高中数学必修2--第四章《圆与方程》知识点总结与练习

第三节

圆_的_方_程

[知识能否忆起]

1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹) 标准 方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2

(r >0)

圆心：(a ，b )，半径：r

一般 方程 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0

(D 2＋E 2－4F >0)

圆心：⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2， 半径：1

2D 2＋E 2－4F

2．点与圆的位置关系

点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.1

4

＜m ＜1 B ．m ＜1

4或m ＞1

C ．m ＜1

4

D ．m ＞1

解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0得m ＜1

4

或m ＞1.

2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1)

B ．(0,1)

C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

D ．(1，＋∞)

解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2＜4， ∴－1＜a ＜1.

3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1

B ．x 2＋(y ＋2)2＝1

C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1

D ．x 2＋(y －3)2＝1

解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.

4．(2012·潍坊调研)圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．

解析：圆心(1,0)，d ＝|1－3|1＋3

＝1.

答案：1

5．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为 ____________________．

解析：设圆的方程为x 2＋y 2＝a 2(a ＞0) ∴

|2|

1＋1＝a ，∴a ＝2，

∴x 2＋y 2＝2. 答案：x 2＋y 2＝2

1.方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是： (1)B ＝0；(2)A ＝C ≠0；(3)D 2＋E 2－4AF ＞0.

2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．

(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

圆的方程的求法

典题导入

[例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为( )

A.⎝⎛⎭

⎫x ±3

32＋y 2＝43

B.⎝⎛⎭

⎫x ±3

32＋y 2＝13

C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±3

32＝43

D ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±3

32＝13

(2)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________． [自主解答] (1)由已知知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，

b )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|b |，解得r ＝23

，|b |＝33，即b ＝±3

3.

故圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±3

32＝43.

(2)圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋F ＝0，

则⎩

⎪⎨⎪⎧

26＋5D ＋F ＝0，10＋D ＋F ＝0， 解得⎩

⎪⎨⎪⎧

D ＝－4，F ＝－6.

圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －6＝0. [答案] (1)C (2)x 2＋y 2－4x －6＝0

由题悟法

1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．

以题试法

1．(2012·浙江五校联考)过圆x 2＋y 2＝4外一点P (4,2)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则△ABP 的外接圆的方程是( )

A ．(x －4)2＋(y －2)2＝1

B ．x 2＋(y －2)2＝4

C ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5

D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5

解析：选D 易知圆心为坐标原点O ，根据圆的切线的性质可知OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，因此P ，A ，O ，B 四点共圆，△P AB 的外接圆就是以线段OP 为直径的圆，这个圆的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.

与圆有关的最值问题

典题导入

[例2] (1)(2012·湖北高考)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )