第1章 晶体学基础
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《结晶学基础》
在离子晶体结构中，每个正离子周围都形成 一个负离子配位多面体；正负离子间距离取决 于离子半径之和，正离子配位数取决于正负离 子半径之比，与离子电价无关。
.
2．鲍林第二规则---静电价规则
在一个稳定的晶体结构中，从所有相邻接的阳离 子到达一个阴离子的静电键的总强度，等于阴离子 的电荷数。
静电键强度
S＝ Z＋ CN＋
• 在离子晶体中，配位数指的是最紧邻的异号离子数，所以正、 负离子的配位数不一定是相等的。阳离子一般处于阴离子紧密堆 积阳的离空子隙还中可，能其出配现位其数 它一 的般 配为 位数4或。6. 。如果阴离子不作紧密堆积，
配位数
阴离子作正八 面体堆积，正、 负离子彼此都能 相互接触的必要
条件为r＋/r=0.414。
凸几何多面体倾向。
❖ 4．对称性－－晶体的物理化学性质能够在不同方
向或位置上有规律地出现，也称周期性 .
晶体的性质
❖ 5．均匀性（均一性）－－一个晶体的各个部分性
质都是一样的。 这里注意：均匀性与各向异性不同，前者是指晶
体的位置，后者是指观察晶体的方向。
❖ 6. 固定熔点 ❖ 7．晶面角守恒定律－－晶面（或晶棱）间的夹角
宏观晶体中对称性只有32种，根据对称型中是否存在 高次轴及数目对晶体分类
❖ 存在高次轴（n>2）且多于一个―――高级晶族 ――包括：等轴（立方）晶系
❖ 存在高次轴（n>2）且只有一个―――中级晶族 ――包括：三方、四方、六方晶系
❖ 不存在高次轴（n>2）―――低级晶族――包括： 三斜、单斜、正交晶系
第一章 结晶学基础
.
1-1 晶体的基本概念与性质
一、晶体的基本概念
➢ 人们对晶体的认识，是从石英开始的。 ➢ 人们把外形上具有规则的几何多面体形态的
.
2．鲍林第二规则---静电价规则
在一个稳定的晶体结构中，从所有相邻接的阳离 子到达一个阴离子的静电键的总强度，等于阴离子 的电荷数。
静电键强度
S＝ Z＋ CN＋
• 在离子晶体中，配位数指的是最紧邻的异号离子数，所以正、 负离子的配位数不一定是相等的。阳离子一般处于阴离子紧密堆 积阳的离空子隙还中可，能其出配现位其数 它一 的般 配为 位数4或。6. 。如果阴离子不作紧密堆积，
配位数
阴离子作正八 面体堆积，正、 负离子彼此都能 相互接触的必要
条件为r＋/r=0.414。
凸几何多面体倾向。
❖ 4．对称性－－晶体的物理化学性质能够在不同方
向或位置上有规律地出现，也称周期性 .
晶体的性质
❖ 5．均匀性（均一性）－－一个晶体的各个部分性
质都是一样的。 这里注意：均匀性与各向异性不同，前者是指晶
体的位置，后者是指观察晶体的方向。
❖ 6. 固定熔点 ❖ 7．晶面角守恒定律－－晶面（或晶棱）间的夹角
宏观晶体中对称性只有32种，根据对称型中是否存在 高次轴及数目对晶体分类
❖ 存在高次轴（n>2）且多于一个―――高级晶族 ――包括：等轴（立方）晶系
❖ 存在高次轴（n>2）且只有一个―――中级晶族 ――包括：三方、四方、六方晶系
❖ 不存在高次轴（n>2）―――低级晶族――包括： 三斜、单斜、正交晶系
第一章 结晶学基础
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1-1 晶体的基本概念与性质
一、晶体的基本概念
➢ 人们对晶体的认识，是从石英开始的。 ➢ 人们把外形上具有规则的几何多面体形态的
(完整版)1《材料科学基础》第一章晶体学基础
一、晶向指数 二、晶面指数 三、六方晶系的晶向指数和晶面指数 四、晶带 五、晶面间距
晶向、晶
钯的PDF卡片-----Pd 89－4897
crystal system,space
图 2 CdS纳米棒的TEM照片（左）和 HRTEM照片（右）
图2 选区电子衍射图
图1. La(Sr)3SrMnO7的低 温电子衍射图
晶向、晶面、晶面间距
晶向：空间点阵中行列的方向代表晶体中原子排 列的方向，称为晶向。
晶面：通过空间点阵中任意一组结点的平面代表 晶体中的原子平面，称为晶面。
L M
P点坐标?
(2,2,2)或222
N
一、晶向指数
1、晶向指数：表示晶体中点阵方向的指数，由晶向上结点的 坐标值决定。
2、求法 1）建立坐标系。 以晶胞中待定晶向上的某一阵点O为原点，
联系：一般情况下，晶胞的几何形状、大小与对应的单胞是 一致的，可由同一组晶格常数来表示。
不区分 图示
晶 胞
空间点阵
单
胞
•NaCl晶体的晶胞，对应的是立方面心格子 •晶格常数a=b=c=0.5628nm，α=β=γ=90°
大晶胞
大晶胞：是相对 于单位晶胞而言 的
例：六方原始格子形式的晶胞就是常见的大晶胞
① 所选取的平行六面体应能反映整个空间点阵的对称性； ② 在上述前提下，平行六面体棱与棱之间的直角应最多； ③ 在遵循上两个条件的前提下，平行六面体的体积应最小。
具有L44P的平面点阵
单胞表
3、单胞的表征
原点：单胞角上的某一阵点 坐标轴：单胞上过原点的三个棱边 x，y，z 点阵参数：a，b，c，α，β，γ
准晶
是一种介于晶体和非晶体之间的固体。准晶具有长程定向有 序，然而又不具有晶体所应有的平移对称性，因而可以具有 晶体所不允许的宏观对称性。
晶向、晶
钯的PDF卡片-----Pd 89－4897
crystal system,space
图 2 CdS纳米棒的TEM照片（左）和 HRTEM照片（右）
图2 选区电子衍射图
图1. La(Sr)3SrMnO7的低 温电子衍射图
晶向、晶面、晶面间距
晶向：空间点阵中行列的方向代表晶体中原子排 列的方向，称为晶向。
晶面：通过空间点阵中任意一组结点的平面代表 晶体中的原子平面，称为晶面。
L M
P点坐标?
