高三第一轮复习函数的单调性课件
合集下载
3.2.1-单调性与最大(小)值课件-2025届高三数学一轮复习
f x1 − f x2 > 0,
f x1 − f x2 < 0,
f x1 > f x2 ,
或
即
或
x1 < x2
x1 − x2 < 0
x1 − x2 > 0,
f x1 < f x2 ,
∴ f x 在 a, b 上是减函数，C是真命题，同理可得D也是真命题.
x1 > x2 ,
例1-2 (2024·河北省石家庄市期末)下列四个函数中，在 0, +∞ 上单调递增的是
= − +
−
因为 ， ∈ , +∞ 且 < ，可得 − < ， > ， <
−
> ，
所以 − = −
−
< ，即 < ，
所以函数 在 , +∞ 上单调递增．
3
, (−1, ]，单调
2
3
2
递减区间为[ , 4), 4, +∞ .
所以由复合函数的单调性可知函数y =
D.∀x1 ,x2 ∈ a, b ,且x1 ≠ x2 ,当 x1 − x2 [f x1 − f x2 ] > 0时，f x 在 a, b 上单调递
【解析】A是假命题，“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；
1
x
以f x = 为例，知B是假命题；
∵
f x1 −f x2
x1 −x2
< 0 x1 ≠ x2 等价于[f x1 − f x2 ] ⋅ x1 − x2 < 0,而此式又等价于
[1, +∞)，单调递减区间是(−∞, −3]和[−1,1].（函数的单调区间
函数单调性与最值问题课件-2025届高三数学一轮复习
将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结
合的方法进行求解.
方 法 规 律
利用函数的单调性求解不等式的方法
(1)依据：若 f(x)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数，x1，x2 是定义域上(或该区间上)任
意两个自变量的值，则 f(x1)<f(x2)⇔ x1<x2(x1>x2)；
.
解析 （2）法一（换元法）：令t＝ − 1，且t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数
变为y＝t2＋1＋t，t≥0.配方得y＝
+
1 2 3
1 3
＋ ，又因为t≥0，所以y≥ ＋ ＝1，
2
4
4 4
故函数y＝x＋ − 1的最小值为1.
法二（单调性法）：因为函数y＝x和y＝ − 1在定义域内均为增函数，故函数y
【例3】 设f（x）的定义域为R，图象关于y轴对称，且f（x）在[0，＋∞）上
为增函数，则f（－2），f（－π），f（3）的大小顺序是 （答案 ）B
A.f（－π）＜f（－2）＜f（3）
B.f（－2）＜f（3）＜f（－π）
C.f（－π）＜f（3）＜f（－2）
D.f（3）＜f（－2）＜f（－π）
解析 ∵f（x）的定义域为R，图象关于y轴对称，∴f（x）是偶函数，∴f（－
A.（－∞，－2）
B.（－∞，1）
C.（1，＋∞）
D.（4，＋∞）
）
解析：D 由x2－2x－8＞0，得f（x）的定义域为{x｜x＜－2或x＞4}.设t＝x2－
2x－8，则y＝ln t为增函数.要求函数f（x）的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x
－8的单调递增区间（定义域内）.∵函数t＝x2－2x－8在区间（4，＋∞）上单调
合的方法进行求解.
方 法 规 律
利用函数的单调性求解不等式的方法
(1)依据：若 f(x)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数，x1，x2 是定义域上(或该区间上)任
意两个自变量的值，则 f(x1)<f(x2)⇔ x1<x2(x1>x2)；
.
解析 （2）法一（换元法）：令t＝ − 1，且t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数
变为y＝t2＋1＋t，t≥0.配方得y＝
+
1 2 3
1 3
＋ ，又因为t≥0，所以y≥ ＋ ＝1，
2
4
4 4
故函数y＝x＋ − 1的最小值为1.
