哈工大大学物理课件(马文蔚教材)第8篇电学

n
n
VA VAi
i1
i1
1 40
dE y
.
p
dE
dE x x
则 Ey 0 只剩下 E x
讨论:
2)当带电直线为长时,即
1E 0y
,02
Ex
20a
E
20a
例 dq
QR
已知：均匀带电圆环 Q R r 求： 对称轴线上 Ep ?
x
P
dE
Ep
dq
40r2
cos
cos 40r2
dq
Q
40r2
cos
Ep 40(xQ2 xR2)32 方向沿x轴
静电场力做功与路径无关 可以引入电势能Ep
WABEpAEpB
W AB q0
Edl
AB
一般 电势能
E p A q 0A E B d l ( E p B 0 )
8-7 电势
一、静电场的保守性意味着，对静电场来说，存在一个由电场中
各点位置所决定的标量函数
VA
E pA q0
VB
E pB q0
叫电场的电势
以上每一项为点电荷的电场力作功，均与积分路径无关
所以对任意静电场，静电场力移动 q0 做功与路径无关 ，仅与 q0 的始末位置有关
所以，静电力是保守力。
二q .0 L静E 电d q 场r 0L 1 环q rr A 路B 0 L E 定1r r 理d A B l E . d q l 0L 2q rr A B 0 L E 2r r d B A l E d 0l LEdl 0
的始末位置有关
若点电荷系 q1,q2,…qn 激发场
q0W 从ABrrA电Bq场0E力作dl功 为q 0r r A B (E 1E 2 E n)d l q 0 r r A B E 1 d l q 0 r r A B E 2 d l q 0 r r A B E n d l
点电荷q0在电场 E 中受力F qE
静止点电荷的场强及其叠加
点电由荷q的F场强4为1:0Eqrq20Fer 1
q0 40
q r2 er
场源为点电荷： 场源为点电荷系：
E
1
4 0
q r2
er
E
n i1
1
40
qi ri2
eri
场源电荷连续分布：
dE
dq
4 0r2
er
E dE 4dq0r2er
1 SI制: k
4 0
q1
q2
F12
F12
e12 表示单位矢量
1
40
q1q2 r122
e12
e12e21
0 真空介电常数（真空电容率）
08 .8541 8 1 7 1 0C 28 2(1 N m 72)
Байду номын сангаас 2. 静电力的叠加原理
q1,q2,qn 作用在q0上的总静电力
F
n n
F Fi
当 x0 E p 0
当 当
xR Ep
x E p
Q
4 0
0
x2
x ?时E p最大
例 dr
已知：均匀带电圆盘 R
求： 对称轴线上 Ep ?
r
dq
x
P
dE
R
dqds
2rdr
Ep
dEp
4
x
0(x2r2)32
d
q
R x2rdr 0 40(x2 r2)32
20
1 (x2
x R2)12
1
EdS0
qi
(S内)
例 1 均匀带电无限长细棒电荷线密度为 ,求其场强分布.
设 带正电荷,电荷线密度为 ,
因为场的分布是轴对称的
+ + 通过 P 点作以细棒为轴的同轴圆柱面 半径为 r, 长为 l ,
S1 + + ++
该高斯面电通量为:
+
+
+
+
+ + +
r
P
S3
l
+
e EdS E d SE d SE d S
规定：
E
dN
e
二 电场强度通量. e dS
1.dS的电通量为 d e Ec d o S E s d S
面元 dS的电场通量在数值上等于穿过面元 dS的电场线条数
2. 计算通过有限大曲面S 的电通量
e
en是
e
EdS
s
ds 的法向单位矢量
en E dS
en
3. 闭合曲面 S 的电
B
E
A
eEn 通量.如 BA图点点e所示s:><9E 90000dSee为为负正((进出))
S
三 高斯定律
表述 真: 空静电场中任意闭合曲面 S 的电场通量e,等于该曲面
所包围的电荷的代数和 qi 除以 0,与闭合曲面外电荷无关
证明:
e
s
E •ds10 S
qi
内
q
1.包围点电荷 q 的同心球面 S 的电场通量等于 0
布
设 >0 , 场是面对称的, 做柱形高斯
S
E
e
S
面. 侧面垂直与带电面. 由高斯定律得:
S
E
2ES 1 S 0
E
2 0
若等量异号电荷 ----- 对无 限大平行平面薄板之间的场强
E
0
8-6 静电场的环路定理 电势能
B
一 静电场力所作的功. 如图
q0 由 A 点B 点，q的电场力的所做的功
cos
4
2• 1 q
40r2l2
l2 4r2l2 412
1
40
ql r2 l2 432
EQ
1
40
pe r3
z E+
Q EQ
E-
r
0
E- E P x
ll
r
-q 2 2 +q
P
E+
EQ
1
40
pe r3
r
EP
E
E2
E P
• E1
利用上述结果
E1
1
40
2pe r3
cos
r+q-q
说明 电场线在无电荷处连续
以q为球心在任意S闭合曲面内外 取同心球面S’和S”
通过S”和S’的电场线数量相同为q 0
所以通过S的电场线数量
e
S
E•dS
q
0
S S’’ q
q
S’
3. 不包围点电荷任意闭曲面 S 的电通量为零.
电场线在无电荷处连续
进入与穿出S面的电场线数量相同
e E•dS0
S
4. 多个点电荷电通量等于它们单 独存在时的电场通量的代数和
物理学中册 第八章 静 电 场
8-1 电荷量子化 电荷守恒定律
1. 两种电荷
2.电荷守恒定律
在一个与外界没有电荷交换的系统内, 正负电荷 的代数和在任何物理过程中保持不变. 3.电荷量子化
实验证明: 微小粒子带电量的变化不是连续的,只能是
某个元电荷e 的整数倍. e1.6021717 013 9c3(库仑)
此函数在A和B两点的数值差等于从A到B电场强度沿任意路径的线积
分，也等于从A到B移动单位正电荷静电场力所做的功。
U 如 零A果点B 指，V 则定A AP 点0为V 电电B 势势VE ApA q 0E AEp p0B d lW qA 0BUAA EBBdlA电AB与E 势B两差d点l的
即意路在径静电移场到中零某势点点电电势场等力于所将做单的位功正电荷由该点沿任
2 0r3
讨论:
当 =/2.
即
P
点落在
l的中垂线上.
Ep
Pe
40r3
例 2 均匀带电直线周围电场分布,如图所示
. d dydE E Epp电pxya荷 c的44 4t线gddd密000 q度qqrrr为2 22escdiyondsqsai nd2ddyoqr2y1 a2rs
dE
a2 in 2
y
p
1)电荷线分布. dqdx
电荷的线密度,dx线元 2)电荷面分布. dqds
电荷的面密度, ds 面元
3)电荷体分布. dq dV
电荷的体密度, dV体积元
场强的计算
例 1 求: 远离电偶极子一点p的场强 r l
电偶极子: 系 -q
两大l小相等符+号q 相反的点电荷+q和-q组E成r点电荷
如图: l 是极轴; pql 叫电偶极矩 E
场源电荷 q1,q2,qn 总场E
则
E
F
n
Fi
i1
n
q0
q0
i1
n
检验电荷q0 由 F F i
i1
Fi q0
每个点电荷单 独存在的场强
Ei
Fi q0
n
E E i E1E2En
i1
一组点电荷在某点激发的场强,等于每个点电荷单独存在时所产生
的电场在该点场强的矢量和,称为场强的叠加原理
S
q
S
由场叠加原理和上
述2，3结论可得 （自己证）:
SE dS10(S内)qi
* 静电场高斯定律的微分形式
电荷连续分布情况 下高斯定律可写为:
sE dS10
dV
V
据:奥—高公式 EdS EdV
s
V
可得 :
V EdV10 dV
E 1 0
E 称 E的散度
结论：静电场是有源场
1.7 利用高斯定律求静电场的分布
W
rA
Fdl
rB
rrABq0E
dl
dl
E
q0
rBEdlcos
rA
A
q0
q rB
rA 40r2
dr qq0 ( 1
40 rA
1) rB
dlcosdr
E q
静电场力移动单位正电荷对
q0
4 0r 2
做功与路径无关，仅与
q0 的始末位置有关
或者： 场源点电荷q的电场强度的线积分与路径无关，仅与 q0
i1
i1
410qr0iq 2 0i ei0
F i 为qi单独存在时q0受力
FA q0
8-电3 场电定中场义qF:强0 度E是与Fq0无关的量（场源q•电e r荷（）检验rq电0 荷BA ）
FA EAq0
FA
q0
FB
某处的电场强度的大小等于单位电荷在该处所受到的电场力的
大小,其方向与正电荷在该处所受 到的电场力的方向一致. 在SI制中: E的单位是 N C E是矢量坐标的一个矢量函数
如图 ,以点电荷的中心作半径为
de E dS4q0r2dS
r
的球面. E
r
en ds
e
s
de
s
4q0 r2d
s
+q
q
40r2
4r2
