9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
《分子运动速率分布规律》教学课件
根据表格中的数据绘制图像
+ + + + + + + + + ＝100 + + + + + + + + + ＝100
二、分子运动速率分布图像
2、气体分子速率分布特征
1、0°C和100°C氧气分子的速率都呈“中间多、 两头少”的分布。
2、0°C时，速率在300〜400 m/s 的分子最多。
100°C时，速率在400〜500 m/s 的分子最多。
做一做
3、(多选)如图所示是氧气分子在不同温度下的速率分布规律图, 横坐标表示分子速率v,纵坐标表示速率v对应的分子数百分率,
图线1、2对应的温度分别为t1、t2,由图可知( AD ) A.温度t1低于温度t2
B.图线中的峰值对应的横坐标数值为氧气分子平均速率 C.温度升高,每一个氧气分子的速率都增大 D.温度升高,氧气分子中速率小于400 m/s的分子所占的比例减小
所以看起来无规则的分子热运动，也 必定是有一定的规律的——统计规律。
一、气体分子运动的特点
液体的分子
液体变为气体 后，体积要增 大上千倍
气体的分子
距离大约是分子 直径的10倍左右
质点
分子的大小相对分子 间的空隙来说很小
一个挨着一 个地排列
分子间的作用力很弱
通常认为，气体分子除了相互碰撞或者 跟器壁碰撞外，不受力而做匀速直线运 动，气体充满它能达到的整个空间。
三、气体压强的微观解释
4、决定气体压强大小的因素 微观角度
⑴气体分子的密集程度 ⑵气体分子的平均动能
若容器中气体分子的数密度大，在单位时间 内，与单位面积器壁碰撞的分子数就多，平 均作用力也会较大。
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
7
二. 理想气体分子运动模型
• 分子当作质点，不占体积； 分子当作质点，不占体积； 分子间的平均距离） （因为分子的尺寸<<分子间的平均距离） 因为分子的尺寸 分子间的平均距离 • 分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力。 分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力。 • 弹性碰撞（动能不变） 弹性碰撞（动能不变） • 服从牛顿力学 服从牛顿力学* 分子数目太多，无法解这么多的联立方程。 分子数目太多，无法解这么多的联立方程。 必须用统计方法来研究。 统计方法来研究 必须用统计方法来研究。
同理： 同理：
19
个粒子， 例. 设有N个粒子，其速率分布函数为 个粒子 其速率分布函数为:
C ( vo> v > 0) 0
2、由vo求常数C。 、 求常数 。 3、求粒子的平均速率。 、求粒子的平均速率。 4、求粒子的方均根速率。 、求粒子的方均根速率。
( v > vo )
1、作速率分布曲线。 、作速率分布曲线。
n=
dN N = dV V
dV----体积元（宏观小，微观大） 体积元（宏观小，微观大） 体积元
（3）平衡态时分子的速度按方向的分布是各向均匀的 方向的分布是各向均匀的 ）平衡态时分子的速度按方向的分布 Σ vix i N Σ vix2 i N
ห้องสมุดไป่ตู้
vx =
vx 2 =
vx = vy= vz = 0
v2 vx2 = vy2 = vz2 = 3
9
三．理想气体压强公式的推导 一定质量的处于平衡态的某种理想气体， 一定质量的处于平衡态的某种理想气体， 把所有分子 按速度分为若干组。 按速度分为若干组。 r r r 区间内。 设第 i 组分子的速度在 vi ∼ vi + d vi 区间内。 以 ni 表示第 i 组分子的分子数密度 n = ∑ ni
分子热运动的速度和速率统计分布规律
V2
V
0
f (V ) dV 1
归一化条件
归一化条件说明 f(v)-v 曲线下的面积等于1
f(v)
v
3. 用速率分布函数表示平均值
V
V
i 1
N
i
N
如何用f(V)表示？
dN Nf (V ) dV
V V + V
在dV区间 : Vi VdN
i
V
VdN
N
1. 速率分布函数定义： V V + V内分子数 : N N :占总数比率 N 几率
1 dN f (V ) N dV
o
V
V +V
V
N 一般与V 成正比 N N V有关 与 NV N dN f (V ) lim V 0 N V NdV
几率
代表速率V 附近单位速率区间内分子数占总数比率.
