分式的意义和性质
沪教版七年级上册 10.1 分式的意义与性质 讲义
分式的意义与性质【知识要点】1．分式的概念：两个整式A 、B 相除，即B A ÷时，可以表示为B A .如果B 中含有字母，那么BA 叫做分式，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.注：分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；2．分式有意义：分母不等于零3．分式的值：分式的分母不等于零，且分子等于零时，分式的值为零.4．分式的基本性质（初步约分）：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 5. 约分：把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分。
6. 最简分式：如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.7. 代入计算方法（初步求值）【典型例题】例1 判断下列各式，哪些是分式？（1）x 1，（2）21，（3）212+x ，（4）πxy 3，（5）m a 1+，（6）b a 5132-，（7）b a ÷ 例2 （1）x 为何值时，下列分式有意义．（2）x 为何值时，下列分式没有意义.例3 （1）x 为何值时，下列分式的值为零．（2）求满足条件的x 的值．①分式224534x x x x -+-+的值为1； ②分式221x x -+的值为负数； （3）若23+x 的值为整数，求x 的整数值； 例4 （1）填空：22222()()22,2y a ab b xy a b xy a b +-==+-；（2）当x 、y 满足关系式 时，分式3()5()x y x y --的值等于35； （3）若x 、y 同时扩大2倍，则下列分式的值的变化情况为：例5 （1）a 为何值时，下列等式成立：（2）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中的各项系数化为整数．例6 （1）化简下列分式：（2）求下列分式的值： ①12122++-x x x ，其中2005=x ； ②2224200833,1100322a b a b a b -=⎧⎨=-⎩-其中； 例7 （1）已知2=y x ，求22222y x xy y x -++的值； 【大展身手】一．选择题：1. 如果分式063=+-yx y x ，那么x ，y 应满足（ ） A. y x 2= B.y x -≠ C. y x y x -≠=且2 D. 02≠=y y x 且2. 若分式1122++x x 无意义，则（ ）A. 1=xB. 1-=xC. 11-==x x 或D.没有这样的有理数3. 下列分式a c b 4122、x y y x ++2)(5、)(322b a b a ++、b a b a --2422、a b b a --中，最简分式的个数是（ ） A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4．下列等式成立的是（ ）其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧，“死记”之后会“活用”。
分式概念及意义知识讲解
分式的意义和性质一、分式的概念1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。
这就是分式的概念。
研究分式就从这里展开。
2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。
分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有意义。
一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。
3.（1）分式：，当B=0时，分式无意义。
（2）分式：，当B≠0时，分式有意义。
（3）分式：，当时，分式的值为零。
（4）分式：，当时，分式的值为1。
（5）分式：，当时，即或时，为正数。
（6）分式：，当时，即或时，为负数。
（7）分式：，当时或时，为非负数。
三、分式的基本性质：1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。
不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。
2、这个性质可用式子表示为：（M为不等于零的整式）3、学习基本性质应注意几点：（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。
4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。
5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：，。
四、约分：1、约分是约去分子、分母中的公因式。
就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。
2、约分的理论依据是分式的基本性质。
3、约分的方法：（1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。
例1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3）（4）（5）a2-a（6）。
分式知识点总结
分式知识点总结分式是数学中一个重要的概念，在代数运算和实际问题中都有广泛的应用。
下面我们来对分式的相关知识点进行一个全面的总结。
一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是，分母 B 的值不能为 0，因为除数不能为 0。
如果分母的值为 0，那么这个分式就没有意义。
例如：1/x ，（x ＋ 1）／（x 2）都是分式，而 1/2 ，3/π 因为分母中不含有字母，所以它们不是分式。
二、分式有意义、无意义和值为 0 的条件1、分式有意义的条件：分母不为 0，即B ≠ 0。
2、分式无意义的条件：分母为 0，即 B ＝ 0。
3、分式值为 0 的条件：分子为 0 且分母不为 0，即 A ＝ 0 且B ≠ 0。
例如，对于分式 x ／（x 1），当x 1 ≠ 0 ，即x ≠ 1 时，分式有意义；当 x 1 ＝ 0 ，即 x ＝ 1 时，分式无意义；当 x ＝ 0 且x 1 ≠ 0 ，即x ＝ 0 时，分式的值为 0 。
三、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C ，A/B ＝ A÷C/B÷C （C 为不等于0 的整式）例如：将分式 2x ／ 3y 的分子分母同时乘以 2，得到 4x ／ 6y ，分式的值不变。
利用分式的基本性质，可以进行分式的约分和通分。
四、分式的约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
确定公因式的方法：1、系数：取分子和分母系数的最大公约数。
2、字母：取分子和分母相同字母的最低次幂。
例如：对分式 6x ／ 9x²进行约分，分子分母的系数 6 和 9 的最大公约数是 3，相同字母 x 的最低次幂是 x，约分后得到 2 ／ 3x 。
分式和分式的基本性质
分式和分式的基本性质（一）一、知识要点1．分式的意义一般地，如果A﹑B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式AB叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母。
说明：（1）分式是两个整式相除的商式，其中分子是被除式，分母是除式，而分数线起着除号和括号的作用。
（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母中一定要含有字母。
（3）分式的分母不能为0是分式概念的重要组成部分。
2．有理式的概念及分类有理式是整式和分式的统称。
3．分式有意义、无意义、值为零的条件（1）分式AB有意义的条件是：_________________________；（2）分式AB无意义的条件是：_________________________；（3）分式AB值为零的条件是：_________________________。
4．分式的基本性质分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示就是______________________________________________________________________。
5．分式的变号法则分式的分子、分母及分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即A A A AB B B B--==-=---。
6．将分数系数化成整数系数分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于0的数，使分子、分母中的数全都化为整数。
7．分式的约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式叫做分式的约分。
8．分式的通分根据分式的基本性质，把几个不同分母的分式化成同分母的分式叫做分式的通分。
说明：（1）最简公分母的概念：异分母通分时，我们常取各分母的系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
（2）求最简公分母的步骤与方法①取各分母系数的最小公倍数；②凡在各分母中出现的以字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
分式的意义及基本性质教师版
分式蕴含着双重身份：既是表示除法的表达式，又是表示除法的结果．从这个观点出发，《分式》这章是继整式乘除之后对代数式的进一步的研究．通过学习分式的意义，可以帮助学生对分式的概念的理解．在经历类比学习之后，可以由分数的基本性质过渡到分式的基本性质．分式的意义及基本性质是对代数式知识框架的完善学习，是从数到式的类比学习，为后面分式的计算奠定理论基础．学生掌握好本节内容是学好本章及方程、函数等问题的关键，在教材中起到呈上起下的作用．1、分式的概念两个整式、B相除，即A B时，可以表示为AB．如果B中含有字母，那么AB叫做分式，叫做分式的分子，B叫做分式的分母．在理解分式的概念时，注意以下三点：（1）分式的分母中必然含有字母；（2）分式的分母的值不为0；（3）分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．分式的意义及基本性质知识结构知识精讲内容分析模块一：分式的意义2、分式有意义的条件两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 例如：分式1211m x x =+--，当1111A B C D 时，分式有意义；当1D 时，分式无意义． 3、分式的值为零分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．【例1】 将下列式子表示为分式：（1）22x -÷；（2）22ax by ÷； （3）()()211x x +÷+；（4）()235x y ÷+．【难度】★【答案】（1）22x-；（2）22by ax；（3）112++x x ；（4）532+y x ．【解析】本题主要考察分式的定义．【例2】 在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1t，(2)3xx +，(42)n +，()3n n ≥，52a ．【难度】★【答案】1t 是分式，其余的都是整式．【解析】考察分式的定义【总结】本题主要考查分式和整式的区别．例题解析【例3】 3x =-，2y =时，分别计算下列分式的值：（1）23322x x y x+-；（2）237y x y -++．【难度】★ 【答案】（1）37-；（2）61． 【解析】（1）()()()37322233332-=-⨯⨯--⨯+-⨯； （2）()61723322=++--． 【总结】本题主要考查求分式的值的方法．【例4】 从代数式：321、2a 、34a +、5x y +、35x y +中任意选取两个分别组成一个整式，一个分式． 【难度】★【答案】答案不唯一，例如：整式，3212a ；分式，a2321 【解析】考察分式与整式的概念．【例5】 x 为何值时，分式2141x x ++无意义？ 【难度】★ 【答案】41-=x ．【解析】分式无意义的条件是分母为0．【例6】 x 为何值时，分式2132x x -+有意义？ 【难度】★★【答案】1≠x 且2≠x ．【解析】分式有意义的条件是分母不为0． 【总结】本题主要考查分式有意义的条件．【例7】 当x 为何值时，下列分式的值为0？（1）1x x+；（2）211x x -+；（3）33x x --．【难度】★★【答案】（1）1-=x ；（2）1=x ；（3）3-=x ． 【解析】分式值为0的条件是分母不为0且分子为0．【例8】 当x 为何值时，下列分式的值为0？（1）()()22312x x x x --++；（2）221634x x x -+- ．【难度】★★【答案】（1）3=x ；（2）4=x ．【解析】（1）∵()()()()223(3)(1)312122x x x x x x x x x x ---+-==+++++，∴当3=x 时，分式值为0；（2）∵2216(4)(4)4=34(4)(1)1x x x x x x x x x -+--=+-+--，∴当4x =时，分式值为0． 【总结】分式值为0的条件是分母不为0且分子为0．【例9】 x 为何值时，分式1122x x+-+有意义？【难度】★★★【答案】2-≠x 且1-≠x 且3-≠x ．【解析】021≠+x 且0212≠+-+x x ，解得：2-≠x 且1-≠x 且3-≠x ．【总结】分式有意义的条件是分母不为零．【例10】 已知234x y z==，且0xyz ≠，求分式222xy yz zx x y z ++++的值． 【难度】★★★【答案】2926【解析】设234x y zk ===，则k x 2=，k y 3=，k z 4=．∴222xy yz zx x y z ++++()()()2926292643242433222222==++⋅+⋅+⋅=k k k k k k k k k k k ．【总结】本题主要是通过设k 法来求分式的值．1、分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a amb bm =，a a mb b m÷=÷(0m ≠)． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．2、约分：把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分．3、如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式．【例11】 填空：（1）()2ab ba = ；（2）()32x x xy x y=++；（3）()2x y x xyxy ++=；（4）()222x y x y x xy y +=--+．【难度】★【答案】（1）a ；（2）2x ；（3）y x 2；（4）22y x - 【解析】（1）22ab ab a ba a a a÷==÷；（2）()()33322x x x x x x xy x x y x x y x x y ÷===+++÷+；（3）()22x y x x y x xyxy xy x x y+⋅++==⋅；（4）()()()222222x y x y x y x y x y x xy y x y +-+-==--+- 模块二：分式的基本性质知识精讲例题解析【总结】本题主要考查对分式的基本性质的运用．【例12】 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数． （1）1.030.023.20.5x yx y+-；（2）32431532x y x y -+． 【难度】★ 【答案】（1）y x y x 503202103-+；（2）yx yx 30489+-．【解析】考察分式的基本性质．【例13】 不改变分式的值，使分子和分母中的最高次项系数都为正数： （1）232645x x x x --+-； （2）23721x x x -+-+-．【难度】★【答案】（1）232465x x x x --+；（2）23721x x x --+． 【解析】考察分式的基本性质．【例14】 化简： （1）33mn m ；（2）2269x yxy ；（3）22728x z xy z-．【难度】★ 【答案】（1）23nm ；（2）23x y ；（3）24x y -． 【解析】考察分式的基本性质【例15】 化简222m n m mn -+的结果是（） A ．2m n m - B ．m nm-C ．m nm+ D ．m nm n-+ 【难度】★ 【答案】B【解析】()()()222m n m n m n m nm mn m m n m+---==++．【总结】本题主要考察对约分的理解． 【例16】 化简：（1）2232x x x-+；（2）22x yx y +- ；（3）23326a a a--；（4）22222m mn n m n -+-．【难度】★ 【答案】（1）223-x ；（2）y x -1；（3）a 21；（4）nm nm +-．【解析】（1）()2232332222x x x x x x x -+-+-==；（2）()()221x y x y x y x y x y x y++==-+-- ；（3）()223233126223a a a a aa a --==--；（4）()()()222222m n m mn n m n m n m n m n m n--+-==--++．【总结】本题主要考察对约分的理解．【例17】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？ （1）x y x y+-； （2）xyx y-； （3）22x yx y -+．【难度】★【答案】（1）不变；（2）扩大为原来的3倍；（3）缩小为原来的31．【解析】本题主要考察分式的基本性质．【例18】 把下列分式中的字母x 和y 都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？（1）2x yx y++ （2）22923xx y+ 【难度】★★【答案】（1）不变；（2）缩小为原来的51倍 【解析】（1）525255x y x yx y x y+⋅+=++ ；（2）()()()22222222954599507510155232535x x x xx y x y x y x y ⋅===++++．【总结】本题主要考察分式的基本性质．【例19】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？（1）2222x y x y +-（2）3323x y（3）223x y xy-【难度】★★【答案】（1）不变；（2）不变；（3）不变 【解析】本题主要考察分式的基本性质．【总结】若x ，y 的值扩大为原来的n 倍，分式中分子与分母的次数相同时，分式的值不变；分式中分子的次数比分母的次数多m 次时，分式值扩大为原来的m n 倍；分式中分子的次数比分母的次数少m 次时，分式值缩小为原来的m n1倍，【例20】 下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式．（1）22444x x x -+- ；（2）()()6334a a b b a --．【难度】★★★【答案】都不是最简分式，化简见解析．【解析】（1）()()()22224424222x x x x x x x x --+-==--++ ；（2）()()()()()66333333444a a b a b a a b a b a b a ---==--．【总结】本题主要考查利用分式的基本性质对分式进行化简．【习题1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1 t ，(2)3xx+，2211x xx-+-，24xx+，52a，2m，21321xx x+--，3πx-，323a aa+．【难度】★【答案】1t，2211x xx-+-，24xx+，21321xx x+--，323a aa+为分式；其余的为整式．【解析】本题主要考察分式与整式的概念以及二者的区别．【习题2】求下列分式有意义的条件：（1）1x；（2）33x+；（3）2a ba b+--；（4）21nm+．【难度】★【答案】（1）0≠x；（2）3-≠x；（3）ba≠2；（4）m为任何实数．【解析】分式有意义的条件是分母不为0．【习题3】x为何值时，分式211xx-+有意义？【难度】★【答案】1-≠x．【解析】分式有意义的条件是分母不为0．【习题4】若分式241xx++的值为零，则x的值为________．【难度】★【答案】2-=x．随堂检测【解析】∵分式值为零， ∴24010x x +=⎧⎨+≠⎩，∴2-=x ．【总结】分式值为0的条件是分母不为0且分子为0．【习题5】 计算()22ab ab 的结果为（ ）A ．bB ．aC ．1D ．1b【难度】★ 【答案】B 【解析】()22222ab a b a ab ab ==． 【总结】本题主要考查利用分式的基本性质进行约分．【习题6】 把下列分式中的字母x 和y 都扩大为原来的6倍，分式的值有什么变化？（1）23x yx y+-； （2）22332yx y -．【难度】★【答案】（1）不变；（2）缩小为原来的61． 【解析】本题主要考察分式的基本性质．【习题7】 不改变分式的值，把下列各式分子与分母的各项系数都化为整数．（1）0.3 1.20.051x x +-；（2）115710.12x y x y -+． 【难度】★ 【答案】（1）301205100x x +-；（2）1410357x y x y -+．【解析】本题考察分式的基本性质【习题8】 若33aa-有意义，则33a a -（）A 、无意义B 、有意义C 、值为0D 、以上答案都不对【难度】★★ 【答案】D【解析】由题意可得3≠a ，不能保证33aa-一定有意义． 【总结】分式有意义的条件是分母不为零，本题要注意分母含有绝对值．【习题9】 若分式242x x --的值为0，则x 的值为．【难度】★★ 【答案】2-．【解析】分式值为0的条件是分母不为0且分子为0．【习题10】 如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是．【难度】★★ 【答案】2．【解析】分式值为0的条件是分母不为0且分子为0．【习题11】 若()()213032m m m m --=-+，求m 的值．【难度】★★ 【答案】3 【解析】∵()()213(1)(3)032(2)(1)m m m m m m m m ----==-+--，∴3m =．【总结】分式值为0的条件是分母不为0且分子为0．【习题12】 若22032x xx x +=++，求()211x -的值． 【难度】★★ 【答案】1【解析】由题意可知：0=x ，则()2111x =-．【总结】本题主要是利用分式值为零的条件，得到x 的值，从而求出分式的值．【习题13】 约分：（1）232215_______20a b c b c -=；（2）224_______16x x x-=-；（3）()22________2x y y x-=- ．【难度】★★【答案】（1）c b a 432-；（2）xx+4；（3）x y 2-．【解析】（1）23222153204a b c a bb c c-=-； （2）()()()224416444x x x x xx x x x--==--++；（3）()()2222222x y y x y x y xy x--==---．【总结】本题主要考查利用分式的基本性质对分式进行化简．【习题14】 以下分式化简：①42226131x x x x ++=--；②x a ax b b+=+；③22x y x y x y +=++； ④22x y x y x y-=++．其中错误的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★ 【答案】D【解析】①②③都不能化简；④正确的结果是22x y x y x y-=-+．【总结】本题主要考查学生对分式基本性质的理解和运用．【习题15】 将下列分式化为最简分式．（1）222a ab a b +-；（2）2239m m m --；（3）2223332ab b a b ab b +++；（4）2432369x xx x x --+．【难度】★★ 【答案】（1）b a a -；（2）m m +3；（3）ba +3；（4）()31-x x【解析】（1）()()()222a ab a ab aa b a b a b a b ++==-+--；（2）()()()22339333m m m m m m m m m--=-=---++；（3）()()2222333332b a b ab b a b ab b a b b a b ++==++++；（4）()()()2243223316933x x x x x x x x x x x --==-+--．【总结】本题主要考查利用分式的基本性质对分式进行化简．【习题16】 若分式241312a a a-++无意义，求a 的值．【难度】★★★【答案】51-或0．【解析】02311=++a a 或02=a ，则51-=a 或0=a ． 【总结】本题主要考查分式无意义的条件，本题分母中还含有分母，因此要进行多重考虑．【习题17】 当x 为何值时，分式23455x xx x ++-+的值为零？【难度】★★★ 【答案】0【解析】由题意，可得：230504505x x x x x ⎧⎪+=⎪+≠⎨⎪⎪+-≠+⎩，∴03537x x x x x ==⎧⎪≠-⎨⎪≠-≠-⎩或且，∴0=x ．【总结】本题主要考查分式值为零的条件，本题分母中还含有分母，因此要进行多方面考虑．【习题18】 已知340x y z --=，280x y z +-=，且0xyz ≠，求2222x y z xy yz zx++++的值．【难度】★★★ 【答案】1【解析】由题意可得：z x 3=，z y 2=．∴()()222222223214123222314z z z x y z z xy yz zx z z z z z z z ++++===++⋅+⋅+⋅． 【总结】本题一方面考查用一个未知数代替其余未知数的方法，另一方面考查分式的基本性质的运用．【习题19】 若12a b b -=，求2222352235a ab b a ab b -++-的值． 【难度】★★★【答案】165．【解析】由题意可得：b a 32=，则设k a 3=，k b 2=．∴()()()()2222222233532223525235162333252k k k k a ab b a ab b k k k k -⋅⋅+⋅-+==+-+⋅⋅-⋅．【总结】本题主要考查利用设k 法进行分式的求值．【作业1】代数式22221131321223x x x a b a b ab m n xy x x y +--++++，，，，，，，中分式有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★ 【答案】C【解析】本题主要考察分式的概念．【作业2】 要使分式23xx -有意义，则须满足的条件为 ．【难度】★ 【答案】3≠x ．【解析】考察分式有意义的条件．【作业3】 求下列分式有意义的条件：（1）22x yx y ++ ；（2）2128x x -- ；（3）293x x -+．【难度】★【答案】（1）x 与y 不同时为零；（2）4≠x 且2-≠x ；（3）3-≠x ． 【解析】分式有意义的条件是分母不为零．【作业4】约分：（1）32324______30x yx y -=；（2）262______31x x x +=+ 【难度】★ 【答案】（1）254yx-；（2）x 2． x 课后作业【解析】（1）32232222446430565x y x x y xx y y x y y -⋅=-=-⋅；（2）()22316223131x x x x x x x ++==++． 【总结】本题主要考查利用分式的基本性质进行约分．【作业5】 当x 为何值时，下列分式的值为0？（1）288xx +；（2）()22255x x --； （3）()()811x x x -+-．【难度】★★【答案】（1）0=x ；（2）5-=x ；（3）8=x 【解析】分式值为0的条件是分母不为0且分子为0．【作业6】 若分式()()321x x x +-+的值不为零，求x 的取值范围．【难度】★★【答案】3-≠x 且2≠x 且1-≠x ． 【解析】本题主要考察分式值为0的条件．【作业7】x 为何值时，分式()()21634x x x --+无意义？【难度】★★【答案】3=x 或3-=x 或4-=x【解析】分式的分母为零，则分式无意义．【作业8】 已知4x y xy -=，求分式223x xy yx xy y+---的值．【难度】★★ 【答案】9【解析】()2222493343x y xy x xy y xy xyx xy y x y xy xy xy-++-⋅+===-----．【总结】本题主要考查对整体代入思想的理解和运用．【作业9】 化简：232428_______416n nn n nx x x x x +++-=++．【难度】★★★ 【答案】()3428416n x x x x -++．【解析】()()()()()23233232424242428888416416416416n n n n nn n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++----===++++++++．【总结】本题依旧是考查利用分式的基本性质进行化简和约分．【作业10】 x 为何值时，分式1111x++有意义？【难度】★★★【答案】1-≠x 且2-≠x ．【解析】01≠+x 且0111≠++x，则1-≠x 且2-≠x ．【总结】本题主要考查分式有意义的条件，本题分母中还含有分母，因此要进行多方面考虑．【作业11】 已知2249650a a b b -+++=，求2222a ab ab b +-的值．【难度】★★★ 【答案】-3【解析】∵2249650a a b b -+++=，∴()()013222=++-b a ．∴2=a ，31-=b ．∴222212222332112233a ab ab b ⎛⎫+⨯⨯- ⎪+⎝⎭==--⎛⎫⎛⎫⨯--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要是考查学生对配方法的理解和运用，以及几个非负数的和为零时，每个数均为零．。
分式知识归纳
第十六章分式【知识点1】分式1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母.2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义.3．分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可.【知识点2】有理式有理式的分类：有理式【知识点3】分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为：（其中M≠0）【知识点4】约分和通分1．分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分.2．分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分.【知识点5】最简分式与最简公分母：约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.●知识链接：1分数的意义2.分数的基本性质3.分数基本性质的作用●中考考点本节的常考知识点有：1. 分式的有关概念，分式的意义，分式的值等于零.2. 分式的约分，分式的分子、分母的系数化整化正.3. 求分式的值以及分式与其它题的综合分式方程●学习目标1. 理解分式方程的定义，会解可化为一元一次方程的分式方程，了解产生增根的原因，并会验根.2. 列出分式方程，解简单的应用题.●重点难点重点：把分式方程转化为整式方程求解的化归思想及具体的解题方法.难点：（1）了解产生增根的原因，并有针对性地验根；（2）应用题分析题意列方程.●知识概要1. 分式方程的概念2. 解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审：审清题意；（2）设：设未知数；（3）找：找出等量关系；（4）列：列出分式方程；（5）解：解这个分式方程；（6）验：既要验证根是否为原分式方程的根，又要检验根是否符合题意；（7）答：写出答案.●知识链接解分式方程主要是将其转化成整式方程来解.解完方程要注意验根即是否使最简公分母为零.●中考视点: 本节内容在中考中经常出现，通常是以计算题或应用题的形式出现，并且多与其它章节如函数、方程等知识结合，因此，一定要注意含有字母系数的方程的解法以及可化为一元一次方程的分式方程的解法和应用，切记一定要验根.第二节、教材解读一、约分的根据、实质与关键约分的根据是分式的基本性质；约分的实质是将一个分式化成最简分式——分子与分母没有公因式的分式；约分的关键是确定一个分式的分子与分母的公因式.二、确定分子、分母公因式的方法分子与分母的公因式是：分子、分母的系数的最大公约数与相同因式的最低次幂的积.三、约分时应防止的三类错误1．有关分式的概念辨析，字母或分式的取值等问题，一般不用约分，否则会造成错误.2.约分时，分子的整体与分母的整体都要除以同一个（公）因式，当分子或分母是多项式时，要用分子、分母的公因式去除整个多项式，不能只除某一项，更不能减去某一项.等都是错误的.其中（1）中的分式已是最简分式，不需再约分；（2）的正确答案是.为此，必须牢记，只有当分子、分母都是乘积形式时才能约分.3.分式的分子与分母是同底数的幂做因式时，应约去最低次幂，切不可对指数进行约分.就犯了用指数6与2约分的错误，正确的结果是四、掌握解分式方程的步骤解分式方程的一般步骤是：一是方程两边同乘最简公分母，化分式方程为整式方程；二是解这个整式方程；三是检验.如：解方程： .第一步：方程两边都乘以x（x＋6），得90x＋540＝60x；第二步：解这个整式方程，得x＝－18；第三步：检验：把x＝－18代入原方程的左、右两边有左边＝右边，即－18是原分式方程的解.五、列分式方程解简单的实际应用问题列分式方程解简单的实际应用题的步骤简单地可分为：审、设、找、列、解、检、答七个步骤.其中关键是“列”，难点是“找”.如：如图，小明家到王老师家的路程为3km，王老师家到学校的路程为0.5km，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20min，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？解：第一步：审清题意；第二步：设王老师的步行速度为xkm/h，则骑自行车的速度为3xkm/h；第三步：王老师现在骑车所用的时间－原来步行所用时间＝20min；第四步：根据题意，得；第五步：解这个方程：去分母，得3+3+0.5－1.5＝x，即x＝5；第六步：经检验x＝5是原方程的解，所以3x＝15；第七步：答：王老师的步行速度及骑自行车的速度分别为5km/h和15km/h.列分式方程解应用题一定要验根，还要保证其结果符合实际意义.第三节、错题剖析分式概念是本章学习的基础，由于学生的认知水平和经验的不足，特别容易出现一些常见的通病.下面将通过举例讲解，让同学们少走弯路，更快地学好分式的基础知识.同学们在学习过程中可能会犯以下错误.一、分式概念理解偏差【例1】下列各式是分式的是（）错解1：显然B 式分母中含有字母，又是的形式，所以选B.错解2：显然A 、D 都是整式，经过同底数的幂相除化为3a也是整式，故选B.错解分析：前者误认为π是字母.其实π是常数；后者先约分再判断是不行的.正解：选C.反思：（1）把握判断分式的唯一标准是看分母中是否含有字母.分母中不含字母的是整式，分母中含有字母的是分式.（2）分式的判断是看形式，数的判断是看结果.如数的结果是3，所以是有理数不是无理数.二、分式的值为零的条件混乱【例2】当x 取何值时，的值为0？错解1：因为x无论等于2还是-2，分式的值为0，均无意义，故x没有值可取；错解2：x=±2错解分析：前者误认为分式的值为0属于无意义，后者却忽视分式的值为0的前提条件是分式有意义.正解：x=2.反思：弄清分式的值为零的条件有两个：（1）分子的值为零；（2）分母的值不为零.这两个条件必须同时具备才可.三、分式无意义的条件不清【例3】当x _____ 时，分式无意义.错解：因为当x=1时，分母的值为0，故x=1.错解分析：这个答案只考虑了分母为零时x=1，忽视了-1＝0时x=±1都使分母为零．属于思维习惯上的问题.正解：x=±1.四、分式基本性质理解错误【例4】不改变分式的值，把分式的分子、分母中的各项系数都化为整数错解：错解分析：错解的分子、分母所乘的不是同一个数，而是两个不同的数，虽然把各项系数化成了整数，但分式的值改变了，违背了分式的基本性质.五、去分母时常数漏乘公分母【例5】解方程错解：方程两边都乘以（x-3），得2-x=-1-2，解这个方程，得x=5.错解分析：解分式方程需要去分母，根据等式的性质，在方程两边同乘以（x-3）时，应注意乘以方程的每一项.错解在去分母时，-2这一项没有乘以（x-3），另外，求到x=5没有代入原方程中检验.正解：方程两边都乘以（x-3），得2-x=-1-2（x-3），解得x=3检验：将x=3代入原方程，可知原方程的分母等于0，所以x=3是原方程的增根，所以原方程无解.六、去分母时，分子是多项式不加括号【例6】解方程错解：方程化为，方程两边同乘以（x＋1）（x－1），得3-x-1=0，解得x=2.所以方程的解为x=2.错解分析：当分式的分子是一个多项式，去掉分母时，应将多项式用括号括起来.错解在没有用括号将（x －1）括起来，出现符号上的错误，而且最后没有检验.正解：方程两边都乘以（x＋1）（x－1），得3-（x－1）=0，解这个方程，得x=4．检验:当x=4时，原方程的分母不等于0，所以x=4是原方程的根.七、方程两边同除可能为零的整式【例7】解方程 .错解：方程两边都除以3x-2，得，所以x+3=x-4，所以3=-4，即方程无解.错解分析：错解的原因是在没有强调（3x-2）是否等于0的条件下，方程两边同除以（3x-2），结果导致方程无解．正解：方程两边都乘以（x-4）（x+3），得（3x-2）（x+3）=（3x-2）（x-4），所以（3x-2）（x+3）－（3x-2）（x-4）=0．即（3x-2）（x+3－x＋4）=0．所以7（3x-2）=0．解得x=.检验：当x=时，原方程的左边=右边=0，所以x=是原方程的解.第四节、思维点拨【例1】已知且a、b都不等于0，求的值【思考与分析】从题目的条件可以得出a、b的值代入要求的分式使得分式有意义即可求出分式值.得（a-b）·（a-2b）=0.所以a-b＝0或a-2b＝0；当a-b＝0时，得a=b≠0，当a-2b＝0时，得a=2b≠0，所以综上可得，【反思】本题是求含字母的分式，利用因式分解，两个因式的积为零，则可转化为两个因式中至少有一个为零，代入分式来求解，注意前提仍然是分式必须有意义.【思考与分析】可以灵活运用这个条件.①要求的分式也可以化成含的形式，整体代入即可；【反思】本题在求值过程中利用了分式的基本性质，并且采用多种方法来利用已知条件使问题简化.【例3】供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的速度的1.5倍，求这两种车的速度.解题思路一：寻求时间上的相等关系建立方程【解法1】：设摩托车的速度为x千米/时，则抢修车的速度为1.5x千米/时.根据题意得：解得x＝40，经检验，x＝40是原方程的根.所以1.5x＝1.5×40＝60答：摩托车的速度为40千米/时，抢修车的速度为60千米/时.解题思路二：寻求速度之间的相等关系建立方程【解法2】设摩托车行30千米所用的时间为x小时，则抢修车所用的时间为（x －）小时，根据“抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍”得：解题思路三：寻求路程之间的相等关系建立方程【解法3】设摩托车行30千米所用的时间为x 小时，则抢修车行驶30千米所用的时间为（x－）小时，摩托车的速度为千米/时，抢修车的速度为×1.5千米/时，根据“抢修车的速度×抢修车所用的时间=总路程30千米”得：（×1.5）（x－）＝30解题思路四：列方程组解答【解法4】设摩托车与抢修车每小时分别行驶x千米、y千米，根据题意得方程组：（2、3、4解答过程略）【小结】题中含有多种关系时，列方程组可降低思维难度.前面的各种解法中，若把所推出的代数式用新的未知数替换，则都能写成方程的形式.【例5】读下列一段文字，然后解答问题.已知：方程的解是；方程的解是；方程的解是；方程的解是．【探究一】观察上述方程及其解，再猜想方程的解，并写出检验过程.解：猜想方程的解是．检验：当x＝11时，左边＝，右边＝，所以左边＝右边；当x ＝时，左边＝右边＝.∴x1＝11，x2＝是方程的解.【探究二】你能猜想方程（n为正整数）的解吗？若能请你验证你的猜想是否合理？解：猜想方程（n 为正整数）的解是x1＝n＋1，x2＝－.检验：当x＝n＋1时，左边＝n＋1－＝，右边＝，所以左边＝右边；当x＝－时，左边＝右边＝.∴x1＝n＋1，x2＝－是方程x －＝（n为正整数）的解.【例6】解方程【思考与分析】因为方程中有分母，所以首先应该去掉分母，只是注意，原来整式方程中分母全是数，而分式方程中则是代数式，因而去分母时应该两边同乘一个代数式，这里应该同乘x（x－1）.解：去分母，两边同乘以x（x－1）得:x（x－1）－x（x－1）·＝·x（x－1）化简得：x2－x－（x2－1）＝2x去掉括号，得：3x=1，∴ x=检验：把x=代入原方程的各个分母，都不为0.∴x=是原方程的解.【反思】（1）在解分式方程时，因乘的是同一个代数式，最后求得的根可能使同乘的这个代数式的值为0，这样的根叫做增根，但不是每个方程都有增根.因此，在解完方程之后，一定要检验方程的根，如果是增根，就标出来并且舍去.（2）在去分母时，同乘的是一个代数式，在题目中，可能有的项没有分母，这种项也同样要乘以这个代数式.第五节、竞赛数学当题目中的未知数具有对称关系时，应用基本对称式：x＋y＝a，xy＝b，进行替换，可使解题过程简化.现以部分竞赛题为例，介绍这种解题技巧在求分式值中的妙用.【思考与分析】首先看题目给的条件似乎没有必然的联系，但是经过化简含有可以利用建立联系解答.【例2】如果a2－3a＋1＝0，那么，的值是 ______ .【思考与分析】这题看起来没有对称关系，但是不要急，我们先从题目中所给的已知条件入手，可解出一个关于a 的新的关系式再将分别换元为x、y，所求的分式经过化简也可以用含有x、y的分式来求.【思考与分析】题目看起来很麻烦，无从下手，大家仔细观察已知分式与要求分式的对应项系数的关系，就可以知道将已知的等式取倒数就可以找到相应的关系了.【例4】若a、b 都是正实数，且求的值【思考与分析】由已知条件入手，可以得出这样就与要求的分式建立联系了，设可求出x与y的关系，代入要求的分式来解即可.【例5】证明恒等式【思考与分析】本题两边如果通分，可见其分母相同，若等式成立，则分子也必定相等，但这样运算量太大;如果把左边的分子灵活变形如b-c=（a-c）-（a-b）则可简化运算.证明: 原式左边=故原等式成立.【例6】使实数a、b、c 满足，求证:.【思考与分析】这里999是奇数，从题目的格式看，应该是对一般的奇数都成立，因而可以考虑由一般到特殊的证明方法.证明: ∵，故（bc+ca+ab）·（a+b+c）=abc.整理可得: （a+b）（b+c）（c+a）=0，故a=-b或b=-c或c=-a．不妨设a=-b，则a2n-1=-b2n-1，令n=500代入上式可得.小结：分式证明题形式多种多样，一般的证明途径有:（1）由繁到简，即从等式较复杂的一边入手，经过配方因式分解换元降次等多种变形，逐步推到另一边；（２）将等式两边同时变形为同一个代数式，从而推出相等的结果.第六节、本章训练基础训练题分式一、细心填一填（共7题,每题４分，共２８分）1.x=3 分式的根（填“是”或“不是”）.2.当x= 时，分式与的值相等.3.试写出一个解为x=2的分式方程 .4.分式方程的根是 .5.已知分式的值是零,那么x的值是 .6.若有增根，则增根为 .7. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程5*（x-1）=3的解为 .二、精心选一选（共９题，每小题５分，共4５分）8.下列方程中是分式方程的是（）A. B. C.y＋2＝3 D.9.把分式方程的两边同时乘以（x-2），约去分母，得（）A.1＋（1－x）＝x－2B.1＋（1－x）＝1C.1－（1－x）＝x－2D.1－（1－x）＝110.要把分式方程化为整式方程，方程两边需要同时乘以（）A.2x－4B.xC.2（x－2）D.2x（x－2）11.方程的解是（）A.1B.-1C.±1D.２12.已知，用含x的代数式表示y，得（）A.y＝2x＋8B.y＝2x＋10C.y＝2x－10D.y＝2x－813.关于x 的方程的解为x=1，则a等于（）A.1B. －3C.－1D. 314.某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（）A. B.C. D.15.用换元法解分式方程，如果设，则原方程可变形为（）A. B. C.D.16.下列关于x的方程，其中不是分式方程的是（）A. B. C.D.三、耐心做一做（第17题１２分，第18题15分）17.解方程:18.八年级（2）班的学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km，一部分学生乘慢车先行，出发1h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区，已知快车的速度是慢车速度的1．5倍，求慢车的速度.分式方程一、精心填一填（共8题，每小题4分，共32分）二、细心选一选（共8题，每小题5分，共40分）14.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）.A.x>0B.x≥0C.x≠0D.x≥0且x≠116.已知两个分式其中x≠±2,则A与B的关系是（）.A. 相等B. 互为倒数C. 互为相反数D. A大于B三.解答题（第17题12分，第18题16分）17.化简求值：其中x=－3.18.请将下面的代数式尽可能化简，再选择一个你喜欢的数（要合适哦！）代入求值：提高训练题4.解方程5.解方程：6.甲、乙两班参加绿化校园活动.已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等.求甲、乙两班每小时各种多少棵树？7.已知x2－5x－2000＝0，则代数式的值是（）.A.2001B.2002C.2003D.20048.化简（＝.9.已知，则的值为.10.解关于x的方程：ax－b＝2x－3.强化训练题一、精心选一选1.下列代数式中：是分式的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.下列判断中，正确的是（）A.分式的分子中一定含有字母B.当B＝0时，分式的值为0C.当A＝0，Ｂ≠０时，分式的值为0（A、B为整式）D.分数一定是分式3.分式中，当x＝－a时，下列结论正确的是（）A.分式的值为零B.分式无意义C.若a≠－时，分式的值为零D.若a≠时，分式的值为零4.分式中的字母x、y都扩大为原来的4倍，则分式的值（）A.不变B.扩大为原来的4倍C.扩大为原来的8倍D.缩小为原来的5.不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（）A.10B.9C.45D.906.下列各分式中，最简分式是（）二、细心填一填8.当x 时，分式有意义.9.当x 时，分式的值为零.10.当a＝时，分式无意义.11.约分：＝.三、耐心做一做12.当x 为何值时，分式的值为负？13.把化为整数系数.14.不改变分式的值，把下式分子、分母中最高次项的系数变为“＋”号：.四、应用题15.2008年夏季奥运会将在北京举行.为了支持北京申奥成功，红、绿两支宣传北京申奥万里行的车队在距北京3000千米处会合，并同时向北京进发.绿队走完2000千米时，红队走完1800千米，随后，红队的速度提高20％，两车队继续同时向北京进发.（1）求红队提速前红、绿两支车队的速度比.（2）红、绿两支车队能否同时到达北京？说明理由.（3）若红、绿两支车队不能同时到达北京，那么哪支车队先到达北京？并求出第一支车队到达北京时，两车队间的距离.综合训练题一、选择题（每题５分，共30分）1．下列分式中，一定有意义的是（）2．如果分式中，x，y的值都变为原来的一半，则分式的值（）A.不变B.扩大2倍C.缩小2倍D.以上都不对3．下列变形正确的是（）4．下列运算正确的是（）5．将分式的分子、分母各项系数都化为整数，正确的结果是（）6．如果从一捆粗细均匀的电线上截取1米长的电线,称得它的质量为a，再称得剩余电线的质量为b，那么原来这捆电线的总长度是（）二、填空题（每题5分，共30分）7．当x= 时，分式的值为零.8．分式约分的结果是 .9．计算：= .10．一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完成，则两人一起完成这项工程需要小时.11．代数式中x的取值范围是 .12.方程＝1的解是 .三、解答题（共40分）13．（11分）计算：－x14．（13分）计算，并把负指数化为正：（2mn－2）－3（－m－2n－1）－215．（16分）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城，已知A、C两城的距离为450km，B、C两城的距离为400km，甲车比乙车的速度快10km/h，结果两辆车同时到达C城，求两车的速度.。
分式的性质及意义
分式的性质及意义分式是数学中一种特殊的表达形式，由分子和分母组成，分子与分母都可以是数或者代数式。
1.分式的值是唯一的：分式所代表的数值是确定的，不会因为分式写法的不同而改变。
2.分式的分母不能为零：分母不能为零，因为除数不能为零。
3.分式的约分：分式可以通过约分化简为最简形式，即分子和分母没有相同的因子。
4.分式的乘法和除法：两个分式相乘时，可以将分子和分母分别相乘；两个分式相除时，可以将第一个分式的分子和第二个分式的分母相乘，并将第一个分式的分母和第二个分式的分子相乘。
5.分式的加法和减法：两个分式相加时，需要首先找到它们的公共分母，然后将分子相加，分母保持不变；两个分式相减时，需要首先找到它们的公共分母，然后将分子相减，分母保持不变。
分式的意义：1.分数的意义：分式可以用来表示一个整体被划分成若干等份中的一份。
分母表示整体被划分的份数，分子表示被划分的份数中的一份。
例如，1/2表示一个整体被划分为两份中的一份。
2.比值的意义：分数也可以表示两个数的比值。
分子表示比例中的前一个数，分母表示比例中的后一个数。
例如，2/3表示两个数的比值为2：33.量的意义：分数可以用来表示一定数量的其中一种东西。
分子表示具体的量值，分母表示这个量与单位的关系。
例如，1/4表示一个量的值为1，单位为4个。
4.分式的运算意义：分式的运算可以用来解决实际问题，如分数的相加减、相乘除等运算可以用来求解各种问题，如物品的比例增减、人员的比例关系等。
分式在日常生活中的应用非常广泛，如：1.厨房中的食谱：食谱中经常用到分数，如“1/2杯糖”、“3/4勺盐”等，用来表示食材的量。
2.比例关系：比值经常用到分数的形式，例如比例尺上的比例关系就是使用分数表示的。
3.金融中的利率：利息的计算中用到的年利率、月利率等都可以看作分数的形式。
4.化学中的配方：不同化学物质的配方中经常使用到分数，如“2:1”的配方比例表示两个物质的摩尔比。
分式知识点
分式知识点一、分式定义形如AB，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的式子叫做分式。
其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
二、分式的基本性质（1）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
（2）分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变。
三、最简分式一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式。
和分数不能化简一样，叫最简分数。
四、最简公分母（1）最简公分母的定义通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
（2）一般方法①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里。
②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂。
五、分式有、无意义的条件1、分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零。
（2）分式无意义的条件是分母等于零。
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同时大于零。
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号。
2、分式的值为零的条件分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零。
注意：“分母不为零”这个条件不能少3、分式无意义的条件分式有意义的条件是分母等于零六、分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值。
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简。
化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式。
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式。
分数不能化简一样，叫最简分数。
