建立数学模型原则

第2章 油气渗流的数学模型
建立数学模型的原则 运动方程 状态方程 质量守恒方程 典型油气渗流数综学合模微型分建方立程建立 数学模型的初边值条件
第五节 典型油气渗流综合微分方程建立
单相不可压缩液体稳定渗流综合微分方程 弹性多孔介质单相微可压缩液体不稳定渗 流微分方程 油水两相渗流综合微分方程
一、单相不可压缩液体稳定渗流综合微分方程
0K 2P x2
同理可得：
vy 0K 2P
y
y2
由此可得：
vz 0K 2P
z
z2
div(v
)


0K

2P x2

2P y2

2P z2

(6)

t

0Ct
P t
(5)、(6)代入(4)式
div(v
)


0K

2P x2

2P y2

2P z2

() div(v) 0 t
K
Ct

2P x2

2P y2

2P z 2


P t

2P x2

2P y2
假设：单相均质液体符合线性运动规律，忽略多孔介质及液 体的压缩性(不需要建立状态方程)，等温、稳定渗流。
运动方程： 连续性方程：
v K gradP

div(v) 0
(1) (2)
将(1)式代入(2)式 由于K/μ为常数，故
div


K

gradP


0
2P 2P 2P x2 y2 z2 0
三、油水两相渗流综合微分方程
运动方程 对于油相：
v0


Ko
o
gradP
对于水相：
vw


Kw
w
gradP
油水两相渗流的连续性方程
对于油相：


vox x

voy y

voz z


So t
对于水相：


vwx x

vwy y

vwz z

P r

r
P r


1 r
2P
2

2P z 2
2P

1 r2
P r

r
2

P r


r2
1
sin2




sin
P



1
r 2 sin2
2P
2
一维问题
2P

d2P dx2
2P

1 r
P r

r
P r

2P z 2


1 æ
P t
导压系数: æ K
Ct
二阶抛物线型偏微 分方程(或称热传导 方程)
它表征了地层压力波传导的速率。当渗透率K单位为µm2，液体 粘度μ单位为mPa.s，综合压缩系数Ct单位为10-1MPa-1时，导压 系数æ的单位为cm2/s，其物理意义为单位时间内压力波传播的 地层面积。
(rw r Re )
r
P
r
r rw

q 2 Kh
(t 0)
P rRe Pe
(t 0)
初始条件 第二类边界条件 第一类边界条件
数学模型求解
• 解析法：分离变量，拉普拉斯变换 • 数值法：有限差分法、有限元法、流线法
数学模型应用
• 开发指标概算 • 数值模拟 • 试井解释
(2)
对弹性液体：

eCL (PP0 ) 0
0
1 CL (P P0)
(3)
单相液体质量守恒方程： () div(v) 0
(4)
t
将(1)(2)(3)代入(4)，第一项中
() div(v) 0
(4)
t
0 1 CL (P P0 ) 0 C f (P P0 )
例如：圆形定压边界油层中心一口井稳定渗流时的边界 条件即为第一类边界条件。
2P 1 P

r2 r P rrw
r Pw
0 内边界条件

P
r re
Pe
外边界条件
Leabharlann Baidu.给出流量或流速的边界条件—第二类边界条件
待求的势函数在边界上是未知的，但边界上的流量(或流 速)是已知的

2P

1 r2
P r

r
2
P r
二、弹性多孔介质单相微可压缩液体不稳定渗流综合微分方程
假设：单相微可压缩液体线性渗流，地层岩石均质微可压
缩，等温弹性不稳定渗流。模型由运动方程、状态方程和 连续性方程组成。
运动方程：
v K gradP
(1)

