整式的乘法与因式分解讲义课

整式乘除与因式分解
一．知识点
1．幂的运算性质：a m ·a n ＝a m ＋n
（m 、n 为正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
例：(－2a )2(－3a 2)3 2．()n m a ＝ a m n （m 、n 为正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
例： (－a 5)5
3．
()n n n b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积．
例：(－a 2b )3
4．n m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
例：（1）x 8÷x 2 （2）（a b ）5÷（a b ）
2 5．零指数幂的概念：
a 0＝1 （a ≠0）
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．
例：若1)32(0
=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？
6．负指数幂的概念： a －p ＝p a 1
（a ≠0，p 是正整数）
任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数． 也可表示为：p
p n m m n ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎭⎫ ⎝⎛-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数）
7．单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
例：（1）2231
23abc abc b a ⋅⋅ （2）4233)2()2
1(n m n m -⋅- 8．单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 例：（1）)35(222b a ab ab + （2）ab ab ab 21)232
(2⋅
- （3）)32()5(-22n m n n m -+⋅ （4）xyz z xy z y x ⋅++)(2322
9．多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
例：（1）
)6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（
练习：
1．计算2x 3·(－2xy)(－
12xy) 3的结果是 2．如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是
3．若k(2k －5)＋2k(1－k)＝32，则k ＝
4．(－3x 2)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝
10．单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
例：（1）28x 4y 2÷7x 3y （2）-5a 5b 3c ÷15a 4b （3）（2x 2y ）3·（-7xy 2）÷14x 4y 3
11．多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把商相加．
练习：（1）223247173y x z y x ÷-； （2）()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-÷-2232232y x y x ；
易错点：在幂的运算中，由于法则掌握不准出现错误；
有关多项式的乘法计算出现错误；
误用同底数幂的除法法则；
用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错；
乘除混合运算顺序出错。

12．乘法公式：
①平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2
文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
②完全平方公式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2
（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2
文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍． 例1： （1）(7+6x)(7−6x)； （2）(3y ＋ x)(x −3y)；
例2： (1) (x+6)2
练习：
1、()()4352a a -⋅-=_______。

3
222323()2()()x x y x y xy ⎡⎤-⋅-⎣⎦＝______________。

2、2323433428126b a b a b a b a =-+（_____________________） 3、222____9(_____)x y x ++=+；2235(7)x x x +-=+（______________）
4、已知15x x +=，那么331x x +=_______；2
1x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭=_______。

5、若22916x mxy y ++是一个完全平方式，那么m 的值是__________。

6、多项式2,12,2223--+++x x x x x x 的公因式是_____________________。

7、A y x y x y x ⋅-=+--)(22，则A =_____________________
易错点：错误的运用平方差公式和完全平方公式。

13．因式分解（难点）
一、因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
二、熟练掌握因式分解的常用方法．
1、提公因式法
（1）掌握提公因式法的概念；
（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；
（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
（4）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．
例：（1）323812a b ab c + （2）3524
7535x y x y -
2、公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
①平方差公式： a 2－b 2＝ （a ＋b ）（a －b ）
②完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝（a ＋b ）2； a 2－2ab ＋b 2＝（a －b ）
2 3. 分组分解法
要把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式，没有公因式可提，也不能直接运用公式，如果先把前两项分成一组，并提出公因式a ，把它的后两项分成另一组，提出公因式b ，从而得到
a(m+n)+b （m+n ），这时又有公因式（m+n ），于是提出（m+n ），从而得到（m+n ）（a+b ），这种方法叫分组分解法。

注意：⑴ 总项数（四项或四项以上）
⑵ 常见题多为四项，
二四分：两两分组，再提公因式。

一三分：一个三项一组（用完全平方公式），另一个一项一组（平方项），这 两组再用平方公式。

例：（1）2220.25a b c - （2）2
9()6()1a b b a -+-+
（3）42222244a x a x y x y -+ （4）22
()12()36x y x y z z +-++
练习：
1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。

2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____
3、232y x 与y x 612的公因式是＿
4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。

6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。

8、已知,01200520042=+++++x x
x x Λ则.________2006=x 10、()2
2)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。

14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。

易错点：用提公因式法分解因式时易出现漏项，丢系数或符号错误；
分解因式不彻底。

中考考点解读：
整式的乘除是初中数学的基础,是中考的一个重点内容.其考点主要涉及以下几个方面： 考点1、幂的有关运算
例1．（2009年湘西）在下列运算中，计算正确的是（ ）
（A ）326a a a ⋅=
（B ）235()a a = （C ）824a a a ÷= （D ）2224()ab a b =
例2.（2009年齐齐哈尔）已知102m =，103n =，则3210
m n +=____________．
考点2、整式的乘法运算 例3．（2009年贺州）计算：31(2)(1)4
a a -⋅- = ． 考点3、乘法公式
例4. (2009年山西省)计算：()()()2312x x x +---
例5. (2009年宁夏)已知：32
a b +=，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 ． 考点4、利用整式运算求代数式的值 例6．（2009年长沙）先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-
，． 考点5、整式的除法运算
例7. (2009年厦门)计算：[(2x －y )(2x ＋y )＋y (y －6x )]÷2x
考点6、定义新运算
例8.（2009年定西）在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：22a b a b ⊕=-，求方程（4⊕3）⊕24x =的解．
考点7、乘法公式
考点8、因式分解
例4（1）(2009年本溪市) 分解因式：29xy x -= ．
（2）(2009年锦州市) 分解因式：a 2b-2ab 2+b 3=____________________.
说明：分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
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