2
3 v vo 3
2
9.4.2 分子的速度分布函数： 速度空间（如图）
Vz
dVx dVy dVz
速度空间的体积元 dVxdVydVz
代表如下速度范围
Vx Vx + dVx ,Vy Vy + dVy ,Vz Vz + dVz
o
Vx
r V Vy
设取在该速度范围的分子数为dN ,则速度分布函数 定义为
S1
Ag
例：利用麦克斯韦速率分布求：V
m 3 2 ) e 解： f (V ) 4π( 2πkT m 2 V 2 kT
p
V2 V
V2
kT 1.41 m
1.60 kT m
df (V ) 0 dV
《分子运动速率分布规律》速率分布与温度
《分子运动速率分布规律》速率分布与温度在我们生活的这个世界里，物质的存在和变化都有着其内在的规律。
而分子运动速率分布规律，就是其中一个十分重要且有趣的规律。
当我们深入探究这个规律与温度的关系时，就仿佛打开了一扇通往微观世界的神秘大门。
要理解分子运动速率分布规律与温度的关系，首先得知道什么是分子运动速率分布规律。
简单来说，在一个由大量分子组成的系统中，分子的运动速率并不是完全相同的，而是呈现出一定的分布情况。
有的分子运动得快，有的分子运动得慢，而这种分布是有一定规律可循的。
想象一下，在一个封闭的容器里充满了气体分子。
这些分子就像一群调皮的小精灵，不停地四处乱窜。
它们的运动速度各不相同，但整体上会形成一种特定的分布模式。
大多数分子的运动速率处于中间范围，而运动速率非常快或者非常慢的分子相对较少。
那么温度在这其中又扮演了怎样的角色呢？温度，其实是分子热运动剧烈程度的一种度量。
当温度升高时，分子的平均动能增加，这意味着分子运动得更加剧烈。
直观的表现就是，分子的运动速率普遍增大。
打个比方，温度低的时候，分子们就像是在悠闲地散步；而温度升高，它们就像是在参加一场激烈的赛跑。
温度越高，跑得快的分子就越多，整个分子运动速率的分布曲线就会向右移动，并且变得更加平缓。
从数学的角度来看，分子运动速率分布可以用一个函数来描述，这个函数被称为麦克斯韦速率分布函数。
通过这个函数，我们可以精确地计算出在不同温度下，具有不同运动速率的分子所占的比例。
而且，温度对分子运动速率分布的影响在很多实际现象中都有着明显的体现。
比如，在炎热的夏天，我们能闻到花香更浓郁。
这是因为温度升高，使得花香分子的运动速率加快，扩散得更快更远，从而更容易被我们的鼻子捕捉到。
再比如，在研究化学反应时，温度的变化会极大地影响反应的速率。
这是因为温度改变了反应物分子的运动速率分布，使得更多的分子具有足够的能量来克服反应的能垒，从而促进反应的进行。
另外，材料的性能也与温度和分子运动速率分布密切相关。
第9章气体动理论11
• 分子间存在相互作用力（分子力） 分子间既有引力作用, 又有斥力作用
o
r0
R
r
8
二、理想气体的微观模型
分子本身的大小比起它们之间的平均距离 可忽略不计。 （分子可看作质点） 除碰撞外，重力、分子之间的作用力可忽略不计。 分子间的碰撞是完全弹性的。 ——理想气体的分子可视为弹性的、自由运动的质点。 处在平衡态时分子的速度按方向的分布是均匀的。
3
二、状态参量 -----描述系统的状态特性的物理量。
一定质量的气体的状态，一般用体积V；压强 P； 温度T，三个参量来表示：
注意： （1）气体体积的单位是m3; （2）压强单位:1Pa=1N/m2; 另： 1L 103 m3 另：
5
1atm 76mmHg 1.01 10 Pa
（3）温度单位：开尔文(K) 热力学温度T和摄氏温度的关系是：T 273.15 t Po=1.01 ╳ 105Pa，T0=273.15K-------标准状态
mv 2 2 kT
v2
f （ v）
4. 麦克斯韦分子速率分布曲线
(2) v 时， f(∞)=0
o
v v+Δv
v
某一温度下速率分布曲线
(3) 曲线下的阴影面积的物理意义是什么？
v v
v
f ( v )dv
dN N N N
即速率区间v~v+Δv内的分子数占总分子数的 比值。 (4) 曲线下的总面积的物理意义是什么？
5
理想气体状态方程的另一形式
设每个分子质量为m’，气体体积V，分子 数N， 则： Nm Nm
PV
M
RT
N A m
热力学平衡态
解：设气体，1 大气压下，质量为 m，P1→m1， P2 →m2
m PoV RT ① M
m1 PV RT 1 M
m2 P2V RT M
代入①
m1 m2 G1 G2 RT ( P P2 )V RT 1 M g M m (G1 G2 ) Po 密度 V gV ( P P2 ) 1
宏观量 (P,V,T等）不变 统计物理 微观量 (v ，r ) 变
宏观态
(大量分子的集体表现)
微观态
(个别分子的速度，动能等) （二）有关统计方法的几个基本概念 1 （1）几率 掷分币 或 50% 几率 2
