小学数学分数裂项

小学数学分数裂项考试要求（1） 能熟练运算常规裂和型题目； （2） 复杂整数裂项运算； （3） 分子隐蔽的裂和型运算。

（4） 4、通项归纳知识结构一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。

遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111[]()(2)2()()(2)n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+3、 对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)(()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭()()()()()21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++()()()()()()()()31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++()()()()()11222hh n n k n k kn n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦()()()()()()()()11233223h hn n k n k n k kn n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦()()()221111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭二、裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。

三、复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。

其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。

整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。

所有积之和，裂项来求作。

后延减前伸，差数除以N 。

N 取什么值，两数相乘积。

公差要乘以，因个加上一。

需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。

对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。

此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。

四、“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

重难点（1） 复杂整数裂项的特点及灵活运用 （2） 分子隐蔽的裂和型运算。

（3） 通项归纳例题精讲一、 用裂项法求1()(2)n n k n k ++型分数求和【例 1】 111123234789+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】()()()()()()()()11111111211211n n n a n n n n n n n n n n ⎡⎤+--===-⎢⎥-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⎢⎥⎣⎦原式11111111121223233467787889⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11121289⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭35144=【答案】35144。

【巩固】1111 (12323434599100101)++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ==-+++++原式111111111[()()()...()]212232334455699100100101=⨯-+-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111212100101⎡⎤=⨯-⎢⎥⨯⨯⎣⎦504920200=【答案】504920200。

【例 2】 计算：1111135357579200120032005++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】原式11111114133535572001200320032005⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11141320032005⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭100400312048045=【答案】100400312048045。

【巩固】计算：1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】原式11111111()21223233434989999100=⨯-+-++⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111()21299100=⨯-⨯⨯ 1494929900=⨯494919800=【答案】494919800。

二、 用裂项法求2()(2)kn n k n k ++型分数求和分析：2()(2)kn n k n k ++（n,k 均为自然数）211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++【例 1】 4444 (135357939597959799)++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】原式11111111()()......()()133535579395959795979799=-+-++-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯11139799=-⨯⨯ 32009603=【答案】32009603。

【巩固】444 (135357939597)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】原式111111()()......()1335355793959597=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11139597=-⨯⨯ 921227645=【答案】921227645。

三、 用裂项法求1()(2)(3)n n k n k n k +++型分数求和分析：1()(2)(3)n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3)n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++【例 1】 计算： 111......1234234517181920+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】原式 1111111[()()......()]3123234234345171819181920=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111[]3123181920=-⨯⨯⨯⨯ 113920520=【答案】113920520【巩固】11111123423453456678978910+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】原式111111131232342343457898910⎛⎫=⨯-+-++-⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭11131238910⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1192160=【答案】1192160。

四、用裂项法求3()(2)(3)kn n k n k n k +++型分数求和分析：3()(2)(3)kn n k n k n k +++（n,k 均为自然数）311()(2)(3)()(2)()(2)(3)k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++【例 2】 计算：333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】原式111111()()......()123234234345171819181920=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯11123181920=-⨯⨯⨯⨯ 11396840= 【答案】11396840。

【巩固】333 (1234234521222324)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】原式11111113[(...)]3123234234345212223222324=⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯11123222324=-⨯⨯⨯⨯422231222324⨯⨯-=⨯⨯202312144=【答案】202312144。

五、复杂裂项【例 3】 111111212312100++++++++++【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。

此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。

从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有：112(11)11122==+⨯⨯，112(12)212232==+⨯+⨯，原式22221200992(1)1122334100101101101101=++++=⨯-==⨯⨯⨯⨯ 【答案】991101。

【巩固】23101112(12)(123)(1239)(12310)----⨯++⨯++++++⨯++++（）【考点】分数裂项 【难度】☆☆ 【题型】解答【解析】（法一）：原式234101()13366104555=-++++⨯⨯⨯⨯ 1111111113366104555⎛⎫=--+-+-++- ⎪⎝⎭11155⎛⎫=-- ⎪⎝⎭155=（法二）：先找出通项的规律为[][]12(1)12nn n +++-⨯++有[][]12(1)12nn n +++-⨯++(1)(1)22nn n n n =-⨯⨯+⨯4(1)(1)n n n =-⨯⨯+而4112(1)(1)(1)(1)n n n n n n n ⎡⎤=⨯-⎢⎥-⨯⨯+-⨯⨯+⎣⎦（法三）：211=1(12)3-⨯+2311-=1(12)(12)(123)6-⨯++⨯++234111(12)(12)(123)(123)(1234)10---=⨯++⨯++++⨯+++发现1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，…，也就是说当作为最后一个减数分母的最后一个乘数为多少，作为最终结果的单位分数的分母就是多少．所以，原题中最后一个减数分母的最后一个乘数为1+2+3+4+…+9+10=55，所以最终计算结果为155． （法三）：2111(12)12=-⨯++311(12)(123)12123=-+⨯+++++411(12)(123)1231234=-+⨯+++++++,1011=(1239)(123910)123912310-++++⨯+++++++++++++原式11111=111212123123912310⎛⎫⎛⎫⎛⎫-------⎪ ⎪⎪+++++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1=12310++++1=55【答案】155。