线性微分方程解的结构
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高阶线性微分方程解的结构
特解的求解方法
总结词
求解高阶线性微分方程的特解通常采用常数 变易法、分离变量法、幂级数法等。
详细描述
常数变易法是通过将高阶微分方程转化为等 价的积分方程，然后求解积分得到特解的方 法。分离变量法适用于具有分离变量形式的 高阶线性微分方程，通过将方程拆分为若干 个一阶微分方程来求解特解。幂级数法是将 高阶微分方程转化为幂级数形式的等价方程
稳定性性质
稳定性具有相对性，即一个方程的解在某个 参照系下是稳定的，在另一个参照系下可能 是不稳定的。
稳定性的判断方法
代数法
通过对方程进行整理和化简，利用代数性质判断其稳定性。
图形法
通过绘制方程的解曲线，观察其随时间变化的趋势，判断其稳定性。
比较法
通过比较两个方程的解，利用已知方程解的稳定性判断另一个方程 的解的稳定性。
定义
高阶线性微分方程的通解是指满足方程的任意常数变动的解。
性质
通解具有任意常数可加性和乘性，即通解可以表示为任意常数与基础解系的线性组合。
通解的求解方法
分离变量法
01
通过将方程转化为多个一阶微分方程来求解。
积分法
02
通过对方程两边积分来求解。
幂级数法
03
通过构造幂级数来求解高阶微分方程。
通解的表示形式
高阶线性微分方程解 的结构
目录
CONTENTS
• 高阶线性微分方程的基本概念 • 高阶线性微分方程的通解 • 高阶线性微分方程的特解 • 高阶线性微分方程解的结构 • 高阶线性微分方程的稳定性
01 高阶线性微分方程的基本 概念
高阶线性微分方程的定义
定义
高阶线性微分方程是形如$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = 0$的微分 方程，其中$y^{(n)}(x)$表示函数$y(x)$的$n$阶导数。
WJF8-5线性微分方程的性质与解的结构
如果y1 ( x ), y2 ( x )中的任意一个都不是另一个的常数倍,
y1 ( x ) 即 不恒等于非零常数, 则称y1 ( x )与y2 ( x )线性无关, y2 ( x ) 否则称y1 ( x )与y2 ( x )线性相关。
定理8.2 如果y1 ( x ), y2 ( x )是方程(1)的两个线性无关的解, 则 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通解. 如 y1 cos x和y2 sin x是方程 y y 0的两个线性无关解.
方程(1)的任何两个线性无关的 特解称为基解组.
三、线性非齐次微分方程解的结构
定理8.3 设 y1 ( x ) 是二阶非齐次线性方程 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2) 的一个特解, y2 ( x ) 是对应的齐次方程(1)的通解, 那么 Y y1 ( x ) y2 ( x ) 是方程(2)的通解. 证 因为 y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 f ( x ) 且 y P ( x ) y Q( x ) y2 0 2 2 则 Y P ( x )Y Q( x )Y ( y1 y2 ) P ( x )( y1 y2 ) Q( x )( y1 y2 ) [ y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 ] [ y P ( x ) y Q( x ) y2 ] f ( x ) 2 2
y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x ) 和 的解, 则 y1 ( x ) y2 ( x ) 是方程 y P ( x ) y Q( x ) y f1 ( x ) f( x ) y Q( x ) y 0 (1)
二、线性齐次微分方程解的结构
2.线性微分方程解的结构
推广 yi(： x)(i 若 1 ,2, .n)是 n阶齐线性微
y ( n ) p 1 ( x ) y ( n 1 ) p n 1 ( x ) y p n ( x ) y 0 ..( .2 ..) .
