【步步高 学案导学设计】高中数学 1.3.4三角函数的应用课时作业 苏教版必修4
《步步高 学案导学设计》-学年高中数学苏教版必修4【备课资源】第1章1.2.3(一)
1.2.3 三角函数的诱导公式(一) 一、填空题 1.sin 585°的值为________.+.若n为整数,则代数式的化简结果是________.+,则sin(2π+α)=________. 3.若cos(π+α)=-,-+-π-.化简:=________. --.记cos(-80°)=k,那么tan 100°=-,0,则cos(π+α)的值为________.6.若sin(π-α)=log ,且α∈1+2sin 290°cos 430°的化简结果是______.7.代数式sin 250°+cos++x-x=,则sin+cos 的值为________.8.已知sin6664二、解答题24π)·cos(nπ+π),n∈Z. 9.化简:sin(nπ-33210.若cos(α-π)=-,求-+-α--的值.---π--.已知sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tan β=0. 三、探究与拓展12.在△ABC中,若sin(2π-A)=-2sin(π-B),3cos A=-2cos(π-B),求△ABC的三个内角.答案21-k2351.-2.tan α 3.-4.sin α 5.- 6.-7.-1 22k3118. 169.解当n为偶数时,n=2k,k∈Z. 24π)·cos(2kπ+π) 原式=sin(2kπ-+π-=(-sin π)··coscos =sinπππ2313π·cos =sin =sin ·cos =×=. 3333224当n为奇数时,n=2k+1,k∈Z. 24π)·cos(2kπ+π+π) 原式=sin(2kπ+π-+ππ-π ·cos=sin+=sin ·cosππ313=sin ×cos =×=. 33224243π)·cos(nπ+π)=∴sin(nπ-,n∈Z. 33410.解原式=---+--cos α--α--==2α-cos α+cos --=-tan α. ∵cos(α-π)=cos(π-α) 2=-cos α=-,32∴cos α=. 3∴α为第一象限角或第四象限角.2当α为第一象限角时,cos α=,352α=sin α=1-cos, 3sin α55∴tan α==,∴原式=-. cos α222当α为第四象限角时,cos α=,352α=-sin α=-1-cos,3sin α55∴tan α==-,∴原式=. cos α225综上,原式=±. 211.证明∵sin(α+β)=1,π∴α+β=2kπ+ (k∈Z),2π∴α=2kπ+-β (k∈Z).2tan(2α+β)+tan β π2kπ+-β+β+tan β =tan22=tan(4kπ+π-2β+β)+tan β =tan(4kπ+π-β)+tan β =tan(π-β)+tan β =-tan β+tan β=0,∴原式成立.12.解由条件得sin A=2sin B,3cos A=2cos B,22平方相加得2cosA=1,cos A=±,2π3π. 又∵A∈(0,π),∴A=或4433π时,cos B=-当A=<0,42π,π∴B∈,2∴A,B均为钝角,不合题意,舍去.ππ3∴A=,cos B =,∴B=,4267π. ∴C=12。
高中数学 1.3.4三角函数的应用课时作业 苏教版必修4
1.3.4 三角函数的应用课时目标1.会解三角形和利用三角形建立数学模型,解决实际问题.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.1.三角函数的周期性y =A sin(ωx +φ) (ω≠0)的周期是T =________; y =A cos(ωx +φ) (ω≠0)的周期是T =________; y =A tan(ωx +φ) (ω≠0)的周期是T =________. 2.函数y =A sin(ωx +φ)+k (A >0,ω>0)的性质 (1)y max =________,y min =________.(2)A =________________,k =________________.(3)ω可由________________确定,其中周期T 可观察图象获得.(4)由ωx 1+φ=________,ωx 2+φ=________,ωx 3+φ=________,ωx 4+φ=________,ωx 5+φ=________中的一个确定φ的值. 3.三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.一、填空题 1.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s =6sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt +π6,那么单摆来回摆动一次所需的时间为________ s. 2.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f (x )=A sin(ωx+φ)+b ⎝⎛⎭⎪⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的模型波动(x 为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f (x )=______.3.函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3x +π3的最小正周期在⎝ ⎛⎭⎪⎫23,34内,则正整数m 的值是________.4.设某人的血压满足函数式p (t )=115+25sin(160πt ),其中p (t )为血压(mmHg),t 为时间(min),则此人每分钟心跳的次数是________. 5.一根长l cm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式时s =3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g lt +π3,其中g 是重力加速度,当小球摆动的周期是1 s 时,线长l 等于______.6.如图是一个示波器显示的由简易发电机产生的交流电的电压的变化,则电压V 关于时间t 的函数关系式为________.7.设y =f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数,其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系:t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1经长期观察,函数y =f (t )的图象可以近似地看成函数y =k +A sin(ωt +φ)的图象.下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是________.(填序号)①y =12+3sin π6t ,t ∈[0,24];②y =12+3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t +π,t ∈[0,24]; ③y =12+3sin π12t ,t ∈[0,24];④y =12+3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t +π2,t ∈[0,24].8.如图所示,一个大风车的半径为8 m ,每12 min 旋转一周,最低点离地面2 m .若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转,则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是____________________. 二、解答题 9.如图,一个水轮的半径为4 m ,水轮圆心O 距离水面2 m ,已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间. (1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数; (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间?10t(小时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示,经拟合,该曲线可近似的看成正弦函数型y=A sin ωt +B的图象.(1)试根据数据表和曲线,求出y=A sin ωt+B的解析式;(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间?(忽略离港所用的时间)能力提升11.如图,质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P 0(2,-2),角速度为1,那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为________.(填序号)12.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ,秒针均匀地绕点O 旋转,当时间t =0时,点A 与钟面上标12的点B 重合,将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数,则d =__________,其中t ∈[0,60].1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用. 2.三角函数模型构建的步骤(1)收集数据,观察数据,发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图,选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题.(4)根据问题的实际意义,对答案的合理性进行检验.1.3.4 三角函数的应用知识梳理 1.2π|ω| 2π|ω| π|ω| 2.(1)A +k -A +k (2)y max -y min 2 y max +y min 2(3)ω=2πT(4)0π2 π 32π 2π 3.周期 作业设计 1.1502.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x -π4+7(1≤x ≤12,x ∈N *)3.26,27,28解析 ∵T =6πm ,又∵23<6πm <34,∴8π<m <9π,且m ∈Z ,∴m =26,27,28. 4.80解析 T =2π160π=180(分),f =1T =80(次/分).5.g4π2解析 T =2πg l=1,∴g l =2π,∴l =g 4π2. 6.V =45cos 80πt解析 设V =A cos ωt ,则A =45,T =0.14=0.025,ω=2πT=80π,故V =45cos 80πt .7.①解析 在给定的四个函数①②③④中我们不妨代入t =0及t =3,容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是①.8.h =-8cos π6t +10(t ≥0)解析 据题意可设h =10-8cos ωt (t ≥0). 由已知周期为12 min ,可知t =6时到达最高点,即函数取最大值,知18=10-8cos 6ω,即cos 6ω=-1.∴6ω=π,得ω=π6.∴h =10-8cos π6t (t ≥0).9.解 (1)如图所示建立直角坐标系,设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2<φ<0是以Ox 为始边,OP 0为终边的角.OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60=π6. 由OP 在时间t (s)内所转过的角为⎝ ⎛⎭⎪⎫5×2π60t =π6t .由题意可知水轮逆时针转动,得z =4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t +φ+2. 当t =0时,z =0,得sin φ=-12,即φ=-π6.故所求的函数关系式为z =4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t -π6+2.(2)令z =4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t -π6+2=6,得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t -π6=1,令π6t -π6=π2,得t =4,故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.10.解 (1)从拟合的曲线可知,函数y =A sin ωt +B 的一个周期为12小时,因此ω=2πT =π6. 又y min =7,y max =13,∴A =12(y max -y min )=3,B =12(y max +y min )=10. ∴函数的解析式为y =3sin π6t +10 (0≤t ≤24).(2)由题意,水深y ≥4.5+7,即y =3sin π6t +10≥11.5,t ∈[0,24],∴sin π6t ≥12,π6t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π+π6,2k π+5π6,k =0,1,∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17],所以,该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港. 若欲于当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过16小时. 11.③解析 ∵P 0(2,-2),∴∠P 0Ox =π4.按逆时针转时间t 后得∠POP 0=t ,∠POx =t -π4,此时P 点纵坐标为2sin(t -π4),∴d =2|sin(t -π4)|.当t =0时,d =2,排除①④;当t =π4时,d =0,排除②.12.10sin πt60解析 将解析式可写为d =A sin(ωt +φ)形式,由题意易知A =10,当t =0时,d =0,得φ=0;当t =30时,d =10,可得ω=π60,所以d =10sin πt60.。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学(苏教版)必修5【配套备课资源】第1章1.3(二)
§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(二)一、基础过关1.如图,点A ,B ,C 是圆O 上的点,且AB =4,∠ACB =45°,则圆O 的 面积为________.2.三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ,其夹角的余弦值是方程5x 2-7x -6 =0的根,则此三角形的面积是________cm 2.3.△ABC 的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为13,则其外接圆的直径为________. 4.△ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,CA =6,则AB →·BC →的值为________.5.平行四边形中,AC =65,BD =17,周长为18,则平行四边形的面积是________.6.在△ABC 中,已知b 2-bc -2c 2=0,a =6,cos A =78,则△ABC 的面积S 为________. 7.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足cos A 2=255,AB →·AC →=3. (1)求△ABC 的面积;(2)若c =1,求a 的值.8.如图,在△ABC 中,BC =5,AC =4,cos ∠CAD =3132且AD =BD ,求△ABC 的面积.二、能力提升9.在△ABC 中,AB =7,AC =6,M 是BC 的中点,AM =4,则BC =________.10.已知等腰三角形的底边长为6,一腰长为12,则它的内切圆面积为________.11.在△ABC 中,B =60°,C =45°,BC =8,D 是BC 上的一点,且BD →=3-12BC →,则AD 的长为______.12.如图所示,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =5,AC =9,∠BCA =30°,∠ADB =45°,求BD 的长.三、探究与拓展13.在△ABC 中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角.(1)求最大角的余弦值;(2)求以此最大角为内角,夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积. 答案1.8π 2.6 3.924 4.-19 5.16 6.1527.解 (1)因为cos A 2=255, 所以cos A =2cos 2A 2-1=35, sin A =45. 又由AB →·AC →=3,得bc cos A =3,所以bc =5.因此S △ABC =12bc sin A =2. (2)由(1)知,bc =5,又c =1,所以b =5.由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =20,所以a =2 5.8.解 设CD =x ,则AD =BD =5-x ,在△CAD 中,由余弦定理可知cos ∠CAD =(5-x )2+42-x 22×(5-x )×4=3132. 解得x =1.在△CAD 中,由正弦定理可知AD sin C =CD sin ∠CAD,∴sin C =AD CD ·1-cos 2∠CAD =41-(3132)2=378, ∴S △ABC =12AC ·BC ·sin C =12×4×5×387=1574. 所以三角形ABC 的面积为1574. 9.106 10.27π5 11.4(3-3) 12.解 在△ABC 中,AB =5,AC =9,∠BCA =30°.由正弦定理,得AB sin ∠BCA =AC sin ∠ABC, sin ∠ABC =AC ·sin ∠BCA AB =9sin 30°5=910. ∵AD ∥BC ,∴∠BAD =180°-∠ABC ,于是sin ∠BAD =sin ∠ABC =910. 同理,在△ABD 中,AB =5, sin ∠BAD =910,∠ADB =45°, 由正弦定理:AB sin ∠BDA =BD sin ∠BAD, 解得BD =922.故BD 的长为922. 13.解 (1)设这三个数为n ,n +1,n +2(n ∈N *),最大角为θ,则cos θ=n 2+(n +1)2-(n +2)22·n ·(n +1)<0, 化简得n 2-2n -3<0⇒-1<n <3.又∵n ∈N *且n +(n +1)>n +2,∴1<n <3,∴n =2.∴cos θ=4+9-162×2×3=-14. (2)设此平行四边形的一边长为a ,则夹θ角的另一边长为4-a ,平行四边形的面积为 S =a (4-a )·sin θ=154(4a -a 2) =154[-(a -2)2+4]≤15. 当且仅当a =2时,S max =15.。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版必修4【备课资源】第1章1.2.1任意角的三角函数(一)
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1.2.1(一)
问题 3
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如图所示,在直角坐标系中,以原点
为圆心,以单位长度为半径的圆为单位 圆.锐角 α 的终边与单位圆交于 P(x,y)点, y 则有:sin α= y ,cos α= x ,tan α= x .
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1.2.1(一)
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例 3 判断下列各式的符号: (1)sin α· α(其中 α 是第二象限角); cos (2)sin 285° cos(-105° ); 23π (3)sin 3· 4· - 4 . cos tan 解 (1)∵α 是第二象限角. ∴sin α>0,cos α<0,∴sin α· α<0. cos (2)∵285° 是第四象限角,∴sin 285° <0, ∵-105° 是第三象限角,∴cos(-105° )<0,
三、四 象限时,sin α<0.
x (2)cos α= r (r>0),因此 cos α 的符号与 x 的符号相同,当 α 的终边在第 一、四 象限时,cos α>0;当 α 的终边在第
二、三 象限时,cos α<0.
y (3)tan α=x,因此 tan α 的符号由 x、y 确定,当 α 终边在 第一、三 象限时, xy>0, α>0; α 终边在第 二、四 象 tan 当 限时,xy<0,tan α<0.
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1.2.1(一)
问题 2
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如图, 锐角 α 的顶点与原点 O 重合,
高中数学:1.3.4 三角函数的应用(一) 教案(苏教版必修4)
第 14 课时: 1.3.4三角函数的应用(一)【三维目标】: 一、知识与技能1. 会由函数)sin(ϕω+=x A y 的图像讨论其性质;能解决一些综合性的问题。
2.会根据函数图象写出解析式;能根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ.3.培养学生用已有的知识解决实际问题的能力 二、过程与方法1. 通过具体例题和学生练习,使学生能根据函数图象写出解析式;能根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ.2.并根据图像求解关系性质的问题;讲解例题,总结方法,巩固练习。
三、情感、态度与价值观通过本节的学习,渗透数形结合的思想;通过学生的亲身实践,引发学生学习兴趣;创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度;让学生感受数学的严谨性,培养学生逻辑思维的缜密性。
【教学重点与难点】:重点:待定系数法求三角函数解析式;难点:根据函数图象写解析式;根据已知条件写出sin()y A x ωϕ=+中的待定系数,,A ωϕ. 【学法与教学用具】:1. 学法:2. 教学用具:多媒体、实物投影仪. 【授课类型】:新授课 【课时安排】:1课时 【教学思路】:一、创设情景,揭示课题复习:1.由函数sin y x =的图象到sin()y A x ωϕ=+的图象的变换方法:方法一:先移相位,再作周期变换,再作振幅变换; 方法二:先作周期变换,再作相位变换,再作振幅变换。
2.如何用五点法作)sin(ϕω+=x A y 的图象? 3.ϕω、、A 对函数)sin(ϕω+=x A y 图象的影响作用 二、研探新知函数[(,),0),sin(+∞∈+=x x A y ϕω其中)0,0>>ωA 的物理意义:函数表示一个振动量时:A :这个量振动时离开平衡位置的最大距离,称为“振幅”T :ωπ=2T 往复振动一次所需的时间,称为“周期” f:πω==21T f 单位时间内往返振动的次数,称为“频率”ϕ+ωx :称为相位ϕ:x = 0时的相位,称为“初相”三、质疑答辩,排难解惑,发展思维1.根据函数图象求解析式例1 已知函数sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)一个周期内的函数图象,如下图 所示,求函数的一个解析式。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版必修4【配套备课资源】第1章 1.3(二)
§1.3 三角函数的诱导公式(二)一、基础过关1. 已知f (sin x )=cos 3x ,则f (cos 10°)的值为( )A .-12B.12 C .-32D.32 2. 若sin(3π+α)=-12,则cos ⎝⎛⎭⎫7π2-α等于( )A .-12B .12C.32D .-32 3. 已知sin ⎝⎛⎭⎫α-π4=13,则cos ⎝⎛⎭⎫π4+α的值等于( )A .-13B.13 C .-223D.2234. 若sin(π+α)+cos ⎝⎛⎭⎫π2+α=-m ,则cos ⎝⎛⎭⎫32π-α+2sin(2π-α)的值为( )A .-2m3B.2m 3 C .-3m2D.3m 2 5. 已知cos ⎝⎛⎭⎫π2+φ=32,且|φ|<π2,则tan φ等于( )A .-33B.33C .- 3D. 36. 已知cos(75°+α)=13,则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是( )A.13B .23C .-13D .-237.sin 21°+sin 22°+…+sin 288°+sin 289°=________. 8.求证:tan (2π-α)sin (-2π-α)cos (6π-α)sin ⎝⎛⎭⎫α+3π2cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2=-tan α.二、能力提升9. 已知tan(3π+α)=2,则sin (α-3π)+cos (π-α)+sin ⎝⎛⎭⎫π2-α-2cos ⎝⎛⎭⎫π2+α-sin (-α)+cos (π+α)=________.10.化简:sin ⎝⎛⎭⎫4k -14π-α+cos ⎝⎛⎭⎫4k +14π-α (k ∈Z ). 11.已知sin ⎝⎛⎭⎫-π2-α·cos ⎝⎛⎭⎫-5π2-α=60169,且π4<α<π2,求sin α与cos α的值. 12.已知cos ⎝⎛⎭⎫π2+α=2sin ⎝⎛⎭⎫α-π2,求sin 3(π+α)+cos (α+π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2-α+3sin ⎝⎛⎭⎫7π2-α的值.三、探究与拓展13.是否存在角α,β,α∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,β∈(0,π),使等式⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π-α)=2cos ⎝⎛⎭⎫π2-β3cos (-α)=-2cos (π+β)同时成立.若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.答案1.A 2.A 3.A 4.C 5.C 6.D 7.8928.证明 左边=tan (-α)·sin (-α)·cos (-α)sin ⎣⎡⎦⎤2π-⎝⎛⎭⎫π2-α·cos ⎣⎡⎦⎤2π-⎝⎛⎭⎫π2-α=(-tan α)·(-sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤-⎝⎛⎭⎫π2-αcos ⎣⎡⎦⎤-⎝⎛⎭⎫π2-α=sin 2α-sin ⎝⎛⎭⎫π2-αcos ⎝⎛⎭⎫π2-α=sin 2α-cos α·sin α=-sin αcos α=-tan α=右边. ∴原等式成立. 9.210.解 原式=sin ⎣⎡⎦⎤k π-⎝⎛⎭⎫π4+α+cos ⎣⎡⎦⎤k π+⎝⎛⎭⎫π4-α. 当k 为奇数时,设k =2n +1 (n ∈Z ),则原式=sin ⎣⎡⎦⎤(2n +1)π-⎝⎛⎭⎫π4+α +cos ⎣⎡⎦⎤(2n +1)π+⎝⎛⎭⎫π4-α =sin ⎣⎡⎦⎤π-⎝⎛⎭⎫π4+α+ cos ⎣⎡⎦⎤π+⎝⎛⎭⎫π4-α =sin ⎝⎛⎭⎫π4+α+⎣⎡⎦⎤-cos ⎝⎛⎭⎫π4-α =sin ⎝⎛⎭⎫π4+α-cos ⎣⎡⎦⎤π2-⎝⎛⎭⎫π4+α =sin ⎝⎛⎭⎫π4+α-sin ⎝⎛⎭⎫π4+α=0; 当k 为偶数时,设k =2n (n ∈Z ),则原式=sin ⎣⎡⎦⎤2n π-⎝⎛⎭⎫π4+α+cos ⎣⎡⎦⎤2n π+⎝⎛⎭⎫π4-α =-sin ⎝⎛⎭⎫π4+α+cos ⎝⎛⎭⎫π4-α =-sin ⎝⎛⎭⎫π4+α+ cos ⎣⎡⎦⎤π2-⎝⎛⎭⎫π4+α=-sin ⎝⎛⎭⎫π4+α+sin ⎝⎛⎭⎫π4+α=0. 综上所述,原式=0. 11.解 sin ⎝⎛⎭⎫-π2-α=-cos α, cos ⎝⎛⎭⎫-5π2-α=cos ⎝⎛⎭⎫2π+π2+α =-sin α.∴sin α·cos α=60169,即2sin α·cos α=120169.①又∵sin 2α+cos 2α=1,② ①+②得(sin α+cos α)2=289169,②-①得(sin α-cos α)2=49169.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4,π2,∴sin α>cos α>0, 即sin α+cos α>0,sin α-cos α>0, ∴sin α+cos α=1713,③sin α-cos α=713,④③+④得sin α=1213,③-④得cos α=513.12.解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2+α=2sin ⎝⎛⎭⎫α-π2, ∴-sin α=-2cos α,∴tan α=2.∴sin 3(π+α)+cos (α+π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2-α+3sin ⎝⎛⎭⎫7π2-α=-sin 3α-cos α5sin α-3sin ⎝⎛⎭⎫π2-α=-(sin 3α+cos α)5sin α-3cos α=sin 3α+cos α3cos α-5sin α=sin 2α·tan α+13-5tan α =sin 2αsin 2α+cos 2α·tan α+13-5tan α=tan 3α1+tan 2α+13-5tan α=231+22+13-5×2=-1335.13.解 由条件,得⎩⎪⎨⎪⎧sin α=2sin β, ①3cos α=2cos β. ②①2+②2,得sin 2α+3cos 2α=2,③ 又因为sin 2α+cos 2α=1,④ 由③④得sin 2α=12,即sin α=±22,因为α∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2, 所以α=π4或α=-π4.当α=π4时,代入②得cos β=32,又β∈(0,π),所以β=π6,代入①可知符合.当α=-π4时,代入②得cos β=32,又β∈(0,π),所以β=π6,代入①可知不符合.综上所述,存在α=π4,β=π6满足条件.。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版必修4【备课资源】第3章三角恒等变换章末复习课
研一研·题型解法、解题更高效
∴tan A=2tan B. π 3 (2)解 ∵ <A+B<π,sin(A+B)= , 2 5 tan A+tan B 3 3 ∴tan(A+B)=- ,即 =- . 4 4 1-tan Atan B
本 课 时 栏 目 开 关
章末复习课
将 tan A=2tan B 代入上式并整理得 2tan2B-4tan B-1=0 2+ 6 2± 6 解得 tan B= ,舍去负值,得 tan B= . 2 2 ∴tan A=2tan B=2+ 6.
π 解得 x=2kπ+ ,k∈Z. 4 π 综上,当 x=2kπ-π 或 x=2kπ-2,k∈Z 时,f(x)取得最小值,
π f(x)min=-1;当 x=2kπ+4,k∈Z 时,f(x)取得最大值,f(x)max 1 = 2+ . 2
研一研·题型解法、解题更高效
题型三 转化与化归的思想在三角恒等变换中的应用 3 x 2sin x 例 3 求证:tan x-tan = . 2 2 cos x+cos 2x 3 x sin 2x sin 2 3 x 证明 ∵左边=tan 2x-tan2= 3 - x cos x cos 2 2 3 x x 3 sin 2xcos 2-sin 2cos 2x = x 3 cos 2cos 2x sin x 2sin x =1 = cos x+cos 2x cos 2x+cos x 2
1 5 当 t=2时,ymax=4; 当 t=- 2时,ymin=- 2-1. 5 ∴函数的值域为- 2-1,4.
研一研·题型解法、解题更高效
章末复习课
小结
本 课 时 栏 目 开 关
在三角恒等变换中,有时可以把一个代数式整体视为
江苏省泰州市高中数学第1章三角函数1.3.4三角函数的应用导学案苏教版必修4
1.3.4 三角函数的应用一、【学习目标】1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.二、【自学要点】利用三角函数模型解释自然现象梳理 利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤:第一步:阅读理解,审清题意.第二步:收集、整理数据,建立数学模型.第三步:利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答.第四步:将所得结论转译成实际问题的答案.三、【合作探究】1.已知电流I 与时间t 的关系为I =A sin(ωt +φ).(1)如图所示的是I =A sin(ωt +φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0,|φ|<π2在一个周期内的图象,根据图中数据求I =A sin(ωt +φ)的解析式;(2)如果t 在任意一段1150的时间内,电流I =A sin(ωt +φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?2.某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米,直径长是98米,匀速旋转一圈需要18分钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时,那么:(1)当此人第四次距离地面692米时用了多少分钟? (2)当此人距离地面不低于⎝ ⎛⎭⎪⎫59+4923米时可以看到游乐园的全貌,求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌?四、【当堂巩固】1.一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,当小球来回摆动时,离开平衡位置的位移S (单位:cm)与时间t (单位:s)的函数关系是S =6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt +π6. (1)画出它的图象;(2)回答以下问题:①小球开始摆动(即t =0)时,离开平衡位置多少?②小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少?③小球来回摆动一次需要多少时间?2.如图所示,一个摩天轮半径为10 m ,轮子的底部在距离地面2 m 处,如果此摩天轮按逆时针转动,每300 s 转一圈,且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式;(2)在摩天轮转动的一圈内,大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.五、【课堂小结】:六、【教学反思】:。
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版必修4【备课资源】第1章1.2.2同角三角函数关系(二)
研一研·问题探究、课堂更高效
1.2.2(二)
化简三角函数式时,在题设的要求下,应合理利用有关公式, 常见的化简方法:异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊 角的三角函数与特殊值互化等. 请按照上述标准化简下列三角函数式: 1+sin α 已知 α 是第三象限角,化简: - 1-sin α 1-sin α . 1+sin α
2sin α ∵α 是第三象限角,∴cos α<0.∴原式= =-2tan α. -cos α 即 1+sin α - 1-sin α 1-sin α =-2tan α. 1+sin α
本 课 时 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 三角恒等式的证明
1.2.2(二)
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边差异来促成 统一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活,常用的 有以下几种: ①直接法:从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常 从比较复杂、繁杂的一边开始化简到另一边,其依据是相 等关系的传递性; ②综合法:由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得 到所要证明的等式,其依据是等价转化的思想; ③中间量法:证明等式左右两式都等于同一个式子,其依 据是等于同一个量的两个量相等,即“a=c,b=c,则 a =b”,它可由等量关系的传递性及对称性推出;
研一研·问题探究、课堂更高效
1.2.2(二)
sin α 1-cos α sin α 1-cos α sin α = · = · = |sin α| 1-cos α sin2α 1-cos α |sin α|
高中数学 1.3.4 三角函数的应用互动课堂学案 苏教版必修4
1 高中数学 1.3.4 三角函数的应用互动课堂学案 苏教版必修4 疏导引导
1.求三角函数最值的方法有:①配方法;②化为一个角的三角函数;③数形结合;④换元法;⑤基本不等式.
2.三角函数的最值的问题,经常通过换元转化为代数函数的最值问题.
换元时要注意新元的取值范围,在用判别式法和基本不等式法求函数最值时(不论代数函数或三角函数),都要十分谨慎地对待等号成立的条件.含参数的最值问题,解题时,要注意参数的作用和影响.
3.化为y=Asin(ωx+φ)+B 的类型,利用单调性,有序性,求最值或值域.
4.化为y=f(sinx)复合型函数利用复合函数求最值、值域的方法去求解.
5.转化与三角知识相关的实际问题情况,形成三角问题模型.
活学巧用
【例题】 已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若x∈[0,2
π],求f(x)的最大值、最小值. 解析:(1)因为
f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x-sin 2x )(cos 2x+sin 2x )-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+
4π), 所以f(x)的最小正周期T=2
2π=π. (2)因为0≤x≤2π,所以4π≤2x+4
π≤45π. 当2x+4π=4π时,即x=0时,cos(2x+4
π)取得最大值22. 当2x+
4π=π时,即x=83π,cos(2x+4
π)取得最小值-1. 所以f(x)在[0,2π]上的最大值为1,最小值为-1.。
《步步高-学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版必修4【备课资源】第1章1.2.2(一)
例如:已知 tan θ=- 3,求 sin θ,cos θ.
本 课
答 ∵csoins θθ=tan θ=- 3.∴sin θ=- 3cos θ.
时
栏 目 开
由ssiinn2θθ=+-cos23θc=os1θ .∴4cos2θ=1,cos2θ=14.
关 当 θ 为第二象限角时,cos θ=-12,sin θ= 23;
本 课
的象限,由此来决定所求的是一解还是两解,同时应体会方
时 栏
程思想的应用.
目
开
关
2021/4/6
11
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1.2.2(一)
跟踪训练 1 已知 tan α=43,且 α 是第三象限角,求 sin α,
3
研一研·问题探究、课堂更高效
1.2.2(一)
探究点一 利用任意角三角函数的概念推导平方关系和商数
本
关系
课 时
问题 1 利用任意角的三角函数的定义证明同角三角函数
栏 的平方关系和商数关系.
目
开 答 设点 P(x,y)为 α 终边上任意一点,P 与 O 不重合.P 到
关
原点的距离为 r= x2+y2>0,则 sin α=yr,cos α=xr,tan α=xy.
+π2,k∈更高效
1.2.2(一)
探究点二 已知一个角的三角函数值求其余两个三角函数值
已知某角的一个三角函数值,再利用 sin2α+cos2α=1 求它
的其余三角函数值时,要注意角所在的象限,恰当选取开
本 方后根号前面的正负号,一般有以下三种情况:
课
时 类型 1:如果已知三角函数值,且角的象限已知,那么只
α=csions αα的直接使用,公式逆
《步步高 学案导学设计》 高中数学 人教A版必修4【配套备课资源】第1章 1.3(一)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇,谁就心想事成。2021/9/132021/9/132021/9/132021/9/139/13/2021
•14、谁要是自己还没有发展培养和教育好,他就不能发展培养和教育别人。2021年9月13日星期一2021/9/132021/9/132021/9/13
467π=tan(6π+161π)=tan
11 6π
=tan(π+56π)=tan
56π=tan(π-6π)=-tan
6π=-
3 3.
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§1.3(一)
小结 利用诱导公式求三角函数值时,先将不是[0,2π)内的角
本 的三角函数,转化为[0,2π)内的角的三角函数,或先将负角转
§1.3(一)
•11、只有让学生不把全部时间都用在学习上,而留下许多自由支配的时间,他才能顺利地学习……(这)是教育过程的逻辑。2021/9/132021/9/132021/9/13Sep-2113-Sep-21
•12、要记住,你不仅是教课的教师,也是学生的教育者,生活的导师和道德的引路人。2021/9/132021/9/132021/9/13Monday, September 13, 2021
=-sin 76π=-sinπ+π6=sin 6π=12;
目 开 关
(2)cos
269π=cos(4π+56π)=cos 56π=cosπ-π6
=-cos 6π=- 23;
(3)tan(-855°)=-tan 855°=-tan(2×360°+135°)
=-tan 135°=-tan(180°-45°)=tan 45°=1.
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学(苏教版)必修5【配套备课资源】第1章1.3(一)
§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(一)一、基础过关1.如图,A、N两点之间的距离为________.2.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km,灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上,灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上,则灯塔A与灯塔B的距离为_______km 3.海上有A、B两个小岛相距10 n mile,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C 岛和A岛成75°的视角,则B、C间的距离是________ n mile.4.如图,为测一树的高度,在地面上选取A、B两点,从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°,45°,且A、B两点之间的距离为60 m,则树的高度为______ m.5.如图,一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°的方向上,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为________海里/小时.6.如图所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D ,现测得∠BCD =α,∠BDC =β,CD =s ,并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ,则塔高AB 为________.7.要测量对岸两点A 、B 之间的距离,选取相距 3 km 的C 、D 两点,并测得∠ACB =75°,∠BCD =45°,∠ADC =30°,∠ADB =45°,求A 、B 之间的距离.8.江岸边有一炮台高30 m ,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连成30°角,求两条船之间的距离.二、能力提升9.台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B 在A 的正东40千米处,B 城市处于危险区内的持续时间为________小时.10.太湖中有一小岛,沿太湖有一条正南方向的公路,一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上,汽车行驶1 km 后,又测得小岛在南偏西75°的方向上,则小岛到公路的距离是________ km.11.如图所示,在斜度一定的山坡上一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为α,向山顶前进a m 到达B 点,从B 点测得斜度为β,设建筑物的高为h m ,山坡对于地平面的倾斜角为θ,求证:cos θ=a sin αsin βh sin (β-α). 三、探究与拓展12.在海岸A 处,发现北偏东45°的方向,距离A (3-1) n mile 的B 处有一艘走私船,在A处北偏西75°的方向,距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile /h 的速度追截走私船.此时,走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°的方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?答案1.403 2.3a 3.56 4.30+303 5.20(6-2) 6.s ·tan θsin βsin (α+β)7.解 如图所示,在△ACD 中,∠ACD =120°,∠CAD =∠ADC =30°,∴AC =CD = 3 (km). 在△BCD 中,∠BCD =45°,∠BDC =75°,∠CBD =60°.∴BC =3sin 75°sin 60°=6+22(km). 在△ABC 中,由余弦定理,得AB 2=(3)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫6+222-23×6+22×cos 75°=3+2+3-3=5, ∴AB = 5 (km).∴A 、B 之间的距离为 5 km.8.解 如图所示:∠CBD =30°,∠ADB =30°,∠ACB =45°.∵AB =30 (m),∴BC =30 (m),BD =30tan 30°=30 3 (m). 在△BCD 中,CD 2=BC 2+BD 2-2BC ·BD ·cos 30°=900,∴CD =30 (m),即两船相距30 m.9.1解析 设t 小时后,B 市处于危险区内,则由余弦定理得(20t )2+402-2×20t ×40cos 45°≤302.化简得4t 2-82t +7≤0,∴t 1+t 2=22,t 1·t 2=74. 从而|t 1-t 2|=(t 1+t 2)2-4t 1t 2=1.10.36 11.证明 在△ABC 中,由正弦定理,可知AC sin ∠CBA =a sin ∠ACB, 即AC sin (π-β)=a sin (β-α). ∴AC =a sin βsin (β-α).在△ADC 中,由正弦定理, 知h sin α=AC sin ∠CDA . 又∠CDA =90°+θ,∴h sin α=a sin βsin (β-α)cos θ.整理,得cos θ=a sin αsin βh sin (β-α).12.解 如图所示,设缉私船用t h 在D 处追上走私船, 则有CD =103t ,BD =10t ,在△ABC 中,∵AB =3-1,AC =2,∠BAC =120°,∴由余弦定理,得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos ∠BAC=(3-1)2+22-2×(3-1)×2×cos 120°=6, ∴BC = 6 (n mile),且sin ∠ABC =ACBC ·sin ∠BAC=26×32=22.∴∠ABC =45°,∴BC 与正北方向垂直.∵∠CBD =90°+30°=120°,在△BCD 中,由正弦定理得sin ∠BCD =BD ·sin ∠CBDCD =10t sin 120°103t =12,∴∠BCD =30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.。
高中数学第一章三角函数第15课时1.3.4三角函数的应用1教案苏教版必修5
第十五课时 §1.3.4 三角函数的应用(1)【教学目标】 一、知识与技能:会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题;体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型 二、过程与方法从实际的应用中体会数学与生活是相关的,不是完全脱离现实的,同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用三、情感态度价值观:培养学生应用数学的能力,让学生体会到数学在实际生活中的应用,意识到只要认真观察思考,会发现数学来源于生活 教学重点难点:建立三角函数的模型 【教学过程】 一.复习回顾1、 回顾课本 “三角函数的周期性”2、 求函数sin()y A x k ωϕ=++的解析式3、查阅物理中“单摆运动” 二.新课讲解:一定条件下,单摆运动是一种周期性的运动,从而引出对具有周期性现象的问题的研究,可用具有周期性规律的三角函数来描述。
实际上,三角函数能够描述、模拟许多周期现象,因此在解决实际问题中有着广泛的应用。
三、例题分析: 例1、 (教材P42例1)点评:本题是简谐运动的问题,在利用三角函数描述问题时,首先分析此现象具有周期性,其次结合题意作出函数草图,然后根据图象用“待定系数法”求出sin()y A x k ωϕ=++。
例2、 (教材P43例2)点评:①本题是圆周运动的问题;②寻找变量间的关系是关键,结合图形建立恰当的直角坐标系,将几何问题代数化已知函数sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)一个周期内的函数图象,如下图 例3、如图所示,求函数的一个解析式。
例4、已知函数cos()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>,0ϕπ<<)的最小值是5-,图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差4π,且图象经过点5(0,)2-,求这个函数的解析式。
例5、已知函数sin()y A x B ωϕ=++(0A >,0ω>,||ϕπ<)的最大值为x33π 56π3O小值为,周期为23π,且图象过点(0,,求这个函数的解析式四、课堂小结:本课所学内容,重点应用了三角函数的什么性质?以后研究哪类问 题可以借助于三角函数模拟呢? 五、作业:(补充)1.已知函数sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>,||ϕπ<)的周期是23π,最小值是2-,且图象过点5(,0)9π,求这个函数的解析式;2.函数sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>,||2πϕ<)的最小值是2-,其图象相邻的最高点和最低点的横坐标的差是3π,又图象经过点(0,1),求这个函数的解析式3.如图为函数sin()y A x ωϕ=+(||2πϕ<,x R ∈)的图象中的一段,根据图象求它的解析式。
高中数学第一章三角函数第16课时1.3.4三角函数的应用2教案苏教版必修4
第十六课时 §1.3.4 三角函数的应用(2)【教学目标】 一、知识与技能:会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题;体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型 二、过程与方法从实际的应用中体会数学与生活是相关的,不是完全脱离现实的,同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用三、情感态度价值观:培养学生应用数学的能力,让学生体会到数学在实际生活中的应用,意识到只要认真观察思考,会发现数学来源于生活 教学重点难点:建立三角函数的模型 【教学过程】 一.复习回顾1、 回顾课本 “三角函数的周期性”2、 求函数sin()y A x k ωϕ=++的解析式 二、例题分析: 例1、(教材P46的11)点评:本题和例2类似分析,合理建系找关系,从而得出三角函数解析式解决问题。
例2、 (教材P44例3)点评:本题是一个与潮汐运动有关的港口水深问题,首先分析此现象具有周期性,其次结合题意作出函数草图,然后根据图象确定sin()y A x k ωϕ=++的解析式即可。
三、课堂小结:通过这两节课的学习,利用三角函数描述具有周期性现象的问题时,你总结出了怎样 的好的解决办法?四、课后思考:1、下表是某城市1973-2002年月平均气温(华氏 °F )若用x 表示月份,y 表示平均气温,则下面四个函数模型中最合适的是( )A .26cos6y x π= B .(1)26cos466x y π-=+C .(1)26cos466x y π-=-+ D .26sin266y x π=+2、某港口水的深度y (米)是时间t (0≤t ≤24,单位:时)的函数,记作y=f (t ),下面是某日水深的数据:经长期观察,y=f (t )的曲线可以近似地看成函数y Asin(t )k =ω+ϕ+的图象. (1)试根据以上数据,画出函数y f (t)=的草图,并求其近似表达式; (2)试说明y f (t)=的图象可由y sin t =的图象经过怎样的变换得到;(3)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米.如果该船希望在同一天内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)369121518212410。
21.苏教版·高中数学必修Ⅳ教案_§1.3.4 三角函数的应用
图1 §1.3.4 三角函数的应用课标重难点1.会用三角函数模型解决一些简单的具有周期性的实际问题.2.进一步掌握函数模型的应用,培养独立思考的能力,增强应用数学的意识,学会将实际问题抽象为数学问题,提高运用数学知识解决实际问题的能力.3.体验三角函数也是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,感受三角函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.课前练习1.2.如图,某地一天从6时至14时的温度变 化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++. (Ⅰ)求这段时间的最大温差; (Ⅱ)写出这段曲线的函数解析式.分析:根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象求出ϕ,ω,A ,关键是要确定已知的点对应的是函数图象上的哪些点.解析:(1)由图示,这段时间的最大温差是301020-=℃(2)图中从6时到14时的图象是函数sin()y A x b ωϕ=++的半个周期.∴614221-=⋅ωπ,解得8πω=. 由图示,10)1030(21=-=A 20)3010(21=+=b 这时,20)8sin(10++=ϕπx y将6,10x y ==代入上式,可取43πϕ= 综上,所求的解析式为310sin(2084y x ππ=++([6,14]x ∈)3.题型探究例1 在图1中,点O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为3cm ,周期为3s ,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.(1)求物体对平衡位置的位移()x cm 和时间()t s 之间的函数关系;(2)求该物体在5t s =时的位置.解析: (1)设x 和t 之间的函数关系为3sin() (0,02)x t ωϕωϕπ=+>≤<.则由23T πω==,可得23πω=.当0t =时,有3sin 3x ϕ==,即sin 1ϕ=.又02ϕπ≤<,故可得2πϕ=.所以所求函数关系为23sin() 32x t ππ=+,即23cos 3x t π=. (2)令5t =,得23cos3x t π= 1.5=-,故该物体在5t s =时的位置是在O 点的左侧且距O 点1.5处.练习1.在图1中, 点O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为物体位移的正方向,若已知振幅为5cm ,周期为4s ,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.(1) 求物体对平衡位置的位移()x cm 和时间()t s 之间的函数关系;(2)求该物体在7.5t s =时的位置. 答案:(1) 5sin2x t π= ;(2)当7.5t =时,155sin7.55sin5sin(4)5sin 2444x πππππ=⨯==-=-=即物体在平衡位置的左方,cm 处. 例2解析小结 实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题. 练习2.例3分析:(用《几何画板》演示港口水位变化情况)观察问题中给出的数据可以看出,(用《顺势用光滑曲线连接.从曲线的形状可以判断,这个港口的水深与时间的关系可以用形如sin()y A x h ωϕ=++的函数来刻画,其中x 是时间,y 是水深,根据数据可以具体确定A ,ω,ϕ,h 的值.在得到函数解析式以后,我们计算出每一个整点时水深的近似值,或计算出水深为某个指定值时所对应的时刻.解析小结三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.我们可以利用收集到的数据作出相应的“散点图”,通过观察散点图并进行函数拟合而获得具体的函数模型,最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.练习3. (课本P45练习3)答案:(1) 65.6 2.8cos (2)37d t π=+- (2) 8.24 m(3) 从0时到3时47分,从12时37分到16时7分. 例4 解析 小结 练习4.课堂演练1. 2. 3.4.5.6.§1.3.4 三角函数的应用学习目标:⒈会用三角函数模型解决一些简单的具有周期性的实际问题.⒉进一步掌握函数模型的应用,培养独立思考的能力,增强应用数学的意识,学会将实际问题抽象为数学问题,提高运用数学知识解决实际问题的能力.⒊体验三角函数也是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,感受三角函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.教学重点:建立三角函数解决具有周期性的实际问题. 教学难点:根据已知数据得出拟合函数,进一步研究解决实际问题. 教学方法:讲、练结合. 教具准备:《几何画板》演示例3、例4的实际意义;用《Excel 》列出例4的已知数据,划出散点图及近似曲线,在得出拟合函数后,计算港口在整点时水深的近似值.教学过程:(Ⅰ)新课引入:师:函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.如果某种变化着的现象具有周期性,我们就可以借助三角函数来描述.本节课我们就通过几个实例,来说明三角函数模型的简单应用.课前练习(2002年全国高考试题)如图,某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω.(Ⅰ)求这段时间的最大温差; (Ⅱ)写出这段曲线的函数解析式.分析:根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象求出ϕ,ω,A ,关键是要确定已知的点对应的是函数图象上的哪些点.解析:(1)由图示,这段时间的最大温差是201030=-℃ (2)图中从6时到14时的图象是函数b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期. ∴614221-=⋅ωπ,解得8πω=. 由图示,10)1030(21=-=A 20)3010(21=+=b 这时,20)8sin(10++=ϕπx y将10,6==y x 代入上式,可取43πϕ=综上,所求的解析式为20)438sin(10++=ππx y (]14,6[∈x )(Ⅱ)讲授新课:例1(课本P42例1)练习: (课本P45练习1)答案:(1) 5sin2x t π= ;(2)当7.5t =时,155sin 7.55sin 5sin(4)5sin 2442x πππππ=⨯==-=-=-即物体在平衡位置的左方,距平衡位置2cm 处.练习: (课本P45练习2)简解: sin()6y A x B πϕ=++29.4518.3 5.5752A -== , 29.4518.323.8752B +== ,即 5.575sin()23.8756y x πϕ=++将点(6,29.45)代入可得5.575sin()23.87529.45πϕ++= , ∴2ππϕ+=即2πϕ=-,∴ 5.575sin()23.87523.875 5.575cos 626y x x πππ=-+=-.例2.点评:实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题.例3分析:(用《几何画板》演示港口水位变化情况)观察问题中给将所得到的点依次顺势用光滑曲线连接.从曲线的形状可以判断,这个港口的水深与时间的关系可以用形如sin()y A x h ωϕ=++的函数来刻画,其中x 是时间,y 是水深,根据数据可以具体确定A ,ω,ϕ,h 的值.在得到函数解析式以后,我们计算出每一个整点时水深的近似值,或计算出水深为某个指定值时所对应的时刻.练习: (课本P45练习3)答案:(1) 65.6 2.8cos (2)37d t π=+- (2) 8.24 m(3) 从0时到3时47分,从12时37分到16时7分.(Ⅲ)课后练习:(Ⅳ)课时小结:三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.具体的,我们可以利用收集到的数据作出相应的“散点图”,通过观察散点图并进行函数拟合而获得具体的函数模型,最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.(Ⅴ)课后作业:⒉预习课本P44,思考下列问题:⑴本章所学习的知识有怎样的结构?⑵本章所学习的各部分内容有哪些知识点?⑶本章知识所涉及的数学思想方法有哪些?⑷三角函数与物理、生物、自然界的周期现象(运动),以学习过的指数函数、对数函数、幂函数,以及锐角三角函数之间有什么联系?板书设计:教学后记:。
高中数学 1.3.4 三角函数的应用导学案 苏教版必修4
1.3.4 三角函数的应用1.三角函数模型的应用(1)三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.(2)函数y =A sin(ωx +φ)+b (A >0)的最大值为A ,最小值是-A ,周期是2π|ω|,频率为|ω|2π. (3)三角函数模型的三种应用模式:一是给定具有周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型,结合三角函数的性质,解决一些实际问题;二是给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数解析式(函数模型),再解决其他问题;三是收集一组实际问题的调查数据,根据数据作出散点图,通过拟合函数图象,求出可近似表示变化规律的函数模型,进一步用函数模型来解决问题.预习交流在建模过程中,散点图的作用是什么? 提示:利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系,然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点,从而避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.2.应用三角函数模型解实际问题的步骤第一步:阅读理解,审清题意.读题要做到逐字逐句,读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景;在此基础上,分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题.第二步:根据所给模型,列出函数关系式,根据已知条件和数量关系,建立函数关系式;在此基础上将实际问题转化为一个函数问题.第三步:利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果. 第四步:再将所得结论转译成实际问题的解答.一、三角函数在物理学中的应用表示电流I 与时间t 的关系式I =A sin(ωt +φ)(A >0,ω>0)在一个周期内的图象,如图所示.(1)根据图象写出I =A sin(ωt +φ)的解析式;(2)I =A sin(ωt +φ)中的t 在任意一段1100秒的时间内都能使I 同时取到最大值|A |和最小值-|A |,那么正整数ω的最小值为多少?思路分析:(1)由一个周期内的图象可确定图象的五个关键点,据此可求出解析式.(2)画图分析得:要使任意一段1100秒的时间内I 能同时取到最大值和最小值,需要满足周期T ≤1100. 解:(1)由图可知:A =300,周期T =160-⎝ ⎛⎭⎪⎫-1300=150.∴ω=2πT=100π,此时所求函数的解析式为I =300sin(100πt +φ).以点⎝ ⎛⎭⎪⎫-1300,0为“五点法”作图的第一关键点则有100π×⎝ ⎛⎭⎪⎫-1300+φ=0,∴φ=π3. 得函数解析式为I =300sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt +π3. (2)由题意知周期T ≤1100,即2πω≤1100⇒ω≥200π⇒ω≥628.3.由于ω为正整数,故ω的最小值为629.如图所示的是弹簧挂着小球做上下运动,时间t (s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h (cm)之间的函数关系式是h =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t +π4,t ∈[0,+∞).