法二（单调性法）：因为函数y＝x和y＝ − 1在定义域内均为增函数，故函数y
【例3】 设f（x）的定义域为R，图象关于y轴对称，且f（x）在[0，＋∞）上
为增函数，则f（－2），f（－π），f（3）的大小顺序是 （答案 ）B
A.f（－π）＜f（－2）＜f（3）
B.f（－2）＜f（3）＜f（－π）
C.f（－π）＜f（3）＜f（－2）
D.f（3）＜f（－2）＜f（－π）
解析 ∵f（x）的定义域为R，图象关于y轴对称，∴f（x）是偶函数，∴f（－
A.（－∞，－2）
B.（－∞，1）
C.（1，＋∞）
D.（4，＋∞）
）
解析：D 由x2－2x－8＞0，得f（x）的定义域为{x｜x＜－2或x＞4}.设t＝x2－
2x－8，则y＝ln t为增函数.要求函数f（x）的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x
－8的单调递增区间（定义域内）.∵函数t＝x2－2x－8在区间（4，＋∞）上单调
新高考一轮复习人教A版第二章第十一讲导数与函数的单调性课件(60张)
【题后反思】根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单 调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)单调递增(减)的充要条件是对任意的 x∈(a，b) 都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且在(a，b)内的任一非空子区间 上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略， 否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式 有解问题.
解：函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax－(a＋1)＋1x＝ax2－a＋x 1x＋1＝
ax－1x－1
x
.
①当 0<a<1 时，1a>1， ∴x∈(0,1)和1a，＋∞时，f′(x)>0； x∈1，a1时，f′(x)<0， ∴函数 f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单调递增，在1，1a上 单调递减；
综上，当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单 调递增，在1，a1上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当 a>1 时，函数 f(x)在0，a1和(1，＋∞)上单调递增， 在1a，1上单调递减.
【题后反思】 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式 解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论， 还要确定导数为零的点和函数的间断点.
②当 a＞0 时，令 3x2－a＝0，得 x＝
33a或－
3a 3.
当 x＞ 33a或 x＜－ 33a时，f′(x)＞0；
当－ 33a＜x＜ 33a时，f′(x)＜0.
因此 f(x)在－∞，－ 33a， 33a，＋∞上单调递增， 在－ 33a， 33a上单调递减.
导数与函数的单调性课件高三数学一轮复习
目录
｜解题技法｜ 讨论函数f（x）单调性的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根； （3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上 讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性. 提醒 研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进 行分类讨论.
目录
考向2 解不等式
A.（－∞，－2）∪（1，＋∞） B.（2，＋∞） C.（－∞，－1）∪（2，＋∞） D.（－1，2）
目录
答案 C
目录
（1）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
目录
所以a＞－1. 即a的取值范围是（－1，＋∞）.
目录
（2）若函数f（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.
1.（多选）（2023·贵阳一模）下列选项中，在R上是增函数的有
（）
A.f（x）＝x4 C.f（x）＝xex
B.f（x）＝x－sin x D.f（x）＝ex－e－x－2x
目录
目录
2.已知f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是增函数，则a的最大值是
.
解析：f'（x）＝3x2－a，由结论1知f'（x）≥0，即a≤3x2，又∵x∈[1，＋∞），
∴a≤3，即a的最大值是3.
答案：3
目录
02
目录
证明（判断）函数的单调性 【例1】 （1）（2022·北京高考·节选） 已知函数f（x）＝exln（1＋x），设g （x）＝f'（x），讨论函数g（x）在[0，＋∞）上的单调性；
目录
目录
｜解题技法｜ 讨论函数f（x）单调性的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根； （3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上 讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性. 提醒 研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进 行分类讨论.
目录
考向2 解不等式
A.（－∞，－2）∪（1，＋∞） B.（2，＋∞） C.（－∞，－1）∪（2，＋∞） D.（－1，2）
目录
答案 C
目录
（1）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
目录
所以a＞－1. 即a的取值范围是（－1，＋∞）.
目录
（2）若函数f（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.
1.（多选）（2023·贵阳一模）下列选项中，在R上是增函数的有
（）
A.f（x）＝x4 C.f（x）＝xex
B.f（x）＝x－sin x D.f（x）＝ex－e－x－2x
目录
目录
2.已知f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是增函数，则a的最大值是
.
解析：f'（x）＝3x2－a，由结论1知f'（x）≥0，即a≤3x2，又∵x∈[1，＋∞），
∴a≤3，即a的最大值是3.
