分式的意义和性质

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分式的意义和性质

分式的意义和性质一、分式的概念 1、用 A、 B 表示两个整式， AB 可以表示成的形式，其中 A 叫做分式的分子， B 叫做分式的分母，如果除式 B 中含有字母，式子就叫做分式。

这就是分式的概念。

研究分式就从这里展开。

2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。

分式的分子 A 可取任意数值，但分母 B 不能为零，因为用零做除数没有意义。

一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。

3、（1）分式：

，当 B=0 时，分式无意义。

（2）分式：

，当 B0 时，分式有意义。

（3）分式：

，当时，分式的值为零。

（4）分式：

，当时，分式的值为 1。

（5）分式：

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，当时，即或时，为正数。

（6）分式：

，当时，即或时，为负数。

（7）分式：

，当时或时，为非负数。

二、分式的基本性质：

1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。

不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。

2、这个性质可用式子表示为：

（M 为不等于零的整式） 3、学习基本性质应注意几点：（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。

4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。

5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：

，。

三、约分：

1、约分是约去分子、分母中的公因式。

就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。

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2、约分的理论依据是分式的基本性质。

3、约分的方法：

（1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。

四、例题分析例 1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3）（4）（5）a2-a（6）。

解：

根据分式定义知（1）、（2）、（3）是分式，（4）、（5）、（6）是整式。

说明：

判断一个代数式是否是分式要紧紧抓住除式中含不含字母。

这里是分式，不能因为==a+b，而认为是整式， a+b 是分式的值。

要区分分式的值和分式这两个不同的概念。

另外是整式而不是分式。

虽然分母中有，但不是字母而是无理数，是无限不循环小数，因此的除式中不含字母。

例 2，在分式（1）（2）（3）中，字母 x 的值有什么限制？解：

（1）在中，当 x=2 时，使得分母 x-2=0， x2, （2）在

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中，当 x=-2 时，使得分母 x+2=0, x-2, （3）在中，当 x=-2 或 x=3 时，使得分母(x+2)(x-3)=0， x-2 且 x3。

例 3， x 为何值时，分式，（1）无意义；（2）值为零；（3）值为 1；（4）值为非负数。

解：

（1）∵当分母 2x+3=0 时分式无意义， x=-时，分式无意义。

（2）∵当时，分式值为零。

， x=1 时分式值为零。

（3）∵当时，分式值为 1， x=-4 时分式值为 1。

（4）∵当或时，分式值为非负数。

或 x1 或 x-时分式值为非负数。

例 4，当 x 取何值时，分式（1）值为零；（2）无意义；（3）有意义。

解：

（1）∵当(x+3)(x-1)0 时，分式有意义，当 x-3 且 x1 时分式有意义。

又∵6-2|x|=0 时分式值为零，则 3-|x|=0, |x|=3, x=3。

， x=3 时分式值为零。

解：

（2）∵(x+3)(x-1)=0 分式无意义，即 x+3=0 或 x-1=0，x=-3 或 x=1 时分式无意义。

说明：

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 对于（1）也可先令分子为零，求出字母的所有可能值为 x=3 后，再逐一代入分母验证是否为零，不为零者即为所求。

对于（2）当 x+3=0 或 x-1=0 时，都会使分式的分母等于零，所以要注意或字的使用。

解：

（3）∵(x+3)(x-1)0 时分式有意义。

即 x+30 且 x-10 时， x-3 且 x1 时分式有意义，说明：对于（3）分母(x+3)(x-1)只有不为零时，分式有意义，而(x+3)(x-1)0，当 x+3=0 或x-1=0 都会使(x+3)(x-1)=0，所以应将 x=-3 和 x=1 都同时排除掉，写成 x-3 且 x1，用且字，而不用或字。

意义为 x 不能为-3 而且还不能为 1，即-3 和 1 都不能取。

因为取任何其中一个值，分母(x+3)(x-1)都会为 0，而使分式都会无意义。

例 5，写出等式中未知的分子或分母：

（1）；（2）；（3）；（1）分析：

这类问题要从已知条件入手，根据分式的基本性质，分析变化的过程，如（1）右边分母 x2-y2是(x+y)(x-y)，而左边分母为 x+y，所以需将左式的分子和分母同乘以(x-y)。

解：

，未知的分子是(x-y)2, （2）分析：

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