(1)以t 为横坐标,h 为纵坐标,画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)小球开始振动时的位置在哪里?(3)小球最高点、最低点的位置及各自到平衡位置的距离分别是多少? (4)小球经过多长时间往复振动一次?解:(1)用“五点法”作出图象.如图所示.(2)当t =0时,h =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t +π4=2sin π4=2, 即小球开始振动时的位置为(0,2).(3)当t =π8时,h =2;当t =5π8时,h =-2.即最高点的位置为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8,2,最低点的位置为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8,-2.最高点与最低点各自到平衡位置的距离均为2 cm.(4)∵T =2πω=2π2=π≈3.14,即每经过3.14 s 小球往复振动一次.三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电流随时间变化规律等问题中,此类问题中要弄清振幅、频率、周期、初相的定义和表示方法. 二、三角函数在日常生活中的应用如图为一个缆车示意图,该缆车半径为4.8 m ,圆上最低点与地面的距离为0.8 m ,60秒转动一圈,图中OA 与地面垂直,以OA 为始边,逆时针转动θ角到OB ,设B 点与地面的距离是h .(1)求h 与θ间的函数关系式;(2)设从OA 开始转动,经过t 秒后到达OB ,求h 与t 之间的函数解析式,并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少?思路分析:由题意得h 与θ的三角函数关系,再由此函数关系得h 与t 的解析式.最后由三角函数的性质求t 的值.解:(1)以圆心O 为原点,建立如图所示的坐标系,则以Ox 为始边,OB 为终边的角为θ-π2,∴h =5.6+4.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ-π2. (2)点A 在圆上转动的角速度是π30,故t 秒转过的弧度数为π30t .∴h =5.6+4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t -π2,t ∈[0,+∞).到达最高点时,h =10.4 m.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t -π2=1,得π30t -π2=π2,∴t =30.∴缆车第一次到达最高点时用的最少时间是30 s.如图为一半径是3 m 的水轮,水轮圆心O 距离水面2 m ,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系式y =A sin (ωx +φ)+2,则ω,A 的值分别为__________.答案:2π15,3 解析:易知水轮的角速度ω=2π×460=2π15,A =3.面对实际问题时,能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘,比如本例题,在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”,这个过程就是数学建模的过程,在解题中,将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有:求出三角函数的解析式;画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题.1.一根长l cm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s =3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g lt +π3,其中g 是重力加速度,当小球摆动的周期是1 s 时,线长l 等于__________.答案:g4π2解析:因为周期T =1=2πg l,所以g l =2π,则l =g 4π2. 2.设钟摆每经过1.8秒便回到原来的位置.如图,当钟摆达到最高位置M 时开始计时,经过1分钟后,请你估计钟摆在铅垂线的__________边(填“左”或“右”).答案:右解析:∵钟摆的周期为1.8秒,60=1.8×33+0.6,∴钟摆在铅垂线的右边.3.下图是游乐场中的摩天轮上的某个座舱在旋转过程中离地面高度情况的一部分,则下列判断中正确的有__________(填序号).①该座舱的运动周期是π; ②该座舱的振幅是2;③该座舱在π10s 时达到最高点;④该座舱在7π20s 时离地面最近.答案:①④解析:T 4=7π20-π10=π4,∴T =π,①正确;该座舱的振幅是1,②错误;该座舱在π10s时没有到达最高点,③错误;显然④正确.4.将自行车支起来,使后轮能平稳地匀速运动,观察后轮气针的运动规律.若轮胎以ω rad/s 的角速度做圆周运动,P 0是气针的初始位置,气针到原点O 的距离为r cm ,求气针的位置P 的纵坐标关于时间t 的函数关系式,并求出气针的运动周期,当φ=π6,r =ω=1时,作出其函数图象.解:易知函数关系式为y =r sin(ωt +φ),因此T =2πω.当φ=π6,r =ω=1时,可得y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫t +π6.其图象是将y =sin t 的图象向左平移π6得到的.。
高中数学 第1章 三角函数 1.3.4 三角函数的应用教学设计 苏教版必修4
1.3.4 三角函数的应用整体设计教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节通过例题,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,本节在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.三维目标1.能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律.将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型.2.通过函数拟合得到具体的函数模型,提高数学建模能力,并在探究中激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神,培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神.3.通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力.重点难点教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题,是本节的难点,主要原因是背景陌生,数据处理较复杂,学习起来感到难以切入.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题?它到底能发挥哪些作用呢?由此展开新课.思路2.(直接导入)我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢?面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢?以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.推进新课新知探究用三角函数的图象和性质解决一些简单的生活实际问题.活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程.对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型.对还没有进入状态的学生,教师要帮助其回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题.这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知.简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.解决问题的一般程序是:(1)审题:逐字逐句地阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系;(2)建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型;(3)求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论;(4)还原:把数学结论还原为实际问题的解答.应用示例思路1例1见课本本节例1.变式训练如图1,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y =sin(ωx+φ)+b.图1(1)求这一天的最大温差;(2)写出这段曲线的函数解析式.活动:这道题目是2002年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本题给出模型了吗?给出的模型函数是什么?要解决的问题是什么?怎样解决?然后完全放给学生自己讨论解决. 题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实际指的是“求6时到14时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小 题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求ω是利用半周期(14-6),通过建立方程得解.解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出,从6~14时的图象是函数y =Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象,∴A=12(30-10)=10,b =12(30+10)=20. ∵12·2πω=14-6,∴ω=π8.将x =6,y =10代入上式,解得φ=3π4.综上,所求解析式为y =10sin(π8x +3π4)+20,x∈[6,14]. 点评:本题中所给出的一段图象恰好是半个周期的图象,提醒学生注意抓关键.本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉.例2见课本本节例2.例3如图2,设地球表面某地正午太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射纬度,φ为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h 0的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?图2活动:本例所用地理知识、物理知识较多,综合性比较强,需调动相关学科的知识来帮助理解问题,这是本节的一个难点.在探讨时要让学生充分熟悉实际背景,理解各个量的含义以及它们之间的数量关系.首先由题意要知道太阳高度角的定义:设地球表面某地纬度值为φ,正午太阳高度角为θ,此时太阳直射纬度为δ,那么这三个量之间的关系是θ=90°-|φ-δ|.当地夏半年δ取正值,冬半年δ取负值.根据地理知识,能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带,图形如图3,由画图易知太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系:h0=htanθ.由地理知识知,在北京地区,太阳直射北回归线时物体的影子最短,直射南回归线时物体的影子最长.因此,为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡,应当考虑太阳直射南回归线时的情况.解:如图3,A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,应取太阳直射南回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度-23°26′.依题意,两楼的间距应不小于MC.图3根据太阳高度角的定义,有∠C=90°-|40°-(-23°26′)|=26°34′,所以MC=h0tanC=h0tan26°34′≈2.000h0,即在盖楼时,为使后楼不被前楼遮挡,要留出相当于楼高两倍的间距.点评:本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题,是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型,然后根据所得的函数模型解决问题.要直接根据图2来建立函数模型,学生会有一定困难,而解决这一困难的关键是联系相关知识,画出图3,然后由图形建立函数模型,问题得以求解.这道题的结论有一定的实际应用价值.教学中,教师可以在这道题的基础上再提出一些问题,如下例的变式训练,激发学生进一步探究.知能训练课本本节练习1、2.课堂小结1.本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图象建立解析式,根据解析式作出图象,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗?2.实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题.作业1.图5表示的是电流I 与时间t 的函数关系I =Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象.