(2,2,2)或222
N
一、晶向指数
1、晶向指数：表示晶体中点阵方向的指数，由晶向上结点的 坐标值决定。
2、求法 1）建立坐标系。 以晶胞中待定晶向上的某一阵点O为原点，
联系：一般情况下，晶胞的几何形状、大小与对应的单胞是 一致的，可由同一组晶格常数来表示。
不区分 图示
晶 胞
空间点阵
单
胞
•NaCl晶体的晶胞，对应的是立方面心格子 •晶格常数a=b=c=0.5628nm，α=β=γ=90°
大晶胞
大晶胞：是相对 于单位晶胞而言 的
例：六方原始格子形式的晶胞就是常见的大晶胞
① 所选取的平行六面体应能反映整个空间点阵的对称性； ② 在上述前提下，平行六面体棱与棱之间的直角应最多； ③ 在遵循上两个条件的前提下，平行六面体的体积应最小。
具有L44P的平面点阵
单胞表
3、单胞的表征
原点：单胞角上的某一阵点 坐标轴：单胞上过原点的三个棱边 x，y，z 点阵参数：a，b，c，α，β，γ
准晶
是一种介于晶体和非晶体之间的固体。准晶具有长程定向有 序，然而又不具有晶体所应有的平移对称性，因而可以具有 晶体所不允许的宏观对称性。
结晶学基础
晶体中如果存在对称中心，则所有晶面必
然两两反向平行而且相等。用它可以作为判 断晶体有无对称中心的依据。
4、旋转反伸轴（Lin）
旋转反伸轴是一根假想的直线，当晶体围 绕此直线旋转一定角度后，再对此直线上 的一个点进行反伸，才能使晶体上的相等 部分重复。 相应的对称操作是围绕一根直线的旋转和 对此直线上一个点反伸的复合操作。
只有晶体才能称为真正的固体。
5、准晶体
1985年在电子显微镜研究中，发现了一种新 的物态，其内部结构的具体形式虽然仍在探 索之中，但从其对称性可见，其质点的排列 应是长程有序，但不体现周期重复，不存在 格子构造，人们把它称为准晶体。
二、晶体的基本性质
一切晶体所共有的，并且是由晶体的格子构造所决定的性 质，称为晶体的基本性质。
晶体中对称轴举例
横截面形状
晶体对称定律：在晶体中不可能存在五次 及高于六次的对称轴。因为不符合空间格 子规律，其对应的网孔不能毫无间隙地布 满整个平面。
在一个晶体中，除L1外，可以无、也可有
一或多种对称轴，而每一种对称轴也可有一 或多个。
表示方法为3L4、4L3、6L2等。 对称轴在晶体中可能出露的位置： ⑴通过晶面的中心； ⑵通过晶棱的中点；
⑵行列：结点在直线上的排列即构成行列。
行列中相邻结点间的距离称为该行列的结点间距。 同一行列或彼此平行的行列上结点间距相等； 不同方向的行列，其结点间距一般不等。
行
列
⑶ 面网：结点在平面上的分布构成面网。 面网上单位面积内结点的数目称为网面密 度。 互相平行的面网，网面密度相同；不平行 的面网，网面密度一般不等。 相互平行的相邻两面网之间的垂直距离称 为面网间距。
然两两反向平行而且相等。用它可以作为判 断晶体有无对称中心的依据。
4、旋转反伸轴（Lin）
旋转反伸轴是一根假想的直线，当晶体围 绕此直线旋转一定角度后，再对此直线上 的一个点进行反伸，才能使晶体上的相等 部分重复。 相应的对称操作是围绕一根直线的旋转和 对此直线上一个点反伸的复合操作。
只有晶体才能称为真正的固体。
5、准晶体
1985年在电子显微镜研究中，发现了一种新 的物态，其内部结构的具体形式虽然仍在探 索之中，但从其对称性可见，其质点的排列 应是长程有序，但不体现周期重复，不存在 格子构造，人们把它称为准晶体。
二、晶体的基本性质
一切晶体所共有的，并且是由晶体的格子构造所决定的性 质，称为晶体的基本性质。
晶体中对称轴举例
横截面形状
晶体对称定律：在晶体中不可能存在五次 及高于六次的对称轴。因为不符合空间格 子规律，其对应的网孔不能毫无间隙地布 满整个平面。
在一个晶体中，除L1外，可以无、也可有
一或多种对称轴，而每一种对称轴也可有一 或多个。
表示方法为3L4、4L3、6L2等。 对称轴在晶体中可能出露的位置： ⑴通过晶面的中心； ⑵通过晶棱的中点；
⑵行列：结点在直线上的排列即构成行列。
行列中相邻结点间的距离称为该行列的结点间距。 同一行列或彼此平行的行列上结点间距相等； 不同方向的行列，其结点间距一般不等。
行
列
⑶ 面网：结点在平面上的分布构成面网。 面网上单位面积内结点的数目称为网面密 度。 互相平行的面网，网面密度相同；不平行 的面网，网面密度一般不等。 相互平行的相邻两面网之间的垂直距离称 为面网间距。
晶体学基础
2020/3/3
3
1.1 晶体及其基本性质
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
2020/3/3
4
空间点阵的四要素
1. 阵点: 空间点阵中的点； 2. 阵列: 结点在直线上的排列； 3. 阵面: 阵点在平面上的分布。
2020/3/3
5
空间点阵的四要素
4. 阵胞: 结点在三维空间形成的平行六面体。
原胞：最小的平行六面体，只考虑周期性，不考虑对称性； 晶胞：通常满足对称性的前提下，选取体积最小的平行六面体。
ur b/k
P
a/h A
v
a
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25
倒易点阵的应用
uur dhkl 1/ r *hkl
1、计算面间距
1
d2 hkl
r rhkl
r .rhkl
h
k
av*
l
r bcv**
av*
r b*
h
cv*
k
l
h
h
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l
G
*
k
2020/3/3
3
c
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倒易点阵的应用
2、计算晶面夹角
• 两晶面之间的夹角，可以用各自法线之间的夹角来表示， 或用它们的倒易矢量的夹角来表示：
c((ohhs21kk12ll12)c)osrvrv(hh2rv1kk2h1l1l21k1l1 ,hhrv21hav2avk*2*l+2+)kk21bvbv*rvv*+h+1kl12ll11cvcv*vrv*h2k2l2
4. 若已知两个晶带面,则晶带轴；
5. 已知两个不平行的晶向，可以求出过这两个晶向的晶面；
材料科学基础 第1章 晶体学基础
人类使用的材料中大多为晶态(Crystalline)，包括单晶、 多晶、微晶和液晶等。那么什么是晶体？ 晶体有何特点？
金刚石
Nacl
水晶
CaF2
MoS2
闪锌矿
高分辨率电镜－High Resolution Electron Microscopy (HREM)
The surface of a gold specimen, was taken with a atomic force microscope (AFM). Individual atoms for this (111) crystallographic surface plane are resolved.
