2-12微分在一元函数近似计算及误差计算中的应用

模块基本信息

一级模块名称 微分学

二级模块名称 应用模块 三级模块名称 微分在一元函数近似计算及误差计算中的应用

模块编号 2-12 先行知识

微分的概念

模块编号

2-11 知识内容

教学要求

掌握程度

1、微分的几何意义、误差的相

关定义

1、理解微分的几何意义、误差的相关定义

简单应用

2、简单函数的近似值和误差估计

2、会利用微分求简单函数的近似值和误差估计 能力目标

1、培养学生的理解能力

2、培养学生的对比类推能力

时间分配

45分钟 编撰

秦小娜 校对

方玲玲 审核

危子青

修订

肖莉娜

二审

危子青

一、正文编写思路及特点：

思路：首先复习函数微分的相关知识，利用微分的几何意义，导出近似计算公式，给出误差估计。

特点：通过微分的几何意义，说明微分的近似计算公式，直观，更容易理解。

二、授课部分

（一）复习回顾 由微分的定义可知：

1、函数值得增量：0()y f x x x α'∆=∆+∆

2、增量的主要部分：0()dy f x x '=∆

3、近似相等：y dy ∆≈ （二） 微分的几何意义

当∆y 是曲线y =f(x)上的点的纵坐标的增量时, dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量. 当|∆x |很小时, |∆y -dy |

比

|∆x |小得多. 因此在点M 的邻近,可以用切线段来近似代替曲线段.

由于0()tan dy f x x x α'=∆=⋅∆，其中α为切线的倾斜角，而∆y 是曲线y =f(x)上的点的纵坐标的增量，当|∆x |很小时, |∆y -d y |比|∆x |小得多. 因此在点M 的邻近,可以用切线段来近似代替曲线段.

（三）微分在近似计算中的应用

由0()y dy f x x '∆≈=∆有：

f (x )≈ f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0).

（选讲）例1．利用微分计算sin 30︒30'的近似值. 解: 已知30︒30'360

6

ππ+=, 6

0π=x , 360

π=∆x .

sin 30︒30'=sin(x 0+∆x)≈sin x 0+∆x cos x 0 360

6 cos 6

sin πππ⋅+=

5076.0360

232

1=⋅+=π.

即 sin 30︒30'≈0. 5076. 例2．求05.1的近似值. 解: 已知 x n

x n 111+≈+, 故

025.105.02

1105.0105.1=⨯+≈+=.

直接开方的结果是02470.105.1=.

例3．有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0. 01cm . 估计一了每只球需用铜多少g (铜的密度是8. 9g/cm 3)?

解: 已知球体体积为33

4R V π=, R 0=1cm , ∆R =0. 01cm .

镀层的体积为

∆V =V (R 0+∆R )-V (R 0)≈V '(R 0)∆R =4πR 02∆R

=4⨯3. 14⨯12 ⨯0. 01=0. 13(cm 3).

于是镀每只球需用的铜约为

0. 13 ⨯8. 9 =1. 16(g ).