图5(1)根据图象写出I =Asin(ωx+φ)的解析式.(2)为了使I =Asin(ωx+φ)中的t 在任意一段1100s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?解:(1)由图知A =300,第一个零点为(-1300,0),第二个零点为(1150,0), ∴ω·(-1300)+φ=0,ω·1150+φ=π. 解得ω=100π,φ=π3. ∴I=300sin(100πt+π3). (2)依题意有T≤1100,即2πω≤1100, ∴ω≥200π,故ωmin =629.2.搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型.解:如以下两例:①人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化,如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节奏、饥饿程度等;②蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物,以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层,虽有保护身体的作用,但限制动物的生长、发育.因此,在胚后发育过程中,必须进行1次或数次脱去旧表皮,再长出宽大的新表皮后,才变成成虫,这种现象称为蜕皮;蜕下的“旧表皮”称为“蜕”,只有这样,虫体才能得以继续充分生长、发育.蜕皮现象的发生具有周期性,但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的.此外,脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显,如蜥蜴和蛇具有双层角质层,其外层在定期蜕皮时脱掉,蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤,约每2个月为一个周期可完整地脱落1次,称为蛇蜕.设计感想1.本教案设计指导思想是:充分唤起学生已有的知识方法,调动起相关学科的知识,尽量降低实例背景的相对难度,加大实际问题的鲜明、活跃程度,以引发学生探求问题的兴趣.2.应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型.如果学生选择了不同的函数模型,教师应组织学生进行交流,或让学生根据自己选择的模型进行求解,然后再根据所求结果与实际情况的差异进行评价.3.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,有条件的要用多媒体进行动态演示,以使学生有更多的时间用于对问题本质的理解.备课资料一、备选习题1.下列函数中,图象的一部分如图6所示的是( )图6A .y =sin(x +π6)B .y =sin(2x -π6) C .y =cos(4x -π3) D .y =cos(2x -π6) 2.已知函数y =Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|<π)的一段图象如图7所示,求函数的解析式.图73.已知函数y =Atan(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象与x 轴相交的两相邻点的坐标为(π6,0)和(5π6,0),且过点(0,-3),求此函数的解析式. 4.单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s =6sin(2πt+π6). (1)单摆开始摆动(t =0)时,离开平衡位置多少厘米? (2)单摆摆动到最右边时,离开平衡位置多少厘米? (3)单摆来回摆动一次需要多少时间? 5.函数f(x)=sinx +2|sinx|,x∈[0,2π]的图象与直线y =kx 有且仅有两个不同的交点,求k 的取值范围.参考答案:1.D2.由图7,得A =2,T 2=3π8-(-π8)=π2,∴T=π.∴ω=2.∴y=2sin(2x +φ).又∵图象经过点(-π8,2),∴2=2sin(-π4+φ).∴φ-π4=2kπ+π2(k∈Z ).∴φ=2kπ+3π4.∴函数解析式为y =2sin(2x +3π4).3.∵T=πω=5π6-π6,∴ω=32.∵32×π6+φ=0,且-3=Atan(32×0+φ),∴A=3,φ=-π4.故y =3tan(32x -π4).4.(1)t =0时,s =3,即离开平衡位置3厘米;(2)振幅为6,所以最右边离平衡位置6厘米;(3)T =1,即来回一次需要1秒钟.5.将原函数化简为f(x)=sinx +2|sinx|=⎩⎪⎨⎪⎧ 3sinx ,x∈[0,π],-sinx ,x∈π,2π],由此可画出图8,图8由数形结合可知,k的取值范围为1<k<3.二、数学与音乐若干世纪以来,音乐和数学一直被联系在一起.在中世纪时期,算术、几何、天文和音乐都包括在教育课程之中.今天的新式计算机正在使这条纽带绵延不断.乐谱的书写是表现数学对音乐的影响的第一个显著的领域.在乐稿上,我们看到速度、节拍(4/4拍、3/4拍,等等)、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符,等等.书写乐谱时确定每小节内的某分音符数,与求公分母的过程相似——不同长度的音符必须与某一节拍所规定的小节相适应.作曲家创作的音乐是在书写出的乐谱的严密结构中非常美丽而又毫不费力地融为一体的.如果将一件完成了的作品加以分析,可见每一小节都使用不同长度的音符构成规定的拍数.除了数学与乐谱的明显关系外,音乐还与比率、指数曲线、周期函数和计算机科学相联系.毕达哥拉斯学派(公元前585~前400)是最先用比率将音乐与数学联系起来的.他们认识到拨动琴弦所产生的声音与琴弦长度有关,从而发现了和声与整数的关系.他们还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的——事实上被拨弦的每一和谐组合可表示成整数比.按整数比增加弦的长度,能产生整个音阶.例如,从产生音符C的弦开始,C的16/15长度给出B,C的6/5长度给出A,C的4/3长度给出G,C的3/2长度给出F,C的8/5长度给出E,C的16/9长度给出D,C的2/1长度给出低音C.不管是弦乐器还是由空气柱发声的管乐器,它们的结构都反映出一条指数曲线的形状.19世纪数学家约翰·傅里叶的工作使乐声性质的研究达到顶点.他证明所有乐声——器乐和声乐——都可用数学式来描述,这些数学式是简单的周期正弦函数的和.每一个声音有三个性质,即音高、音量和音质,将它与其他乐声区别开来.傅里叶的发现使声音的这三个性质可以在图形上清楚地表示出来.音高与曲线的频率有关,音量和音质分别与周期函数的振幅和形状有关.如果不了解音乐的数学,在计算机对于音乐创作和乐器设计的应用方面就不可能有进展.数学发现,具体地说即周期函数,在乐器的现代设计和声控计算机的设计方面是必不可少的.许多乐器制造者把他们的产品的周期声音曲线与这些乐器的理想曲线相比较.电子音乐复制的保真度也与周期曲线密切相关.音乐家和数学家将继续在音乐的产生和复制方面发挥着同等重要的作用.(设计者:郑吉星)第2课时导入新课思路1.(作业导入)学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有:物理情景的①简单和谐运动,②星体的环绕运动;地理情景的①气温变化规律,②月圆与月缺;心理、生理现象的①情绪的波动,②智力变化状况,③体力变化状况;日常生活现象的①涨潮与退潮,②股票变化等等.思路2.(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子,这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用.推进新课新知探究三角函数性质在生活中的应用.本章章头引言告诉我们,海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象.回忆上节课的内容,怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢?教师引导学生复习、回忆、理清思路,查看上节的课下作业.教师指导、适时设问,调动学生的学习气氛.应用示例例1货船进出港时间问题:海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与海底的距离),该船何时能进入港口?(3)若某船的吃水深度为4米,安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?活动:引导学生观察上述问题表格中的数据,会发现什么规律?比如重复出现的几个数据.并进一步引导学生作出散点图.让学生自己完成散点图,提醒学生仔细、准确地观察散点图,如图9.图9教师引导学生根据散点的位置排列,思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律.根据散点图中的最高点、最低点和平衡点,学生很容易确定选择三角函数模型.港口的水深与时间的关系可以用形如y=Asin(ωx+φ)+h的函数来刻画.其中x是时间,y是水深,我们可以根据数据确定相应的A,ω,φ,h的值.这时注意引导学生与“五点法”相联系.要求学生独立操作完成,教师指导点拨,并纠正可能出现的错误,直至无误地求出解析式,进而根据所得的函数模型,求出整点时的水深.根据学生所求得的函数模型,指导学生利用计算器进行计算求解.注意引导学生正确理解题意,一天中有两个时间段可以进港.这时点拨学生思考:你所求出的进港时间是否符合时间情况?如果不符合,应怎样修改?让学生养成检验的良好习惯.在本例的(3)中,应保持港口的水深不小于船的安全水深,那么如何刻画船的安全水深呢?引导学生思考,怎样把此问题翻译成函数模型?求货船停止卸货、将船驶向深水域的含义又是什么?教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释,同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变,停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候.进一步引导学生思考:根据问题的实际意义,货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗?为什么?正确结论是什么?可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价.通过讨论或争论,最后得出一致结论:在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的,因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨.解:(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图(图9).根据图象,可以考虑用函数y =Asin(ωx+φ)+h 刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出:A =2.5,h =5,T =12,φ=0,由T =2πω=12,得ω=π6. 所以这个港口的水深与时间的关系可用y =2.5sin(π6x)+5近似描述. 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值:(2)货船需要的安全水深为4+1.5=5.5(米),所以当y≥5.5时就可以进港.令2.5sin(π6x)+5≥5.5,得sin π6x≥0.2.画出y =sin(π6x)的图象,由图象可得 0.4≤x≤5.6或12.4≤x≤17.6.故该船在0:24至5:36和12:24至17:36期间可以进港.图10(3)设在时刻x 货船的安全水深为y ,那么y =5.5-0.3(x -2)(x≥2).在同一坐标系内作出这两个函数的图象,可以看到在6~7时之间两个函数图象有一个交点(如图11).图11通过计算也可以得到这个结果.在6时的水深约为5米,此时货船的安全水深约为4.3米;6.5时的水深约为4.2米,此时货船的安全水深约为4.1米;7时的水深约为3.8米,而货船的安全水深约为4米.因此为了安全,货船最好在6.7时之前停止卸货,将船驶向较深的水域.点评:本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题,题目只给出了时间与水深的关系表,要想由此表直接得到函数模型是很困难的.对第(2)问的解答,教师需要强调,建立数学模型解决实际问题,所得的模型是近似的,并且得到的解也是近似的.这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析.如本例中,一天中有两个时间段可以进港,教师应引导学生根据问题的实际意义,对答案的合理性作出解释. 变式训练 发电厂发出的电是三相交流电,它的三根导线上的电流强度分别是时间t 的函数,I A =Isinωt,I B =Isin(ωt+120°),I C =Isin(ωt+240°),则I A +I B +I C =__________. 答案:0例2已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4+π2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若sinx +f(x)=23,求sinxcosx 的值. 解:(1)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ).∴φ=π2.∴f(x)=sin(ωx+π2)=cosωx. 相邻两点P(x 0,1),Q(x 0+πω,-1). 由题意,|PQ|=πω2+4=π2+4,解得ω=1. ∴f(x)=cosx.(2)由sinx +f(x)=23,得sinx +cosx =23. 两边平方,得sinxcosx =-518. 例3小明在直角坐标系中,用1 cm 代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象.