底心正方和简单 正方点阵的关系
例：结构对性能的影响－Sn 1850 in Russia. The winter that year was particularly cold, and record low temperatures persisted for extended periods of time. The uniforms of some Russian soldiers had tin buttons, many of which crumbled due to these extreme cold conditions, as did also many of the tin church organ pipes. This problem came to be known as the “tin disease.”
组平行的晶面应当包含点阵所有的阵点。 ● ２、晶向(lattice or crystal directions) 通过两阵点之间的直线。 ● ３、定量表示晶面和晶向的意义 各向异性，结构分析（需要表征晶体结构内部的不同
金刚石
Nacl
水晶
CaF2
MoS2
闪锌矿
高分辨率电镜－High Resolution Electron Microscopy (HREM)
The surface of a gold specimen, was taken with a atomic force microscope (AFM). Individual atoms for this (111) crystallographic surface plane are resolved.
底心正方和简单 正方点阵的关系
例：结构对性能的影响－Sn 1850 in Russia. The winter that year was particularly cold, and record low temperatures persisted for extended periods of time. The uniforms of some Russian soldiers had tin buttons, many of which crumbled due to these extreme cold conditions, as did also many of the tin church organ pipes. This problem came to be known as the “tin disease.”
组平行的晶面应当包含点阵所有的阵点。 ● ２、晶向(lattice or crystal directions) 通过两阵点之间的直线。 ● ３、定量表示晶面和晶向的意义 各向异性，结构分析（需要表征晶体结构内部的不同
[工学]第一章 晶体学基础-1
![[工学]第一章 晶体学基础-1](https://img.taocdn.com/s3/m/ebc83828de80d4d8d15a4fc7.png)
lattice 点阵
structural motif 结构基元
Crystal structure 晶体结构
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
晶体结构
点 阵
结构基元
+
直线点阵 所有点阵点分布在一条直线上。 所有点阵点分布在一个平面上。
点阵
平面点阵 空间点阵
所有点阵点分布在三维空间上。
1、直线点阵：一维点阵
世界上的固态物质可分为二类，一类是晶态，
另一类是非晶态。自然界存在大量的晶体物质 ，如高山岩石、地下矿藏、海边砂粒、两极冰 川都是晶体组成。人类制造的金属、合金器材、 水泥制品及食品中的盐、糖等都属于晶体，不 论它们大至成千上万吨，小至毫米、微米，晶 体中的原子、分子都按某种规律周期性排列。 另一类固态物质，如玻璃、明胶、碳粉、塑料 制品等，它们内部的原子、分子排列杂乱无章， 没有周期性规律，通常称为玻璃体、无定形物 或非晶态物质
晶胞的两个要素： 1.
晶胞的大小与形状：
由晶胞参数a，b，c，α
，β，γ表示， a，b，c 为 六面体边长， α，β，γ 分 别是bc，ca，ab 所组成的 夹角 晶胞的内容：粒子的种类、数目及它在晶胞 中的相对位置
2.
