4ac b 2 它的顶点坐标（ - , ） 2a 4a
三、把一般式化为顶点式
1.x2-6x+
=(x- 3 )2 3 3 （ ） 2 2.y2+3y+ =(y+ ) 2 2 2 y ( x 3 ) 9 2 3.函数y=x +6x化为顶点式是 。 3 9 y 2 ( x ) 4.函数y=2x2-6x+9化为顶点式是 2 。 2 5. 函数y=ax2+bx+c化为顶点式是 .
得到
的图像？
一般地，抛物线y a x h k与 y ax 2 形状 相同 ，位置不同，把抛物线y=ax2向上（下）向左（右） ______ 平移 ，可以得到抛物线 y ax h 2 k _______ 平移的方向、


2
h，的值来决定． k 距离要根据_________
配方:
2
怎样把函数y=3x2-6x+5的转化成y=a(x-h）2+k的形式?
式通常称为顶 点式
简单说成：一提、二配、三化简
函数y=3x2-6x+5的图象特征
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称 轴,顶点坐标.
y 3x 1 2.
2
∵a=3>0,∴开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).
4.写出一个二次函数的解析式,要求满足下列条件: 2 y ( x 2 ) 3 . ①开口向下;②顶点坐标为(-2,-3). 5.已知一抛物线的顶点坐标为(-1,2),且过点(1,-2), 求该抛物线的解析式. 6.已知抛物线 y x 6x 5 2 y a ( x m ) k 的形式 (1)将函数化为 . 2 (2)说出该函数图象可由抛物线 y x 如何平移得到? (3)说出该函数的对称轴,顶点坐标,最值情况.
y
o x o
y
x o
y
x o
y
x
A
B
C
D
知识点一： 抛物线位置与系数a，b，c的关系：
⑴a决定抛物线的开口方向： a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 ⑵ a，b决定抛物线对称轴的位置: b (对称轴是直线x = －— ) 2a ① a，b同号 ② b=0 ③ a，b异号 对称轴在y轴左侧； 对称轴是y轴； 对称轴在y轴右侧
二、顶点式与平移
(1)说出函数 y 1 x 12 1 的图象可以由y=ax2如何平移得到？
2
1 2 (2)说出函数 y x 1 1 的图象如何平移可 2
－5.5
－1.5
－3
－5.5
以得到y=ax2的图像？
1 2 (3)说出函数 y 2 x 1 1 的图象如何平移可以
b 4ac b 2 a x . 2a 4a 2 b 4ac b 2 y a x . 2a 4a
2
化简:去掉中括号
∴
一般式：y ax bx c
2
可化为
b 4ac b2 顶点式：y a x . 2a 4a
抛物线
y a x h k
2
有如下特点：
向上 ；当a<0时，开口_______ 向下 ； （1）当a>0时，开口______ x=h ； （2）对称轴是直线______
（h,k) （3）顶点坐标是_________
函数y=ax²+bx+c的图象
y 3x 6 x 5 5 2 3 x 2 x 提取二次项系数 3 :加上再减去一次项系数 5 配方 2 3 x 2 x 1 1 绝对值一半的平方 3 2 整理:前三项化为平方形式，后两 2 3x 1 项合并同类项 3 老师提示: 2 化简:去掉中括号 配方后的表达 3x 1 2.
2
2
3
2
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
1 y 2x2 3x 1;
b 3 = 解：∵ 解：∵ 2a 4 4ac b 2 1 =4a 8
∴对称轴 x
3 4
2 2 y x 2x;
b 1 2a 4 ac b 2 1 4a
∴对称轴 x=1 顶点坐标(1,1)
(2) y 2( x 3) 2 (3) y ( x 1) 1
2
(4) y 0.4( x 2) 2 向上 (5) y 2 x 2
( 6) y 7 ( x 2) 2 1 ( 7 ) y ( x 2) 2
2
(8) y ( x 1) 2 1
向上
x= -1
(-1,1)
知识回顾
左 右 平 移
各种形式的二次函数（ a≠ 0）的图象 （平移）关系
y = a( x – h ) 2 + k
上 下 平 移
y = ax2 + k
上下平移
y = a(x – h )2
左右平移
y=
ax2
（上加下减，左加右减）
讨论题2:观察所画的函数图像并进行 比较,你认为函数的图像有哪些特点?
【左同右异】
⑶ c决定抛物线与y轴交点的位置： ① c＞0 ↔图象与y轴交点在x轴上 ② c=0 ↔图象过原点； ③ c＜0 ↔图象与y轴交点在x轴下方。 2 b 4 ac b ⑷顶点坐标是（ ， ）。 2a 4a
b 当x=－ 2a — 时,y有最大(最小)值
（5）二次函数有最大或最小值由a决定。
2
5、解：设抛物线的解析式为 2 2 y a( x 1) 2 ，将（1，-2）代入y a( x 1) 2 中，得： 4a+2=-2 a=-1 则抛物线的解析式为 2 y ( x 1) 2
1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 （C ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的 顶点都在 （B） A.直线y = x上 B.直线y = - x上 C.x轴上 D.y轴上 3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值是
练习
4、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y a>0, b=0, c>0, o x △=0.
练习
5、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y a>0, b=0, c=0, o x △=0.
练习
6、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
C.b= - 8
D.b= - 8 ,
c= 18
6.若一次函数 y= ax + b 的图象经过第二、三、四象限，
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则二次函数y = ax2 + bx - 3的大致图象是
y y y
(
C
y
)
o
-3
x
o -3
x
o -3
x
o -3
x
A
B
C
D
7.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （C ）
y=
______________________
4ac－b 4a
2
（ 6）
△（b2-4ac）的符号：
由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点 b2-4ac>0 b2-4ac=0
b2-4ac<0
与x轴有一个交点 与x轴无交点
练习
1、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y a<0, b>0, c<0, o x △<0.
练习
7、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，则点M（
b c
，a）在
y
（ D ）
A、第一象限
C、第三象限
3 1 顶点坐标( , ) 4 8
四、利用顶点式求二次函数解析式
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与y=-2x2的形状和开口方向 相同，顶点为（-１，３），则它的函数解析式为 y 2x2 4x 1 . 2.已知抛物线y=ax2+bx+c与y=-2x2的形状相同，顶点 2 y 2 x 4x 1 为（-１，３），则它的函数解析式为 . 3.已知抛物线y=ax2+bx+c由y=-2x2向左平移1个单位， 再向上平移3个单位得到，则它的函数解析式为 2 2 y 2( x 1) . 3即y 2x 4x 1 4.已知抛物线y=ax2+bx+c由y=-2x2+1绕顶点旋转1800得 2 到，则它的函数解析式为 y 2 x 1 . 5.已知抛物线y=ax2+bx+c与y=-2x2+1关于x轴对称， 2 则它的函数解析式为 y 2 x 1 .
y a>0, b<0, c>0, o x △>0.
练习
2、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y a>0, b>0, c=0, o x △>0.
练习
3、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y a<0, b<0, c>0, o x △>0.