2-12微分在一元函数近似计算及误差计算中的应用
一元函数微分学及其应用
下面的关键是求出dy=A x ∆中的A.若函数在一点0x 处可微时,则有(x)(x),y dy A x οο∆=+∆=∆+∆(x)(x),y A x A x x x xοο∆∆∆∆=+=+∆∆∆∆000(x )(x )l i m l i m l i m .x x x y A A A x x x οο∆→∆→∆→∆∆∆⎡⎤=+=+=⎢⎥∆∆∆⎣⎦ 即 '0(x ).A f =反之,若()f x 在0x 处可导,有'00l i m (x ),x y f x∆→∆=∆ 由函数极限与无穷小的关系可得：'0(x ),y f xα∆=+∆其中α是当0x ∆→时的无穷小,所以 因为(x),x αο∆=∆而(),0f x 与x ∆无关,由微分定义可知，函数在0x 处可微,且(),0.f x A = 定理 ()y f x =在0x 处可微的充分必要条件是函数()y fx =在0x 处可导,且()f x 在可 导点0x 处的微分为,(x).dy f x =∆ （2）若()y f x =在区间I 内每一点处都可微,称()y f x =在I 内可微,其微分为,(x).dy f dx = 当(x)f x =时，(x)(x),df dx x x ==∆=∆所以.dx x =∆因此,可以定义自变量x 的微分dx 为其增量x ∆,即.dx x =∆这样便有,(x)dy f dx =或,(x),dy f dx= 可见,导数就是函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商,因此,导数也成为“微商”. 2.4.2 微分的几何意义如图2—7所示,设点00(x ,y )M 是曲线y (x)f =上一点,当自变量在0x 处有微小增量x ∆时,得到曲线上另一点00(x ,y ),N x y +∆+∆其中MQ ,x =∆QN =过点M 作曲线的切线MT,它的倾角为α,则QP='0tan (x ),MQ f x α=∆即.dy QP =所以，当自变量有改变量x ∆时,y ∆是曲线y=(x)f 上的对应点的纵坐标的增量,dy 则是曲线的切线上对应点的纵坐标的增量.当||x ∆很小的时候,0.y dy x∆-→∆因此在点M 邻近，可以用切线段来近高等数学 62似代替曲线段.2.4.3 微分公式和法则由可导与可微之间的关系'dy (x)dx,f =参照2.2.4中的公式立即可得微分公式和微分 运算法则.下面将函数和、差、商的微分法则和复合函数的微分法则列出来：1） 函数和、差、积、商的求导法则，由函数的和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则.设函数u u(x)=、v v(x)=都可导,则：①d(u v)du dv;±=± ②d(Cu)Cdu =（C 是常数）；③(uv)udv vdu;d =+ ④2d()(v 0).u vdu udv v v -=≠ 2） 复合函数的微分法则设y (u),f =u (x)ϕ=都是可导函数,则复合函数[(x)]y f ϕ=的微分应为'''dy {f[(x)]}()dx (u)(x)dx,dy du dx f du dxϕϕ=== 因为'(x)dx du ϕ=,上式可写成'dy (u)f du = (2)(3)式说明,无论函数(u)y f =中的u 是自变量还是中间变量,它的微分表达形式都是dy='(u)f du ,这称作微分形式的不变性.例1 求函数ln tan 5x y =的微分.解：方法一： ln tan 'ln tan '(5)5ln5(lntanx)x x dy dx dx ==2ln tan ln tan sec ln 55ln 55.tan sin cos x x x dx dx x x x== 方法二：由微分形式不变性,可得ln tan ln tan 15ln 5(lntanx)5ln 5(tanx)tan x x dy d d x ==ln tan 2ln tan ln 5ln 55sec 5tan sin cos x xxdx dx x x x==2. 4. 4 利用微分进行近似计算对可导函数(x),f 当自变量在x 处产生微小该变量x ∆,对应的y 有改变,y ∆由微分与倒数的关系可知,'(x)x,y dy f ∆≈=∆即'(x)x,y f ∆≈∆第2章 一元函数微分学及其应用 63或 '(x x)(x)(x)x.f f f +∆≈+∆(4)式和(5)式称为微分近似计算公式.特别地,当x=0时,在(5)式中用x 代替x,∆得当x 较小时,利用(6)式可得几个函数的近似计算公式:①sinx ;x ≈ ②tan ;x x ≈ ③arcsin ;x x ≈ ④arctan ;x x ≈⑤1;x e x ≈+ ⑥ln(x 1);x +≈ ⑦ 1.x n≈+ 下面证明⑦.证：设(x)f =则11'1(x)(1),n f x n -=+ (0)1,f ='1(0),f n = 由公式（6）得 (x)1.x f n≈+ 上面七个公式的几何意义是：在点x=0的较小邻域内,等式两边的两个函数的图像是“吻合”的.例2 计算（1）ln 0.98; （2 （3）'sin 2930;的近似值. 解:(1)设(x)ln(1x),f =+相当于求自变量x=0.02时,函数(x)f 的函数值.由前面结论④可得ln 0.98ln(10.02)0.02.=-≈-(2)设(x)f 相当于求自变量x=0.02时,函数(x)f 的函数值.由前面结论⑤可得0.021 1.0067.3=≈+= (3)设(x)sin(x),f ='(x)cosx,f =由微分近似公式(5)式,可知'sin 2930sin()sin cos ()636066360o πππππ=-≈+- 0.50000.00760.4924.≈-=习题2—41. 求下列各函数的微分:(1) 3y x 3;x =+ (2) 1y x=- (3) y =(4) 2cos ;1x y x =- (5) 1arcsin(2x);2y = (6) arctan(e ).x y =2.