CsCl晶体结构
上图为CsCl的晶体结构。Cl与Cs的1:1存在 若
a≠b 。 a∧b≠120
（ a ）NaCl
（ b ）Cu
二维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点）
b
a
（c）石墨 二维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点）
3、空间点阵：三维点阵特点：
①空间点阵可以分解成一组组平面点阵 ②取不在同一平面的三个向量组成平行六面
材料科学基础I 第一章(晶体学基础)
立方正方斜方cba???90??????cba??????90???cba??????90???菱方六方单斜三斜cba??????90???cba?????90????120?cba?????????90cba??????90???7大晶系包含14种空间点阵布拉布拉菲abravais点阵3
第一章 晶体学基础
1、晶面指数 、
方法和步骤与三指数时相同， 方法和步骤与三指数时相同， 只是要找出晶面 在四个坐标 轴上的截距。 轴上的截距。 例如： 例如： a3 o a1 a2
(1010) (0110) (1100)
(1010)
2、晶向指数： 、晶向指数：
四坐标晶向指数的确定方法有行走法和解析法。 四坐标晶向指数的确定方法有行走法和解析法。由于行走法 确定的晶向指数不是唯一的，所以这里仅介绍解析法 解析法。 确定的晶向指数不是唯一的，所以这里仅介绍解析法。 步骤： 步骤： 1)求出待定晶向在 1,a2,c三个坐标轴下的指数：U, V, W 求出待定晶向在a 三个坐标轴下的指数： 求出待定晶向在 三个坐标轴下的指数 2)按以下公式算出在四坐标轴下的指数：u, v, t, w 按以下公式算出在四坐标轴下的指数： 按以下公式算出在四坐标轴下的指数
多数金属和非金属材料都是晶体。因此， 多数金属和非金属材料都是晶体。因此，首先 要掌握晶体的特征及其描述方法。 要掌握晶体的特征及其描述方法。 晶体——组成晶体的质点在三维空间作周期性地、 组成晶体的质点在三维空间作周期性地、 晶体 组成晶体的质点在三维空间作周期性地 规则地排列。 规则地排列。 晶体的特点： 晶体的特点： 质点排列具有规则性、 质点排列具有规则性、周期性 有固定熔点（结晶温度） 非晶体没有固定的熔点 非晶体没有固定的熔点] 有固定熔点（结晶温度）[非晶体没有固定的熔点 各向异性（包含多种性能） 各向异性（包含多种性能）
第一章 晶体学基础
1、晶面指数 、
方法和步骤与三指数时相同， 方法和步骤与三指数时相同， 只是要找出晶面 在四个坐标 轴上的截距。 轴上的截距。 例如： 例如： a3 o a1 a2
(1010) (0110) (1100)
(1010)
2、晶向指数： 、晶向指数：
四坐标晶向指数的确定方法有行走法和解析法。 四坐标晶向指数的确定方法有行走法和解析法。由于行走法 确定的晶向指数不是唯一的，所以这里仅介绍解析法 解析法。 确定的晶向指数不是唯一的，所以这里仅介绍解析法。 步骤： 步骤： 1)求出待定晶向在 1,a2,c三个坐标轴下的指数：U, V, W 求出待定晶向在a 三个坐标轴下的指数： 求出待定晶向在 三个坐标轴下的指数 2)按以下公式算出在四坐标轴下的指数：u, v, t, w 按以下公式算出在四坐标轴下的指数： 按以下公式算出在四坐标轴下的指数
多数金属和非金属材料都是晶体。因此， 多数金属和非金属材料都是晶体。因此，首先 要掌握晶体的特征及其描述方法。 要掌握晶体的特征及其描述方法。 晶体——组成晶体的质点在三维空间作周期性地、 组成晶体的质点在三维空间作周期性地、 晶体 组成晶体的质点在三维空间作周期性地 规则地排列。 规则地排列。 晶体的特点： 晶体的特点： 质点排列具有规则性、 质点排列具有规则性、周期性 有固定熔点（结晶温度） 非晶体没有固定的熔点 非晶体没有固定的熔点] 有固定熔点（结晶温度）[非晶体没有固定的熔点 各向异性（包含多种性能） 各向异性（包含多种性能）
潘金生材料科学基础(修订版)知识点笔记课后答案
第1章晶体学基础1.1复习笔记一、空间点阵1.晶体特征和空间点阵概述（1）晶体特征晶体的一个基本特征是具有周期性。
（2）空间点阵空间点阵是指用来描述晶体中原子或原子集团排列的周期性规律的在空间有规律分布的几何点的集合。
2.晶胞、晶系和点阵类型（1）晶胞①晶胞的定义空间点阵可以看成是由最小的单元——平行六面体沿三维方向重复堆积（或平移）而成。
这样的平行六面体称为晶胞。
②点阵常数a．描述晶胞的大小：三条棱的长度a，b和c；b．描述晶胞的形状：棱之间的夹角α，β和γ。
③选取晶胞的条件a.能反映点阵的周期性；b．能反映点阵的对称性；c．晶胞的体积最小。
（2）晶系按照晶胞的大小和形状的特点，或按照6个点阵常数之间的关系和特点，可以将各种晶体归为7种晶系。
表1-1 7种晶系（3）点阵类型①简单三斜点阵（如图1-1（1）所示）；②简单单斜点阵（如图1-1（2）所示）；③底心单斜点阵（如图1-1（3）所示）；④简单斜方点阵（如图1-1（4）所示）；⑤底心斜方点阵（如图1-1（5）所示）；⑥体心斜方点阵（如图1-1（6）所示）；⑦面心斜方点阵（如图1-1（7）所示）；⑧六方点阵（如图1-1（8）所示）；⑨菱方点阵（三角点阵）（如图1-1（9）所示）；⑩简单正方（或四方）点阵（如图1-1（10）所示）；⑪体心正方（或四方）点阵（如图1-1（11）所示）；⑫简单立方点阵（如图1-1（12）所示）；⑬体心立方点阵（如图1-1（13）所示）；⑭面心立方点阵（如图1-1（14）所示）。
图1-1 14种空间点阵（4）布拉维点阵与复式点阵①布拉维点阵：由等同点构成的点阵；②复式点阵：由几个布拉维点阵穿插而成的复杂点阵。
二、晶面指数和晶向指数1.晶面指数和晶向指数（1）晶面指数将截距的倒数化成三个互质的整数h，k，l，则（hkl）称为待标晶面的晶面指数。