答案：3
目录
02
目录
证明（判断）函数的单调性 【例1】 （1）（2022·北京高考·节选） 已知函数f（x）＝exln（1＋x），设g （x）＝f'（x），讨论函数g（x）在[0，＋∞）上的单调性；
目录
目录
2024届新高考一轮总复习人教版 第二章 第2节 函数的单调性与最值 课件(35张)
【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)对于函数 y＝f(x)，若 f(4)<f(5)，则 f(x)为增函数．( ) (2)函数 y＝f(x)在[4，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[4，＋∞).( ) (3)函数 y＝3x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( ) (4)对于函数 f(x)，x∈D，若对任意 x1, x2∈D，且 x1≠x2 有(x1－x2)[f (x1)－f(x2)]>0，则 函数 f(x)在区间 D 上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
【考点集训】
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是( )
A．y＝－sin x
B．y＝x2－2x＋3
C．y＝ln (x＋1)
x
D．y＝2 022－2
解析：y＝－sin x 和 y＝x2－2x＋3 在(0，＋∞)上不具备单调性；y＝ln (x＋1)在(0，
＋∞)上单增．故选 D．
答案：D
2．函数 y＝log1(－x2＋x＋6)的单调递增区间为( )
－1<12，解得 1≤x<32，故选 D． 答案：D
4．(必修第一册 P81 例 5 改编)函数 f(x)＝2x－5 1在区间[2，4]上的最大值为________， 最小值为________.
解析：因为 f(x)在[1，5]上是减函数，所以最大值为 f(2)＝2×52－1＝53，最小值为 f(4)
第二章 函 数
[课标解读] 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值， 理解它们的作用和实际意义．
备考第 1 步——梳理教材基础，落实必备知识
1．函数单调性的定义
义域为 I，区间 D⊆I，如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时
3.2函数的单调性与奇偶性课件-2024届高三数学一轮复习
即练即清
1.判断正误(对的打“√”,错的打“✕”)
(1)函数y= 1 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). ( × )
x
(2)若定义在R上的函数f(x)有f(-1)<f(3),则函数f(x)在R上为增函数. ( × )
(3)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. ( × )
1
2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是 3 .
因此f(1)≠f(-1), f(-1)≠-f(1),
故f(x)为非奇非偶函数.
(3)由1 x2 0, 得函数的定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称,
| x 2 | 2,
∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x)= lg(1 x2) .
x
又∵f(-x)= lg[1 (x)2]=- lg(1 x2) =-f(x),
1 0
1
+b=ln +b=0,
2 (1 0)
2
∴b=-ln 1 =ln 2,此时f(x)=ln 1 1 +ln 2=ln 1 x ,满足题意.
2
2 1 x
1 x
综上可知,a=-1 ,b=ln 2.
2
答案 -1 ;ln 2
2
即练即清
3.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
1
3x x2
;(2)f(x)=|x|+x;
2.(2024届江苏淮安期中,7)若函数f(x)=(3aax, x1)x1 4a, x 1,是定义在R上的减函数,则a的 取值范围为 ( A )
A. 18
,
1 3
高三数学第一轮复习第二章《函数》课件
• 答案 (1)(－∞，－1)，(－1，＋∞) (2)(－1,1]
解析 (1)∵y＝11－ ＋xx＝－1＋1＋2 x ∴当 1＋x＞0 或 1＋x＜0 时，此函数均为减函数， 故减区间为(－1，＋∞)、(－∞，－1) (2)由11－ ＋xx≥0 得 x∈(－1,1]，此即为递减区间．
2．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( )
• (2)复合函数的单调性判断，要注意掌握“同增异减”．
• 2．根据定义证明函数单调性的一般步骤：设值(x1，x2且 x1<x2)→作差(f(x1)－f(x2))→变形→定号→结论．
• 3．对于函数f(x)的单调性，也可直接求f′(x)，当f′(x)>0时 为增函数，当f′(x)<0时为减函数．
• 4．单调性法是求最值(或值域)的常用方法．
• 题型一 判断或证明函数的单调性
例 1 判断函数 f(x)＝x2a－x 1(a≠0)在区间(－1,11<x2<1， 则 f(x1)－f(x2)＝axx121x－2＋11x22x－2－1x 1. ∵x1xx212－＋11xx222－－1x1>0， ∴a>0 时，函数 f(x)在(－1,1)上为减函数； a<0 时，函数 f(x)在(－1,1)上为增函数．
A．y＝1－x2
B．y＝x2＋x
C．y＝－ －x
D．y＝x－x 1
• 答案 D
• 3．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数， 则b的取值范围是( )
• A．b≥0
B．b≤0
• C．b>0
D．b<0
• 答案 A
解析 由－b2≤0，得 b≥0.
