第六章线性离散时间系统分析

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拉氏变换是分析、设计线性连续系统的主要数学工具。Z 变 换是分析、设计线性离散控制系统的主要数学工具。
拉氏变换
S域代数 方程
S域解
连续 输入信号
微分 方程
直接 求解
拉 氏 反 变 换
线性 系统
离散
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
时域 解
Z 反 变 换
差分 方程
Z变换
Z域代数 方程
Z域解
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x2 ( k)
x1 (k + 1)
h0
y( k )
z −1
− an−1
M
z −1
z −1
x1 (k )
− a1
− a0
注：汇集到加法器上全为正号“+”
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5 、由Z 传递函数求状态空间描述
y( z ) bn z n + bn−1 z n −1 + ... + b1 z + b0 Z 传递函数为： G ( z ) = = n u( z ) z + a n−1 z n−1 + a n− 2 z n− 2 + ... + a1 z + a0
求解法同连续时间定常系统的传递函数的实现。 这里仅给出结论：第二能控标准型、第二能观测标准型
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1 ）第二可控标准型
x1 ( k + 1) 0 x ( k + 1) 0 2 = M M 0 x n ( k + 1) − a0 1 0 0 − a1 0 1 L 0 − a2 0 x1 ( k ) 0 x ( k ) 0 2 0 x 3 ( k ) + M u( k ) L L 0 1 M 0 L L − a n −1 1 x n ( k ) L L 0 L
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2、线性定常离散系统状态空间描述的模拟结构图
x ( k + 1) = Gx ( k ) + Hu ( k ) 对于： ，其模拟结构图如下： y( k ) = Cx ( k ) + Du( k )
D
u( k )
H
x ( k + 1)
+
z
−1
x(k )
C
+
y( k )
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2
F离散系统与连续系统的根本区别在于： 连续系统中各处的信号都是时间的连续函数，而在离散 系统中，一处或者多处信号则是时间的断续函数，即脉冲序 列式的信号。
x(t) u (t ) 连续系统 采样器 x(k) u(k) 数字 A/ D D/A 计算机 y(k) y(t)
G
单位 迟延
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如同连续系统中积分器和1/s的关系
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3、Z传递函数（矩阵）和特征方程 1）离散系统的Z传递函数为： 零初始条件下，脉冲输出序列的z变换与输入脉冲序列的z 变换之比，称为系统的脉冲传递函数或Z传递函数。
G( z ) = Y (z) U( z )
用方框图表示为：
−1 Y ( z ) = [ C ( zI − G ) H + D]U(z) = G(z)U(z) 整理上式得：
所以Z传递矩阵为： G(z)＝C(zI −G)−1 H + D 3）离散系统的特征方程为： zI −G = 0 而此特征方程的根就是线性离散系统的极点，也是系统矩 阵G的特征值。
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1）差分方程的输入函数中不包含高于一阶的差分项
y( k + n) + an−1 y( k + n − 1) + L + a1 y( k + 1) + a0 y( k ) = b0 u( k )
选择状态变量： x1 ( k ) = y( k )
x ( k ) = y( k + 1) 2 x 3 ( k ) = y( k + 2 ) M xn ( k ) = y( k + n − 1)
y ( k ) = x 1 ( k ) + h0 u ( k )
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写成矩阵形式，得到状态空间描述为：
1 x1(k + 1) 0 x (k + 1) 0 0 2 = M M M + x k 0 ( 1 ) n−1 0 xn (k + 1) − a0 − a1 0 L 0 x1(k) h1 M x2(k) h2 1 O O O 0 M + M u(k) L 0 1 xn−1(k) hn−1 L − an−2 − an−1 xn(k) hn
x1 ( k ) x ( k ) y = [1 0 L 0] 2 M xn ( k )
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2）差分方程的输入函数中包含高于一阶的差分项
y( k + n) + an−1 y( k + n − 1) + L + a0 y( k ) = bn u( k + n) + L + b0 u( k )
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4、将差分方程化为状态空间描述：或转换为Z传递函数，再求 离散系统差分方程描述形式：
y( k + n) + an−1 y( k + n − 1) + L + a1 y( k + 1) + a0 y( k ) = bn u( k + n) + bn−1u( k + n − 1) + L + b0 u( k ) ( k = 0,1, 2L)
gn 2 L
状态方程：y( kT ) = [c1
c2
x1 ( kT ) x ( kT ) + Du( kT ) L c n ] 2 M x ( kT ) n
（T为采样周期，经常省去不写） 写成矩阵形式，得离散系统的状态空间描述：