状态方程：
对弹性孔隙介质： 0 C f (P P0 )
n
S

q(x,
y,
z,
t) (x,
y,z )S
n—边界S的外法线方向； q—单位面积上的流量(流入正，流出负)为已知函数。
例如圆形封闭地层中心一口井弹性不稳定渗流的边界条 件即为第二类边界条件。
2P 1 P 1 P

r
2
r
r

æ
t
P
t0
Pi
(rw r Re )
势函数Φ为压力的函数,如
K PC

二、边界条件
指渗流区域边界上的已知条件。
1.给出势函数的边界条件——第一类边界条件
待求的势函数Φ(x,y,z,t)在边界上已知。
(x, y, z, t) |S 0 (x, y, z, t)(x,y,z)S
特殊情况是势函数为常数，即Φ=Φ0=常数。 这种边界对三维流动称为等势面，对二维流动称为等势线
上式是一个二阶椭圆形微分方程，又称Laplace方程。除用 直角坐标表示外，也可以转换为圆柱坐标系或球坐标系。
Laplace算子
坐标系 直角坐标 (x，y，z) 圆柱坐标 (r，θ ，z)
球坐标
(r，θ ， )
三维问题
2P 2P 2P 2P x2 y2 z2
2P

1 r

Sw t
将运动方程代入连续性方程得：
x

Ko
o
P x


y

Ko
o
P y


z

Ko
o
P
z


So t

x

Kw
w
P x


y

Kw
w
P y


z

Kw
w
P
z


Sw t
可写成：
Hamilton算子
此外还有


Ko
o
P



So t


Kw
w
P



Sw t
So Sw 1
油水两相渗流的综合微分方程
使用条件：彼此不互溶、不起 化学作用的油水两相同时渗流； 不考虑毛管力和重力作用；岩 石和液体均不可压缩；渗流服 从线性渗流规律；等温渗流过 程。
x

x
CL (PP0 )
e0



K

P
x



0K
x
eCL (PP0 )
P x


0K
x


x
eCL (PP0 )

CL



0K CL
2 x2
1 CL (P P0 )
油水两相稳定渗流过程，液体饱和度不随时间变化，即
So Sw 0 t t
此时两相稳定渗流数学模型为


Ko
o
P


0


Kw
w
P


0
Sw So 1
第2章 油气渗流的数学模型
建立数学模型的原则 运动方程 状态方程 质量守恒方程 典型油气渗流数学模型建立 数学模型的初边值条件
r
P r
r rw

q 2 Kh
(t 0)
P r rRe 0
(t 0)
初始条件 内边界条件 外边界条件
例如：圆形有界定压油层中心一口井不稳定渗流的边 界条件即为混和边界条件。
2P

r
2

1 r
P r

1 æ
P t
P t0 Pi
00 0 (C f 0CL )(P P0 ) 0CLC f (P P0 )2
因为CL、Cf都是很小的数，可略去含CL×Cf项得：
00 0 (C f 0CL )(P P0 ) 00 0Ct (P P0 )
式中 Ct C f 0CL
第六节 数学模型的边界条件和初始条件
数学模型是对同类物理现象作的一般定性描述，它本身并不包 括涉及描述一个具体情况下的定量数据。所以任何一个方程都 可能有无穷多个解。
要从许多解中得到所需要的具体情况的解，就需要补充方程中 没有包括的数据，要确定一个具体问题需要包括的条件有：
发生这个物理现象的区域和几何形状； 影响这个物理现象的物理参数和系数； 描述所研究系统的初始状况的条件； 问题区域的边界条件
综合压缩系数，单位岩石体积在降低单位压力时,由孔隙收 缩和液体膨胀共排挤出来的液体体积,可看成是常数 。
故

t

0Ct
P t
(5)
(4)式第二项由三部分组成:
() div(v) 0
(4)
t


vx

、

vy

、


vz

x
y
z
vx
完整的数学模型必须包括微分方程(组)和它的初始条件、边界 条件，使数学模型具体化，从定性研究提升到定量研究
一、初始条件
指开始时刻整个渗流区域渗流速度和压力的分布(只有不 稳定渗流问题才需要)
(x, y, z, t) |t0 0 (x, y, z, t)(x,y,z)D
表示的是渗流区域D上t=0时，势函数Φ(x,y,z,t)为Φ0(x,y,z)