求函数y tanx =在x 4π=处,对应0.05x ∆=的微分值.3.利用微分近似公式,求(1) 0cos29; (2) .4.若方程1x y xe =+确定函数(x),y y =求在x 0=处函数的微分.5.设函数(x)f 可导,求函数2y (x )f =的函数的微分dy.高等数学 642. 5 中值定理在本节,我们学习一元函数微分学的三个基本定理:Rolle 定理、Lagrange 中值定理、 Cauchy 中值定理,它们是导数应用的理论基础.2.5.1 Rolle 定理定理1 如果函数(x)f 满足:(1) 在闭区间[a,b]上连续；(2) 在开区间(a,b)内可导；(3) (a)(b);f f =则至少存在点(a,b),ξ∈使'()0f ξ=(见图2—8).证:若(x)f 在[a,b]上恒为常数,显然定理成立.假设(x)f 在闭区间[a,b]上的最大值为M,最小值为m,且M>m,则M 、m 中至少有一个不等于(a)f .不妨设(a),M f ≠由于(a)(b),f f =这说明最大值M 是在区间(a,b)内取得,由介值定理知道存在(a,b)ξ∈使()M.f ξ=分析该点的导数:'0(x)()()lim 0,x f f f x ξξξξ+→+-=≤- '0(x )()()l i m 0,x f f f x ξξξξ-→--=≥- 而(x)f 在ξ可导,应有'''()()(),f f f ξξξ+-==故只有'()0.f ξ=注:(1)定理表明函数图像在开区间(a,b)内至少存在一条水平切线;(2)定理说明在定理条件下方程'(x)0f =在(a,b)内至善有一个根，因此定理也叫做导数方程根的存在定理;(3)定理的三个条件中若有一个不满足,结论就不一定成立.图2—9给出了不满足其中一个条件时定理不存在的情况.例1 对函数32(x)x 4710f x x =+--在[-1,2]上验证Rolle 定理的正确性.解:(1)(2)0f f -==且(x)f 在[-1,2]上连续,在(-1,2)内可导,满足Rolle 定理的三 个条件.计算导数: '2(x)3x 87,f x =+-由于'(1)12,f -=-'(2)21,f =从而''(1)(2)0.f f -<由零点定理知存在(1,2)ξ∈-使'()0.f ξ=第2章 一元函数微分学及其应用 65例2 已知(x)(x 1)(x 2)(x 3)(x 4),f =----利用Rolle 定理讨论'(x)0f =根的 情况.解:(x)f 为多项式函数,在(,)-∞+∞内连续、可导.因为(1)(2)(3)(4)0,f f f f ====由Rolle 定理知'(x)0f =有分别位于区间(1,2)、(2,3)、(3,4)内的三个实根.又由于'(x)f 是一个三个多项式,最多有三个实根,所以它只有这三个根.2.5.2 Lagrange 中值定理Rolle 定理中(a)(b)f f =这个条件是比较特殊的,如果取消这个条件,则由下面的 Lagrange 中值定理.定理2 如果函数(x)f 满足:(1) 在闭区间[a,b]上连续;(2) 在开区间(a,b)内可导,则至少存在一点ξ∈(a,b),使'(b)(a)().f f f b aξ-=-先看一下定理2的几何含义(见图2—10),过连续曲线弧段的两端点(a,f(a)),B(b,f(b))A 作弦AB,其斜率(b)(a),f f k b a-=- 则在(a,b)内至少有一点ξ,过点(,f())ξξ的切线与弦AB 平行.证:引进辅助函数(b)(a)F(x)(x)(x),f f f kx f x b a-=-=-- 则(a)af(b)(a)(b),bf F F b a-==-且(x)F 满足Rolle 定理的另外两个条件，所以至少存在一点 ξ∈(a,b),使''(b)(a)()()0,f f F f b aξξ-=-=-即 '(b)(a)().f f f b aξ-=-注:在Lagrange 中值定理中,若(a)(b),f f =则得Rolle 定理的结论,所以Rolle 定理是Lagrange 中值定理的特殊情况.推论1 若(x)f 在区间I 上可导, '(x)0,f ≡则在I 上(x)f C ≡(C 为常数). 证:在区间I 上任取两点12,,x x 且12x x <,在区间12[,x ]x 上应用Lagrange 中值定理得： 存在12[,x ]x ξ∈使'2121(x )f(x )(),f f x x ξ-=-,但'(x)0,f ≡故12(x )(x ).f f =由12(,)x x 的任意性,可知(x)f 在区间I 上式一个常值函数.推论2 若函数(x),g(x)f 在(a,b)内可导,且对任意(a,b),x ∈有''(x)(x),f g =则。
(2021年整理)高等数学2-8微分在近似计算中的应用
高等数学2-8微分在近似计算中的应用的全部内容。
内容提要计算函数增量的近似值计算函数的近似值
误差估计
重点
分析
计算函数的近似值
(完整版)高等数学2-8微分在近似计算中的应用
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章节题目。
微分在近似计算中的应用
近似计算的举例
误差的类型
误差的例
2-8 微分在近似计算中的应用
近似计算的原理
近似计算原理
01
02
03
04
得： 可近似表示为 的线性形式。（线性化的 有 很小时, 且在 的相对误差也很小， 即
*
得：
由
*
举例
例2 利用微分计算
的近似。
例3 计算
的近似。
例1 有一批半径为1cm的球，
（
）
2、今后，有时，绝对误差限也常叫做绝对误差； 相对误差限也常叫做相对误差。
4、绝对误差限：
则称
为
若
5、相对误差限：
为测量A
的绝对误差限，
若
则
*
误差举例
即
的绝对误差限约为
的相对误差限约为
例1 设测得园钢截面的直径D=60.03mm，
绝对误差限，
试估计面积误差。
测量D的
解：误差可看作增量，
要镀上一层铜，
用铜多少克（铜的密度是
)?