掷骰子(六面体) 几率 摇奖 几率
1 6
一般式：
NA WA lim N N
C
热平衡
BC If A B then A C
达到热平衡的系统具有共同的内部属性—温度 （二） 温标 确定温度数值的表示方法（P 5）
(三) 理想气体状态方程 理想气体：在密度不太高，压力不太大，温度不 太低条件下遵循三条实验定律的气体 （玻意耳定律，盖.吕萨克定律和查理定律） 1、 理想气体状态方程 设气体的标准状态为：
归一化条件
5. 显然：
0
ห้องสมุดไป่ตู้
f (v ) dv 1
6. 7. 8.
Nf (v)dv N
0
总分子数 0v 速率间分子数 出现的几率
0 v 0
v
f (v ) dv W0 v
Nf (v ) dv N 0 v 0v 速率间的分子数
(四） 麦克斯韦速率分布函数 f (v) 1. 速率很大与很小的分子 150K 数较少，中间的较多。 2. 温度升高，曲线高度下 降并右移。
《分子的热运动》热运动速率分布
《分子的热运动》热运动速率分布在我们生活的这个世界里，物质的存在和变化都有着其内在的规律。
其中，分子的热运动就是一个非常重要的现象。
而分子热运动的速率分布，则是理解许多物理和化学过程的关键。
让我们先来想象一下，假如我们能够把自己缩小到分子的尺度，那会是怎样一番景象？我们会看到周围的分子都在不停地运动，就像一群没有指挥的舞者，各自以不同的速度和方向跳跃、旋转。
分子热运动的速率并不是均匀一致的，而是呈现出一定的分布规律。
这种分布与温度有着密切的关系。
温度越高，分子的平均动能就越大，运动速率也就越快。
为了更好地理解分子热运动速率分布，我们需要引入一个重要的概念——麦克斯韦速率分布函数。
它就像是一张地图，告诉我们在一定温度下，不同速率的分子所占的比例。
在低温时，分子的运动速率普遍较低。
大多数分子都慢悠悠地移动着，只有极少数分子具有较高的速率。
而随着温度的升高，情况就发生了明显的变化。
越来越多的分子获得了更高的能量，运动速率加快。
想象一下，在一个寒冷的冬天，室内的温度较低，空气分子的热运动相对缓慢。
我们可能不会感觉到强烈的空气流动。
但当夏天来临，温度升高，空气分子的热运动变得更加剧烈，我们就能更明显地感受到风的存在。
麦克斯韦速率分布函数呈现出一个独特的形状。
它有一个峰值，表示最概然速率，即在这个速率附近的分子数量最多。
同时，还有一个平均速率和方均根速率。
最概然速率是一个很有趣的概念。
它告诉我们在特定温度下，哪种速率的分子最常见。
比如说，在某个温度下，大多数氧气分子的运动速率接近最概然速率。
平均速率则是所有分子速率的平均值。
它能让我们对分子整体的运动速度有一个大致的了解。
方均根速率则与分子的动能有着更直接的关系。
通过计算方均根速率，我们可以更好地理解分子能量的分布情况。
分子热运动速率分布在许多领域都有着重要的应用。
在化学中，它有助于我们理解化学反应的速率和方向。
不同速率的分子在相互碰撞时，发生反应的可能性也不同。
人教版教材高中物理《分子运动速率分布规律》课件
探究一
探究二
随堂检测
4.分子运动速率分布图像
(1)温度越高,分子的热运动越激烈。
(2)气体分子速率呈“中间多、两头少”的规律分布。当温度升高时,
对某一分子在某一时刻它的速率不一定增加,但大量分子的平均速
率一定增加,而且“中间多”的分子速率值增加(如图所示)。
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实例引导
例1 (多选)如图所示是氧气分子在不
同温度下的速率分布规律图,横坐标
表示分子速率v,纵坐标表示速率v对
应的分子数百分率,图线1、2对应的
温度分别为t 、t ,由图可知(
)
A.温度t 低于温度t
B.图线中的峰值对应的横坐标数值为氧气分子平均速率
C.温度升高,每一个氧气分子的速率都增大
D.温度升高,氧气分子中速率小于400 m/s的分子所占的比例减小
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各个方向运动的机会(概率)相等。
(4)每个气体分子都在做永不停息的无规则运动,常温下大多数气体
分子的速率都达到数百米每秒。
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《分子热运动的统计规律》分子速率统计
《分子热运动的统计规律》分子速率统计《分子热运动的统计规律——分子速率统计》当我们谈到分子热运动，就仿佛进入了一个微观世界的奇妙旅程。
在这个微小而又充满活力的世界里，分子们不停地运动着，它们的速率呈现出一定的统计规律。
想象一下，在一个封闭的容器中，充满了各种气体分子。
