9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律

o
Vx
r V Vy
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
F (v v
2
) g (v v
2 x
2 x
2 x
) g (v + v
2 z
2 y
) g (v
2 z
)
2
+ v
2 y
g (v ) e
2 -av x
F (V ,V ,V ) Ae -aV
x y z
2
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
常数的确定：

---
F(v ,v ,v )dvdv dv 1
x y z x y z
---
Ae

2 2 2 -a(vx +vy +vz )
dvxdvydvz 1
3
2 -a v x A e dv x 1 -
氧
T1
2kT vp m
T1 < T2
氢
T2 v
v p1
v p2
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
例. 求在标准状态下，1.0m3氮气中速率处于 500~501ms-1之间的分子数目。 解： N N 4π 已知
T 273.15 K
m 2 π kT
1
含义？ dV 速率间隔的分子数 含义？ V1-V2 速率间隔的分子数
dN
V2
N Nf (V )dV 0
o
V1
dV
V2
V
0

f (V ) dV 1
归一化条件
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
归一化条件说明 f(v)-v 曲线下的面积等于1
2 2 0

vo
0
1 2 Cv dv vo 3
2
3 v vo 3
2
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9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
9.4.2 分子的速度分布函数： 速度空间（如图）
Vz
dVx dVy dVz
速度空间的体积元 dVxdVydVz
代表如下速度范围
Vx Vx + dVx ,Vy Vy + dVy ,Vz Vz + dVz
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
kT V p 1.41 m
kT V 1.60 m
平均速率
kT V 1.73 m
2
最可几速率
方均根速率
f(v)
v
vp v
v2
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例：利用麦克斯韦速度分布计算单位时间撞到单位面 积上的分子数 n'
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
几率
代表速率V 附近单位速率区间内分子数占总数比率.
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
2. 速率分布函数的归一化条件
dN f (V )dV N
dV 速率间隔的分子数占 含义？ 总分子数的比率
Nf (V )dV dN
N Nf (V )dV V
V2
T1
T2 T1
f (V )与T 、m 有关
o
V p1 V p2
V
T -峰右移
V p : 最可几速率 The most probable speed 注: 大量分子 平衡态 统计规律
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
*9.4.4 分子的速率分布律实验 实验原理 G B
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2 m N N e 2πkT
-1
3
mv 2 2 kT
4πv v
2
-1
v 500 m s , v 1 m s
N 5.0 10 m
22 -3
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律

-
e
-a x 2
dx
p
a
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
3 2
π A a

-
v
2 x
-
ve
2 x -
2 -a v x
dv x
e
2 -a v x
dv x
kT m
m a 2kT
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
r v
n
dA
vx
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
所以
m n vx n( ) e 2πkT 0 - - m n( ) 2πkT
3 2 0

3 2
-
m ( v2 x + v2 y + vz 2 ) 2 kT
dvx dvy dvz
解：设分子数密度为n, 则具有速度vx,vy,vz 附近 的分子数密度等于什么？
n F ( v x , v y , v z ) dv x dv y dv z 单位时间撞到dA面积上速度在 vx,vy,vz附近 dvx,dvy,dvz中 的分子数 等于斜柱体vx dA内该种速度的分子 (v x dA)n F (v x , v y , v z )dv x dv y dv z
同理：
V
2



0
V
2
f (V ) dV
g gf (V )dV
0 第9章 平衡态与分子热运动的统计规律

9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
例：设有N 个粒子，其速率分布函数为:
f (v ) =
C ( vo> v > 0)
0 ( v > vo )
1. 作速率分布曲线。
2. 由vo求常数C。 3. 求粒子的平均速率。 4. 求粒子的方均根速率。
f(v)
v
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
3. 用速率分布函数表示平均值
V
V
i 1
N
i
N
如何用f(V)表示？
dN Nf (V ) dV
V V + V
在dV区间 : Vi VdN
i
V
VdN
N


0
Vf (V )dV
f (v )
C
o
vo
v
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9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
解：