为了提高球面的光洁度，
厚度定为0.01cm。
估计一下每只球需要
*
误差的类型
值为
那么
叫做
的绝对误差。
就叫做
的相对误差。
1、间接测量误差：
由于测量仪器的精度、测量条件和
测量方法等各种因素的影响，
测得的数据往往有误差，
而根
据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，
我们把它
叫做间接测量误差。
2、绝对误差：
如果某一个量的精确度为A，
它的近似
3、相对误差：
那么，
的绝对误差为
如果
函数的微分在近似计算中的应用
函数的微分在近似计算中的应用函数的微分在近似计算中有着非常重要的应用。
通过对函数进行微分，我们可以获得函数在其中一点的局部线性近似，从而可以用这个近似来进行计算。
这种方法有着广泛的应用，比如在工程、计算机科学、物理学等领域中经常会用到。
首先，函数的微分在近似计算中可以用来求解函数在其中一点的近似值。
通过对函数进行微分，我们可以得到函数在该点的切线，切线方程可以用来计算函数在该点附近的近似值。
这个方法可以用来解决很多实际问题，比如在物理学中，可以用来计算物体在其中一点的速度，加速度等。
其次，函数的微分在数值计算和优化问题中也有着广泛的应用。
在数值计算中，常常需要对函数进行数值积分或求解方程。
通过利用函数的微分，可以将这些计算问题转化为求解微分方程或微分方程组的问题，从而简化计算过程。
在优化问题中，函数的微分可以用来找到函数的最小值或最大值的位置。
通过求解函数的导数为零的方程，可以找到函数的极值点，从而解决优化问题。
此外，函数的微分在图像处理和计算机图形学中也有着重要的应用。
在图像处理中，常常需要对图像进行平滑、边缘检测等操作。
通过利用函数的微分，可以设计出滤波器等算法来实现这些操作。
在计算机图形学中，常常需要对曲面进行光线跟踪、着色等计算。
通过利用函数的微分，可以计算曲面在其中一点的法向量，从而进行光线跟踪等计算。
此外，函数的微分还在机器学习和数据分析中有着重要的应用。
在机器学习中，常常需要对损失函数进行最小化。
通过利用函数的微分，可以找到损失函数的最小值，从而进行模型学习。
在数据分析中，常常需要对数据进行拟合、回归等操作。
通过利用函数的微分，可以对模型进行参数估计，从而进行数据分析。
最后，需要指出的是，函数的微分在实际应用中并不是一种绝对准确的近似方法，因为近似值的精度取决于所选择的近似点。
如果近似点选得不好，那么近似值的误差就会较大。
因此，在应用函数的微分进行近似计算时，需要选择合适的近似点，并根据具体问题进行误差分析和合理的精度控制。
微分及其在近似计算中的应用
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫"微商".
四、微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵
坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
y f (x)
）
o
当 x 很小时, 在点M的附近,
N
P
o(x)
M
dy y
x
x0 x0 x
x
切线段 MP可近似代替曲线段MN .
d(sec x) sec x tan xdx d(csc x) csc x cot xdx
d(a x ) a x ln adx
d(e x ) e xdx
d (loga
x)
1 x lna
dx
d(arcsin x) 1 dx 1 x2
d(ln x) 1 dx x
d(arccos x) 1 dx 1 x2
例1 计算 3 8.016的近似值.
解 3 8.016 3 8 0..016 3 81 0.002
3 8 3 1 0.002 2 3 1 0.002
这里x 0.002其值比较小,利用近似公式,得
3 1 0.002 1 1 0.002 1.000667
(5) 当x 很小时,y dy (线性主部).
三、可微的条件
定理 函数 f ( x)在点 x0可微的充要条件是函 数 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
可导 可微. A f ( x0 ). 函数 y f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或df ( x), 即 dy f ( x)x.
(整理)工科基础数学第五章一元函数微积分的应用
第五章一元函数微积分的应用一元函数的微分和积分的产生都有着实际背景，它们在自然科学、经济领域以及工程技术上有着广泛的应用。
本章将通过介绍微分中值定理，给出求极限的另外一种方法—罗必塔法则；以导数为工具，研究函数的一些几何性态（单调性，极值，凹凸性等），解决一些常见的应用问题；由微分和函数增量的关系，给出微分在近似计算中的简单应用；通过不定积分来求几个简单的一阶微分方程的解；利用微元法思想，结合定积分的几何意义，求平面区域的面积以及一些特殊的空间立体的体积。
第一节中值定理一、罗尔定理若)(xf在闭区间],[ba上连续，开区间),(ba内可导，且)()(bfaf=，则至少存在一点),(ba∈ξ，使)(ξf'＝0。
罗尔定理的几何意义是:定理的证明略。
罗尔定理的三个条件缺一不可，否则结论不真。
二、拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特殊的条件)()(bfaf=，仍保留其余两个条件，可得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理：若)(xf在闭区间],[ba上连续，在开区间),(ba内可导，则至少存在一点),(ba∈ξ，使得'=--f f b f a b a ()()()ξ该定理的几何意义是：a b a f b f --)()(是弦AB 的斜率，)(ξf '为曲线在点C 处的切线斜率。
在曲线)(x f y =上至少有一点C ，使曲线在C 点处的切线平行于弦AB 。
三、柯西中值定理若函数)(x f 、)(x F 满足下述三个条件：(1) )(),(x F x f 在],[b a 连续； (2) )(),(x F x f 在),(b a 可导； (3) ),(,0)(b a x x F ∈≠'。