七、分式的通分与约分通分（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
（2）通分的关键是确定最简公分母。
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数。
分式的意义及运算
（2பைடு நூலகம்为了节约时间，王老师与小刚约定每天7：35从家里同时出发，小刚走路，王老师骑车，遇到小刚后，立即搭小刚到校．如果小刚和王老师走路的速度一样，王老师骑车的速度不变，请问他们能否在8：00钟前赶到学校？说明理由．
2.分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
3.分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。
4.零指数、负整数指数幂：
任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即 ；
当n为正整数时， （
【基础知识与技能的训练】
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.计算 ·（- ）等于（ ）
分式的意义及运算
【知识要点】
一：分式及其基本性质
1.分式的概念：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母那么式子 叫做分式。
2．分式有意义、无意义的条件：
分式有意义的条件：分式的分母不等于0；
分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3.分式的值为0：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。
4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
A．k＞2B．1＜k＜2C． D．
解：k= = = =1+ ，
∵a＞b＞0，∴0＜ ＜1，
分式方程训练
【知识要点】
1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2.分式方程的解：
使分式方程的最简公分母不为零的根是分式方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，原方程无解。
因此，解分式方程一定要验根
（4）先化简 ，然后从不等组 的解集中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值．
10分式的意义和性质
10分式的意义和性质10分式是数学中的一种表达方式，用于表示一个数可以被分成10个相等部分的形式。
它由分子和分母两部分组成，分母表示分成的份数，分子表示所占的份数。
10分式的意义是将一个数按照十等分的方式进行分割和表示。
我们通常用十进制形式表示数，而10分式则是将一个整数或小数分解为10个相等的部分。
它可以将一个整数或小数以分数的形式展示出来，方便我们理解和计算。
1.分子和分母的关系：分子表示所占的份数，分母表示分成的份数。
分子和分母之间的关系可以帮助我们判断这个数是整数还是小数。
例如，如果分子和分母相等，则表示这个数是一个整数，如果分子小于分母，则表示这个数是一个真分数，如果分子大于分母，则表示这个数是一个带分数。
2.分子和分母的最大公因数：在10分式中，分子和分母通常没有公因数。
这是因为10分式中，分子和分母都是10的次幂，它们之间没有其他整数可以同时整除分子和分母。
3.10分式的减法和加法：对于10分式来说，加法和减法运算都非常简单。
我们只需要对分子进行加减操作，分母保持不变即可。
这是因为10分式中，分子表示所占的份数，加减操作只改变了所占的份数，而没有改变总共分成的份数。
4.10分式的乘法和除法：对于10分式来说，乘法和除法运算也是比较简单的。
我们只需要对分子和分母分别进行乘除操作即可。
乘法操作相当于分子和分母同时乘以一个数，而除法操作相当于分子和分母同时除以一个数。
总之，10分式是一种将数按照十等分的方式进行表示的方法。
它有着简单直观的性质，可以方便我们进行数的计算和理解。
在学生学习数学的过程中，理解10分式的意义和性质，能够帮助他们更好地理解分数和小数的概念，提高他们的计算能力和数学思维能力。
拓展版-分式的意义与基本性质-教师版
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学科数学课题名称分式的意义与基本性质1、分式的概念与意义：
（1）A、B表示两个整式，A÷B（B≠0）可以表示为A
B
的形式，如果B中含有字母，那么我们把式
子A
B
（B≠0）叫分式，其中A叫分子，B叫分母。
（2）关于分式概念的两点说明：
①分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是分式与整式的根本
区别。
②分式中的分母不能为零，是分式概念的组成部分，只有分式的分母不为零，分式才有意义，因此，若分式有意义，则分母的值不为零（所谓分母的值不为零，就是分母中字母不能取使分母为零的那些值）反之，分母的值不为零时，分式有意义。
（3）分式的值为零
分式的意义与基本性质
例8、将下列各组分式进行通分。
（1） 223a ，1
6ab
（2）
244x -，21(x 2)x -+ （3）123x +，232x - ，225
49
x x +-
答案：（1）
223a 246b a b = 16ab 26a a b =
（2）24
4x -2(x 2)(x 2)(x 2)x +=-+ 21(x 2)x -+2(x 1)(x 2)(x 2)(x 2)--=-+
（2） 123x +23(23)(2x 3)x x -=+- 232x -2(23)(23)(2x 3)x x -=+- 2
2549x x +-25(23)(2x 3)x x +=+-
1、根据分式的基本性质，分式
a
a b
--可变形为（ ）。
15.1分式(重难点突破)解析版
【详解】A、2 = 2( ≠ 0)，此变形错误，不符合题意；
2
6
= 3(
B．
2
C．3
1
2)
= 3，故 C 正确；
6
D． 2 = 4 ≠ 3，故 D 错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式基本性质的应用，准确计算是解题的关键．
【变式训练 4-2】下列各式正确的是（
1
A．
=−
1
B．
=
）
1
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
−
3
【变式训练 1-4】．代数式−2，
A．1 个
5
72
2
9
，− + 2， 3 ，2，−中，是分式的有（
B．2 个
C．3
）个
D．4 个
【答案】B
【分析】分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫
做分式，其中称为分子，称为分母．根据分式的宝岛即可完成．
3
【变式训练 2-1】．若分式(−1)有意义，则的取值范围是（
A． ≠ 0
B． ≠ 1
C． ≠ 3
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．
3
【详解】解：要使分式(−1)有意义，
）
D． ≠ 0或 ≠ 1
≠0
则(−1) ≠ 0，即 −1 ≠ 0 ，
∴ ≠ 0且 ≠ 1，
A．2
B．3
2 4
， 3 中，分式的个数是（
3
分式的意义及性质
分式的意义及性质分式是一种特殊的数学表达式，用于表示一个数与另一个数之间的比例关系。
分式通常由一个分子和一个分母组成，分子表示被除数，分母表示除数。
分子和分母可以是整数、变量或者是一个完整的代数表达式。
1.分式表示两个数的比例关系。
例如，分式1/2表示1和2之间的比例关系，即1比2小一半。
2.分式能够表示一个整体被等分为若干份，并表示其中的一部分。
例如，分式1/3表示一个整体等分为3份，而1表示其中的一份。
3.分式可以用于表示一个数相对于另一个数的百分比。
例如，分式2/5表示一些数相对于5的总数而言，占了其中的2份。
分式的性质：1.分式具有乘除结合律。
例如，(a/b)×(c/d)=(a×c)/(b×d)，(a/b)÷(c/d)=(a×d)/(b×c)。
2.分式可以化简为最简形式。
即将分子与分母进行约分，使它们没有共同的因子。
3.分式可以互化为带分数或者小数形式。
例如，分式2/3可以互化为带分数2/3=0.6666...或小数形式2/3≈0.674.分式可以进行加减运算。
对于相同分母的分式，可以直接将分子相加或相减，分母不变；对于不同分母的分式，可以通过通分后再进行运算。
5.分式可以进行乘除运算。
两个分式的乘积等于分子相乘，分母相乘；两个分式的除法等于分子相除，分母相除。
分式在数学中具有广泛的应用，尤其是在代数学和实数学中。
它们可以用于解方程、表示比例、表示百分比、计算平均数等。
分式的意义和性质的理解对于数学的学习和应用具有重要的意义，可以帮助我们更好地理解数与数之间的关系，并运用到实际的问题中去。
分式的定义分式有意义的条件分式的基本性质
分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。
其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。
分式的定义：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。
其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
注：（1）分式的分母中必须含有字母；（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。
分式的概念包括3个方面：①分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。
这里，分母是指除式而言。
而不是只就分母中某一个字母来说的。
也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。
分式有意义的条件：（1）分式有意义条件：分母不为0；（2）分式无意义条件：分母为0；（3）分式值为0条件：分子为0且分母不为0；（4）分式值为正(负)数条件：分子分母同号时，分式值为正；分子分母异号时，分式值为负。
分式的区别概念：分式与分数的区别与联系：a.分式与分数在形式上是一致的，都有一条分数线，相当于除法的“÷”，都有分子和分母，都可以表示成（B≠0）的形式；b.分式中含有字母，由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。
整式和分式统称为有理式。
带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。