q
0
q 2. 包围点电荷 q 的任意闭合曲面的电通量为 0
由于上述结论与球面半径r无关,说明对以点电荷 q为 中心的任意 球面而言，通过它们的电通量都一样。
对两个无限接近的球面，通过它们的电通量都相同，
2
r
1
-q
l +q
E2
1
40
pe r3
sin
E PE 1 2 E 2 24P e 0 r3 3 co 2 s 1
方向:
tgE2 1tg
E1 2
为 E p 与 r 的夹角
E PE 1 2E 2 24P e 0r3 3co 2 s 1
当=0. 即 P 点落在 l的延长线上. Ep
Pe
dE
dE x x
Ex 2 1
4dE x0asi1 n24 dd 0 rq42s0 ian(co 121s4cd0ory2s2)sin
E Eyx 4 1d 240 E ya (0ac1c2o o41s d sdc0 rq2 oc2s)os
y
2
Ep41)E 当0x2ap (点sE 落iny2在 带2 电s直itn线g 的1 )中垂E E线ddx yoqq上,1 ar
4. 电荷的相对论不变性
8-2 库仑定律
1. 两个点电荷相互作用
库仑定律
在真空中, 两个静止点电荷之间的相互作用力的大小
与它们的电量q1和q2的乘积成正比, 与它们之间的距离的平
方异成号反电比荷,相吸作.用力的方向沿e1着2 它们r12的连线, 同号电荷相斥,
F21
F12
k
q1q2 r122
e12
对有限大带电系统 零势点常选 远处
VA
Edl
A
已知静电场的电势分布，可以方便的计算出点电荷在静电场中
移动时电场力所做的功 .
二
三
场电V W 源势A 点A 的 电叠 A A 荷加E B q E 的0 原1 电d A 理d E l l 势 d V B l A A A ( E E q 2 A 1 0 U E d A l E d l 2 B q A 0 ( 4V A A q E 0 E r n 2n V ) d B d d ) rl l 4q0r
E
q
40r2
q
将
E
E ,
E
40r2
分别沿着
,
r 和垂直
于 r方向分解.
-q
P• E
r
2
+q -q
r
r
1
l +q
EP
1
40
q rl22
q rl22
1 2qlr
4 0
r2 l2 4 2
EP
1
40
pe ql
2pe r3
EP
为电偶极矩
1
40
2pe r3
EQ2•410r2ql2
s
s1 s2
S3
0 0 E d s Ec do s
+ + S2
E ds s3E2rl 1s3
s3
0
qi
l 0
据高斯定律: e E ds E2r
s
l
i0 qi 0 l
E
P 点 E 的方向垂直于轴线向外
2 0r
结论: 无限长带电导体附近 r 点的场强大小为 E 2 0r
例 2. 均匀带电无限大平面薄板的电荷面密度, 求其场强分
对任意静电场，电场强度的线积分与路径无关，仅与 q0 的
始末位置有关
静电场是保守场
在静电场中,场强沿任意闭合路径的线积分等于零,称为
静电场的环路定理
据矢量的斯托克斯公式 Edl (E)dS
L
S
E0 说明静电场是无旋场（保守场）
结论: 静电场是有源无旋场.
三 电势能
静电场是保守场，静电力是保守力,
方向沿x轴
当 xR 或 R无限大均匀带电平面
E
p
2 0
8-4 电场强度通量 高斯定理
一 电场线
E(
p)
N S
p
N 电场线条数 S 垂直于场强方向上的面元
电场线性质:
1. 电场线始于“+” 止于“-”(或远处)不
中2.断任意两条电场线不相交.
3. 电场线不形成闭合曲线 电场线疏密程度反映了场强大小,曲线上每一点的切线方 向是该点的场强方向.