这些分子就像一群顽皮的小精灵，四处乱窜，没有一刻停歇。
它们的运动速度各不相同，有的快得像闪电，有的则慢悠悠地溜达着。
那么，为什么分子的速率会有这样的差异呢？这就得从分子热运动的本质说起。
分子热运动是由于分子之间的相互碰撞和能量交换引起的。
每个分子都具有一定的能量，而能量的大小决定了分子运动的快慢。
在这个微观世界中，我们可以通过统计的方法来研究分子的速率分布。
比如说，我们可以把大量分子的速率进行测量和记录，然后按照不同的速率范围进行分组。
通过这样的统计，我们就能发现一些有趣的规律。
其中一个重要的规律就是麦克斯韦速率分布律。
这个定律告诉我们，在一定的温度下，气体分子的速率分布呈现出一种特定的形状。
大多数分子的速率处于一个中间范围，而速率特别大或特别小的分子所占的比例相对较少。
为了更好地理解这个规律，我们可以打个比方。
假设我们在一个操场上举办一场跑步比赛，参加比赛的人数众多。
那么，大部分人的跑步速度可能会集中在一个中等水平，跑得特别快或者特别慢的人相对较少。
分子的速率分布就类似于这种情况。
温度对于分子速率分布有着至关重要的影响。
当温度升高时，分子的平均动能增加，也就是说分子运动得更加剧烈。
这就导致了分子速率分布曲线变得更加平坦，速率较大的分子所占的比例增加。
相反，当温度降低时，分子速率分布曲线会变得更加陡峭，速率较小的分子所占的比例增大。
麦克斯韦速率分布律不仅在理论上有着重要的意义，在实际生活中也有着广泛的应用。
比如说，在研究气体的扩散现象时，我们就需要考虑分子的速率分布。
气体能够从一个地方扩散到另一个地方，就是因为分子在不停地运动，并且具有不同的速率。
《分子运动速率分布的统计规律》 讲义
《分子运动速率分布的统计规律》讲义一、分子热运动的基本概念在我们生活的这个世界中，物质是由无数微小的分子组成的。
这些分子时刻都在进行着无规则的运动，这就是分子热运动。
想象一下，在一个封闭的容器中充满了气体，比如氧气。
这些氧气分子并不会整齐地排列在那里，而是以极高的速度四处乱撞。
它们之间相互碰撞，又与容器壁碰撞，这种碰撞是完全随机的。
分子热运动的剧烈程度与温度密切相关。
温度越高，分子的热运动就越剧烈，分子的运动速度也就越快。
二、分子运动速率分布的实验研究为了了解分子运动速率的分布情况，科学家们进行了一系列的实验。
其中一个著名的实验是利用蒸汽通过小孔进入一个真空容器。
当蒸汽进入真空容器后，它们会逐渐扩散。
通过测量不同位置的蒸汽密度，就可以间接得到分子运动速率的分布情况。
另一个实验是利用射线照射气体分子，通过观察射线的散射情况来推断分子的运动速率。
这些实验都为我们揭示了分子运动速率分布的一些重要特征。
三、分子运动速率分布的统计规律经过大量的实验和理论研究，科学家们发现分子运动速率分布遵循一定的统计规律。
在一定的温度下，气体分子的速率分布呈现出中间多、两头少的特点。
也就是说，大部分分子的运动速率处于某个特定的范围内，而速率特别大或特别小的分子相对较少。
如果我们以分子的速率为横坐标，以具有该速率的分子数占总分子数的比例为纵坐标，画出的图像就称为分子速率分布曲线。
这条曲线具有以下几个重要的特点：1、曲线呈现出单峰的形状，峰值对应的速率就是最概然速率。
最概然速率表示在这个温度下，出现概率最大的分子速率。
2、曲线的两侧逐渐下降，但永远不会降为零。
这意味着无论速率多么大或多么小，都有一定数量的分子具有这样的速率。
3、随着温度的升高，曲线整体向右移动，最概然速率增大，同时曲线变得更加平坦。
这表明温度升高时，更多的分子具有较高的速率，分子运动更加剧烈。
四、麦克斯韦速率分布函数为了更精确地描述分子运动速率的分布情况，科学家麦克斯韦提出了麦克斯韦速率分布函数。
第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布律
热学
14
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 vp 的概念
下面哪种表述正确？
（A） vp 是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） vp 是速率最大的速度值. （C） vp 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大.
N
N
v
v f (v)dv
8kT
0
πm
v 1.60 kT 1.60 RT
f (v)
m
M
3）方均根速率 v2
o
v
v2
N
0
v2dN N
0
v2
Nf
N
(v)dv
v2 3kT m
热学
8
vp v v2
vrms
v2
3kT m
3RT M
v 1.60 kT 1.60 RT
m
M
vp
2kT m
为清楚起见 , 从正面来