• 4．函数f(x)＝log0.5(x2－2x－8)的增区间________；减区 间________．
解析 (1)∵y＝11－ ＋xx＝－1＋1＋2 x ∴当 1＋x＞0 或 1＋x＜0 时，此函数均为减函数， 故减区间为(－1，＋∞)、(－∞，－1) (2)由11－ ＋xx≥0 得 x∈(－1,1]，此即为递减区间．
2．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( )
• (2)复合函数的单调性判断，要注意掌握“同增异减”．
• 2．根据定义证明函数单调性的一般步骤：设值(x1，x2且 x1<x2)→作差(f(x1)－f(x2))→变形→定号→结论．
• 3．对于函数f(x)的单调性，也可直接求f′(x)，当f′(x)>0时 为增函数，当f′(x)<0时为减函数．
• 4．单调性法是求最值(或值域)的常用方法．
• 题型一 判断或证明函数的单调性
例 1 判断函数 f(x)＝x2a－x 1(a≠0)在区间(－1,11<x2<1， 则 f(x1)－f(x2)＝axx121x－2＋11x22x－2－1x 1. ∵x1xx212－＋11xx222－－1x1>0， ∴a>0 时，函数 f(x)在(－1,1)上为减函数； a<0 时，函数 f(x)在(－1,1)上为增函数．
A．y＝1－x2
B．y＝x2＋x
C．y＝－ －x
D．y＝x－x 1
• 答案 D
• 3．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数， 则b的取值范围是( )
• A．b≥0
B．b≤0
• C．b>0
D．b<0
• 答案 A
解析 由－b2≤0，得 b≥0.
• 4．函数f(x)＝log0.5(x2－2x－8)的增区间________；减区 间________．
函数的单调性与最值+课件——2025届高三数学一轮复习
探究点一 函数单调性的判断与证明
例1 已知函数，且，讨论 的单调性.
［思路点拨］ 先分离常数，再根据定义判断函数的单调性，注意分 和 两种情况进行讨论.
解：函数，设，，且 ，则 ，当时，在上单调递增，由，得 ，所以，又， ，所以，即 ，此时在 上单调递增；当时，在 上单调递减，由，得，所以 ，又，，所以 ，即，此时在 上单调递减．综上，当时，函数在 上单调递增；当时，函数在 上单调递减.
单调性
单调区间
续表
3.函数的最值
前提
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数 满足
条件
，都有____________； ，使得_____________
，都有____________； ，使得_____________
结论
为最大值
为最小值
几何意义
图象上最高点的_________
图象上最低点的_________
变式题 （多选题）下列函数在其定义域内是增函数的为( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，画出函数 的图象如图所示，易知函数 在其定义域内不是增函数，故A错误；对于B，因为函数是增函数， 是减函数，所以是 上的增函数，故B正确；对于C，函数是减函数，而 为增函数，
在定义域 上为减函数，故C错误；对于D，的定义域为，在上恒成立，故 是上的增函数，故D正确.故选 .
（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 函数 的单调递增区间是_______，单调递减区间是________.
[解析] 由函数的图象可得 的单调递增区间是，单调递减区间是 .
2.［教材改编］ 函数 的最大值为___，最小值为___.
例1 已知函数，且，讨论 的单调性.
［思路点拨］ 先分离常数，再根据定义判断函数的单调性，注意分 和 两种情况进行讨论.
解：函数，设，，且 ，则 ，当时，在上单调递增，由，得 ，所以，又， ，所以，即 ，此时在 上单调递增；当时，在 上单调递减，由，得，所以 ，又，，所以 ，即，此时在 上单调递减．综上，当时，函数在 上单调递增；当时，函数在 上单调递减.