0
f (v)dv Cdv Cvo 1
0
vo
1 C vo
v vf (v)dv
0

vo
0
vo 1 v vo 2 2
2 o
2 vo Cvdv C 2
v v f (v)dv
f(v)
2kT v vp , v 0.01v p m
32 v p2
- 2 v N 1 vp 2 4π e v p (2 0.01v p ) 1.66% 2 πv N p
p
v
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例：求气体分子速率与最可几速率之差不超过1%的分 子数占全部分子的百分率。
m N 4π 解： N 2 π kT
32
32
e
v
2
m v2 2 kT
v 2 v
已知
1 - v p2 2 4π e v v 2 πv p
1.60 kT m
df (V ) 0 dV
2kT 2 RT Vp m M
8kT 8RT V πm πM
V V 2 f (V )dV
2 0
2
3kT 3RT kT V 1.73 m m M
or
2 1 3 mV kT 2 2
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
麦克斯韦证明：处于平衡态的理 想气体系统
F (V , V , V ) Ae -aV
x y z
2
利用系统的各向同性性，
F ( v x , v y , v z ) F (v 2 )
Vz
dVx dVy dVz
三个速度分量的相互独立性
2 2 F (v 2 ) g (v x ) g (v y ) g (v z2 )
Vz
利用速度分布律可以导出速 率分布律
dVx dVy dVz
分子速率处于V+dV间的几 率是分子速度矢量端点落在 以V 和V+dV 为内外半径球 壳内的几率。
o
r V Vy
Vx
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f V dV F Vx ,Vy ,Vz 4 πV dV
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
m F (Vx ,Vy ,Vz ) ( ) e 2πkT
3 2
-
m (Vx 2 +Vy 2 +Vz 2 ) 2 kT
麦克斯韦速度分布函数 2. 麦克斯韦速率分布律
处于平衡态的理想气体系统，速率满足下列分布规律
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9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
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1. 速率分布函数定义： V V + V内分子数 : N N :占总数比率 N 几率
1 dN f (V ) N dV
o
V
V +V
V
N 一般与V 成正比 N N V有关 与 NV N dN f (V ) lim V 0 N V NdV
w
S2
S3
银原子、蒸发炉、 狭缝S1和 S2、 转动的圆筒、 玻璃板G、测微光度计。
S1
Ag
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例：利用麦克斯韦速率分布求：V
m 3 2 ) e 解： f (V ) 4π( 2πkT m 2 V 2 kT
p
V2 V
V2
kT 1.41 m
2
m f (V ) 4π( ) e 2πkT
3 2
-
m 2 V 2 kT
V2
Vz
dVx dVy dVz
o
V
Vy
Vx
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9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
3. 速率分布曲线
f (V )
m 3 f (V ) 4π( )2 e 2πkT m 2 V 2 kT
o
Vx
r V Vy
Leabharlann Baidu
设取在该速度范围的分子数为dN ,则速度分布函数 定义为
1 dN F (Vx ,Vy ,Vz ) N dVx dVy dVz
d3v范围的分子数占总分子数的比率 亦可用F (V ) 表示
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*9.4.3 分子的速度和速率分布律 1. 麦克斯韦速度分布律

v e
x
-
m 2 v x 2 kT

dvx
-
e
-
m 2 v y 2 kT
dvy
-
e
-
m 2 v z 2 kT
dvz
1 8kT 1 n nv 4 πm 4
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9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
例. 图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率分布 曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这 两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲 线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？ 解： f(v)
9-4 分子热运动的速度和速率统计分布规律
9.4.1 分子的速率分布函数
气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分子 的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来 说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子 整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守一定的统 计规律——气体速率分布律。 速率分布函数：按统计假设分子速率通过碰撞不断改变， 不好说正处于哪个速率的分子数多少，但用某一速率区间 内分子数占总分子数的比例为多少的概念比较合适，这就 是分子按速率的分布。
3 2
e
m v2 2 kT
v 2 v
P 1.013 ´ 105 Pa
5
P 1.013 10 25 -3 N n 2.7 10 m -23 kT 1.38 10 273.15
M 28 10 kg mol
-3
-3
-1
M 28 10 -26 m 4.65 10 kg 23 N A 6.022 10