观察。
铁钉
隔板
热学
28
统计规律和方法
伽尔顿板 再投入小球： 经一定段时间后 , 大量小
球落入狭槽。
分布情况：中间多，两边少。
重复几次 ，结果相似。
单个小球运动是随机的 , 大量小球运动分布是确定的。
大量偶然事件整体所遵 循的规律 —— 统计规律。
热学
小球数按空间 位置 分布曲线
v2
dN 4π(
m
)3
2
e
mv2 2 kT
v2
dv
N
2πkT
热学
5
反映理想气体在热动 平衡条件下，各速率区间 分子数占总分子数的百分
第三章 气体分子热运动速率和能量的统计分布规律
m
v2
v2dNv
4
1
v4ev2 / 2 dv 3 2
N
0
3 3
2
所以： a2 2kT m
所以：速度分布率： F(v)
dNv
( m ) e 3/ 2 mv2 / 2kT
Ndvxdvydvz 2kT
速率分布律：
f (v) dNv 4 ( m ) v e 3/ 2 2 mv2 / 2kT
2.统计规律的数学描述
(1).概率：大量偶然事件中，出现某一结果的可能性
PA
lim
N
NA N
所有结果的概率和等于1，即称概率满足归一化条件。
Pi 1 i
0 Pi 1
(2).物理量的统计平均值
W
lim W1N1 W2 N2 Wn Nn
N
N
W1P1 W2 P2 Wn Pn
一般说来，某次测量值与统计平均值之间存在的偏离， 这种偏离就是涨落。
n
•
F (vx2
v
2 y
vz2 )dxdydz
• vzdAdt
n为分子数密度，F为麦克斯韦速度分布 除以dtdA，积分可得单位时间内碰撞到单位器壁面积上的分子数为：
n • (
m
3
)2
Байду номын сангаас
2kT
0 dvz
dv dv • v e x y
m
(
vx2
v
2 y
vz2
)
/
2
kT
z
n( m )1/2 kT 1 n 8kT 1 nv
N
C3
e dv vx2 / 2 x
e dv vy2 / 2 y
《分子热运动的统计规律》热运动分布律
《分子热运动的统计规律》热运动分布律当我们谈到分子热运动，仿佛进入了一个微观而神秘的世界。
在这个微小的领域里，有着一套独特而奇妙的统计规律，它们支配着分子的行为和分布。
想象一下，在一个封闭的容器中，充满了气体分子。
这些分子以极高的速度在四处乱撞，就像一群疯狂的小弹珠。
它们的运动看似毫无规律，但实际上却遵循着一定的统计规律。
首先，我们来了解一下分子热运动的速度分布。
分子的速度并不是都一样的，而是呈现出一种分布状态。
有的分子速度快，有的分子速度慢。
这种速度分布可以用麦克斯韦速度分布律来描述。
简单来说，就是速度较小和速度较大的分子数量较少，而速度处于中间某个范围内的分子数量较多。
为什么会有这样的分布呢？这是因为分子之间的碰撞。
当分子相互碰撞时，它们会交换能量和动量，导致速度发生变化。
经过无数次的碰撞，分子的速度就会逐渐形成这种特定的分布。
分子热运动的能量分布也有着类似的规律。
分子具有动能和势能，它们的总能量也呈现出一种分布。
在一定的温度下，大部分分子的能量处于一个相对稳定的范围内，只有少数分子具有非常高或非常低的能量。
那么，这些统计规律对于我们理解宏观世界有什么意义呢？其实，它们与许多宏观现象密切相关。
比如，我们知道气体的压强是由分子撞击容器壁产生的。
由于分子热运动的无规则性，它们撞击容器壁的方向和力量也是随机的。
但从统计的角度来看，大量分子撞击容器壁产生的平均效果就表现为一定的压强。
而且，温度越高，分子的热运动越剧烈，速度越大，撞击容器壁的力量也越大，从而导致压强增大。
再比如，热传递现象。
当两个温度不同的物体接触时，高温物体中的分子热运动更剧烈，能量更高。
通过分子之间的碰撞和相互作用，能量会从高温物体传递到低温物体，直到两者的温度达到平衡。
这也是由分子热运动的统计规律所决定的。
分子热运动的统计规律还能帮助我们解释很多其他的现象，比如扩散现象。
当我们在房间里喷香水时，过一会儿整个房间都能闻到香味。
这是因为香水分子在空气中做无规则的热运动，逐渐扩散到整个空间。
第三章 气体分子热运动速率和分布函数_电子教案白
第 一 节 气体分子的速率分布律
一、 速率分布函数 1．分子速率分布 平衡态下，分布在各速率区间内的分子数占总 分子数的百分率。令 N 为分子数，平衡态下在速率 v : v + dv 内
dN dN = f (v) dv ⇒ f (v) = Ndv N 2、物理意义：在速率 v 附近，单位速率间隔内出现的分子数占总
2
N = 2.6875 ×1019 个 ∆N = 2.484 ×1017
（2） v = vp＝
2 kT m0
3
∆v =
− m0 v 2 2 kT
vp 100 4 −1 11 = 4π ( 2 ) 2 e N vp