则至少存在一点 ),(b a ∈ξ， 使得f b f a F b F a f F ()()()()()()--=''ξξ柯西中值定理的几何意义也十分明显，考虑由参数方程所表示的曲线⎩⎨⎧==)()(x f Y x F X ， ],[b a x ∈试x 为参变量曲线上点 ),(Y X 处的切线斜率为)()(x F x f dX dY ''=弦AB 的斜率为 )()()()(a F b F a f b f --假定点C 对应于参数ξ=x ，那未曲线C 点处切线平行于弦AB ， 于是)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=-- 。
微分在近似计算与误差估计中的应用
微分在近似计算与误差估计中的应用一、预备知识1．利用一元函数的微分进行近似计算和误差估计若一元函数y＝f(x)在点x0可微，则当|Δx|很小时，有f(x0＋Δx)－f(x0)≈f′(x0)Δx要计算f(x)的值，可找一个邻近于x的x0，使f(x0)与f′(x0)易于计算，然后用x代换(1)式中的x0＋Δx，求得f(x)的近似值为f(x0)＋f′(x0)Δx，其中Δx＝x－x0．2．利用全微分进行近似计算与误差估计若二元函数z＝f(x，y)在点(x0，y0)可微，则Δz＝dz＋o(ρ)＝f′x(x0，y0)Δx＋f′y(x0，y0)Δy＋0(ρ)Δz≈dz＝f′x(x0，y0)Δx＋f′y(x0，y0)Δy或f(x0＋Δx，y0＋Δy)≈f(x0，y0)＋f′x(x0，y0)Δx＋f′x(x0，y0)Δy(3)若三元函数u＝f(x，y，z)在点(x0，y0，z0)可微，则Δu≈du＝f′x(x0，y0，z0)Δx＋f′y(x0，y0，z0)Δy＋f′x(x0，y0，z0)Δz或f(x0＋Δx，y0＋Δy，z0＋Δz)≈f(x0，y0，z0)＋3．绝对误差、相对误差在实际工作中，某个量的精确值往往是无法知道的，于是绝对误差和相对误差也就无法求得．但是根据测量仪器的精度等因素，有时能够确定误差在某一个范围内，如果某个量的精确值是A，测得它的近似值是a，又知道它的误差不超过δA，即|A－a|≤δA二、应用例题例1求sin29°的近似值．例2证明：近似公式利用上面公式，则例3为了计算出球的体积准确到1％，问度量球半径R时，所产生的相对误差应不超过多少？所以度量球半径R时，所产生的相对误差不得超过0.33％．例4证明：根据正切对数表所求得的角度，比用具有同样多位小数正弦对数表求得的角度更为精确．证明设y1(x)＝lntanx，y2(x)＝lnsinx，则若对数表具有n位，则一般来说，根据正切对数表所求得的角度，比用具有同样多位小数的正弦对数表求得的角度更为精确．例5求1.083.96的近似值．解设f(x，y)＝x y，令x0＝1，y0＝4，Δx＝0.08，Δy＝－0.04，由公式(3)，有1.083.96＝f(x0＋Δx，y0＋Δy)≈f(1，4)＋f′x(1，4)×0.08＋f′y(1，4)×(－0.04)＝1＋4×0.08＋1×ln1×(－0.04)＝1＋0.32＝1.32例6现测得某三角形两边及其夹角分别为a＝12.50，b＝8.30，C＝30°．测量a，b的误差为±0.01，C的误差为±0.1°，求用公式计算三角形面积时，所产生的绝对误差与相对误差．解依题意测量a，b，C绝对误差限分别为|Δa|＝0.01，|Δb|由公式(4)，有将各数据代入上式得S的绝对误差为|ΔS|≈0.13．及从而，S的相对误差为求方程的近似解，可分两步进行：第一步是确定根的大致范围，即确定一个区间[a，b]，使所求的根是位于这个区间内的唯一实根，称为根的隔离，并称此区间[a，b]为隔离区间．第二步是以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步提高根的近似值的精确度，直至得到满足精确度要求的近似解为止．1．二分法设函数f(x)在区间[a，b]上连续，f(a)·f(b)＜0，且方程f(x)＝0在(a，b)内仅有一个实根ξ，于是[a，b]即为这个根的一个隔离区间．例7用二分法求方程x3＋1.1x2＋0.9x－1.4＝0的实根的近似值，精确到10-3(即误差不超过10-3)．解设f(x)＝x3＋1.1x2＋0.9x－1.4，x∈R显然，f(x)在R上连续，可导，且f′(x)＝3x2＋2.2x＋0.9上严格递增，方程f(x)＝0仅有一个实根．由f(0)＝－1.4＜0与f(1)＝1.6＞0知，方程f(x)＝0的根在[0，1]内，取a＝0，b＝1，则[0，1]即是一个隔离区间．经计算，有ξ1＝0.5，f(ξ1)＝－0.55＜0，取a1＝0.5，b1＝1；ξ2＝0.75，f(ξ2)＝0.32＞0，取a2＝0.5，b2＝0.75；ξ3＝0.625，f(ξ3)＝－0.16＜0，取a3＝0.625，b3＝0.75；ξ4＝0.687，f(ξ4)＝0.062＞0，取a4＝0.625，b4＝0.687；ξ5＝0.656，f(ξ5)＝－0.054＜0，取a5＝0.656，b5＝0.687；ξ6＝0.672，f(ξ6)＝0.005＞0，取a6＝0.656，b6＝0.672；ξ7＝0.664，f(ξ7)＝－0.025＜0，取a7＝0.664，b7＝0.672；ξ8＝0.668，f(ξ8)＝－0.010＜0，取a8＝0.668，b8＝0.672；ξ9＝0.672，f(ξ9)＝－0.002＜0，取a9＝0.670，b9＝0.672；ξ10＝0.671，f(ξ10)＝0.001＞0，取a10＝0.670，b10＝0.671．于是，0.670＜ξ＜0.671．要用0.670作为根的不足近似值，或用0.671作为根过剩近似值，其误差都小于10-3．设f(x)在[a，b]上存在二阶导数，f(a)·f(b)＜0，且f′(x)与f″(x)在[a，b]上保持定号，则方程f(x)＝0在(a，b)内有且仅有一个实根ξ．[a，b]即为根的一个隔离区间，由f′(x)与f″(x)的正、负号之间有不同的组合，曲线y=f(x)在[a，b]上图形只有如图所示的四种不同的情形．2．弦位法标作为方程根的近似值，这种方法称为弦位法．如果f′(x)与f″(x)同号，令x0＝a，以点A(x0，f(x0))为已知点的弦AB方程为令y＝0，求得这弦与x轴的交点横坐标x1是如果f′(x)与f″(x)异号，令x0＝b，用同样方法，求得弦与x轴的交点横坐标x1是由图可见，弦AB与x轴的交点的横坐标x1比a(情形(a)，(d))或比b(情形(b)，(c))更接近方程根ξ．