无限不循环小数也是无理式无理式和有理式统称代数式分式的基本性质是什么分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。
有理式可以分为整式和分式分母中有字母的是分式
1、有理式可以分为整式和分式。
分母中有字母的是分式，相反，分母中没有字母的是整式。
2、分式有意义的条件是分母不等于零，分式无意义的条件是分母等于零。
分式的值等于零的条件是分子等于零且分母不等于零。
3、分式的基本性质。
分式的通分约分，分式的加减乘除都跟分数的加减乘除差不多，可以联系起来记忆。
4、整式方程与分式方程的区别在于分母中是否还有字母。
所以解分式方程我们第一步是先将分式方程化成整式方程。
（方法：十字交叉法和等式左右两边同乘以最简公分母）最后要进行检验！把你所得的解代入原方程的分母，当分母是零的时候，这个根是增根，当分母不为零时，是原方程的解。
5、任何不等于零的数的零次幂等于1。
6、任何不等于零的数的--n次幂等于这个数的n 次幂的倒数。
7、科学记数法。
（见书本）注意单位之间的换算）8、在某一变化过程中，取值不变的量叫做常量，可以去不同数值的量叫做变量。
9、函数自变量的取值范围，一般考虑分母不为零，有偶次根号的，被开方数要大于等于零。
求实际问题函数自变量的取值范围时，不仅要考虑解析式有意义，而且自变量的值在实际问题中也有意义。
10、函数的表示法：解析法、列表法、图象法。
11、命题有题设和结论两部分组成，我们可以将命题改成如果。
那么。
的形式。
把命题的题设和结论换下位置变成了原命题的逆命题。
12、全等三角形的判定定理（SAS）(ASA) (AAS) (SSS)13、判定两个直角三角形全等可用（H ．L）定理．14、角平分线性质定理：角平分线上一点到角两边的距离相等．角平分线性质定理的逆定理：在一个角的内部且到角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上．线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．线段垂直平分线逆定理：到线段两端点距离相等的点在这条线段的中垂线上．15、平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形②两组对边分别相等的四边形是平行四边形③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形16、矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形②对角线相等的平行四边形是矩形③有三个角是直角的四边形是矩形17、菱形的判定：①四条边都相等的四边形是菱形②对角线互相垂直的平行四边形是菱形③每条对角线平分一组对角的四边形是菱形④一组邻边相等的平行四边形是菱形18、正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形②有一组邻边相等的矩形是正方形19、梯形：只有一组对边平行的四边形20、等腰梯形的判定：①两条腰相等的梯形是等腰梯形②同一底边上的两个底角相等的梯形是等腰梯形③对角线相等的梯形是等腰梯形21、方差公式：1、有理式可以分为整式和分式。
分式的意义及分式的基本性质
A．分式的值为零
B.分式无意义 C. 若 a 1 时,分式的值为零 D. 若 a 1 时,分式的值为零
3
3
5. 若分式 x 无意义,则 x 的值是------------------------------------------------------(
)
x 1
A. 0
B. 1
C. -1
D. 1
分式的意义及分式的基本性质
从分数到分式 知识领航：一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式．对 B
分式的概念的理解要注意以下两点：（1）分母中应含有字母；（2）分母的值不能为零．分式的分母表示除数，由
于除数不能为 0，所以分式的分母不能为 0，即当 B 0 时，分式 A 才有意义；当 B=0 时，分式 A 无意义.由于
)
(x y)2
x y
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
16.下列各分式正确的是-----------------------------------------------------------------( )
A. b b2 a a2
B. a2 b2 a b ab
C. a2 2a 1 1 a 1 a
B. a b =0 ab
C. ab 1 b 1 ac 1 c 1
D. x y 1 x2 y2 x y
15.下列约分:① x = 1 3x2 3x
②am=a bm b
③ 2 =1 2 a 1 a
④ 2 xy =1 xy 2
⑤ a 2 1 =a－1 a 1
⑥ (x y) =－ 1 其中正确的有----------------------------------------------------(
分式的意义和性质
分式的意义和性质分式（Fraction）是指由两个整数表示的有理数，其中，分子（numerator）表示分数的一个部分，分母（denominator）表示分数的另一个部分。
分式通常写成 $\frac{a}{b}$ 的形式，其中 $a$ 是分子，$b$ 是分母。
分式的意义和性质在数学中有广泛的应用，如代数、几何、物理等领域。
一、分式的意义：1. 分式表示数的部分：分式能够表示数的部分或部分数量。
例如，$\frac{2}{3}$ 表示一个整体的三分之二，$\frac{7}{8}$ 表示一个整体的八分之七。
2. 分式表示比率：分式可以用来表示比率或比例。
例如，$\frac{5}{6}$ 表示五份中的六份，$\frac{3}{5}$ 表示三个中的五个。
3. 分式表示除法：分式可以看作是一个数除以另一个数的结果。
例如，$\frac{2}{5}$ 可以看作是2除以5的结果。
这种表示方法在计算中特别有用。
4. 分式表示小数：分式也可以表示小数。
例如，$\frac{1}{2}$ 表示小数0.5，$\frac{3}{4}$ 表示小数0.75二、分式的性质：1. 分式的大小比较：对于正的分式，分子越大，分数越大。
例如，$\frac{4}{5}$ 比 $\frac{2}{5}$ 大。
对于正的分式，分母越大，分数越小。
例如，$\frac{2}{3}$ 比 $\frac{2}{5}$ 小。
2. 分式的约分：分式可以进行约分，即分子和分母同时除以一个相同的数。
例如，$\frac{2}{4}$ 可以约分为 $\frac{1}{2}$。
约分可以简化计算，并且使得分式更加简洁。
5. 分式的倒数：分式的倒数是指将分子和分母互换位置所得到的新的分式。
例如，$\frac{2}{3}$ 的倒数是 $\frac{3}{2}$。
倒数的意义是将分数的分子与分母的位置对调，可以改变分数的大小关系。
总之，分式作为有理数的一种表示形式，具有很多重要的意义和性质。
分式的意义及性质
分式的意义及性质编稿：徐长明审稿：张扬责编：孙景艳目标认知学习目标1．理解分式的意义，会求使分式有意义的条件。
2．掌握分式的基本性质并能用它将分式变形。
重点分式的意义及其基本性质。
难点分式的变号法则。
知识要点梳理要点一：分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
其中A叫做分子，B叫做分母。
要点诠释：（1）分式表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。
如可以表示(a－b)÷(a+b)；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母一定含有字母。
（3）分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当时，分式才有意义；（4）判断一个代数式是否是分式，不能把原式变形(如约分等)后再看，而只能根据它的本来面目进行判断。
例如：对于来说，，我们不能因为是整式，就判断也是整式，事实上是分式。
要点二：分式有意义、无意义，分式的值为零的条件1、分式有意义的条件是分式的分母不为0；2、分式无意义的条件是分式的分母为零；3、分式的值为零的条件是分式的分子为零，且分母不为零。
要点诠释：（1）分母不为零是分式概念必不可少的组成部分，无论是分数还是分式，分母为零都没有意义。
（2）分式分母的值不为0，是指整个分母的值不为0。
如果分母中的字母的值为0，但整个分母的值不为0，则分式是有意义的。
（3）分式的值为0，是在分式有意义的条件下，再满足分子的值为零。
（4）如果没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的。
例如在分式中隐含着，即这一条件，也就是说分式中分母的值不为零。
要点三：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：(其中)。
要点诠释：（1）运用分式的基本性质时，千万不能忽略“”这一条件. 如，变形时，必须满足2x+1≠0。
（2）分式的基本性质要求“同乘（或除以）一个不等于0的整式”即分式的分子、分母要做相同的变形，要防止只乘（或除以）分子(或分母)的错误；同时分子、分母都乘（或除）以的整式必须相同。
分式的含义
1、 分式的含义整式A 除以整式B ，可以表示成B A 的形式，如果整式B 中含有字母，那么称BA 为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母。