n
的解，则它们的线性组合 y(x) ciyi(x) 也是方程 (2) 的解。 i1
当且 c1c 仅 20时 当， c 1 y 1 (x 才 ) c 2 y 2 ( 有 x ) 0 ,x I， 则 y1(x)与 y2(x)在区 I上 间线性无关。
定义: 设 y 1 ( x ) y 2 ( , x ) , , y n ( x ) 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 k1,k2, ,kn,使得
由e x 函 的数 e 特 x (e x ) 点 (e x ) ： ， 即 可
例 1 .求(x 方 1 )y x 程 y y 0 的通解。
解： (x 1 因 ) x 1 为 0 ，所以，
yex是原方程的一个解。
又容易看出：yx 也是原方程的一个解。
利用y： 1(x) y2(x)
常数 y1(x)、 y2(x)线性无关
( 2 ) 若 1 P ( x ) Q ( x ) 0 , 则yex是它的一个; 特解 ( 3 ) 若 1 P ( x ) Q ( x ) 0 , 则yex是它的一个 ; 特
(4 )若 h (x ) p (x ) q (x ) 0 ，则方程
h ( x ) y p ( x ) y q ( x ) y 0 , 则yex是它的一个; 特解
第四节 二阶常系数线性微分方程
一、高阶线性微分方程的一般理论 二、二阶常系数齐线性微分方程的解 三、二阶常系数非齐线性微分方程的解
高阶线性微分方程的一般理论
线性微分方程解的结构
c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x) ≡ 0 x∈I ，
上线性无关。 则 y1 ( x) 与 y2 ( x) 在区间 I 上线性无关。
例
证
证明： cos 线性无关的。 证明： x 与 sin x 在任何一个区间上均为 线性无关的。
上线性相关， 若 cos x 与 sin x 在某区间 I 上线性相关，则存在不 全为零
π
2
) 上线性无关。 上线性无关。
(3) 二阶齐线性微分方程解的结构 定理 1 若 y1 ( x)、y2 ( x) 是二阶齐线性方程
y′′ + p ( x) y′ + q( x) y = 0
的两个线性无关的解， 的两个线性无关的解，则
(2)
y ( x) = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x)
x ex W [ x, e x ] = = e x ( x − 1) ， 1 ex
从而， 线性无关。 由题意 x ≠ 1，故 W [ x, e x ] ≠ 0，从而，x 与 e x 线性无关。
由叠加原理， 由叠加原理，原方程的通解为
y = C1 x + C2 e x 。
问题： 问题：
的一个解， 如果已知 y1 ( x) 是方程 y′′ + p( x) y′ + q ( x) y = 0 的一个解， 如何求出方程的一个与 y1 ( x) 线性无关的解 y2 ( x) ?
怎么做？
′ y1 z ′ + (2 y1 + p ( x) y1 ) z = 0。
即 故有
z′ +
′ 2 y1 + p ( x) y1 z = 0。 y1
−
关于 z 的一阶线性方程
上线性无关。 则 y1 ( x) 与 y2 ( x) 在区间 I 上线性无关。
例
证
证明： cos 线性无关的。 证明： x 与 sin x 在任何一个区间上均为 线性无关的。
上线性相关， 若 cos x 与 sin x 在某区间 I 上线性相关，则存在不 全为零
π
2
) 上线性无关。 上线性无关。
(3) 二阶齐线性微分方程解的结构 定理 1 若 y1 ( x)、y2 ( x) 是二阶齐线性方程
y′′ + p ( x) y′ + q( x) y = 0
的两个线性无关的解， 的两个线性无关的解，则
(2)
y ( x) = c1 y1 ( x) + c2 y2 ( x)
x ex W [ x, e x ] = = e x ( x − 1) ， 1 ex
从而， 线性无关。 由题意 x ≠ 1，故 W [ x, e x ] ≠ 0，从而，x 与 e x 线性无关。
由叠加原理， 由叠加原理，原方程的通解为
y = C1 x + C2 e x 。
问题： 问题：
的一个解， 如果已知 y1 ( x) 是方程 y′′ + p( x) y′ + q ( x) y = 0 的一个解， 如何求出方程的一个与 y1 ( x) 线性无关的解 y2 ( x) ?
怎么做？
′ y1 z ′ + (2 y1 + p ( x) y1 ) z = 0。
即 故有
z′ +
′ 2 y1 + p ( x) y1 z = 0。 y1
−
关于 z 的一阶线性方程
线性微分方程解的结构
成正比, 方向相反. 建立位移满足的微分方程.
解 取平衡时物体的位置为坐标原点,
如图建立坐标系. 设时刻 t 物体位移为x = x(t).
物体所受的力有: 1. 弹性恢复力
o x
2. 阻力
x
据牛顿第二定律得
c 令 2 n , k , 则得有阻尼自由振动方程: m m d2 x dx 2n k 2 x 0. dt d t2
Y C1 cos x C2 sin x ,
因此该方程的通解为
例1 已知 e x , e x 为二阶线性齐次方程y y 0 的两个解 , 又 y x 为 y y x 的一个特解, 求 y y x 的通解.
y x C1e C2e
三、已知 y1 ( x ) e x 是齐次线性方程 ( 2 x 1) y ( 2 x 1) y 2 y 0 的一个解,求此方程 的通解 . 四、已知齐次线性方程 x 2 y xy y 0 的通解为 Y ( x ) c1 x c 2 x ln x ,求非齐次线性方程 x 2 y xy y x 的通解 .