x ( k + 1) = Gx ( k ) + Hu ( k ) y( k ) = Cx ( k ) + Du( k )
上式中：
h0 = bn h1 = bn−1 − an−1h0 h2 = bn− 2 − an−1h1 − an− 2 h0 M hn = b0 − an−1hn−1 − L − a1h1 − a0 h0
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得到一阶差分方程组：
x 1 ( k + 1 ) = x 2 ( k ) + h1 u ( k ) x 2 ( k + 1 ) = x 3 ( k ) + h2 u ( k ) M x ( k + 1) = x ( k ) + h u( k ) n n −1 n−1 x n ( k + 1 ) = − a 0 x 1 ( k ) − a 1 x 2 ( k ) − L − a n − 1 x n ( k ) + hn u ( k )
U( z )
G(z)
Y (z)
2）MIMO离散系统的Z传递矩阵： 当初始状态 x ( 0 ) = 0 时，对以下状态空间描述做Z变换：
x ( k + 1) = Gx ( k ) + Hu ( k ) y( k ) = Cx ( k ) + Du( k )
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zX(z) = GX(z) + HU(z) 得： Y(z) = CX(z) + DU(z)
x1 ( k ) = y( k ) − h0 u( k ) x2 ( k ) = x1 ( k + 1) − h1u( k ) 选择状态变量： x3 ( k ) = x2 ( k + 1) − h2 u( k ) M xn ( k ) = xn−1 ( k + 1) − hn−1u( k )
保持器
连续系统离散化（控制）模型
离散 (时间系统）
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时间量化，幅值不量化 — —离散时间信号 时间、幅值均量化 — —数字信号
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离散系统基本知识： 定义：在系统中，只要有一处信号不是时间 t的连续函数，这种 定义 系统就称为离散系统。 分类： 分类 1）系统中所有信号均是离散量。 描述方式：一阶差分方程描述 2）系统中信号既有离散量，也有连续量。 描述方式：离散量部分用一阶差分方程描述 连续量部分用一阶微分方程描述，需要离散化。
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2 ）第二可观标准型
x1 ( k + 1) 0 x ( k + 1) 1 2 = 0 M xn −1 ( k + 1) M x n ( k + 1) 0 0 L 0 1 M 0 − a0 x1 ( k ) b0 − a0bn x (k ) b − a b L 0 − a1 2 1 1 n L 0 − a 2 M + b2 − a 2 bn u( k ) M L M x n −1 ( k ) L 1 − a n −1 xn ( k ) bn−1 − a n−1bn 0
y( k ) = x1 ( k )
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写成矩阵形式，得到离散系统的状态空间表达式：
x1 ( k + 1) 0 x ( k + 1) 0 2 = M M xn−1 ( k + 1) 0 − a0 xn ( k + 1) 1 0 L 0 1 O M O O 0 L 0 − a1 L − an− 2 0 x1 ( k ) 0 M x2 ( k ) 0 0 M + M u( k ) 1 x n −1 ( k ) 0 − an−1 b0 xn ( k )
1 0
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化为一阶差分方程组：
x1 ( k + 1) = y( k + 1) = x2 ( k ) x2 ( k + 1) = y( k + 2) = x3 ( k ) M xn−1 ( k + 1) = y( k + n − 1) = xn ( k ) x ( k + 1) = y( k + n) n = − a0 y( k ) − a1 y( k + 1) − L − an−1 y( k + n − 1) + b0 u( k ) = − a0 x1 ( k ) − a1 x2 ( k ) − L − an−1 xn ( k ) + b0 u( k )
x1 ( k ) x ( k ) y( k ) = [1 0 L 0] 2 + h0 u( k ) M xn ( k )
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模拟结构图：
u( k )
hn
xn (k + 1)
hn−1
xn (k )
h2
L
x2 (k + 1)
h1
二、离散系统的状态空间描述 1、线性定常离散系统的状态空间描述为：
x1 ( k + 1)T g11 x ( k + 1)T g = 21 输出方程： 2 M M + x ( k 1 ) T n g n1 g12 g 22 M L L g1 n x1 ( kT ) h1 g 2 n x 2 ( kT ) h2 + u( kT ) M M M g nn xn ( kT ) hn
第六章 线性离散时间系统 分析
1 .线性离散时间系统的状态空间描述 2 .线性离散时间系统状态方程的解 3 .线性离散时间系的能控( 观测) 性及稳定性分析
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第一节 线性离散时间系统 的状态空间描述
1 .离散系统的基本知识 2 .离散时间系统的状态方程 3 .连续时间系统的离散化
x1 ( k ) x ( k ) 2 L bn−1 − a n−1bn ] x 3 ( k ) + bn u( k ) M x n ( k )
D=0
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y( k ) = [b0 − a0bn
b1 − a1bn
当 bn = 0 时有： C = [b0 b1 L bn−1 ]