用同样方法，从新区间[x1，b]或[a，x1)出发，可得比x1更接近ξ的x2，如此继续下去，一般地，从区间[xn-1，b]或[a，xn-1]出发，得根的近似值为当n→∞时，xn→ξ，其中满足(3)近似根数列，有a＜x1＜x2＜…＜xn＜…＜ξ，满足(4)式的近似根数列，有ξ＜…＜xn＜xn-1＜…＜x2＜x1＜b．在区间[xn，ξ]或[ξ，xn]上应用拉格朗日定理，有f(xn)＝f(xn)－f(ξ)＝(xn－ξ)f′(c)(在xn与ξ构成区间内)这样，由(5)式就可判定近似根xn与ξ近似程度．例8用弦切法求方程x3－2x2－4x－7＝0的实根的近似值，精确到10-2．f′(x)＝3x3－4x－4＞0，令x1＝3.52，由(1)式，有同法可得显然f(x i)＜0，i＝1，2，3，所以x0＜x1＜x2＜x3＜ξ．由误差估计公式，有于是，以3.63作为根的近似值，其误差小于10-2．例9用弦切法求方程x－0.1sinx－2＝0的实根近似值，精确到10-3．解f(x)＝x－0.1sinx－2，x∈Rf′(x)＝1－0.1cosx＞0由f(2)＝－0.1sin2＝－0.1×0.9093＝－0.0904＜0，f(2.1)＝0.1×(1－sin2.1)＝0.1×0.1368＝0.00137＞0，f″(x)＝－0.1sinx＞0与f′(x)同号，令x1＝2，由(1)式，有从而f(x1)＝0.0868－0.1 sin 2.0868≈－0.0002＜0于是，方程的根ξ∈(2.0868，2.0870)．其误差不超过10-3．3．切线法如图，用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法称为切线法．在曲线弧的端点纵坐标与f″(x)同号的曲线端点处作曲线的切线，如图，情形(a)，(d)作点B处(情形(b)，(c)作点A处)的曲线切线．令x0＝b(x0＝a)，则点B(x0，f(x0)(A(x0，f(x0))处曲线切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)令y＝0，求得这切线与x轴交点横坐标x1是由图可见，端点B处(A处)的曲线切线与x轴交点的横坐标x1比b(情形(a)，(d))或a(情形(b)，(c))更接近方程根ξ．再在点(x1，f(x1)作切线，可得根的近似值x2，如此继续下去，一般地，在点(xn-1f(xn-1)作切线，得根的近似值为例10用切线法求方程x3＋1.1x2＋0.9x－1.4＝0的实根的近似值，精确到10-3．f′(x)＝3x2＋2.2x＋0.9＞0f″(x)＝6x＋2.2＞0．由f(0)＜0，f(1)＞0，则f″(x)与f(1)同号，令x0＝1，由(6)式，有同法可得出现此种情形，不能再继续算下去．显然，f(x i)(i＝1，2，…)与f″(x)同号，即f(0.671)＞0，经计算知f(0.670)＜0，于是，有0.670＜ξ＜0.671以0.670或0.671作为根的近似值，其误差都小于10-3．。
函数的微分及其在近似计算中的应用
例1 求函数 y x 2在x 1和x 3处的微分。
2 解 函数 y x 在x 1处的微分为
dy ( x 2 ) | x 1 x 2x;
在x 3处 的 微 分 为 dy ( x 2 ) | x 3 x 6x
例2 求函数 y x 3当x 2, x 0.02 时的微分 . 解 先求函数在任意点的微分
因x o（x） , 且f ( x0 )不依赖于 x, 故上式相当于(1)式,
则 f ( x ) 在点 x 0 可微。 4.函数可微的充要条件：
函数y f ( x)在x0处可微 f ( x)在x0处可导 , 且A f ' ( x0 ).
函数在任意点的微分,称为函数的微分,记作 dy或df ( x ), 即 dy f ( x )x. 如函数 y cos x 的微分为 dy (cos x )' x sinxx 显然，函数的微分 dy f ( x )x 与 x 和 x 有关。
13
例4 y sin( 2 x 1), 求 dy.
解 把2x+1看成中间变量u ，则 dy d (sinu) cos udu cos(2 x 1)d ( 2 x 1)
cos(2 x 1) 2dx 2 cos(2 x 1)dx.
在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量。
5
5、微分的几何意义 y T N
P
y f(x)
M0
Q
dy y
O
x0
x
x0 x
x
几何意义 : y是 曲 线 y f ( x )上 点 的 纵 坐 标 的 增 量 ， 时 dy就 是 曲 线 的 切 线 上 点 纵 的坐 标 的 相 应 增 量 。
微分在近似计算中的应用
微分在近似计算中的应用微分是微积分中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
其中，微分的近似计算在实际问题的求解中具有重要意义。
本文将从近似计算的思想、微分的近似计算方法以及应用实例三个方面，对微分在近似计算中的应用进行详细阐述。
一、近似计算的思想在实际问题中，我们往往需要求解一些复杂的函数或方程。
这些函数或方程可能没有解析解，或者解析解十分复杂难以计算。
此时，我们可以考虑利用微分的近似计算方法，通过对原函数进行适当的近似，得到问题的近似解。
近似计算的思想是基于函数的局部性质，即在一个小区间内，函数的变化是平滑且连续的。
我们可以选择一个足够小的区间，然后利用函数在该区间上的局部性质来近似整个函数的行为。
这种思想也体现了微分的基本概念，即通过函数的导数来描述函数变化的速率。
二、微分的近似计算方法微分的近似计算方法主要有以下两种：1.泰勒展开法泰勒展开法是一种基于泰勒公式的近似计算方法。
对于一个光滑的函数f(x)，其在其中一点a处的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数。
当我们取展开式的前几项作为近似，可以得到：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)这也是函数f(x)在点a处的线性近似。
通过泰勒展开法，我们可以利用函数在其中一点的导数来近似整个函数的行为。
2.有限差分法有限差分法是一种基于函数的导数定义进行近似的方法。
对于一个函数f(x)，其在其中一点x处的导数定义为：f'(x) = lim[h->0] (f(x+h) - f(x))/h为了近似函数f(x)在其中一点的导数，我们可以选择一个足够小的步长h，然后计算f(x+h)和f(x)之间的差别，再除以步长h，得到近似的导数值。
[整理]一元函数微分学的应用.