单调性
单调区间
续表
3.函数的最值
前提
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数 满足
条件
，都有____________； ，使得_____________
，都有____________； ，使得_____________
结论
为最大值
为最小值
几何意义
图象上最高点的_________
图象上最低点的_________
变式题 （多选题）下列函数在其定义域内是增函数的为( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，画出函数 的图象如图所示，易知函数 在其定义域内不是增函数，故A错误；对于B，因为函数是增函数， 是减函数，所以是 上的增函数，故B正确；对于C，函数是减函数，而 为增函数，
在定义域 上为减函数，故C错误；对于D，的定义域为，在上恒成立，故 是上的增函数，故D正确.故选 .
（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 函数 的单调递增区间是_______，单调递减区间是________.
[解析] 由函数的图象可得 的单调递增区间是，单调递减区间是 .
2.［教材改编］ 函数 的最大值为___，最小值为___.
高考数学一轮复习函数的单调性、奇偶性、周期性-教学课件
提示:不能.如 f(x)= 1 及 f(x)=tan x. x
质疑探究 2:当一个函数的增区间(或减区间) 有多个时,能否用“∪”将函数的单调增区间 (减区间)连接起来? 提示:不能直接用“∪”将它们连接起来,例如: 函数 y=x3-3x 的单调增区间有两个:(-∞,-1) 和(1,+∞),不能写成(-∞,-1)∪(1,+∞).
义 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),
f(x)在区间 D 上是增函数
那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数
图
象
描
述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)增减函数定义的等价形式:设 x1,x2∈D,x1≠x2,
解析:(1)f(-1)=-f(1)=-[g(1)-4]=-(2-4)=2. (2)函数 f(x)的定义域是 R, 且 f(-x)=e-x-ex=-f(x), 因此 f(x)为奇函数,故选 A. 答案:(1)2 (2)A
考点四 函数的周期性及应用
【例 4】 已知函数 f(x)对任意的实数满足:f(x+3)=
y=
1 2
x
,定义域为 R,在(0,+∞)上递减,y=x+
1 x
,定义域为(-∞,0)∪
(0,+∞),在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增.故选 A.
3.若函数 f(x)=ax+1 在 R 上递减,则函数 g(x)=a(x2-4x+3)的增区间是( B ) (A)(2,+∞) (B)(-∞,2) (C)(-2,+∞) (D)(-∞,-2) 解析:由 f(x)在 R 上递减知 a<0,所以 g(x)在 (-∞,2)上递增,在(2,+∞)上递减.故选 B.
质疑探究 2:当一个函数的增区间(或减区间) 有多个时,能否用“∪”将函数的单调增区间 (减区间)连接起来? 提示:不能直接用“∪”将它们连接起来,例如: 函数 y=x3-3x 的单调增区间有两个:(-∞,-1) 和(1,+∞),不能写成(-∞,-1)∪(1,+∞).
义 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),
f(x)在区间 D 上是增函数
那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数
图
象
描
述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)增减函数定义的等价形式:设 x1,x2∈D,x1≠x2,
解析:(1)f(-1)=-f(1)=-[g(1)-4]=-(2-4)=2. (2)函数 f(x)的定义域是 R, 且 f(-x)=e-x-ex=-f(x), 因此 f(x)为奇函数,故选 A. 答案:(1)2 (2)A
考点四 函数的周期性及应用
【例 4】 已知函数 f(x)对任意的实数满足:f(x+3)=
y=
1 2
x
,定义域为 R,在(0,+∞)上递减,y=x+
1 x
,定义域为(-∞,0)∪
(0,+∞),在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增.故选 A.
3.若函数 f(x)=ax+1 在 R 上递减,则函数 g(x)=a(x2-4x+3)的增区间是( B ) (A)(2,+∞) (B)(-∞,2) (C)(-2,+∞) (D)(-∞,-2) 解析:由 f(x)在 R 上递减知 a<0,所以 g(x)在 (-∞,2)上递增,在(2,+∞)上递减.故选 B.
2024届新高考一轮复习北师大版 第三章 第二节 函数的单调性与最值 课件(40张)
2024
第三章
第二节 函数的单调性与最值
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单
调区间的基本方法.
课标解读 2.理解函数最大值、最小值的概念,理解它们的作用和实际意义,
会求简单函数的最值.
3.能够利用函数的单调性解决有关问题.