2
* y1* y 2 就是原方程的特解. 的特解, 那么
(非齐次方程之解的叠加原理)
n 阶线性微分方程
y ( n ) P1 ( x ) y ( n1) Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y f ( x ).
二阶非齐次线性方程的解的结构可以推广:
定理 设 y 是 n 阶非齐次线性方程
y3 y2 e x , y2 y1 x 2 是对应齐次方程的解,
y3 y2 e 2 常数 y2 y1 x
x
文学研究一二阶线性微分方程解的结构课件
y* + p(x)y* + q(x)y* = f (x)，
Y + p(x)Y + q(x)Y = 0 .
又因为 y = Y + y*， y = Y + y*，所以 y + p(x)y + q(x)y
= (Y + y* ) + p(x)(Y + y* ) + q(x)(Y + y*) = (Y + p(x) Y + q(x)Y) + ( y* + p(x) y*+ q(x)y*) = f (x).
例 1 求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 2r – 3 = 0, 它有两 个不等的实根 r1 = - 1， r2 = 3, 其对应的两个线性无 关的特解为 y1 = e- x 与 y2 = e3x, 所 以 方 程 的 通 解 为
y C1e x C2e3 x .
例 2 求方程 y - 4y + 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，它 有
重根 r = 2. 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e2x 与 y2 = xe2x，所以通解为
求得
y （C1 C2 x)e2x ,
由于erx 0，因此，只要 r 满足方程
r2 + pr + q = 0，
⑤
即 r 是上述一元二次方程的根时，y = erx 就是 ④式的解. 方程⑤称为方程④的特征方程. 特征方
程根称为特征根.
1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 即
Y + p(x)Y + q(x)Y = 0 .
又因为 y = Y + y*， y = Y + y*，所以 y + p(x)y + q(x)y
= (Y + y* ) + p(x)(Y + y* ) + q(x)(Y + y*) = (Y + p(x) Y + q(x)Y) + ( y* + p(x) y*+ q(x)y*) = f (x).
例 1 求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 2r – 3 = 0, 它有两 个不等的实根 r1 = - 1， r2 = 3, 其对应的两个线性无 关的特解为 y1 = e- x 与 y2 = e3x, 所 以 方 程 的 通 解 为
y C1e x C2e3 x .
例 2 求方程 y - 4y + 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解.
解 该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，它 有
重根 r = 2. 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e2x 与 y2 = xe2x，所以通解为
求得
y （C1 C2 x)e2x ,
由于erx 0，因此，只要 r 满足方程
r2 + pr + q = 0，
⑤
即 r 是上述一元二次方程的根时，y = erx 就是 ④式的解. 方程⑤称为方程④的特征方程. 特征方
程根称为特征根.
1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 即
线性微分方程通解的结构
y p( x) y q( x) y f1( x)
y p( x) y q( x) y f2( x)
的解y， 则py(1x()xy) qy(2x()xy)是0方程：(6.1)
y p( x) y q( x) y f ( x) (6.2) y p( x) y q( x) y f1( x) f2( x) 的解
又
y2 tan x 常数, y1
y C1 cos x C2 sin x是所给方程的通解.
15
2. 非齐线性微分方程解的结构 定理9.2 (二阶非齐次线性方程(2)的解的结构)
设 y*是二阶非齐次线性方程 y p( x) y q( x) y f ( x) (2)
的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次线性方程(1) 的通解, 那么 y Y y* 是二阶非齐次线性微 分方程(2)的通解.
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关；否则称为 线性无关.
8
例3 下列各函数组在给定区间上是线性相关
还是线性无关？
(1) e x，e x , e2x ( x (,)); 线性无关
解 若 k1e x k2e x k3e2x 0, 则 k1e x k2e x 2k3e2x 0, k1e x k2ex 4k3e2x 0,
y C( y1 y2 ) y1
25
16
例6 设 y1, y2 , y3 是微分方程 y p( x) y q( x) y f ( x)
的三个不同解，且 y1 y2 常数， y2 y3
则该微分方程的通解为( D ).
( A) C1 y1 C2 y2 y3; (B) C1( y1 y2 ) C2( y2 y3 ); (C) C1 y1 C2 y2 C3 y3; ( D) C1( y1 y2 ) C2( y2 y3 ) y3.
y p( x) y q( x) y f2( x)
的解y， 则py(1x()xy) qy(2x()xy)是0方程：(6.1)
y p( x) y q( x) y f ( x) (6.2) y p( x) y q( x) y f1( x) f2( x) 的解
又
y2 tan x 常数, y1
y C1 cos x C2 sin x是所给方程的通解.