（2）晶向指数将晶向上除原点以外的任一点的坐标x，y，z化成互质整数u，v，w，得到晶向指数[uvw]。
第一章晶体学基础
2. 非晶体 非晶体在整体上是无序的 ；近程有序 。实际为一种过 冷液体。具有各向同性。
隋性气体无规则排列
表示有些材料包括水蒸气和玻璃的短程有序
表示有些材料包括水蒸气和玻璃的短程有序 金属及其他许多材料的长程有序排列
图 材料中原子的排列
二氧化硅结构示意图
a)晶态
b)非晶态
3. 晶体的特征
（1）周期性（不论沿晶体的哪个方向看去，总是相隔一定 的距离就出现相同的原子或原子集团。这个距离称为周期 ） 液体和气体都是非晶体。 （2）有固定的凝固点和熔点. （3）各向异性（沿着晶体的不同方向所测得的性能通常是 不同的 ：晶体的导电性、导热性、热膨胀性、弹性、强度、 光学性质 ）。
（a）
Z
βα
Xb
（b） 简单立方晶体 （a） 晶体结构 （b） 晶格 （c） 晶胞
γ （c）
c aY
2.晶胞的选取原则：
（1）晶胞几何形状能够充分反映空间点阵的对称性； （2）平行六面体内相等的棱和角的数目最多； （3）当棱间呈直角时，直角数目应最多； （4）满足上述条件，晶胞体积应最小。
图 晶胞的选取
立方晶系 ( Cubic)
Simple
Body centered
Face centered
a
a
a
a a
a a
a a
a = b = c, a = b = = 90
正方晶系 （ Tetragonal ）
Simple
Body centered
c
c
a a
a a
a = b c, a = b = = 90
1.2 晶体学基础 Fundamentals of crystallogphy
隋性气体无规则排列
表示有些材料包括水蒸气和玻璃的短程有序
表示有些材料包括水蒸气和玻璃的短程有序 金属及其他许多材料的长程有序排列
图 材料中原子的排列
二氧化硅结构示意图
a)晶态
b)非晶态
3. 晶体的特征
（1）周期性（不论沿晶体的哪个方向看去，总是相隔一定 的距离就出现相同的原子或原子集团。这个距离称为周期 ） 液体和气体都是非晶体。 （2）有固定的凝固点和熔点. （3）各向异性（沿着晶体的不同方向所测得的性能通常是 不同的 ：晶体的导电性、导热性、热膨胀性、弹性、强度、 光学性质 ）。
（a）
Z
βα
Xb
（b） 简单立方晶体 （a） 晶体结构 （b） 晶格 （c） 晶胞
γ （c）
c aY
2.晶胞的选取原则：
（1）晶胞几何形状能够充分反映空间点阵的对称性； （2）平行六面体内相等的棱和角的数目最多； （3）当棱间呈直角时，直角数目应最多； （4）满足上述条件，晶胞体积应最小。
图 晶胞的选取
立方晶系 ( Cubic)
Simple
Body centered
Face centered
a
a
a
a a
a a
a a
a = b = c, a = b = = 90
正方晶系 （ Tetragonal ）
Simple
Body centered
c
c
a a
a a
a = b c, a = b = = 90
1.2 晶体学基础 Fundamentals of crystallogphy
(完整版)第1章 晶体学基础
第一篇 X射线衍射分析（15万字）1 晶体学基础1.1 晶体结构的周期性与点阵晶体是由原子、离子、分子或集团等物质点在三维空间内周期性规则排列构成的固体物质，这种周期性是三维空间的。
晶体中按周期重复的原子、分子或离子团称为结构基元，也就是重复单元。
为了描述晶体内部原子排列的周期性，总是把一个结构基元抽象地看成为一个几何点，而不考虑它的实际内容（指原子、离子或分子）。
这些几何点按结构周期排列，这种几何点的集合就称为点阵，将点阵中的每个点叫阵点。
要构成点阵，必须具备三个条件：（1）点阵点数无限多；（2）各点阵点所处的几何环境完全相同；（3）点阵在平移方向的周期必须相同。
凡是能够抽取出点阵的结构可称为点阵结构或晶体点阵。
点阵中每一阵点对应于点阵结构中的一个结构基元，在晶体中则是一些组成晶体的实物粒子，即原子、分子或离子等，或是这些微粒的集团。
这样，晶体结构与晶体点阵是两个不同的概念，其关系如图1-1所示，晶体结构可以表示为：晶体结构= 晶体点阵+ 结构基元图1-1晶体结构与点阵的关系根据点阵的性质，把分布在同一直线上的点阵称为直线点阵或一维点阵，分布在同一平面内的点阵称为平面点阵或二维点阵，分布在三维空间中的点阵称为空间点阵或三维点阵。
1.1.1 一维周期性结构与直线点阵图1-2（a）是聚乙烯分子链的结构示意图，具有一维周期结构，其结构基元（CH2CH2）周期性地排列在一个方向上。
每一个结构基元的等同位置抽象成一个几何点，可形成一条直线点阵，是等距离分布在一条直线上的无限点列，如图1-2（b）所示。
取任一阵点作为原点O ，A 为相邻的阵点，则矢量a=OA 表示重复的大小和方向，称为初基（单位）矢量或基矢，若以单位矢量a 进行平移，必指向另一阵点，而矢量的长度a a =ρ称为点阵参数。
图1-2晶体结构与点阵的关系（a ）聚乙烯分子链的结构示意图；（b ）等效的一维直线点阵直线点阵中任何两阵点的平移矢量称为矢径，可表示为T p = p a (0, ±1, ±2……)矢径T p 完整而概括地描述了一维结构基元排列的周期性。
材料科学基础第一章晶体结构(一结晶学基础知识)
说明： a 指数意义：代表一组平行的晶面； b 0的意义：面与对应的轴平行； c 平行晶面：指数相同，或数字相同但正负号相反； d 晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距完全相
同），空间位向不同的各组晶面。用{hkl}表示。 e 若晶面与晶向同面，则hu+kv+lw=0; f 立方晶系若晶面与晶向垂直，则u=h, k=v, w=l。
（2）晶面指数的标定 a 建立坐标系：确定原点（非阵点）、坐标轴和度量单位。 b 量截距：x,y,z。 c 取倒数：h’,k’,l’。 d 化整数：h,k,k。 e 加圆括号：(hkl)。 （最小整数？）