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第四章 一元函数微分学的应用本章教学要求1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.2.熟练掌握会用洛必达法则求未定式的极限.3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形.重点：微分中值定理，用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题.难点：函数的最大值与最小值及其应用问题.第一节 中值定理与洛必达法则一、罗尔定理1、罗尔定理罗尔定理 如果函数)(x f 在团区间][b a ，上连续，在开区间），（b a 内可导，且在区间端点的函数值相等，即)()(b f a f =，那末在），（b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使得函数)(x f 在该点的导数等于零：0)(='ξf 。
几何解释:在曲线弧AB 上至少有一点C ，在该点处的切线是水平的。
证明 由于)(x f 在闭区间[a,b ]上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，)(x f 在闭区间[a,b ]上必定取得它的最大值M 和最小值m ，这样只有两种可能情形：（1）m M =。
这时)(x f 在区间[a,b ]是必然取相同的数值M ：M x f =)(。
由此有0)(='x f ，因此可以取（a,b ）内任意一点作为ξ而有0)(='ξf 。
（2）m M >。
因为)()(b f a f =，所以M 和m 这两个数中至少有一个不等于)(x f 在区间[a,b ]的端点处的函数值。
为确定起见，不妨设)(a f M ≠（如果设)(a f m ≠，证法完全类似），那末必定在开区间（a,b ）内有一点ξ使M f =)(ξ。
下面证明)(x f 在点ξ处的导数等于零：0)(='ξf 。
高等数学 第三章 一元函数微分学的应用
第三章 一元函数微分学的应用在第二章中，我们介绍了微分学的两个基本概念—导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本定理—微分中值定理为基础，进一步介绍利用导数研究函数的性态，例如判断函数的单调性和凹凸性，求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法，最后还讨论了导数在经济学中的应用.第一节 微分中值定理教学目的：1、理解微分中值定理；2、掌握微分中值定理的使用；3、理解泰勒中值定理 重点和难点：重点：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理； 难点：微分中值定理的使用教学方法：课堂讲授，注重问题式的启发式的教学方法的灵活运用 教学内容：定理1（罗尔中值定理） 若)(x f 在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且)()(b f a f =，则至少存在一点),(b a ∈ξ使得.0)(='ξf注：罗尔定理的三个条件是十分重要的，如果有一个不满足，定理的结论就可能不成立。
罗尔中值定理的几何意义是：若)(x f y =满足定理的条件，则其图像在[a,b]上对应的曲线弧AB 上至少存在一点具有水平切线。
定理2（拉格朗日中值定理） 若)(x f 在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则至少存在一点),(b a ∈ξ使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ.拉格朗日中值定理的几何意义是：若)(x f y =满足定理的条件，则满足定理条件的曲线弧AB 上至少存在一点具有平行于弦AB 的切线。
拉格朗日中值定理可改写为，)10()(<<∆⋅∆+'=∆θθx x x f y 0称为有限增量公式.推论1 若函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零, 则)(x f 在区间I 上是一个常数.推论2 函数)(x f 及)(x g 在区间I 上可导, 若对任一I x ∈，有)(')('x g x f =，则Cx g x f +=)()(对任意I x ∈成立，其中C 为常数. 例1、求证).11(2arccos arcsin ≤≤-=+x x x π例2、证明不等式2121arctan arctan x x x x -≤-其中)(21x x <.例3、设函数)6)(4)(2()(---=x x x x x f ，试判断方程0)('=x f 在),(+∞-∞内有几个实根，并指出它们所属区间.例4、若0)(>x f 在[a , b ]上连续，在(a , b )内可导，则),(b a ∈∃ξ，使得).()()(')()(lna b f f b f a f -=ξξ 定理3（柯西中值定理） 若)(),(x g x f 在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，0)(≠'x g ，则至少存在一点),(b a ∈ξ使得)()()()()()(ξξg f b g a g b f a f ''=--显然，若取,)(x x g =则,1)(,)()(='-=-x g a b a g b g 因而柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了。
微积分在近似运算中的应用
例3 正方形边长为2.41 0.005米, 求出它的面积 ,
并估计绝对误差与相对 误差.
解 设正方形边长为 x , 面积为y, 则 y x .
2
当x 2.41时,
y (2.41) 2 5.8081(m 2 ).
x 2.41
y
x 2.41
2x
4.82.
边长的绝对误差为 x 0.005,
一、计算函数增量的近似值
若y f ( x )在点x0处的导数f ( x0 ) 0, 且 x 很小时,
y
x x0
dy
x x0
f ( x0 ) x .
, 半径伸长了 例1 半径10厘米的金属圆片加热后 0.05厘米,问面积增大了多少 ?
2 设 A r , r 10厘米, r 0.05厘米. 解
二、 利用微 分计算当 x 由45 变 到 4510 时 ，函数 y cos x 的增量的近似值(1 0.017453弧度).
,ห้องสมุดไป่ตู้
练 习 题
三、 已知单摆的振动周期T 2
l ，其中g 980 厘 g
米/秒 2， l 为摆长（单位为厘米） ，设原摆长为 20 T 增大 0.05 秒，摆长约需加长多 厘米，为使周期 少？
1 (1) 1 x 1 x; ( 2) sin x x ( x为弧度); n ( 3) tan x x ( x为弧度); (4) e x 1 x; (5) ln(1 x ) x . 1 1 1 n 证明 (1) 设 f ( x ) n 1 x , f ( x ) (1 x ) , n 1 f (0) 1, f (0) . n x f ( x ) f ( 0) f ( 0) x 1 . n
微分的运算法则_微分在近似计算中的应用
1 0.02 3
y dy
1 1.02 1 0.02 （3）套y dy 3
3
1.02 1.0067
练习
插入视频中间
运用微分计算 9998 的近似值可得，9998 99.99.
A. √
B. ×
参考答案：A
第五节 小结
一.函数的微分
微分的定义、公式、几何意义
我们发现 y = f (u) , 当 u 为中间变量 时的微分形式与 u 为自变量时的微分的形 式相同 , 均为 dy = f (u) du , 这种性质称为 函数的微分形式不变性 .