15
2. 非齐线性微分方程解的结构 定理9.2 (二阶非齐次线性方程(2)的解的结构)
设 y*是二阶非齐次线性方程 y p( x) y q( x) y f ( x) (2)
的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次线性方程(1) 的通解, 那么 y Y y* 是二阶非齐次线性微 分方程(2)的通解.
使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关；否则称为 线性无关.
8
例3 下列各函数组在给定区间上是线性相关
还是线性无关？
(1) e x，e x , e2x ( x (,)); 线性无关
解 若 k1e x k2e x k3e2x 0, 则 k1e x k2e x 2k3e2x 0, k1e x k2ex 4k3e2x 0,
y C( y1 y2 ) y1
25
16
例6 设 y1, y2 , y3 是微分方程 y p( x) y q( x) y f ( x)
的三个不同解，且 y1 y2 常数， y2 y3
则该微分方程的通解为( D ).
( A) C1 y1 C2 y2 y3; (B) C1( y1 y2 ) C2( y2 y3 ); (C) C1 y1 C2 y2 C3 y3; ( D) C1( y1 y2 ) C2( y2 y3 ) y3.
一阶线性微分方程的概念与解的结构
1 x C( x)e e , 2
x 2
x 2
于是，有
12 2 C (x ) e d x e C , 2
x
x
因此，原方程的通解为
x y C ( x ) e C e e . x 2 x 2
解法二
运用通解公式求解．
1 1 x y y e , 2 2
将所给的方程改写成下列形式：
设所给线性非齐次方程的通解为
1 y C( x) . x
将 y 及 y代入该方程，得
1 1 (x C ) cos x , x x
于是，有
C ( x ) cos x d x sin x C .
因此，原方程的通解为
1 C1 y (sin x C ) sin x . x x x
C ( x ) y Q ( x ), 1
其中 y1 与 Q(x) 均为已知函数，所以可以通过积分 求得 Q (x ) C (x ) d x C , y 1 代入 y = C (x)y1 中，得 Q (x ) y Cy d x . 1 y 1 y 1 容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程 y P ( x ) y Q ( x ),
若 Q (x)
0，则方程成为
y P ( x ) y 0 ,
②
称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程， 若 Q (x) 0，则称方程 ① 为一阶线性非齐次微分
方程，简称线性非齐次方程. 通常方程 ② 称为方程 ① 所对应的线性齐次方程.
1.一阶线性齐次方程的解法
一阶线性齐次方程 y P ( x ) y 0 是可分离变量方程. 分离变量，得 dy P(x)dx, y 两边积分，得
则
1 1 x P ( x ) ,Q ( x ) e , 2 2
x 2
x 2
于是，有
12 2 C (x ) e d x e C , 2
x
x
因此，原方程的通解为
x y C ( x ) e C e e . x 2 x 2
解法二
运用通解公式求解．
1 1 x y y e , 2 2
将所给的方程改写成下列形式：
设所给线性非齐次方程的通解为
1 y C( x) . x
将 y 及 y代入该方程，得
1 1 (x C ) cos x , x x
于是，有
C ( x ) cos x d x sin x C .
因此，原方程的通解为
1 C1 y (sin x C ) sin x . x x x
C ( x ) y Q ( x ), 1
其中 y1 与 Q(x) 均为已知函数，所以可以通过积分 求得 Q (x ) C (x ) d x C , y 1 代入 y = C (x)y1 中，得 Q (x ) y Cy d x . 1 y 1 y 1 容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程 y P ( x ) y Q ( x ),
若 Q (x)
0，则方程成为
y P ( x ) y 0 ,
②
称为一阶线性齐次微分方程，简称线性齐次方程， 若 Q (x) 0，则称方程 ① 为一阶线性非齐次微分
方程，简称线性非齐次方程. 通常方程 ② 称为方程 ① 所对应的线性齐次方程.