（2）晶面指数的标定
例：标定下列A,B,C面的指数。
(c) 2003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning™
平移坐标原点：为了标定方便。
2.六方晶系的晶面指数和晶向指数
六方晶系的晶胞如图1-4所示，是边长为a，高为c的 六方棱柱体。
四轴定向：晶面符号一般写为（hkil），指数的排 列顺序依次与a轴、b轴、d轴、c轴相对应，其中a、b、d 三轴间夹角为120o，c轴与它1们垂直。它们之间的关系为： i=－（h＋k）。
晶面指数：结晶学中经常用（hkl）来表示一组平行晶面，称为晶 面指数。数字hkl是晶面在三个坐标轴（晶轴）上截距的倒数的互 质整数比。
晶向：点阵可在任何方向上分解为相互平行的直线组，结点 等距离地分布在直线上。位于一条直线上的结点构成一个晶 向。 同一直线组中的各直线，其结点分布完全相同，故其中任何 一直线，可作为直线组的代表。不同方向的直线组，其质点 分布不尽相同。 任一方向上所有平行晶向可包含晶体中所有结点，任一结点 也可以处于所有晶向上。
晶体学基础第1章-课件1
晶体学基础绪论刘彤固体中的晶体气态：内部微粒（原子、分子、离子）无规运动液态：内部微粒（原子、分子、离子）无规运动固态：内部微粒（原子、分子、离子）振动自然界中绝大多数固体物质都是晶体。
如：食盐、冰糖、金属、岩石等。
¾单质金属和合金在一般条件下都是晶体。
¾一些陶瓷材料是晶体。
¾高聚物在某些条件下也是晶体。
“德里紫蓝宝石”如何在千姿百态的晶体中发现其规律？熔体凝固液相结晶晶体并非局限于天然生成的固体人工单晶飞机发动机叶片飞机发动机晶体的共同规律和基本特征?水晶石英晶体具有规则的凸多面体外形。
α石英的内部结构大球代表小球代表晶体的概念NaCl的晶体结构晶体（crystal）：其内部质点（原子、分子或离子）在3维空间周期性重复排列的固体。
也称具有格子构造的固体。
晶体材料：单晶，多晶¾在一个单晶体的范围内，晶格中的质点均呈有序分布。
多晶体内形成许多局限于每个小区域内的有序结构畴，但在畴与畴之质点的分布是无序的或只是部分有序的。
晶界（晶体缺陷）Be 2O 3非晶体Be 2O 3 晶体分子晶体（范德华力）晶体学的发展历史¾有文字记载以前，人们对矿物晶体瑰丽的色彩和特别的多面体外形引起了的注意，开始观察研究晶体的外形特征。
¾17世纪中叶，丹麦学者斯丹诺（steno）1669年提出面角守恒定律，这可以说是晶体学作为一门正式科学的标志，它找出了晶体复杂外形中的规律性，从而奠定了几何晶体学的基础。
¾1801年，法国结晶学家阿羽依（Haüy）基于对方解石晶体沿解理面破裂现象的观察，发现晶体学基本定律之一的整数定律。
¾1805-1809年，德国学者魏斯(Weiss)发现晶带定律以及晶体外形对称理论。
几何晶体学发展到了相当高的程度。
¾1830年，德国学者赫塞尔（Hessel)推导出描述晶体外形对称性的32种点群。
¾1837年，英国学者米勒（Miller）提出晶面在三维空间位置的表示方法---米勒指数。
1-1-晶体学基础
14
二、单晶体、多晶体和微晶体
15
16
三、同质多晶和类质同晶 (polymorphism and isomorphism)
17
பைடு நூலகம்
四、液晶 (liquid crystal)
性
18
第二节 晶体结构的对称性
自然界中很多事物都是对称的
如何堆积？
仅有周期性是不够的
对称性
19
人类也偏爱对称性
20
• 对称操作与对称元素 • 旋转-旋转轴
第一章 晶体学基础 引言
一、晶体的宏观特征
1 规则的几何外形: 光泽 2 有固定的熔点 3 各向异性 4 晶面角守恒
1
二、晶体学发展简史
经典晶体学 (几何晶体学)
1669 年，丹麦学者斯蒂诺对石英（ SiO 2 ） 和赤铁矿Fe2O3）晶体的研究，提出了晶体
学第一定律 面角守恒定律，即“同种物
2
3
现代晶体学
1901 年 Nobel 物理奖 (首届)
4
1914年 Nobel 物理奖
5
1915 年 Nobel 物理奖
6
第一节 晶体结构的周期性
结点：晶体内部微粒占有的位置抽象成几何上的点。 点阵：结点在三维空间的规则排列所组成的几何图形。 晶胞：晶体的基本重复单位。
平行六面体单位+结构基元 = 晶胞
素晶胞 (原始晶胞)、复晶胞
晶胞参数：大小和形状 a, b, c, αβγ 分数坐标
7
Na+ 与 Cl- 之间的距离： ½ a.
Cs+ 与 Cl- 之间的距离： a .
3 2
结构基元数目：
4
1
2
8
晶体结构：空间点阵 + 结构基元
二、单晶体、多晶体和微晶体
15
16
三、同质多晶和类质同晶 (polymorphism and isomorphism)
17
பைடு நூலகம்
四、液晶 (liquid crystal)
性
18
第二节 晶体结构的对称性
自然界中很多事物都是对称的
如何堆积？
仅有周期性是不够的
对称性
19
人类也偏爱对称性
20
• 对称操作与对称元素 • 旋转-旋转轴
第一章 晶体学基础 引言
一、晶体的宏观特征
1 规则的几何外形: 光泽 2 有固定的熔点 3 各向异性 4 晶面角守恒
1
二、晶体学发展简史
经典晶体学 (几何晶体学)
1669 年，丹麦学者斯蒂诺对石英（ SiO 2 ） 和赤铁矿Fe2O3）晶体的研究，提出了晶体
学第一定律 面角守恒定律，即“同种物
2
3
现代晶体学
1901 年 Nobel 物理奖 (首届)
4
1914年 Nobel 物理奖
5
1915 年 Nobel 物理奖
6
第一节 晶体结构的周期性
结点：晶体内部微粒占有的位置抽象成几何上的点。 点阵：结点在三维空间的规则排列所组成的几何图形。 晶胞：晶体的基本重复单位。
平行六面体单位+结构基元 = 晶胞
素晶胞 (原始晶胞)、复晶胞
晶胞参数：大小和形状 a, b, c, αβγ 分数坐标
7
Na+ 与 Cl- 之间的距离： ½ a.
Cs+ 与 Cl- 之间的距离： a .