强基础 固本增分
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调性、单调区间的定义
设函数y=f(x)的定义域是D,I是定义域D上的一个区间:
如果对于任意的x1,x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数y=f(x)在
区间I上
单调递增
.这时,区间I叫作函数y=f(x)的单调递增区间.
(5)复合函数单调性的判断方法.若两个简单函数的单调性相同,则这两个
函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的
复合函数为减函数,简称“同增异减”.
2.“对勾函数”f(x)=x+ (p>0)的单调递增区间是(-∞,
单调递减区间是(- ,0),(0, ).
),( ,+∞);
(1)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数;
(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)=f(x)(f(x)>0)与y=-f(x), y=() 在公共定义域内的单调性相反;
(4)函数y=f(x)(f(x)≥0)与 y= () 在公共定义域内的单调性相同;
第三章
第二节 函数的单调性与最值
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单
调区间的基本方法.
课标解读 2.理解函数最大值、最小值的概念,理解它们的作用和实际意义,
会求简单函数的最值.
3.能够利用函数的单调性解决有关问题.
强基础 固本增分
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调性、单调区间的定义
设函数y=f(x)的定义域是D,I是定义域D上的一个区间:
如果对于任意的x1,x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数y=f(x)在
区间I上
单调递增
.这时,区间I叫作函数y=f(x)的单调递增区间.
(5)复合函数单调性的判断方法.若两个简单函数的单调性相同,则这两个
函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的
复合函数为减函数,简称“同增异减”.
2.“对勾函数”f(x)=x+ (p>0)的单调递增区间是(-∞,
单调递减区间是(- ,0),(0, ).
),( ,+∞);
(1)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数;
(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)=f(x)(f(x)>0)与y=-f(x), y=() 在公共定义域内的单调性相反;
(4)函数y=f(x)(f(x)≥0)与 y= () 在公共定义域内的单调性相同;
一轮复习北师大版第2章第2节 函数的单调性与最值课件(59张)
考点二 函数单调性的判断与证明 1．定义法证明函数单调性的步骤
2．判断函数单调性的四种方法 (1)图像法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法． 3．证明函数单调性的两种方法 (1)定义法；(2)导数法．
[典例 2] 试讨论函数 f (x)＝x－ax1(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 【四字解题】
3．若函数 y＝(2k＋1)x＋b 在 R 上是减函数，则 k 的取值范围是 ________．
－∞，－12 [因为函数 y＝(2k＋1)x＋b 在 R 上是减函数，所以 2k＋1＜0，即 k＜－12．]
4．已知函数 f (x)＝x－2 1，x∈[2，6]，则 f (x)的最大值为________， 最小值为________．
前提 设函数 y＝f (x)的定义域为 D，如果存在实数 M 满 足
①对于任意的 x∈D，都 ①对于任意的 x∈D，都
条件 结论
有__f _(x_)_≤_M____；
②存在 x0∈D，使得 _f_(_x_0_)＝__M___
M 为 y＝f (x)的最大值
有_f_(_x_)≥__M____；
②存在 x0∈D，使得 __f _(x_0_)_＝__M__
A [函数 y＝e－x 定义域为 R 且为减函数．y＝x3 定义域为 R 且为 增函数．函数 y＝ln x 定义域为(0，＋∞)．函数 y＝|x|定义域为 R， 但在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，故选 A．]
2．函数 f (x)＝x2－2x 的单调递增区间是________． [1，＋∞) [f (x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，因此函数 f (x)的单调递 增区间为[1，＋∞)．]
2．函数 f (x)＝x－x 1的单调递减区间为________． (－∞，1)和(1，＋∞) [由 x－1≠0 得 x≠1， 即函数 f (x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， 又 f (x)＝x－x 1＝x－x－11＋1＝1＋x－1 1，其图像 如图所示，由图像知，函数 f (x)的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋ ∞)．]
[精]高三第一轮复习全套课件2函数函数单调性
![[精]高三第一轮复习全套课件2函数函数单调性](https://img.taocdn.com/s3/m/e43017513c1ec5da50e27044.png)
/wxc/
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
由于所给函数可分解为 y=log a u， u=2-ax， 其中 u=2-ax 在 a＞0 时为减函数， 所以必须 a＞1；③[0，1]必须是 y=log a (2-ax)定义域的子集
wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