例1
已知函数y ln(2 x )，求dy.
方法一
3
解
利用dy ydx可得 :
3
3 dy ln(2 x ) dx 3 (2 x ) 3 6 x dx dx x 2x 2x
所以, 球的体积增量大约为62.8 厘米。
立方
例3
求3 1.02的近似值
解
y
3
x
x 0.02
（1）设函数
x0 1
y f ( x0 x) f ( x0 ) f (1.02) f (1) （2）算y与dy
3 1.02 3 1
dy
1 1 2 3 yx 3 x x 3 2 x 3 x
二.微分的运算法则
1.微分基本公式
导数的基本公式
1 (x ) x
微分的基本公式
dx x 1dx
da x a x ln adx
1 d loga x dx x ln a
(a x ) a x ln a
1 (log a x) x ln a
§2.5 微分及其在近似计算中的应用
x0∆x
x0
(1) : ∆x的 性 数且 ∆A的 要 分 线 函 , 为 主 部 ; (2) : ∆x的 阶 穷 ,当∆x很 时 忽 . 高 无 小 小 可 略
再例如, 再例如 设函数 y = x 3在点 x0处的改变量
为∆x时, 求函数的改变量 ∆y .
3 ∆y = ( x 0 + ∆x ) 3 − x 0
⇒ ydx + xdy = ln adx + ln bdy
ln a − y ⇒ dy = ⋅ dx x − ln b dy ln a − y ⇒ = dx x − ln b
解二 两边取对数得
xy = x ln a + y ln b
dy ln a − y ⇒ = dx x − ln b
求导， 两边对 x 求导，有
2 = 3 x 0 ⋅ ∆x + 3 x 0 ⋅ ( ∆x ) 2 + ( ∆x ) 3 .
(1)
(2)
∆ 高 无 小 当 ∆x 很小时 , (2)是 x的 阶 穷 o(∆x),
2 ∴∆y ≈ 3x0 ⋅ ∆x.
既容易计算又是较好的近似值
问题:这个线性函数 改变量的主要部分 改变量的主要部分)是否 问题:这个线性函数(改变量的主要部分 是否 所有函数的改变量都有?它是什么 如何求? 它是什么?如何求 所有函数的改变量都有 它是什么 如何求
例4
设y =e
−ax
sinbx, 求 . dy
解 dy = e − ax ⋅ cos bxd (bx ) + sin bx ⋅ e − ax d ( − ax )
= e − ax ⋅ cos bx ⋅ bdx + sin bx ⋅ e − ax ⋅ ( − a )dx = e − ax (b cos bx − a sin bx )dx .
第八节微分在近似计算中的应用
第八节微分在近似计算中的应用
一、计算函数增量的近似值例1解二、计算函数的近似值例1解常用近似公式证明例2解三、误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.定义：问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?办法:将误差确定在某一个范围内.通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差.例3解四、小结近似计算的基本公式练习题练习题答案填空题：
利用公式计算时，要求______很小.
当时，由公式可近似计算；，由此得；.
利用微分计算当由变到时，函数的增量的近似值(弧度).
已知单摆的振动周期，厘米/秒2，为摆长（单位为厘米），设原摆长为20厘米，为使周期增大0.05秒，摆长约需加长多少？
求近似值：
；2、；3、.
七、某厂生产（教材2-18图）所示的扇形板，半径=200
毫米，要求中心角为产品检验时，一般用测量
弦长的办法来间接测量中心角，如果测量弦长
时的误差=0.1毫米，问由此而引起的中心角测量误差是多少？
五、设，且，证明
，并计算的近似值.
六、已知测量球的直径有1%的相对误差，问用公式计算球的体积时，相对误差有多大？
一、1、；2、.
二、.
三、约需加长2.23厘米.
四、1、-0.96509；2、；3、9.9867.
五、1.9953.
六、3%.
七、(弧度)=.。
一元函数微分学的应用共29页
第四章 一元函数微分学的应用本章教学要求1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.2.熟练掌握会用洛必达法则求未定式的极限.3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形. 重点：微分中值定理，用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题.难点：函数的最大值与最小值及其应用问题.第一节 中值定理与洛必达法则一、罗尔定理 1、罗尔定理罗尔定理 如果函数)(x f 在团区间][b a ，上连续，在开区间），（b a 内可导，且在区间端点的函数值相等，即)()(b f a f =，那末在），（b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使得函数)(x f 在该点的导数等于零：0)(='ξf 。
几何解释:在曲线弧AB 上至少有一点C ，在该点处的切线是水平的。
证明 由于)(x f 在闭区间[a,b ]上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，)(x f 在闭区间[a,b ]上必定取得它的最大值M 和最小值m ，这样只有两种可能情形：（1）m M =。
这时)(x f 在区间[a,b ]是必然取相同的数值M ：M x f =)(。
由此有0)(='x f ，因此可以取（a,b ）内任意一点作为ξ而有0)(='ξf 。
（2）m M >。
因为)()(b f a f =，所以M 和m 这两个数中至少有一个不等于)(x f 在区间[a,b ]的端点处的函数值。
为确定起见，不妨设)(a f M ≠（如果设)(a f m ≠，证法完全类似），那末必定在开区间（a,b ）内有一点ξ使M f =)(ξ。
下面证明)(x f 在点ξ处的导数等于零：0)(='ξf 。
2-12微分在一元函数近似计算及误差计算中的应用
模块基本信息一级模块名称 微分学二级模块名称 应用模块 三级模块名称 微分在一元函数近似计算及误差计算中的应用模块编号 2-12 先行知识微分的概念模块编号2-11 知识内容教学要求掌握程度1、微分的几何意义、误差的相关定义1、理解微分的几何意义、误差的相关定义简单应用2、简单函数的近似值和误差估计2、会利用微分求简单函数的近似值和误差估计 能力目标1、培养学生的理解能力2、培养学生的对比类推能力时间分配45分钟 编撰秦小娜 校对方玲玲 审核危子青修订肖莉娜二审危子青一、正文编写思路及特点：思路：首先复习函数微分的相关知识，利用微分的几何意义，导出近似计算公式，给出误差估计。
特点：通过微分的几何意义，说明微分的近似计算公式，直观，更容易理解。