例：理想气体，求 v = 的分子数的比值。
v 2 ∆v =
解： （1） f (v) =
dN 4πA 2 = v = kv 2 Ndv N
vF
（2）
∫
∞
0
f (v)dv = ∫
∞ 2
0
4π Av 2 vF 3 dv = 1 = 4π A N 3N
vF 2
A=
3N 4π vF 3
（3） v =
2
∫
0
v f (v)dv = ∫
0
2 vF 4π Av2 3 2 3v v dv = ∫ v 3 dv = vF 2 0 N vF 5
2 2 =1:2:4 ，则 p : p : p =？ : v 2 2 : vC C B A B
1
解：
pA : pB : pC = nkTA : nkTB : nkTC
∵ (v ) : (v ) : (v ) =
1 2 2 A
1 2 2 B
第三章 气体分子热运动速率和能量的统计分布
气体分子热运动速率 和能量的统计分布
1
第三章 气体分子热运动速率和能量的 统计分布
§1 气体分子的速率分布律 §2 用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律 §3 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布 §4 能量按自由度均分定理
2
§1 气体分子的速率分布律
一、速率分布函数
设总分子数N，速率区间v ~ v+dv内分子数 dN占总 分子数的比率为： dN f (v)dv ，其中：
1mol理想气体内能为：
Um
1 2
(r
t
2s)RT
，因此：
CV ,m
1 2
(r
t
2s)R
只与自由度有关
单原子分子气体：
CV ,m
3 2
R
双原子分子气体：
7 CV ,m 2 R
35
五、经典理论的缺陷
CV ,m
根据经典理论：
7R 2
一切双原子分子CV,m相同
5R 2
CV,m与温度无关
3R 2
T/K
理论与实验的不符，根本在于它是建立在经典概念，即能量 连续分布的基础上的。只有用量子理论才能进行较完满的解释。
单位时间内碰到单位面积器壁上速度在vx~vx+dv之间的分子数为：
nvx
f
(vx )dvx
nvx
m
2kT
1/ 2
e dv mvx2 / 2kT x
单位时间内碰到单位面积器壁的总分子数为：
0 nvx f (vx )dvx
n
m
1/ 2
2kT
e v dv mvx2 / 2kT
0
xx
n
kT
气体分子在空间位 置不再呈均匀分布
分子热运动分子运动的速度分布和温度的概念
分子热运动分子运动的速度分布和温度的概念分子热运动——分子运动的速度分布和温度的概念分子热运动是指物质中分子的无规则运动。
根据动能定理，分子的热运动可以转化为宏观物体的热运动，从而引起物体的温度变化。
本文将探讨分子运动的速度分布以及温度的概念。
一、分子运动的速度分布物质中的分子以不同的速度做无规则运动，这种速度可以通过求解分子运动速度分布曲线来描述。
麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布定律描述了理想气体中分子速度的分布情况。
麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布定律可以通过以下公式表示：f(v) = 4π (m /2πkT)^(3/2) * v^2 * exp(-mv^2 / 2kT)其中，f(v)表示单位体积内速度为v的分子数，m为分子的质量，k 为玻尔兹曼常数，T为温度。
根据麦克斯韦-玻尔兹曼速度分布定律，分子的速度分布曲线呈现高斯分布（也称为正态分布）。
在该曲线中，速度较小和速度较大的分子数较少，而速度较中等的分子数较多。
这导致了分子的平均速度存在，且平均速度与温度成正比。
二、温度的概念温度是衡量物体热运动程度的物理量，它与物体中分子的热运动有直接关系。
温度的单位是开尔文（K）。
在科学上，温度是根据理想气体状态方程的等式来定义的。
理想气体状态方程可以表示为：PV = nRT其中，P表示物体的压力，V表示物体的体积，n表示物体中分子的摩尔数，R表示气体常数，T表示温度。
根据理想气体状态方程的等式，我们可以得到温度的定义为：T = PV / (nR)这个定义的温度被称为绝对温度，在绝对零度时等于0K。
绝对温度与摄氏温度之间的关系可以用以下公式表示：T（K）= t（℃）+ 273.15通过温度的定义，我们可以知道温度是分子热运动的反映。
当温度升高时，分子的平均动能增加，分子的运动速度将增加。
而当温度降低时，分子的平均动能减小，分子的运动速度将减小。
三、结论分子热运动是物质中分子的无规则运动，通过分子运动的速度分布和温度的概念，我们可以更好地理解物质热现象的本质。