例 5 已知函数 f ( x ) 的定义域是 x 0 的一切实数，对定义域内的任 意 x1 , x 2 都有 f ( x1 x 2 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ，且当 x 1 时 f ( x ) 0, f (2) 1 ， （1）求证： f ( x ) 是偶函数； （2） f ( x ) 在 (0, ) 上是增函数； （3）解不等式 f ( 2 x 1) 2
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
x0 x 0 解：由 x f ( x ) 0 得 或 f (x) 0 f (x) 0
∵ f ( x ) 为奇函数，在 ( , 0 ) 上是减函数， f ( 2) 0
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
例 3 设a 0 ， f (x)
e
x
a e
x
是 R 上的偶函数
新疆 源头学子小屋
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
由于所给函数可分解为 y=log a u， u=2-ax， 其中 u=2-ax 在 a＞0 时为减函数， 所以必须 a＞1；③[0，1]必须是 y=log a (2-ax)定义域的子集
wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
例 5 已知函数 f ( x ) 的定义域是 x 0 的一切实数，对定义域内的任 意 x1 , x 2 都有 f ( x1 x 2 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ，且当 x 1 时 f ( x ) 0, f (2) 1 ， （1）求证： f ( x ) 是偶函数； （2） f ( x ) 在 (0, ) 上是增函数； （3）解不等式 f ( 2 x 1) 2
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
x0 x 0 解：由 x f ( x ) 0 得 或 f (x) 0 f (x) 0
∵ f ( x ) 为奇函数，在 ( , 0 ) 上是减函数， f ( 2) 0
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
例 3 设a 0 ， f (x)
e
x
a e
x
是 R 上的偶函数
新疆 源头学子小屋
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.（多选题）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ABC ）
A.y=x2+2x B. y 2x1 C.y x3 1 D.y (x 1) x
2.函数y=x-|1-x|的单调递增区间为 (-∞,1] .
3.函数f(x)=lg (x2-4)的单调递增区间为( C ) (A)(0,+∞) (B)(-∞,0) (C)(2,+∞) (D)(-∞,-2)
探究提高 （1）复合函数是指由若干个函数复合而 成的函数，它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u) 的单调性密切相关，其单调性的规律为“同增异减”， 即f(u)与g(x)有相同的单调性，则f[g(x)]必为增函 数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必为减函数. （2）讨论复合函数单调性的步骤是： ①求出复合函数的定义域； ②把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其 单调性； ③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围； ④根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性.
考点分类 深度剖析
考点一 函数的单调性与单调区间
1、常见函数的单调性及单调区间
（1）一次函数y=kx+b的单调性； （2）二次函数y=ax2+bx+c的单调性； （3）反比例函数 y k (k 0) 的单调性；
x
（4）指数函数y=ax的单调性；
（5）对数函数y loga xa 0, a 0的单调性； （6）幂函数 y x 的单调性；
故x∈(1,+∞).
判断函数的单调性与求函数单调区间的常见方法:
1、利用已知基本初等函数的单调性(如一次、二次、反比例、指数、 对数等函数),转化为已知函数的和、差或复合函数,再求单调区间.
2、图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出, 可由图象的直观性写出它的单调区间.一般地,解析式中含绝对值 的函数的单调区间常用此法.
（1）一次函数y=kx+b的单调性； 当k>0时，函数在R上单调递增； 当k<0时，函数在R上单调递减；
（2）二次函数y=ax2+bx+c的单调性；
当a>0时，函数在
-，- b 2a
单调递减，
在
-
b 2a
，+
单调递增;
当a<0时，函数在
-，- b 2a
单调递增，
在
-
b 2a
，+
单调递减；
B.(-1,0)
C.(1,2)
D.（-3,-1）
思维启迪 先求得函数的定义域,然后结合二次函数、对数函 数的单调性进行考虑,再根据“同则增,异则减”的法则求解 函数的单调区间.
解析 由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3,结合二次函数的 对称轴直线x=1知,在对称轴左边函数y=x2-2x-3是 减函数，所以在区间（-∞，-1）上是减函数,由 此可得D项符合.故选D.
f(x1)>f(x2) ，那么就 说函数f（x）在区间D
间D上是增函数
上是减函数
图
象
描 述
自左向右看图象是 ___上__升__的____
自左向右看图象是 __下__降__的____
(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是_增__函__数___或__减__函__数__，则称 函数f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性， _区__间__D___叫做f（x）的单调区间.