1.一阶线性齐次方程的解法
一阶线性齐次方程 y P ( x ) y 0 是可分离变量方程. 分离变量，得 dy P(x)dx, y 两边积分，得
则
1 1 x P ( x ) ,Q ( x ) e , 2 2
一阶齐次线性微分方程的解法
一阶线性微分方程解的结构如下：
形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。
一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。
线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的次数为0或1。
扩展资料：
形如（记为式1）的方程称为一阶线性微分方程。
其特点是它关于未知函数y及其一阶导数是一次方程。
这里假设，是x的连续函数。
若，式1变为（记为式2）称为一阶齐线性方程。
如果不恒为0，式1称为一阶非齐线性方程，式2也称为对应于式1的齐线性方程。
式2是变量分离方程，它的通解为，这里C是任意常数。
常微分方程（ODE）是指微分方程的自变量只有一个的方程。
最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。
一阶线性微分方程的概念与解的结构
d111xyxqycyy???容易验证上式给出的函数满足线性非齐次方程xpy??xqy?且含有一个任意常数所以它是一阶线性非齐次方程yxpy??的通解xq?在运算过程中我们取线性齐次方程的一个解为??y阶线性非齐次方程的通解公式于是一阶线性非齐次方程的通解公式就可写成
第六章 微分方程初步
第三节 一阶线性微分方程
例 8 求方程 2y - y = ex 的通解. 解法一 使用常数变易法求解． 将所给的方程改写成下列形式：
1 1 x y y e , 2 2
这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方 程的通解为 x
y Ce 2 ,
设所给线性非齐次方程的解为 y C( x)e , 将 y 及 y 代入该方程，得
设所给线性非齐次方程的通解为
1 y C( x) . x
将 y 及 y代入该方程，得
1 1 (x C ) cos x , x x
于是，有
C ( x ) cos x d x sin x C .
因此，原方程的通解为
1 C1 y (sin x C ) sin x . x x x
dz n dy ( 1 n )y dx dx
dz ( 1 n ) p ( x ) z ( 1 n ) Q ( x ) 化简为 dx
dy y 2 例 求方程 a (ln x )y 的通解. dx x
方程
dy n p ( x )y Q ( x )y dx
称为伯努利方程。当n=0或1时，该方程是线性方
程；当n≠0或1时，该方程不是线性的，但是通过
变量替换，可以把它化为线性的。
如以yn除以方程两边，得
dy 1 n y p ( x ) y Q ( x ), dx
第六章 微分方程初步
第三节 一阶线性微分方程
例 8 求方程 2y - y = ex 的通解. 解法一 使用常数变易法求解． 将所给的方程改写成下列形式：
1 1 x y y e , 2 2
这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方 程的通解为 x
y Ce 2 ,
设所给线性非齐次方程的解为 y C( x)e , 将 y 及 y 代入该方程，得
设所给线性非齐次方程的通解为
1 y C( x) . x
将 y 及 y代入该方程，得
1 1 (x C ) cos x , x x
于是，有
C ( x ) cos x d x sin x C .
因此，原方程的通解为
1 C1 y (sin x C ) sin x . x x x
dz n dy ( 1 n )y dx dx
dz ( 1 n ) p ( x ) z ( 1 n ) Q ( x ) 化简为 dx
dy y 2 例 求方程 a (ln x )y 的通解. dx x
方程
dy n p ( x )y Q ( x )y dx
称为伯努利方程。当n=0或1时，该方程是线性方
程；当n≠0或1时，该方程不是线性的，但是通过
变量替换，可以把它化为线性的。
如以yn除以方程两边，得
dy 1 n y p ( x ) y Q ( x ), dx
高阶线性微分方程解的结构-文档资料
2 2 1 ,cos x ,sin x ,在( , )上都有 例如，
k y ( x ) k y ( x ) k y ( x ) 0 , x I 1 1 2 2 n n
2 2 1 cos x sin x 0
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
2 又如， 1, x , x2, 若在某区间 I 上 k k x k x 0 , 1 2 3
第十二章
是二阶线性齐次方程的两个线 y ( x ), y ( x ) 定理 2. 若 1 2
数) 是该方程的通解. (自证) 有特解 y sin x ,且 cos x ,y y 0 例如, 方程 y 2 1 y2 故方程的通解为 tan x 常数 , y1 y C cos x C sin x 1 2
第十二章
二、线性齐次方程解的结构
是二阶线性齐次方程 定理1. 若函数 y ( x ), y ( x ) 1 2 y P ( x ) y Q ( x ) y 0
也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 代入方程左边, 得 y C y ( x ) C y ( x ) 1 1 2 2 ] ] C2 y2 C2 y2 P ( x )[ C y [ C y 1 1 1 1
的两个解, 则 y C y ( x ) C y ( x ) (C 为任意常数 ) 1 1 2 2 1,C 2