3 2
结构基元数目：
4
1
2
8
晶体结构：空间点阵 + 结构基元
材料分析方法 第一章 晶体学基础
A2
B2
A3
0
1/2
1
y
x
◆结论：若仅考虑晶面的空间方位，则A1 ，B1，A2，B2，…与A1，A2，A3，…一样， 均以晶面指数（010）标识 ◆若要考虑二者晶面间距的不同，则分别 用 (020) 和 (010) 标识，此即干涉指数．
z d010 d010/2 B1 A1 A3
A2
B2
0
1/2
1
3.晶体结构与空间点阵 ◆将空间点阵的阵点复原为结构基元，便 得到晶体结构，即： 晶体结构 = 空间点阵 + 结构基元．
NaCl结构
+
面心F点阵
0,0,0 1/2,0,0
=
Na+ Cl结构基元
◆注意：虽然空间点阵只有14种，但由 于结构基元是无穷尽的，因而晶体结构 也是无限的 (同一点阵因结构基元不同 形成多种结构)。
a* a
a* ┴ b, a* ┴ c, b* ┴ a, b* ┴ c, c* ┴ a, c* ┴ b, ∴ a*//(b×c)， a*= K(b×c) b*//(c×a)， b*= K(c×a) c*//(a×b)， c*= K(a×b) 又∵ a*· a = K(b×c)· a=1 而(b×c)· a 为正点阵晶胞体积V ∴ a*· a = KV = 1 ∴ K = 1/V
a
A
o b
y
x
(4) 将倒数按比例化为互质的整数, 并加圆括号: (111)
例2: 求点阵面 MSR的密勒指数
步骤如下:
(1) 建立坐标系 (2)截距 x=1/4, y=2/3, z=1/2 (3)倒数: 1/x = 4, 1/y =3/2, 1/z =2 (4)将倒数乘公因子2, 化为最小整数 (5)加圆括号: (834)
固体物理实验方法课]第1章_晶体学基础
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1.2 晶体结构与空间点阵
1.2.5 晶向、晶面及晶向、晶面指数
晶向指数的确定
1. 建立坐标系，结点为原点，三棱为方向，点阵 常数为单位 ； 2. 在晶向上任两点的坐标(x1 , y1 , z1) (x2 , y2 , z2)。 ( 若平移晶向或坐标，让在第一点在原点则下 一步更简单)； 3. 4. 5. 计算x2 - x1 ： y2 - y1 ： z2 - z1 ； 化成最小、整数比 u：v：w ；
其中，a 、b、 c；α、β、γ 为正点阵参数
1.3 倒易点阵
1.3.3 倒易点阵参数的大小和方向
（1） a* b a* c b* a b* c c* a c* b 0
因此，倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵中异名矢量构成的平面。 a*垂直于b与c两个矢量构成的平面。同样b*（或c*）垂直于a与c（a与b） 两个矢量构成的平面。
倒易点阵是晶体结构周期性在傅立叶空间中的数学抽象。 如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒易点阵就是晶体点 阵的傅立叶变换，反之晶体点阵就是倒易点阵的傅立叶逆变换。
所以，倒易点阵只是晶体点阵在不同空间 ( 波矢空间 ) 的
反映。
1.3 倒易点阵
1.3.4 倒易矢量
1、定义： 从倒易点阵原点向任一倒易阵 点所连接的矢量叫倒易矢量，表示为： r* = Ha* + Kb* + Lc*
晶包大小与形状
1.2 晶体结构与空间点阵
1.2.2 基本矢量与晶包
同一个点阵可以由不同的平行六面体晶胞 叠成。即可以任意选择不同的坐标系与基本矢 量来表示。 为了表达最简单，应该选择最理想、最适 当的基本矢量作为坐标系统。即是以结点作为 坐标原点，（ 1 ）选取基本矢量长度相等的数 目最多、（ 2 ）其夹角为直角的数目最多，且 （ 3 ）晶胞体积最小。这样的基本矢量构成的 晶胞称为布拉菲（BRAVAIS）晶胞。
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CaF2
几种晶体结构及其空间点阵与结构基元：
ZnS
● 1.2
布拉菲点阵
●一、单胞(Unit cell) 单胞：在空间点阵中选取的一个具有代表性的基本小单元， 这个基本小单元通常是一个平行六面体，整个点阵可以看作是由 这样一个平行六面体在空间堆砌而成 晶胞：在单胞的结点位置上放置一个结构基元，则此平行六 面体就成为晶体结构中的一个基本单元
2
(3) 体心点阵－I，平移矢量 a、b、c、 a b c
2
a b 、 b c 、 a c (4) 面心点阵－F，平移矢量 a、b、c、
2 2 2
三斜系 简单三斜 Triclinic System a b c, g
单斜系 简单单斜、底心单斜 Monoclinic System a b c, 90 g
● 什么是晶体？ 晶体有何特点？
● 什么是晶体学？ ● 什么是晶体结构与空间点阵？ ● 什么是布拉菲点阵？ ● 描述晶体点阵结构的晶面指数和晶向指数是如何建立的？
● 什么是晶带定理？
● 1.1.1 晶体与晶体学(Crystal and Crystallography)
人类使用的材料中大多为晶态(Crystalline)，包括单晶、 多晶、微晶和液晶等。那么什么是晶体？ 晶体有何特点？
在实际应用中我们常将单胞与晶胞的概念混淆起来用而没有
加以细致的区分。
●二、选取原则
● １、固体物理选法：体积最小，只反映周期性，不能反 映其对称性，如面心立方点阵：
● 2、晶体学选法，同时反映周期性和对称性，符合Bravais 三原则：
a、能同时反映空间点阵的周期性和对称性；
b、满足原则a的前提下，有尽可能多的直角； c、在满足原则a和b的前提下体积最小。
● 1.1.2 晶体结构与空间点阵(crystal structure and space lattice) ●一、晶体结构 结构基元(分子、原子、离子、原子团)＋结合键结合在三维空 间作有规律的周期性的重复排列方式。 晶体结构种类繁多，可以借助x射线衍射等方法测定。
This photograph shows a diffraction pattern produced for a single crystal of gallium arsenide （ 砷 化 镓 ） using a transmission electron microscope （ TEM ） . The brightest spot near the center is produced by the incident electron beam（入 射电子束）, which is parallel to （ 平 行 于 ） a [110] crystallographic direction. Each of the other white spots results from an electron beam that is diffracted by a specific set of crystallographic planes（晶面）.