当a>1时，函数在（0，+∞）上单调递增； 当0<a<1时，函数在（0，+∞）上单调递减；
（6）幂函数 y x 的单调性；
常见的幂函数有
y x，y x2，y 1 ，y x3，y x x
函数y=x3在R上为增函数；
函数 y x 在（0，+∞）上为增函数；
2、函数单调性的常用结论
（1）若f(x),g(x)均为区间D上的增（减）函数，则fx)+g(x)也 是区间D上的增（减）函数。 （2）若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同，若k<0,则kf(x)与f(x) 的单调性相反。
1
（3）函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y= f (x) 的 单调性相反。
[例1] (1)下列函数中,定义域是R且为增函数的是( )
(A)y=e-x
(B)y=x3
(C)y=ln x
(D)y=|x|
解析: 对于选项 为增函数 - 为减函数 故 - 为减函数 对于选项B,y′=3x ≥0,故 为增函数 对于选项 函数的定义域 为(0,+∞),不为R 对于选项 函数 为偶函数 在(-∞,0)上单调 递减 在(0,+∞)上单调递增 故选
解析:(2)y=|x2-3x+2|=
x 2
3x x2
函数的单调递增区间是[1, 3 ]和[2,+∞).故选 B. 2
[例3]已知函数f(x)=log2(x2-2x-3)，则使f(x)为减函数的区间 是（ D ）
A.(3,6)
3、导数法:利用导数确定函数的单调区间.
4、复合函数法:如果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断 方法,首先判断两个简单函数的单调性,再根据“同则增,异则减” 的法则求解函数的单调区间.使用此法时首先要考虑函数的定义域.
易错警示
单调区间只能用区间表示 不能用集合或不等式表示 如有多个 单调区间应分别写 不能用并集符号“∪”连接 也不能用“或” 连接 例如函数的单调递增区间 应写为(-∞,1),(2,+∞)也可写为 (-∞,1)和(2,+∞),若是写为(-∞,1)∪(2,+∞)则是错误的
第一轮复习---函数的单调性
高二数学 林龙香 2020年7月2
要点梳理
函数的单调性 （1）单调函数的定义
增函数
减函数
定 一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定 义 义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1<x2时,都有
当x1<x2时，都有
定 义
f（x1）<f(x2) ，那 么就说函数f(x)在区
（3）反比例函数
y k (k 0) x
的单调性；
当k>0时，函数在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递增；
当k<0时，函数在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递减；
（4）指数函数y=ax的单调性；
当a>1时，函数在R上单调递增； 当0<a<1时，函数在R上单调递减；
（5）对数函数 y loga xa 0, a 0的单调性；
【变式训练】 下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( A )
1
(A)y= x 2
( B)y=2- x
(C)y=log1 x
2
(D)y= 1 x
[例2] 函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是( A ) (A)[1,2] (B)[-1,0]
(C)[0,2] (D)[2,+∞)
解析:(2)f(x)=|x-2|x=
1.（多选题）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ABC ）
A.y=x2+2x B. y 2x1 C.y x3 1 D.y (x 1) x
2.函数y=x-|1-x|的单调递增区间为 (-∞,1] .
【变式训练】 A.(1,+∞)
函数y= log 1 (2x2 3x 1)的递减区间为（
B.2 (, 3]
A
）
4
C. (1 2
解析
,)
D.
[
作出t=2x2-3x+1的示意
3 4
,)
图如图所示，
∵0< 要使
1 2
<1,∴
y log
1
y log 1 t
2
(2x2 3x
递减.
1递) 减,
t应该大于0且递2 增,
x2 2x, x
x2
2x,
2, x 2,
其图象如图,
由图象可知函数的单调递减区间是[1,2].故选 A.
【变式训练】 函数 f(x)=|x2-3x+2|的单调递增区间是( B )
(A)[ 3 ,+∞) 2
(B)[1, 3 ]和[2,+∞) 2
(C)(-∞,1]和[ 3 ,2] 2
(D)(-∞, 3 ]和[2,+∞) 2