Q ( x ) [ C y C2 y2 ] 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 1 1 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 0 2 2 2 2
是非齐次方程的通解 . 证: 将 y 代入方程①左端, 得 Y ( x ) y * ( x )
k y ( x ) k y ( x ) k y ( x ) 0 , x I 1 1 2 2 n n
2 2 1 cos x sin x 0
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
2 又如， 1, x , x2, 若在某区间 I 上 k k x k x 0 , 1 2 3
第十二章
是二阶线性齐次方程的两个线 y ( x ), y ( x ) 定理 2. 若 1 2
数) 是该方程的通解. (自证) 有特解 y sin x ,且 cos x ,y y 0 例如, 方程 y 2 1 y2 故方程的通解为 tan x 常数 , y1 y C cos x C sin x 1 2
第十二章
二、线性齐次方程解的结构
是二阶线性齐次方程 定理1. 若函数 y ( x ), y ( x ) 1 2 y P ( x ) y Q ( x ) y 0
也是该方程的解. (叠加原理) 证: 将 代入方程左边, 得 y C y ( x ) C y ( x ) 1 1 2 2 ] ] C2 y2 C2 y2 P ( x )[ C y [ C y 1 1 1 1
的两个解, 则 y C y ( x ) C y ( x ) (C 为任意常数 ) 1 1 2 2 1,C 2
Q ( x ) [ C y C2 y2 ] 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 1 1 1 1
C [ y P ( x ) y Q ( x ) y ] 0 2 2 2 2
是非齐次方程的通解 . 证: 将 y 代入方程①左端, 得 Y ( x ) y * ( x )
线性微分方程解的性质
线性微分方程解的性质一、线性微分方程的解的结构1.1二阶齐次线性方程y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 (1)y''+P(x)y'+Q(x)y=0 \tag{1} y′′+P(x)y′+Q(x)y=0(1)定理1：如果函数 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x)与 y 2 ( x ) y_2(x)y2(x)是方程（1）的两个解，那么y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) (2) y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) \tag{2} y=C1y1(x)+C2y2(x)(2)也是方程（1）的解，其中 C 1 , C 2 C_1,C_2 C1,C2是任意常数。
解（2）从形式上看含有C1C_1C1和C2C_2C2两个任意常数，但它不一定是方程（1）的通解。
那么在什么情况下（2）式才是方程（1）的通解呢？要解决这个问题，还得引入新概念，即函数组的线性相关与线性无关。
设 y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , ⋅⋅⋅ , y n ( x )y_1(x),y_2(x),···,y_n(x) y1(x),y2(x),⋅⋅⋅,yn(x)为定义在区间 I I I上的n个函数，如果存在n个不全为零的常数 k 1 , k 2 , ⋅⋅⋅ , k n k_1,k_2,···,k_n k1,k2,⋅⋅⋅,kn，使得当x ∈ I x\in I x∈I时有恒等式k 1 y 1 + k 2 y 2 + ⋅⋅⋅ + k n y n = 0k_1y_1+k_2y_2+···+k_ny_n=0 k1y1+k2y2+⋅⋅⋅+knyn=0成立，那么称这n个函数在区间I上线性相关；否则线性无关。
应用上述概念可知，对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数；如果比为常数，那么它们就线性相关；否则就线性无关。
高等数学 微分方程 (6.4.2)--线性微分方程解的结构1
Chap 6 ― 4
线性微分方程解的结 构
n 阶线性微分方程标准形 式
y(n) p1(x) y(n1) pn1(x) y pn (x) y f (x)
p1(x),, pn (x) — 方程的系 数
特点 : 方程
f (x) — 非齐次 项
中 各项关于未知函数及其导数均不超过一
6.4.1 二阶齐次线性微分方程解的结 构
二阶齐次线性方程标准形式
y p(x) y q(x) y 0
( HL)
1. 线性相关与无关
对函数 y1(x), y2 (x), 若有不全为零常数 c1,c2,
c1 y1( x) c使2 y2 ( x) 0
则称 y1(x), y2 (x) 线性相关，否则称它们线性无
y1(x)
线性无关的解
( 常数变易法 )
求方程 (HL) 的解归结为求出一个非零特 解 如何求一个特解？
简单形式方程常使用观察法找出特解
xm , ex , sin mx 或cos mx
例 求解方程 (2x 1) y 4xy 4 y 0
例 求解方程
xy y (x 1) y 0
的解 （ c1,c2 为任意常数）
推论 ( 齐次线性方程的性质 )
y1(x), y2 (x) 是方程
y (n) p1 (x) y (n1) pn1 (x) y pn (x) y 0 的解
c1 y1( x) c2 y2 ( x) (c1 ,c2是任意常数） 也是此方程的 解.
解.
(HL) 的所有解构成了一个二维线性空间 基本，解组是它的一组基 .
求解二阶齐次线性方程归结为 ：
求出两个线性无关的解 ( 即基本解组 ).
