高二数学学案二面角及其度量(一)

学案6：二面角及其度量
一、学习目标：1、理解二面角的平面角的概念2、会求二面角 二、学习重点：求二面角的大小。

学习难点：找二面角的平面角 三、学习过程：
学习活动一：定义法求二面角 【问题1】二面角的定义
平面内的一条直线将平面分成两部分，其中每一部分叫做 。

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做 ，这条直线叫做 ，每个半平面叫做 。

棱为l ，两个面分别为α，β的二面角，记为________． 【问题2】二面角的平面角
在二面角α—l —β的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线OA ⊥l 、OB ⊥l ，则________叫做二面角α—l —β的平面角． 【问题3】直二面角
平面角是________的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的两个平面就是 的平面．
注意：二面角的大小可以用它的 来度量
小试牛刀1：
1．如图，在正方体ABCD —A 'B 'C 'D '中， (1) 平面ABC 'D '与底面ABCD 所成二面角的棱是 ，平面角是 ，大小是 ； (2) 平面ABC 'D '与后面DCC 'D '所成二面角的棱是 ，平面角是 ，大小是 (3) 平面ABC 'D '与侧面B 'BCC '所成二面角的棱是 ，平面角是 ，大小是 ；
(4)二面角C '-BD-C 的棱是 ，平面角是 ，二面角的正切值是 .
2．如图，将边长为a 的正三角形ABC ，沿BC 边上的高线AD 将△ABC 折起，若折起后B 、C 间距离为a
2，则二面角B —AD —C 的平面角是 大小为____．
学习活动二：向量法求二面角
【方法一】分别在二面角α-l-β的面α，β内，作向量n 1⊥l ，n 2⊥l ，则可用 度量这个二面角. 小试牛刀2：
一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为（0,1,2）和（1,2,2），则这个二面角的余弦值为 ． 【方法二】法向量法
设m 1⊥α，m 2⊥β，则〈m 1，m 2〉与该二面角 ． 注意：此方法的运用适宜于：
①在空间直角坐标系下，平面α，β的法向量便于确定．
②二面角的大小便于定性(锐角、钝角)．从图中便于直观获得二面角为锐角或钝角．
小试牛刀3：
已知两平面的法向量分别为m=（0,1,0），n=（0,1,1），且两平面所
成的二面角为钝角，则两平面所成的二面角为 ．
学习活动三：射影面积法求二面角
【方法】已知二面角α-l -β的度数为θ（0≤θ≤2
π
），在α面内有△ABC,它在β内的射影为△A ’B ’C ’,且它们的面积分别为S 、S ’则
有 即cos θ=
小试牛刀4：
在正方体AC 1中，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，若截面EFDB
与侧面BCC 1B 1所成的锐二面角为θ，则cos θ＝________.
四、整体建构
五、应用学习
1．如图，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为2的正方形，其他四
个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，试画出二面角P —AB —C
的平面角并求它的度数．
2、二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角
的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝2，AC ＝3，BD ＝3，CD ＝13，求该二面角的大小
3、如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD .底面ABCD 为边
长是1的正方形，PA ＝1，求平面PCD 与平面PAB 夹角的大小．
4、△ABC 是边长为1的正三角形，CD ⊥平面ABC ，且CD=1，求二面角B-AD-C 的大小。

六、当堂检测 A 组
P
A B C D
1．在二面角的一个面内有一点A，它到棱的距离等于到另一个面
的距离的2倍,
则二面角的度数是．
2．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝6，那么二面角P—BC—A的大小为________．
3．在90°二面角的棱上有两个点A,B，AC，BD分别是在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱AB。

已知AB=5，AC=3，BD=8，则CD长为
4．如图，山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是60º，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线
AB的夹角是30º，沿这条路上山，行走100米
后升高了米
5．已知正三棱锥S-ABC的棱长都为1，则侧面与底面的二面角的余弦值为
6．如图，三棱锥V—ABC中，
V A=VC=AB=BC=2，AC=23，VB=1，
试画出二面角V—AC—B的平面角，并求它的度数.
7．(2009·上海)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB
＝2，AB⊥BC，求二面角B1－A1C－C1的大小．
B组
如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中AD∥BC，∠ABC
＝90°，PA⊥平面ABC，PA＝4，AD＝2，AB＝3
2，BC＝6，
求二面角A－PC－D的余弦值．
A
C D B。