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w
S2
S3
银原子、蒸发炉、 狭缝S1和 S2、 转动的圆筒、 玻璃板G、测微光度计。
S1
Ag
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
例：利用麦克斯韦速率分布求：V
m 3 2 ) e 解： f (V ) 4π( 2πkT m 2 V 2 kT
p
V2 V
V2
kT 1.41 m
o
Vx
r V Vy
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
F (v v
2
) g (v v
2 x
2 x
2 x
) g (v + v
2 z
2 y
) g (v
2 z
)
2
+ v
2 y
g (v ) e
2 -av x
F (V ,V ,V ) Ae -aV
x y z
f (v )
C
o
vo
v
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
解：
0
f (v)dv Cdv Cvo 1
0
vo
1 C vo
v vf (v)dv
0
vo
0
vo 1 v vo 2 2
2 o
2 vo Cvdv C 2
v v f (v)dv
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
m F (Vx ,Vy ,Vz ) ( ) e 2πkT
3 2
-
m (Vx 2 +Vy 2 +Vz 2 ) 2 kT
麦克斯韦速度分布函数 2. 麦克斯韦速率分布律
处于平衡态的理想气体系统，速率满足下列分布规律
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
V2
T1
T2 T1
f (V )与T 、m 有关
o
V p1 V p2
V
T -峰右移
V p : 最可几速率 The most probable speed 注: 大量分子 平衡态 统计规律
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
*9.4.4 分子的速率分布律实验 实验原理 G B
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
9.4.1 分子的速率分布函数
气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分子 的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来 说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子 整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守一定的统 计规律——气体速率分布律。 速率分布函数：按统计假设分子速率通过碰撞不断改变， 不好说正处于哪个速率的分子数多少，但用某一速率区间 内分子数占总分子数的比例为多少的概念比较合适，这就 是分子按速率的分布。
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
kT V p 1.41 m
kT V 1.60 m
平均速率
kT V 1.73 m
2
最可几速率
方均根速率
f(v)
v
vp v
v2
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
例：利用麦克斯韦速度分布计算单位时间撞到单位面 积上的分子数 n'
v e
x
-
m 2 v x 2 kT
dvx
-
e
-
m 2 v y 2 kT
dvy
-
e
-
m 2 v z 2 kT
dvz
1 8kT 1 n nv 4 πm 4
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
例. 图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率分布 曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这 两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲 线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？ 解： f(v)
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
r v
n
dA
vx