Note 分式分母不为02、 分式的基本性质是什么？分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变3、 分式的乘除法的法则是什么？两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作积的分母两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．4、 异分母的分式加减法的法则是什么？异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．1．下列各式中，不是分式方程的是（ ）111..(1)1111.1.[(1)1]110232x A B x x x xx x x C D x x x -=-+=-+=--=+- 2．如果分式2||55x x x-+的值为0，那么x 的值是（ ） A ．0 B ．5 C ．－5 D ．±53．把分式22x y x y+-中的x ，y 都扩大2倍，则分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大2倍 C ．扩大4倍 D ．缩小2倍4．下列分式中，最简分式有（ ）322222222222212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b-++-++---- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个5．分式方程2114339x x x +=-+-的解是（ ） A ．x=±2 B ．x=2 C ．x=－2 D ．无解6．若2x+y=0，则2222x xy y xy x ++-的值为（ ） A ．－13.55B -C ．1D ．无法确定 7．关于x 的方程233x k x x =+--化为整式方程后，会产生一个解使得原分式方程的最简公分母为0，则k 的值为（ ）A ．3B ．0C ．±3D ．无法确定8．使分式224x x +-等于0的x 值为（ ） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．不存在9．下列各式中正确的是（ ）....a b a b a b a bA B a ba b a b a b a ba ba b a b C D a b a b a b b a -++--==-----++--+-+-==-+-+- 10．下列计算结果正确的是（ ）22222211..()223..()955b a a b A B a ab a b ab a a m n n xy xy C D xy x x m a a --=-÷-=-÷=÷= 1. 若分式||55y y--的值等于0，则y= __________ ． 2. 在比例式9:5=4:3x 中，x=_________________ ．3. 当x> __________时，分式213x --的值为正数． 4. 计算:1111x x++-=_______________ ． 5. 当分式2223211x x x x x +++--与分式的值相等时，x 须满足_______________ ． 6. 已知x+1x =3，则x 2+21x= ________ ． 7. 已知分式212x x +-:当x= _ 时，分式没有意义；当x= _______时，分式的值为0；当x=－2时，分式的值为_______．8. 当a=____________时，关于x 的方程23ax a x +-=54的解是x=1．。
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---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------分式的意义和性质分式的意义和性质一、分式的概念 1、用 A、 B 表示两个整式， AB 可以表示成的形式，其中 A 叫做分式的分子， B 叫做分式的分母，如果除式 B 中含有字母，式子就叫做分式。
这就是分式的概念。
研究分式就从这里展开。
2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。
分式的分子 A 可取任意数值，但分母 B 不能为零，因为用零做除数没有意义。
一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。
3、（1）分式：，当 B=0 时，分式无意义。
（2）分式：，当 B0 时，分式有意义。
（3）分式：，当时，分式的值为零。
（4）分式：，当时，分式的值为 1。
（5）分式：1 / 10，当时，即或时，为正数。
（6）分式：，当时，即或时，为负数。
（7）分式：，当时或时，为非负数。
二、分式的基本性质：1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。
不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。
2、这个性质可用式子表示为：（M 为不等于零的整式） 3、学习基本性质应注意几点：（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。
4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。
5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：，。
三、约分：1、约分是约去分子、分母中的公因式。
就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------2、约分的理论依据是分式的基本性质。
3、约分的方法：（1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。
四、例题分析例 1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式？（1）（2）（3）（4）（5）a2-a（6）。
解：根据分式定义知（1）、（2）、（3）是分式，（4）、（5）、（6）是整式。
说明：判断一个代数式是否是分式要紧紧抓住除式中含不含字母。
这里是分式，不能因为==a+b，而认为是整式， a+b 是分式的值。
要区分分式的值和分式这两个不同的概念。
另外是整式而不是分式。
虽然分母中有，但不是字母而是无理数，是无限不循环小数，因此的除式中不含字母。
例 2，在分式（1）（2）（3）中，字母 x 的值有什么限制？解：（1）在中，当 x=2 时，使得分母 x-2=0， x2, （2）在3 / 10中，当 x=-2 时，使得分母 x+2=0, x-2, （3）在中，当 x=-2 或 x=3 时，使得分母(x+2)(x-3)=0， x-2 且 x3。
例 3， x 为何值时，分式，（1）无意义；（2）值为零；（3）值为 1；（4）值为非负数。
解：（1）∵当分母 2x+3=0 时分式无意义， x=-时，分式无意义。
（2）∵当时，分式值为零。
， x=1 时分式值为零。
（3）∵当时，分式值为 1， x=-4 时分式值为 1。
（4）∵当或时，分式值为非负数。
或 x1 或 x-时分式值为非负数。
例 4，当 x 取何值时，分式（1）值为零；（2）无意义；（3）有意义。
解：（1）∵当(x+3)(x-1)0 时，分式有意义，当 x-3 且 x1 时分式有意义。
又∵6-2|x|=0 时分式值为零，则 3-|x|=0, |x|=3, x=3。
， x=3 时分式值为零。
解：（2）∵(x+3)(x-1)=0 分式无意义，即 x+3=0 或 x-1=0，x=-3 或 x=1 时分式无意义。
说明：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 对于（1）也可先令分子为零，求出字母的所有可能值为 x=3 后，再逐一代入分母验证是否为零，不为零者即为所求。
对于（2）当 x+3=0 或 x-1=0 时，都会使分式的分母等于零，所以要注意或字的使用。
解：（3）∵(x+3)(x-1)0 时分式有意义。
即 x+30 且 x-10 时， x-3 且 x1 时分式有意义，说明：对于（3）分母(x+3)(x-1)只有不为零时，分式有意义，而(x+3)(x-1)0，当 x+3=0 或x-1=0 都会使(x+3)(x-1)=0，所以应将 x=-3 和 x=1 都同时排除掉，写成 x-3 且 x1，用且字，而不用或字。
意义为 x 不能为-3 而且还不能为 1，即-3 和 1 都不能取。
因为取任何其中一个值，分母(x+3)(x-1)都会为 0，而使分式都会无意义。
例 5，写出等式中未知的分子或分母：（1）；（2）；（3）；（1）分析：这类问题要从已知条件入手，根据分式的基本性质，分析变化的过程，如（1）右边分母 x2-y2是(x+y)(x-y)，而左边分母为 x+y，所以需将左式的分子和分母同乘以(x-y)。
解：，未知的分子是(x-y)2, （2）分析：5 / 10左边分子 a2-ab=a(a-b)，而右边分子是 a-b，所以需将左式的分子和分母同除以 a。
解：=，未知的分母是 b。
（3）∵a2+ab=a(a+b)（将分子因式分解）（比较分子，发现分子、分母同乘以 a） =， 2ab 即为所求的分母。
例 6，把下列分式的分子和分母中各项的系数都化为整数。
（1）；（2）；（1）分析：先找到分式中分子和分式中的分母的最小公倍数为 15，再据分数基本性质，分子和分母同乘以 15。
解：=。
（2）解：== 注：必须乘以分子和分母的每一项，避免发生(0.2a+3b)10=2a+3b 这样的错误。
例 7，不改变分式的值，使下列分式中分子与分母不含-号，（1）-；（2）-。
解：根据分式的符号法则得：（1） -=；（2） -=-。
注意：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 分式、分子和分母的符号中，任意改变其中两个，分式的值不变。
（1）中改变分式本身和分母两个负号，（2）中改变分子和分母两个负号。
例 8，不改变分式的值，依照 x 的降幂排列，使分子和分母中 x 的最高项的系数都为正数。
（1）；（2） -。
解：（1）===；（2） -=-=-=-。
说明：解题可分为三步：（1）先将分式的分子和分母都按 x 的降幂排列，这步只是运用加法交换律，不改变符号。
（2）将分子和分母的最高项系数化为正数，只要提取公因式-1 即可，提取时注意每项都要变号。
（3）运用符号法则进行变号。
注意：如果分子或分母的首项为负，则必须先将负号提到括号外面，再使用符号法则，要注意避免下列的错误：=。
例 9，约分：7 / 10（1）（2）。
解：（1）===-3yz10。
注意：分母的因式约去后得 1，分式变为整式。
若化简分式时千万不要犯下列错误：==0。
（2）===-。
注意：分母的负号一般要移去。
如果分式的分子或分母是多项式，应先分解因式，然后再约分。
例 10、约分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。
解：（1）=。
注意：不要把约成=，也不要将最后结果写成，因为分式的横线表示括号，再写括号就多余了。
（2）=。
注：不要将约做，因为这样是分子分母都减 a2，不是同除以相同---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 的整式。
（3）===x2+1。
注：不要犯下面的错误：=x3-x2。
（4）== ==-。
注意：这里应用到了(2-x)3=-(x-2)3的变形。
（5）=（分子按 x 的降幂排列） =（分子提取公因式-1） =（分子、分母都分解因式） =（约去公因式：x-1） =-（应用分式的符号法则）说明：此题的解法，一方面显示出分式约分的一般步骤，另一方面在解题的右侧的括号内写出运算的算理，平日的化简是不写这些的，但不是它不存在，在思维上它是不可缺少的。
分数的乘除法的关键是约分，而分式乘除法的关键也是约分，就是说，分式乘除法运算的实质是约分，它能使运算的结果化为最简分式。
同分数的约分一样，分式的约分是应用分式的基本性质，把分式的分子、分母同除以它们的公因式，把分式化简，因此约分的关键在于正确寻找到分式分子、分母中的公因式。
9 / 10。