线性微分方程解的结 构
n 阶线性微分方程标准形 式
y(n) p1(x) y(n1) pn1(x) y pn (x) y f (x)
p1(x),, pn (x) — 方程的系 数
特点 : 方程
f (x) — 非齐次 项
中 各项关于未知函数及其导数均不超过一
6.4.1 二阶齐次线性微分方程解的结 构
二阶齐次线性方程标准形式
y p(x) y q(x) y 0
( HL)
1. 线性相关与无关
对函数 y1(x), y2 (x), 若有不全为零常数 c1,c2,
c1 y1( x) c使2 y2 ( x) 0
则称 y1(x), y2 (x) 线性相关，否则称它们线性无
y1(x)
线性无关的解
( 常数变易法 )
求方程 (HL) 的解归结为求出一个非零特 解 如何求一个特解？
简单形式方程常使用观察法找出特解
xm , ex , sin mx 或cos mx
例 求解方程 (2x 1) y 4xy 4 y 0
例 求解方程
xy y (x 1) y 0
的解 （ c1,c2 为任意常数）
推论 ( 齐次线性方程的性质 )
y1(x), y2 (x) 是方程
y (n) p1 (x) y (n1) pn1 (x) y pn (x) y 0 的解
c1 y1( x) c2 y2 ( x) (c1 ,c2是任意常数） 也是此方程的 解.
解.
(HL) 的所有解构成了一个二维线性空间 基本，解组是它的一组基 .
求解二阶齐次线性方程归结为 ：
求出两个线性无关的解 ( 即基本解组 ).
第七节 线性微分方程解的结构
(Y′′ + y *′′ ) + p(Y′ + y *′ ) + q (Y + y *)
+ (Y′′ + pY′ + qY )
= f (x) + 0 = f (x)
是非齐次方程的解, 故 y = Y(x) + y *(x) 是非齐次方程的解 又Y 中含有 两个独立任意常数, 两个独立任意常数 因而 也是通解 .
′ 即 y1 u′′ + ( 2 y1 + P ( x ) y1 )u′ = 0,
令v = u′,
′ 则有 y1v ′ + ( 2 y1 + P ( x ) y1 )v = 0,
′ y1v ′ + ( 2 y1 + P ( x ) y1 )v = 0
v 的一阶方程
降阶法
1 ∫ P ( x ) dx 1 ∫ P ( x ) dx 解得 v = 2 e , ∴ u = ∫ 2e dx y1 y1
y 2 = y1 ∫
∫ 1 e 2 y1 p ( x ) dx
（1 ）
dx
是该方程与y1(x) 线性无关的解
证
令 y2 = u( x) y1
代入(1)式 代入 式, 得
′ ′ ′ y1 u′′ + ( 2 y1 + P ( x ) y1 )u′ + ( y1′ + P ( x ) y1 + Q ( x ) y1 )u = 0,
y1 = e x , 由刘维尔公式 对应齐次方程一特解为
1 ∫ 1xx dx x y2 = e ∫ 2 x e dx = x , e
对应齐方通解为 Y = C1 x + C 2e x .
线性方程解的结构
由于 y1 ( x ) = 3 y 2 ( x )
⇒ y1 = ln x 3 , y 2 = ln x
在任一区间(0,b)上都是线性相关的
定理 2：如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性无关 的特解, 那么 y = C1 y1 + C 2 y2 就是方程(1)的通解.且包 含了所有的解。
′ + Q ( x ) y1 = 0 由已知y1 ' '+ P ( x ) y1 证 明： y2 ' '+ P ( x ) y ′ 2 + Q( x ) y2 = 0
c1 (1) + c 2 ( 2)即得
(1) ( 2)
′ + c 2 y 2 ' ) + Q( x )(c1 y1 + c 2 y 2 ) = 0 ( c1 y1 ' '+ c 2 y 2 ' ' ) + P ( x )(c1 y1
y1 ( x ) 特别地: 若在 I 上有 ≠ 常数， y2 ( x ) 则函数 y1 ( x )与 y2 ( x ) 在 I 上线性无关.
定理 2：如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性无关 的特解, 那么 y = C1 y1 + C 2 y2 就是方程(1)的通解.且包 含了所有的解。
k1 y1 + k 2 y2 + L + kn yn = 0，
那么称这 n 个函数在区间 I 内线性相关．否则 称线性无关
例如 当x ∈ ( −∞ , + ∞ )时， e x， e − x , e 2 x 线性无关
1，cos 2 x , sin 2 x 线性相关
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例4、设 y1, y2, y3 是二阶非齐次方程(2) 的 3 个线性无
关解，求方程的通解 .