●一、晶体的特点
● 1、均匀性； ● 2、各向异性；
表1-1单晶体的各向异性
弹性模量/MPa 抗拉强度/MPa 最大 最小 最大 最小
延伸率/％ 最大 最小
Cu
191000 66700
346
225
128
158
55
80
10
20
α-Fe 293000 125000
● 3、固定的熔点，如水晶 1700℃； ● 4、对称性； ● 5、有限性（规则凸多面体外形 ）； 半导体材料、薄膜材料、光学晶体、金属材料、陶瓷
材料……
● 6、结构基元长程有序； ● 7、不完整性。
●单晶体、多晶体、晶界或界面等概念
●二、晶体学 晶体学是一门研究晶体的自然科学。 研究内容： ● 晶体的成核与生长过程； ● 晶体的外部形态和内部结构； ● 实际晶体结构与其物理性质的相互关系等。 应用广泛： ● 化学 ● 物理学 ● 冶金学 ● 材料科学 ● 分子生物学 ● 固体电子学等
的晶向。若晶体中两直线相互平行但方向相反，则它们 的晶向指数的数字相同，而符号相反。如 [001]和 就是两个相互平行、方向相反的晶向。
[00 1 ]
晶向族：晶体中因对称关系而等同的各组晶向 的集合，用<uvw>表示。
例如，对立方晶系来说，[100]、[010]、[001]
和 [100] 、 [010] 、[001]等六个晶向，它们的性质是 完全相同的，用符号<100>表示。
常用另一种表示方法，后面还要介绍。
● 1.3.3 晶面(lattice or crystal plane indices)
晶面指数的确定方法如下： ● 1、对晶胞作晶轴X、Y、Z，以晶胞的边长作为晶轴 上的单位长度； ● 2、求出待定晶面在三个晶轴上的截距，如该晶面 与某轴平行，则截距为∞；
金刚石
Nacl
水晶
CaF2
MoS2
闪锌矿
高分辨率电镜－High Resolution Electron Microscopy (HREM)
The surface of a gold specimen, was taken with a atomic force microscope (AFM). Individual atoms for this (111) crystallographic surface plane are resolved.
第
章 晶体学基础
● 1.1 晶体的周期性和空间点阵 ● 1.2 布拉菲点阵 ● 1.3 晶向指数与晶面指数 ● 1.4 晶面间距、晶面夹角和晶带定理 ● 1.5 晶体的对称性（自学）
● 1.6
极射投影（自学）
1.1
晶体的周期性和空间点阵
晶体与晶体学
●1.1.1
●1.1.2
晶体点阵和空间点阵
1.2
注意如果不是立方晶系，改变晶向指数的顺序，所 表示的晶向可能不是等同的。例如，对于正交晶系
[100]、[010]、[001]这三个晶向并不是等同晶向，因为
以上三个方向上的原子间距分别为a、b、c，沿着这三个 方向，晶体的性质并不相同。确定晶向指数的上述方法，
可适用于任何晶系。但对六方晶系，除上述方法之外，
底心正方和简单 正方点阵的关系
例：结构对性能的影响－Sn 1850 in Russia. The winter that year was particularly cold, and record low temperatures persisted for extended periods of time. The uniforms of some Russian soldiers had tin buttons, many of which crumbled due to these extreme cold conditions, as did also many of the tin church organ pipes. This problem came to be known as the “tin dise排列规则、周期性
实际晶体结构繁多
a 4
空间点阵：将晶体中的原子抽象为一些几何点，每个点 代表原子的中心或是原子的振动中心，这些几何点的空间简 称为点阵。 晶格、阵点或结点 阵点是构成空间点阵的基本要素，它的排列具有严格的 周期性，因此每个阵点都具有完全相同的周围环境，这是空 间点阵的一个重要特点。
思考： ● 存在双面心点阵么？ ● 存在有心三斜么？ ● 单斜系只有P单胞和不在棱边面上的底心单胞，为什么？
● 正交系中为何所有有心化都可形成新晶系？
●四方系中可以有体心么？
存在双面心点阵么？
存在有心三斜么？
单斜系只有P单胞和不在棱边面上的底心单胞，为什么 可以是底心单胞
同底心单斜
同简单单斜 a≠b≠c α=β=90°≠γ 同底心单斜
● 3、在直线OP上选取距原点O最近的一个阵点P，确定P 点的坐标值；
● 4、将此值乘以最小公倍数化为最小整数u、v、w，加
上方括号，[uvw] 即为AB晶向的晶向指数。 若u、v、w中某一数为负值，则将负号标注在该数的上 方。如： [uv w]
正交点阵中几个晶向的晶向 指数。
晶向指数的确定
显然，晶向指数表示的是一组互相平行、方向一致
布拉菲点阵
● 1.2
布拉菲点阵
1.3
● 1.3.1 ● 1.3.2 ● 1.3.3
晶向指数与晶面指数
密勒指数 晶向 晶面
● 1.3.4
六方晶系的晶向指数与晶面指数
1.4
晶面间距、晶面夹角和晶带定理
晶面间距 晶面夹角 晶带定理
● 1.4.1 ● 1.4.2 ● 1.4.3
● 为什么要学习晶体结构？
四方系 简单四交、体心四方 Tetragonal System a b c, g 90
立方系 简单立交、体心立方、 面心立方 Cubic System a b c, g 90
十 四 种 布 拉 菲 点 阵 一 览
面心正方和体心 正方点阵的关系
空间点阵中三个不在同一直线的点构成一个平面，一
组平行的晶面应当包含点阵所有的阵点。 ● ２、晶向(lattice or crystal directions)
通过两阵点之间的直线。
● ３、定量表示晶面和晶向的意义 各向异性，结构分析（需要表征晶体结构内部的不同 取向)。
● 1.3.2 晶向(lattice or crystal direction indices) 晶向指数是按以下几个步骤确定的： ● 1、以晶胞的某一阵点O为原点，三基矢为坐标轴，并以 点阵基矢的长度作为三个坐标的单位长度； ● 2、过原点作一直线OP，使其平行于待标定的晶向AB，这 一直线必定会通过某些阵点；