相关与回归分析

6
6
46 36 2116 276 46.4
合计 24 300 106 15048 1182 300.0
利用回归方程内推估计表7-7 y 栏。外推估计，若x=7时， 单位成本为：y7 = 57.2-1.8x7 = 57.2-1.8×7 = 44.6（元）。
y 单位成本元
54 52 50 48 46 44 42 40
三、回归分析的步骤
（一）定性判断现象间有无相关关系
（二）编制相关图表，显示变量间相关关系形态
（三）计算相关系数，测定变量间相关关系的密切程度
（四）配合适当的回归方程式，进行回归计算。
四、简单直线回归分析
（一）简单直线回归的概念
它是对具有显著直线相关的两个变量变化的一般关系进行测 定，只研究一个因变量与一个自变量的线性关系，称一元线性回 归分析，即直线回归分析，其回归方程最简单故又称简单直线回 归分析。
（二）相关表法
1.简单相关表。它是根据原始资料按甲变量x由小到大顺序 列出乙变量y的对应数值形成的相关表，如表7-2。
表7-2 某产品产量与总成本相关表
产量（辆）x 9 10 11 12 13 14 15
总成本（万元）y 102 110 115 120 126 130 135
表7-2显示产量与总成本呈直线正相关。
2.分组相关表。原始资料很多可编制分组相关表，如表7-3。
表7-3 单变量分组相关表
身高（厘米）x 人数（人）f 平均体重（千克）y
150
5
42
151
5
44
152
5
46
153
5
48
154
5
50
合计
25
—
（三）相关图 将对应的变量在直角坐标上描绘出来所形成的图形叫相关图， 也称散点图。图7-2是根据表7-3绘制的相关图，相关图显示儿童 体重与身高之间呈直线正相关关系。
6
6
将b、a值代入回归直线方程得：
y = 57.2-1.8x
表7-7 直线回归计算表
企业n 产量x 单本y x2 y2 xy
y
1
2
52 4 2704 104 53.6
2
3
54 9 2916 162 51.8
3
4
52 16 2704 203 50.0
4
4
48 16 2304 192 50.0
5
5
48 25 2304 240 48.2
4 10 112பைடு நூலகம்100 12544 1120 109.48
5 11 117 121 13689 1287 115.84
6 12 121 144 14641 1452 122.20
合计 63 676 667 76400 7133 675.96
基本步骤如下： 1.绘制散点图7-3。 2.计算相关系数表7-4，r = 0.9722。 3.确定回归方程，计算回归参数a、b值表7-5。
第七章 相关与回归分析
• 学习要点
一、理解相关关系的概念、种类和测定方法。
二、掌握相关系数的概念和计算方法。
三、理解回归分析的概念，相关与回归分析的关系。
四、掌握相关与回归分析的步骤，熟练掌握简单直线的回 归分析方法。
第一节
相关分析
一、相关关系的概念
（一）函数关系
变量间的关系有确定性的与非确定性的两种。变量间的确定 关系叫函数关系，即对自变量的如何一个值因变量都有唯一确定 的值严格的与之对应。函数关系通常可以用数学公式确切的表示 出来。
0.5≤|r|＜0.8，显著相关。 0.8≤|r|＜1，高度相关。
应当指出，上述标准的划分要求计算相关系数的原始数据足 够多，这样相关系数所表明的关系程度才是可信的。
2.相关系数的计算方法
计算过程见表7-4。
表7-4 产量与总成本相关系数计算表
月份n 产量x 总成本y x2
y2
xy
1
10
110
100 12100 1100
（二）相关关系
相关关系是现象之间确实存在的，但关系值不固定、不严格 的依存关系。当一现象数值发生变化时，另一现象数值也相应发 生变化，但其关系值是不固定的，往往可能出现几个不同的数值 在一定的范围内变动着，这些数值分布在它们的平均数周围。
例如，给定一个x值就有几个y值与之对应，这时变量的相关 关系可由x值与在x值一定的条件下y的平均值与之对应得到说明。 例如儿童按身高x分组，每组有5个儿童的不同体重y值与之对应 ， 共25对变量值，如表7-1。
6
46
36 2116 276
合计
24
300
106 15048 1182
计算相关系数：r
61182 24 300
0.822
6106 576 615048 90000
计算结果表明：产量与单位成本为高度负相关。
计算b、a值：b 61182 24 300 1.8
6106 576
a 300 1.8 24 57.2
2
9
101
81 10201 909
3
11
115
121 13225 1265
4
10
112
100 12544 1120
5
11
117
121 13689 1287
6
12
121
144 14641 1452
合计
63
676
667 76400 7133
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
6 7133 63 676
x
x
x
（a）正相关
（b）负相关