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
所以
m n vx n( ) e 2πkT 0 - - m n( ) 2πkT
3 2 0
3 2
-
m ( v2 x + v2 y + vz 2 ) 2 kT
dvx dvy dvz
Vz
利用速度分布律可以导出速 率分布律
dVx dVy dVz
分子速率处于V+dV间的几 率是分子速度矢量端点落在 以V 和V+dV 为内外半径球 壳内的几率。
o
r V Vy
Vx
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
f V dV F Vx ,Vy ,Vz 4 πV dV
2 2 0
vo
0
1 2 Cv dv vo 3
2
3 v vo 3
2
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
9.4.2 分子的速度分布函数： 速度空间（如图）
Vz
dVx dVy dVz
速度空间的体积元 dVxdVydVz
代表如下速度范围
Vx Vx + dVx ,Vy Vy + dVy ,Vz Vz + dVz
1
含义？ dV 速率间隔的分子数 含义？ V1-V2 速率间隔的分子数
dN
V2
N Nf (V )dV 0
o
V1
dV
V2
V
0
f (V ) dV 1
归一化条件
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
归一化条件说明 f(v)-v 曲线下的面积等于1
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
例：求气体分子速率与最可几速率之差不超过1%的分 子数占全部分子的百分率。
m N 4π 解： N 2 π kT
32
32
e
v
2
m v2 2 kT
v 2 v
已知
1 - v p2 2 4π e v v 2 πv p
-
e
-a x 2
dx
p
a
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
3 2
π A a
-
v
2 x
-
ve
2 x -
2 -a v x
dv x
e
2 -a v x
dv x
kT m
m a 2kT
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
同理：
V
2
0
V
2
f (V ) dV
g gf (V )dV
0 第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
例：设有N 个粒子，其速率分布函数为:
f (v ) =
C ( vo> v > 0)
0 ( v > vo )
1. 作速率分布曲线。
2. 由vo求常数C。 3. 求粒子的平均速率。 4. 求粒子的方均根速率。
麦克斯韦证明：处于平衡态的理 想气体系统
F (V , V , V ) Ae -aV
x y z
2
利用系统的各向同性性，
F ( v x , v y , v z ) F (v 2 )
Vz
dVx dVy dVz
三个速度分量的相互独立性
2 2 F (v 2 ) g (v x ) g (v y ) g (v z2 )
f(v)
v
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
3. 用速率分布函数表示平均值
V
V
i 1
N
i
N
如何用f(V)表示？
dN Nf (V ) dV
V V + V
在dV区间 : Vi VdN
i
V
VdN
N
0
Vf (V )dV
氧
T1
2kT vp m
T1 < T2
氢
T2 v
v p1
v p2
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
例. 求在标准状态下，1.0m3氮气中速率处于 500~501ms-1之间的分子数目。 解： N N 4π 已知
T 273.15 K
m 2 π kT
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
几率
代表速率V 附近单位速率区间内分子数占总数比率.
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
2. 速率分布函数的归一化条件
dN f (V )dV N
dV 速率间隔的分子数占 含义？ 总分子数的比率
Nf (V )dV dN
N Nf (V )dV V
2
m f (V ) 4π( ) e 2πkT
3 2
-
m 2 V 2 kT
V2
Vz
dVx dVy dVz