2014届高三上学期期中考试数学试题

2014届高三上学期期中考试数学试题

一、填空题

1．已知全集U R =，集合{

|M x y ==，则U C M = 。

2．复数12i

z i

-=

的虚部是 。 3．“1x >”是“21x >”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）

4．已知扇形的半径为10cm ，圆心角为120︒，则扇形的面积为 。 5．如果22log log 1x y +=，则2x y +的最小值是 。

6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知263,11a a ==，则7S = 。 7．曲线x y e =（其中 2.71828e = ）在1x =处的切线方程为 。

8．方程sin 0x x a +=在(0,2)π内有相异两解,αβ，则αβ+= 。

9．已知ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，45,60a A B ==︒=︒，

那么ABC ∆的面积ABC S ∆= 。

10．已知函数22log (1) (0)()2 (0)

x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩，，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实

数m 的取值范围是 。

11．若不等式21()2()12

x

x

m m -<对一切(,1]x ∈-∞-恒成立，则实数m 的取值范围是 。

12．设等比数列{}n a 满足公比*

*

,n q N a N ∈∈，且{}n a 中的任意两项之积也是该数列中的

一项，若11

12a =，则q 的所有可能取值的集合为 。

13．已知O 是ABC ∆的外心，10,6==AC AB ，若y x ⋅+⋅=且5102=+y x ，则=∠BAC cos 。

14．定义在R 上的函数()y f x =满足1

(0)0,()(1)1,()()52

x

f f x f x f f x =+-==

，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1

(

)2013

f = 。 二、解答题

15．已知等差数列{}n a 满足{}3577,26,n a a a a =+=的前n 项和为n S 。

（1）求n a 及n S ；（2）令*

2

1()1

n n b n N a =∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

16．设向量(2,sin ),(1,cos ),a b θθθ==

为锐角。

（1）若13

6a b ⋅= ，求sin cos θθ+的值；

（2）若//a b ，求sin(2)3

π

θ+的值。

17．已知a R ∈，函数()||f x x x a =-。

（1）当2a =时，写出函数()y f x =的单调递增区间； （2）当2a >时，求函数()y f x =在区间[1,2]上的最小值；

（3）设0a ≠，函数()y f x =在(,)m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出,m n 的

取值范围（用a 表示）。

18．如图，某生态园欲把一块四边形地BCED 辟为水果园，其中

90,C D BC BD ∠=∠=︒==，1CE DE ==。若经过DB 上一点P 和EC 上一点

Q 铺设一条道路PQ ，且PQ 将四边形BCED 分成面积相等的两部分，设,DP x EQ y ==。

（1）求,x y 的关系式；

（2）如果PQ 是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，求PQ 的长的最小值； （3）如果PQ 是参观路线，希望它最长，那么P Q 、的位置在哪里？

19．已知等比数列{}n a 满足*1211

1()2

n n a a a a n N ++++=-∈ 。 （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）在n a 与1n a +之间插入1n -个数组成一个公差为n d 的等差数列。

①设1

n n

b d =

，求数列{}n b 的前n 项和n T ； ②在数列{}n d 中是否存在三项,,m k p d d d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列？求出这样的三项；若不存在，说明理由。

20．已知函数2

()ln f x a x x =-。

（1）当2a =时，求函数()y f x =在1[,2]2

上的最大值；

（2）令()()g x f x ax =+，若()y g x =在区让(0,3)上不单调，求a 的取值范围； （3）当2a =时，函数()()h x f x mx =-的图象与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x ，且

120x x <<，又()y h x '=是()y h x =的导函数。若正常数,αβ满足条件1,αββα+=≥。

证明12()0h x x αβ'+<。

2013～2014学年度第一学期期中考试

高三数学参考答案与评分标准

一、填空题

1．{}1|

100π

cm 2 5．4 6．49 7．ex y = 8．

3

π，37π 9．433+ 10．（0，1） 11．32<<-m

12．{2，32，92，272，812} 13．31 14．32

1

二、解答题

15. 解：（1）设等差数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ， ……1分 由26,7753=+=a a a ，解得2,31==d a ． ……5分

由于2

)

(,)1(11n n n a a n S d n a a +=-+=，所以n n S n a n n 2,122+=+=． ……7分 （2）因为12+=n a n ，所以)1(412

+=-n n a n ，因此)1

11(41)1(41+-=+=

n n n n b n ．…9分

故)

1(4)111(41)1113121211(4121+=+-=--++-+-=+++=n n n n n b b b T n n ， …13分

所以数列}{n b 的前n 项和=

n T )

1(4+n n

． ……14分

16. 解：（1）因为a ·b =2 + sinθcosθ =

136 , 所以sinθcosθ = 1

6

， ……2分 所以（sinθ +cosθ）2 = 1+2sinθcosθ = 34 ．又因为θ为锐角，所以sinθ + cosθ = 23

3

…6分

（2）因为a ∥b ，所以tanθ = 2， ……8分 所以sin2θ = 2sinθcosθ =

2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ = 2tanθtan 2

θ+1 = 4

5

， ……10分 cos2θ = cos 2

θ-sin 2

θ = cos 2θ-sin 2θsin 2θ+cos 2θ = 1-tan 2θtan 2

θ+1 = — 3

5 ． ……12分 所以sin(2θ+ π3 ) = 12 sin2θ + 32 cos2θ = 12 ×45+32 ×(-35) = 4-33

10

． ……14分

17. 解：（1）当2=a 时，⎩⎨⎧<-≥-=-=2

),2(2

),2(|2|)(x x x x x x x x x f , ……2分