定理3、设 y1*, y2 *分别为 y'' P( x) y'Q( x) y f1( x) 与 y'' P( x) y'Q( x) y f2( x) 的特解，则 y1 * y2 *为方程 y'' P( x) y'Q( x) y f1( x) f2( x)
的特解.
例1、讨论下列函数的线性相关性。
(1)1,cos2 x,sin2 x; (2)0, x,e x; (3)1, x, x2 .
定理：两个非零函数 y1( x), y2( x)线性相关
y1( x), y2( x) 成比例，即k 0, 使得阶线性微分方程解的结构
定理2、若 y * ( x) 是非齐次方程(2) 的特解， Y C1 y1( x) C2 y2( x) 是齐次方程(1)的特解，则 y Y y * 是非齐次方程(2) 的通解.
例3、设 y'' y x2 , 则 Y C1e x C2e x 是其通解. 易验证 y* x2 2 是 y'' y x2 的一个特解， 故方程 y'' y x2 的通解为： Y C1e x C2e x x2 2.
定理：二阶线性齐次微分方程的解集构成一个二维
线性空间.
定理1、若 y1( x), y2( x) 是齐次方程(1)的两个线性无关解， 则 y C1 y1( x) C2 y2( x) (C1,C2 是任意常数） 是方程 (1) 的通解.
例2、验证下列函数是否是微分方程的通解.
(1) y'' y 0,
y C1e x C2e x;
(2)x2 y''2xy'2 y 0, y x(C1 C2 x).
2、非齐次方程解的结构
性质2、若 y1 * ( x), y2 * ( x) 是方程 (2) 的解，则 y1 * ( x) y2 * ( x)是方程 (1) 的解 .
性质3、若 y( x) 是方程(1)的解，y * ( x)是方程(2)的解，则 y( x) y * ( x) 是方程 (2) 的解.
形式：y P( x) y Q( x) y f ( x)
线性性：y, y, y是一次的.
齐次： f ( x) 0,即y P( x) y Q( x) y 0
(1)
非齐次：f (x) 0,即 y P( x) y Q( x) y f ( x) (2)
1、齐次方程解的结构
性质1：若 y1( x), y2( x) 是 (1)的两个解，则对任意常数 C1,C2 , 有 C1 y1( x) C2 y2( x) 是 (1) 的解 。
关解，求方程的通解 .
定理3、设 y1*, y2 *分别为 y'' P( x) y'Q( x) y f1( x) 与 y'' P( x) y'Q( x) y f2( x) 的特解，则 y1 * y2 *为方程 y'' P( x) y'Q( x) y f1( x) f2( x)
的特解.
例1、讨论下列函数的线性相关性。
(1)1,cos2 x,sin2 x; (2)0, x,e x; (3)1, x, x2 .
定理：两个非零函数 y1( x), y2( x)线性相关
y1( x), y2( x) 成比例，即k 0, 使得阶线性微分方程解的结构
定理2、若 y * ( x) 是非齐次方程(2) 的特解， Y C1 y1( x) C2 y2( x) 是齐次方程(1)的特解，则 y Y y * 是非齐次方程(2) 的通解.
例3、设 y'' y x2 , 则 Y C1e x C2e x 是其通解. 易验证 y* x2 2 是 y'' y x2 的一个特解， 故方程 y'' y x2 的通解为： Y C1e x C2e x x2 2.
定理：二阶线性齐次微分方程的解集构成一个二维
线性空间.
定理1、若 y1( x), y2( x) 是齐次方程(1)的两个线性无关解， 则 y C1 y1( x) C2 y2( x) (C1,C2 是任意常数） 是方程 (1) 的通解.
例2、验证下列函数是否是微分方程的通解.
(1) y'' y 0,
y C1e x C2e x;
(2)x2 y''2xy'2 y 0, y x(C1 C2 x).
2、非齐次方程解的结构
性质2、若 y1 * ( x), y2 * ( x) 是方程 (2) 的解，则 y1 * ( x) y2 * ( x)是方程 (1) 的解 .
性质3、若 y( x) 是方程(1)的解，y * ( x)是方程(2)的解，则 y( x) y * ( x) 是方程 (2) 的解.
形式：y P( x) y Q( x) y f ( x)
线性性：y, y, y是一次的.
齐次： f ( x) 0,即y P( x) y Q( x) y 0
(1)
非齐次：f (x) 0,即 y P( x) y Q( x) y f ( x) (2)
1、齐次方程解的结构
性质1：若 y1( x), y2( x) 是 (1)的两个解，则对任意常数 C1,C2 , 有 C1 y1( x) C2 y2( x) 是 (1) 的解 。