若他将纵坐标改用2 cm 代表一个单位长度,横坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式是什么?若他将横坐标改用2 cm 代表一个单位长度,而纵坐标不变,那么他所作的曲线的函数解析式又是什么?解:小明原作的曲线为y =sinx ,x∈R ,由于纵坐标改用了2 cm 代表一个单位长度,与原来1 cm 代表一个单位长度比较,单位长度增加到原来的2倍,所以原来的1 cm 只能代表12个单位长度了.由于横坐标没有改变,曲线形状没有变化,而原曲线图象的解析式变为y =12sinx ,x∈R .同理,若纵坐标保持不变,横坐标改用2 cm 代表一个单位长度,则横坐标被压缩到原来的12,原曲线周期就由2π变为π.故改变横坐标后,原曲线图象的解析式变为y =sin2x ,x∈R .例4求方程lgx =sinx 实根的个数.解:由方程式模型构建图象模型.在同一坐标系内作出函数y =lgx 和y =sinx 的图象,如图12.可知原方程的解的个数为3.图12点评:单解方程是很困难的,而根据方程式模型构建图象模型,利用数形结合来解就容易多了,教师要让学生熟练掌握这一方法.知能训练课本习题1.3 14.课堂小结1.让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题,用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来计划,以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用.2.三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题,其解答流程大致是:审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题.在解决实际问题时,要学会具体问题具体分析,充分运用数形结合的思想,灵活地运用三角函数的图象和性质解决现实问题.作业课本习题1.3 13.设计感想1.本节是三角函数内容中新增加的一节,目的是加强学生的应用意识,本节教案设计的指导思想,是让学生围绕着采集到的数据展开讨论,在学生思考探究的过程中,学会积极冷静地对待陌生背景,正确处理复杂数据以及准确分析问题中的数量关系,这很符合新课改理念.2.现实生活中的问题是多变的,学生的思维是发散的,观察的视角又是多样的,因此课题教学中,教师要善于挖掘并发现学生思维的闪光点,通过讨论例题这个载体,充分激发学生的潜能,让学生从观察走向发现,从发现走向创造,走向创新.3.学生面对枯燥的数据,潜意识里是讨厌的,因此教师要在有限的课堂时间里,着重解决物理背景下、地理背景下的三角函数的函数模型的选定,不要把时间浪费在一些计算上.备课资料一、备选习题1.图13是周期为2π的三角函数f(x)的图象,那么f(x)可写成( )图13A.sin(1+x) B.sin(-1-x)C.sin(x-1) D.sin(1-x)。
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1.3.4 三角函数的应用
课时目标
1.会解三角形和利用三角形建立数学模型,解决实际问题.
2.会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
1.三角函数的周期性
y =A sin(ωx +φ) (ω≠0)的周期是T =________; y =A cos(ωx +φ) (ω≠0)的周期是T =________; y =A tan(ωx +φ) (ω≠0)的周期是T =________. 2.函数y =A sin(ωx +φ)+k (A >0,ω>0)的性质 (1)y max =________,y min =________.
(2)A =________________,k =________________.
(3)ω可由________________确定,其中周期T 可观察图象获得.
(4)由ωx 1+φ=________,ωx 2+φ=________,ωx 3+φ=________,ωx 4+φ=________,ωx 5+φ=________中的一个确定φ的值. 3.三角函数模型的应用
三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.
一、填空题 1.
如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数
关系式为s =6sin ⎝
⎛⎭⎪⎫100πt +π6,那么单摆来回摆动一次所需的时间为________ s. 2.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f (x )=A sin(ωx
+φ)+b ⎝
⎛⎭⎪⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的模型波动(x 为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定f (x )=______.
3.函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3x +π3的最小正周期在⎝ ⎛⎭
⎪⎫23,34内,则正整数m 的值是________.
4.设某人的血压满足函数式p (t )=115+25sin(160πt ),其中p (t )为血压(mmHg),t 为时间(min),则此人每分钟心跳的次数是________. 5.一根长l cm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位
移s (cm)与时间t (s)的函数关系式时s =3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
g l
t +π3,其中g 是重力加速度,当
小球摆动的周期是1 s 时,线长l 等于______.
6.如图是一个示波器显示的由简易发电机产生的交流电的电压的变化,则电压V 关于时间t 的函数关系式为________.
7.设y =f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数,其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系:
经长期观察,函数y =f (t )的图象可以近似地看成函数y =k +A sin(ωt +φ)的图象.下面的函数中,最能近似表示表中数据间对应关系的函数是________.(填序号)
①y =12+3sin π
6t ,t ∈[0,24];
②y =12+3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t +π,t ∈[0,24]; ③y =12+3sin π
12
t ,t ∈[0,24];
④y =12+3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
12
t +π2,t ∈[0,24].
8.
如图所示,一个大风车的半径为8 m ,每12 min 旋转一周,最低点离地面2 m .若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转,则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是____________________. 二、解答题 9.
如图,一个水轮的半径为4 m ,水轮圆心O 距离水面2 m ,已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间. (1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数; (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间?
10
据上述数据描成的曲线如图所示,经拟合,该曲线可近似的看成正弦函数型y=A sin ωt +B的图象.
(1)试根据数据表和曲线,求出y=A sin ωt+B的解析式;
(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间?(忽略离港所用的时间)
能力提升
11.如图,质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P 0(2,-2),角速度为1,那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为________.(填序号)
12.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ,秒针均匀地绕点O 旋转,当时间t =0时,点A 与钟面上标12的点B 重合,将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数,则d =__________,其中t ∈[0,60].
1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用. 2.三角函数模型构建的步骤
(1)收集数据,观察数据,发现是否具有周期性的重复现象. (2)制作散点图,选择函数模型进行拟合. (3)利用三角函数模型解决实际问题.
(4)根据问题的实际意义,对答案的合理性进行检验.
1.3.4 三角函数的应用
知识梳理 1.2π|ω| 2π|ω| π|ω| 2.(1)A +k -A +k (2)y max -y min 2 y max +y min 2
(3)ω=2π
T
(4)0
π2 π 3
2
π 2π 3.周期 作业设计 1.150
2.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
x -π4+7(1≤x ≤12,x ∈N *
)
3.26,27,28
解析 ∵T =6πm ,又∵23<6πm <3
4
,
∴8π<m <9π,且m ∈Z ,
∴m =26,27,28. 4.80
解析 T =2π160π=180(分),f =1
T =80(次/分).
5.
g
4π
2
解析 T =
2π
g l
=1,∴
g l =2π,∴l =g 4π
2. 6.V =45cos 80πt
解析 设V =A cos ωt ,则A =45,T =0.14=0.025,ω=2π
T
=80π,故V =45cos 80πt .
7.①
解析 在给定的四个函数①②③④中我们不妨代入t =0及t =3,容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是①.
8.h =-8cos π
6
t +10(t ≥0)
解析 据题意可设h =10-8cos ωt (t ≥0). 由已知周期为12 min ,可知t =6时到达最高点,即函数取最大值,知18=10-8cos 6ω,即cos 6ω=-1.
∴6ω=π,得ω=π6.∴h =10-8cos π
6
t (t ≥0).
9.解 (1)如图所示建立直角坐标系,
设角φ⎝ ⎛⎭
⎪⎫-π2<φ
<0是以Ox 为始边,OP 0为终边的角.
OP 每秒钟内所转过的角为
5×2π60=π6
. 由OP 在时间t (s)内所转过的角为⎝ ⎛⎭⎪⎫5×2π60t =π6t .
由题意可知水轮逆时针转动,
得z =4sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6t +φ+2. 当t =0时,z =0,得sin φ=-12,即φ=-π
6
.
故所求的函数关系式为z =4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6
t -π6+2.
(2)令z =4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6
t -π6+2=6,
得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6
t -π6=1,
令π6t -π6=π
2
,得t =4,
故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.
10.解 (1)从拟合的曲线可知,函数y =A sin ωt +B 的一个周期为12小时,因此ω=2πT =π6
. 又y min =7,y max =13,∴A =1
2
(y max -y min )=3,
B =1
2
(y max +y min )=10. ∴函数的解析式为y =3sin π
6
t +10 (0≤t ≤24).
(2)由题意,水深y ≥4.5+7,
即y =3sin π
6
t +10≥11.5,t ∈[0,24],
∴sin π6t ≥12,π6t ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π+π6,2k π+5π6,k =0,1, ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17],
所以,该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港. 若欲于当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过16小时. 11.③
解析 ∵P 0(2,-2),∴∠P 0Ox =π
4
.
按逆时针转时间t 后得∠POP 0=t ,∠POx =t -π4,此时P 点纵坐标为2sin(t -π
4
),
∴d =2|sin(t -π
4)|.
当t =0时,d =2,排除①④;
当t =π
4
时,d =0,排除②.
12.10sin πt
60
解析 将解析式可写为d =A sin(ωt +φ)形式,由题意易知A =10,当t =0时,d =0,得φ=0;当t =30时,d =10,
可得ω=π60,所以d =10sin πt
60
.。