（c）无相关
图7-1 直线单相关种类
本章只介绍简单直线相关关系的分析方法。
三、直线相关关系的测定
（一）直线相关关系的一般判定
首先是利用定性分析来判断。任何社会经济现象都有质的规 定性，它表明了现象之间的区别与联系，对现象的这种质的规定 性的认识和分析，就是定性分析。一般来说，在定性分析的基础 上进而进行定量分析。所以，根据定性分析来判断是测定相关关 系的最基本方法。如果有些现象之间的关系难以通过定性分析作 出准确判断，可通过编制相关表和绘制相关图的直观显示判断。
b
n xy x n x2 x2
y
a y b x y bx
n
n
表7-5 产量与总成本回归直线计算表
月份n 产量x 总成本y x2 y2 xy
y
1 10 110 100 12100 1100 109.48
2
9
101 81 10201 909 103.12
3 11 115 121 13225 1265 115.84
它表明两个变量在直线相关形式下相关关系密切程度的统计
分析数据，通常用r表示。公式为：
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
r的变化范围在-1～1之间，即0≤|r|≤1。当r=0，表示无相 关。|r|=1，表示完全相关。 r＞0，正相关。 r＜0，负相关。 当 0＜|r|＜0.3，微相关。 0.3 ≤|r|＜0.5 ，低相关。
一般先进行相关分析，对相关关系的密切程度做出判断， 进而决定是否进行回归分析。
（二）回归分析是相关分析的深入和继续
回归分析是指把相关变量的关系转化为函数关系并建立数学 方程式，来研究变量之间数量变动关系的统计分析方法。如果仅 有回归分析而缺少相关分析，就会因为缺乏必要的基础和前提而 影响回归分析的可靠性；若仅有相关分析而缺少回归分析，就会 降低相关分析的意义。只有把两者结合起来才能达到分析研究的 目的。
y 130
120
110
100
0
9 10 11 12 13 x
图7 3 回归直线图
b
n xy x n x2 x2
y
6 7133 6 667
63 676 632
6.363
a y b x 45.848
n
n
将a、b值代入回归直线方程得： y = 45.848+6.363x
绘出回归直线，见图7-3。 利用回归直线方程可以得到内推理论值见表7-5y栏，还可进 行外推估计。 y = 45.848+6.363×13 = 128.57(万元)。
表7-1显示，儿童平均体重与身高之间为直线正相关关系 （见第一列和第三列）。
直线单相关可分为正相关和负相关。甲变量x值增加，乙变 量y值也相应增加称正相关，如图7-1（a）；甲变量x值增加，乙 变量y值也相应减少称负相关，如图7-1（b）；若y值几乎不受x 值影响称无相关，如图7-1（c）。
y
y
y
x
0 1 2 3 4 5 6 产量件
图7 4 产量与单位成本相关图
表7-1 25名儿童身高、体重相关表
身高
（厘米）x
（1）
体重 （千克）y
(2)
平均体重 （千克）y
(3)
150 40,41,42,43,44, 42
151 41,43,44,46,46, 44
152 41,44,45,48,52, 46
153 43,46,47,49,55, 48
154 44,46,49,51,60, 50
（二）简单直线回归方程
它是借助于数学中的直线方程近似反映两个变量间的一般线
性数量关系，并根据自变量推算因变量。
设x为自变量、y为因变量用y代表y实际观察值的平均值，即
理论值。这样，直线方程为：y = a+bx
估计值（理论值）
式中：a直线截距，表明变量的基础水平；b直线斜率，又 称回归系数，表明x每变动一个单位时影响到y平均变动的数值， b还反映变量x和y之间的数量关系的形式和方向，b为正表明两变 量变动方向相同，是正相关， b为负表明两变量变动方向相反， 是负相关。用最小平方法求解b、a两个参数值，即：
再如表7-6。绘制散点图见图7-4，列计算表见表7-7。
表7-6 产量与单位成本回归直线计算表
企业 产量(件) x 单位成本(元) y x2 y2 xy
1
2
52
4 2704 104
2
3
54
9 2916 162
3
4
52
16 2704 203
4
4
48
16 2304 192
5
5
48
25 2304 240
6
0.9722
6 667 632 6 76400 6762
计算结果表明，产量与总成本之间为直线正相关。
第二节
回归分析
一、回归分析的概念
回归分析是指对具有显著相关关系的变量，根据其相关形态 选择一合适的数学方程来表达变量间的平均变动关系的统计分析 方法。
二、相关与回归分析的关系
（一）相关分析是回归分析的基础和前提
平均
体重 y
千克
60
55
50
45
40
0 150 151 152 153 154 x身高厘米 图7 2 身高体重相关图
相关图可以直观地对相关关系的态势、方向和密切程度做出 显示。
（四）相关系数
相关表和相关图能大致显示变量间相关关系的直观态势，为 了定量研究相关关系的密切程度，就要计算相关系数。
1.相关系数的意义