二、授课部分（一）复习回顾 由微分的定义可知：1、函数值得增量：0()y f x x x α'∆=∆+∆2、增量的主要部分：0()dy f x x '=∆3、近似相等：y dy ∆≈ （二） 微分的几何意义当∆y 是曲线y =f(x)上的点的纵坐标的增量时, dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量. 当|∆x |很小时, |∆y -dy |比|∆x |小得多. 因此在点M 的邻近,可以用切线段来近似代替曲线段.由于0()tan dy f x x x α'=∆=⋅∆，其中α为切线的倾斜角，而∆y 是曲线y =f(x)上的点的纵坐标的增量，当|∆x |很小时, |∆y -d y |比|∆x |小得多. 因此在点M 的邻近,可以用切线段来近似代替曲线段.（三）微分在近似计算中的应用由0()y dy f x x '∆≈=∆有：f (x )≈ f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0).（选讲）例1．利用微分计算sin 30︒30'的近似值. 解: 已知30︒30'3606ππ+=, 60π=x , 360π=∆x .sin 30︒30'=sin(x 0+∆x)≈sin x 0+∆x cos x 0 3606 cos 6sin πππ⋅+=5076.03602321=⋅+=π.即 sin 30︒30'≈0. 5076. 例2．求05.1的近似值. 解: 已知 x nx n 111+≈+, 故025.105.021105.0105.1=⨯+≈+=.直接开方的结果是02470.105.1=.例3．有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0. 01cm . 估计一了每只球需用铜多少g (铜的密度是8. 9g/cm 3)?解: 已知球体体积为334R V π=, R 0=1cm , ∆R =0. 01cm .镀层的体积为∆V =V (R 0+∆R )-V (R 0)≈V '(R 0)∆R =4πR 02∆R=4⨯3. 14⨯12 ⨯0. 01=0. 13(cm 3).于是镀每只球需用的铜约为0. 13 ⨯8. 9 =1. 16(g ).。
二微分运算法则
定理 : 函数 在点
在点 x0 可微的充要条件是 处可导, 且 即
d y f ( x0 )x
“充分性” 已知 在点 的可导, 则
y lim f ( x0 ) x 0 x y f ( x0 ) ( lim 0 ) x 0 x
故 y f ( x0 ) x x f ( x0 ) x o( x)
按公式
计算 y 值时的误差
d y f ( x) x
故 y 的绝对误差限约为 y f ( x) x
f ( x) x 相对误差限约为 y f ( x)
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y
例7. 设测得圆钢截面的直径 绝对误差限 欲利用公式
2 1 3 (1 )5 243 1 2 3 (1 ) 5 243
(1 x) 1 x
3.0048
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例6. 有一批半径为1cm 的球 , 为了提高球面的光洁度,
要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 估计一下, 每只球需
180
29 sin cos ( ) sin 29 sin 6 180 180 6 1 3 (0.0175) 2 2
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例5. 计算
的近似值 .
解:
(243 2)
1 5
35 243
称 x 为自变量的微分, 记作 dx
则有 从而
o
记
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模块基本信息
一级模块名称 微分学
二级模块名称 应用模块 三级模块名称 微分在一元函数近似计算及误差计算中的应用
模块编号 2-12 先行知识
微分的概念
模块编号
2-11 知识内容
教学要求
掌握程度
1、微分的几何意义、误差的相
关定义
1、理解微分的几何意义、误差的相关定义
简单应用
2、简单函数的近似值和误差估计
2、会利用微分求简单函数的近似值和误差估计 能力目标
1、培养学生的理解能力
2、培养学生的对比类推能力
时间分配
45分钟 编撰
秦小娜 校对
方玲玲 审核
危子青
修订
肖莉娜
二审
危子青
一、正文编写思路及特点：
思路：首先复习函数微分的相关知识，利用微分的几何意义，导出近似计算公式，给出误差估计。
特点：通过微分的几何意义，说明微分的近似计算公式，直观，更容易理解。
二、授课部分
（一）复习回顾 由微分的定义可知：
1、函数值得增量：0()y f x x x α'∆=∆+∆
2、增量的主要部分：0()dy f x x '=∆
3、近似相等：y dy ∆≈ （二） 微分的几何意义
当∆y 是曲线y =f(x)上的点的纵坐标的增量时, dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量. 当|∆x |很小时, |∆y -dy |
比
|∆x |小得多. 因此在点M 的邻近,可以用切线段来近似代替曲线段.
由于0()tan dy f x x x α'=∆=⋅∆，其中α为切线的倾斜角，而∆y 是曲线y =f(x)上的点的纵坐标的增量，当|∆x |很小时, |∆y -d y |比|∆x |小得多. 因此在点M 的邻近,可以用切线段来近似代替曲线段.
（三）微分在近似计算中的应用
由0()y dy f x x '∆≈=∆有：
f (x )≈ f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0).
（选讲）例1．利用微分计算sin 30︒30'的近似值. 解: 已知30︒30'360
6
ππ+=, 6
0π=x , 360
π=∆x .
sin 30︒30'=sin(x 0+∆x)≈sin x 0+∆x cos x 0 360
6 cos 6
sin πππ⋅+=
5076.0360
232
1=⋅+=π.
即 sin 30︒30'≈0. 5076. 例2．求05.1的近似值. 解: 已知 x n
x n 111+≈+, 故
025.105.02
1105.0105.1=⨯+≈+=.
直接开方的结果是02470.105.1=.
例3．有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0. 01cm . 估计一了每只球需用铜多少g (铜的密度是8. 9g/cm 3)?
解: 已知球体体积为33
4R V π=, R 0=1cm , ∆R =0. 01cm .
镀层的体积为
∆V =V (R 0+∆R )-V (R 0)≈V '(R 0)∆R =4πR 02∆R
=4⨯3. 14⨯12 ⨯0. 01=0. 13(cm 3).
于是镀每只球需用的铜约为
0. 13 ⨯8. 9 =1. 16(g ).。