第7章 非线性方程与方程组的数值解法《数值分析》

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2020年5月19日
《数值分析》 黄龙主讲
对于超越方程，例如：
e x 10sin10x 0 在整个 x 轴上有无穷多个解， x 取值范围不同，解也不同。
超远方程只能通过数值求解。
有根区间：
设函数 f x 在 a,b 上连续，f a f b 0
f x
则方程 f x 0 在区间 a,b 内一定有实根， a
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第7章 非线性方程与方程组的数值解法
7.1 方程求根与二分法
7.1.1 引言
方程求根的一般形式：
f x 0
其中 x R ， f x Ca,b
如果实数 x* 满足 f x* 0 ，
则称 x* 是方程的根，
或称 x* 是函数 f x 的零点。
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xk
ak
2
bk
作为近似根，则：
x* xk
bk ak 2
ba 2k1
特点：算法简单，可保证收敛，但收敛太慢。用于求近似解。
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P214例2 求方程 f x x3 x在区1 间0
小数点后的第二位。
内的1一.0,1个.5实 根，要求准确到
解： f 1.0 1 0 ， f 1.5 0.875 0
注：
x* xk
ba 2k1
，即
x*
x6
0.5 261
0.004
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7.2 不动点迭代法及其收敛性
7.2.1 不动点与不动点迭代法
将方程 f x 0 改写成等价形式： x x
若要求 x* 满足 f x* 0 ，则 x* x* ；反之亦然。
——称 x* 为函数 x 的一个不动点。 因此，求 f x 的零点就等价于求 x 的不动点。
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不动点迭代法：
① 选择一个初始近似值 x0 ，代入迭代函数 x ： x1 x0
② 将新值 x1 作为近似值，再次代入迭代函数：
x2 x1
③ 反复迭代，迭代方程：
2
2
否则： f a b f a 0 时 ， a b b ；
2
2
f a b f b 0 时 ， a b a ；
2
2
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④ 反复计算，直到 b a ， （ ——预定的精度）
最终取值： x* a b 。 2
误差：取有根区间 ak ,bk 的中点 （ k ——二分次数）
xy L x y
（迭代函数的增量小于自变量的增量）
则 x 在 a,b 上存在唯一的不动点 x* 。
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证明：先证不动点存在性。
若 a a ，或 b b ：
则 x 在 a,b 上存在不动点。（不动点特点 x* x* ）
因 a x b ，以下设 a a 及 b b ，定义： f xx x
取步长 h 1 ，进行搜索计算：
x 0123456
f x
方程的有根区间为 1,2 ， 3,4 ，5,6
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7.1.2 二分法
计算方法：
① 计算区间端点函数值 f a 、f b ?
② 计算区间中点函数值 f a b ? 2
③ 若 f a b 0 ，则根为 x* a b ，
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方程性质不同，求解方法也有很大差异。
如果函数 f x 是多项式： f x a0 xn a1 xn1 an1 x an
其中 a0 0 ， ai 为实数，则称方程为 n 次代数方程。
n 次代数方程在复数域有且只有 n 个根（含重根）。
当 n 5 时不能用公式表示方程的根，只能数值求解。
④ 若 f xk1 f xk 0 ，则可确定有根区间 xk1 , xk 。
a
xk1 xk
x
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P213 例1 求方程 f x x3 11.1x2 38的.8有x 根41区.7间7 。0
解： f 0 41.7 0 ， f 6 7.43 0 f x 在区间 0,6 内至少有一个实根。
注意：如果迭代公式为 xk1 xk3 1 ，则迭代发散。
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7.2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性
定理1 设函数 x Ca ,b 满足以下两个条件： （1） 对于任意 x a ,b ，有
a x b
（迭代函数在 a,b 上） （2） 存在正常数 L 1 ，使对任意 x, y a,b 都有
显然 f x Ca,b ，且满足
逐次逼近：
x0 y0 x0 y0 x1 x1 y1 x1 y1 x2
xk1 xk x*（迭代收敛）
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P215例3 求方程 f x x3 x在 1 0 附近x的0 根 1.5。
x*
解：迭代公式
xk1 3 xk 1 ， k 0,1,
若 f x 可分解为：
f x x x* m gx
其中 m 为正整数，且 g x* 0
则称 x* 为方程的 m 重根，或 x* 为 f x 的 m 重零点。
m 1 时为单根。
若 x* 为 f x 的 m 重零点，且 gx 充分光滑，则
f x* f x* f m1 x* 0 , f m x* 0
xk1 xk ， k 0,1,
④ 迭代存在极限：
lim
k
xk x*
则称迭代方程收敛，且 x* x* 为 x 的不动点。
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实质：将隐式方程 x x ，通过迭代逐步显式化——逐次逼近法。
几何意义：
直线 y x 与曲线 y x
其交点横坐标就是方程的根。
b
x1
x2 x
称 a,b 为方程 f x 0 的有根区间。
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逐次搜索法：
设连续函数 f x 存在有根区间 a,b ① 将 a,b N等分，步长 h b a ；
N
② 端点 xk a kh k 0,1, , N ； ③ 检查节点函数值 f xk ?