1.1 随机试验与随机事件
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概率论课堂教学课件——1.1 随机试验、随机事件及样本空间
试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6点”
“点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
基本事件:对于一个随机试验来说，它的每 一个结果（样本点）是一个最简单的随机事件， 称为基本事件。
(相对于观察目的不可再分解的事件)
例如 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”.
概率论与数理统计
乔高秀 Email: gxqiao@
一、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. 实例 “太阳不会从西边升起”, “水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
“函数在间断点处不存在导数” 等. 确定性现象的特征 条件完全决定结果
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定
性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有
偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现
具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现 象这种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
必然事件
四、事件的关系及其运算 1. 事件的包含：如果事件A的发生必然导致事 件B的发生，即属于A的每个样本点也都属于B， 则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B， 记作 B A 或 A B 。
如 A=“长度不合格” ，B= “产品不合格”
因为“长度不合格” 必然导致 “产品不合格” 所以 A 包含于B. 即
必然事件 随机试验中必然会出现的结果.
例如 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件.
不可能事件 随机试验中不可能出现的结果.
1-1节 随机试验与随机事件
第 一 章 随 机 事 件 及 其 概 率
第一节
随机事件的概念
一、 概率论的诞生及应用
二、 随机现象 三、 随机试验
四、样本空间 样本点 五、随机事件的概念 六、小结
一、概率论的诞生及应用
1. 概率论的诞生
1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒 年 一个名叫梅累的骑士就“ 一个名叫梅累的骑士就 约定赌若干局, 局便算赢家, 约定赌若干局 谁先赢 c 局便算赢家 若在一赌徒 ),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博 胜 a 局 ( a<c ),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博 另一赌徒胜 ,问应如何分赌本?” 求教于帕斯卡 帕斯卡与费马 问应如何分赌本? 问应如何分赌本 求教于帕斯卡, 通信讨论这一问题, 通信讨论这一问题 于1654 年共同建立了概率论 的第一个基本概念 数学期望. 数学期望
实例2 “一门大炮向某一目 实例 标射击, 观察是否击中目标” 标射击 观察是否击中目标”. 结果: 可能击中也可能没击中” 结果 “可能击中也可能没击中”. 实例3 “抛掷一枚骰子 观 抛掷一枚骰子,观 实例 察出现的点数” 察出现的点数”. 结果有可能为: 结果有可能为 “1”, “2”, “3”, ” ” ” “4”, “5” 或 “6” ” ” ”
二、随机现象
自然界所观察到的现象: 自然界所观察到的现象 确定性现象 随机现象
1.确定性现象 确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. 的现象称为确定性现象. 实例 “太阳每天东升西落”, 太阳每天东升西落” “水从高处流向低处”, 水从高处流向低处” “同性电荷必然互斥”, 同性电荷必然互斥”
(2) 试验的所有可能结果 试验的所有可能结果: 正面， 反面; 正面， 反面 (3) 进行一次试验之前不能 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现. 确定哪一个结果会出现 同理可知下列试验都为随机试验 1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”. “抛掷一枚骰子 观察出现的点数 观察出现的点数” 2.“从一批产品中,依次任选三件 “从一批产品中 依次任选三件 依次任选三件, 录出现正品与次品的件数” 记 录出现正品与次品的件数”. 故为随机试验. 故为随机试验
第一节
随机事件的概念
一、 概率论的诞生及应用
二、 随机现象 三、 随机试验
四、样本空间 样本点 五、随机事件的概念 六、小结
一、概率论的诞生及应用
1. 概率论的诞生
1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒 年 一个名叫梅累的骑士就“ 一个名叫梅累的骑士就 约定赌若干局, 局便算赢家, 约定赌若干局 谁先赢 c 局便算赢家 若在一赌徒 ),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博 胜 a 局 ( a<c ),另一赌徒胜b局(b<c)时便终止赌博 另一赌徒胜 ,问应如何分赌本?” 求教于帕斯卡 帕斯卡与费马 问应如何分赌本? 问应如何分赌本 求教于帕斯卡, 通信讨论这一问题, 通信讨论这一问题 于1654 年共同建立了概率论 的第一个基本概念 数学期望. 数学期望
实例2 “一门大炮向某一目 实例 标射击, 观察是否击中目标” 标射击 观察是否击中目标”. 结果: 可能击中也可能没击中” 结果 “可能击中也可能没击中”. 实例3 “抛掷一枚骰子 观 抛掷一枚骰子,观 实例 察出现的点数” 察出现的点数”. 结果有可能为: 结果有可能为 “1”, “2”, “3”, ” ” ” “4”, “5” 或 “6” ” ” ”
二、随机现象
自然界所观察到的现象: 自然界所观察到的现象 确定性现象 随机现象
1.确定性现象 确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. 的现象称为确定性现象. 实例 “太阳每天东升西落”, 太阳每天东升西落” “水从高处流向低处”, 水从高处流向低处” “同性电荷必然互斥”, 同性电荷必然互斥”
(2) 试验的所有可能结果 试验的所有可能结果: 正面， 反面; 正面， 反面 (3) 进行一次试验之前不能 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现. 确定哪一个结果会出现 同理可知下列试验都为随机试验 1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”. “抛掷一枚骰子 观察出现的点数 观察出现的点数” 2.“从一批产品中,依次任选三件 “从一批产品中 依次任选三件 依次任选三件, 录出现正品与次品的件数” 记 录出现正品与次品的件数”. 故为随机试验. 故为随机试验
随机试验与随机事件
例
投掷一枚骰子，观察可能出现的点数
1. 事件A：出现的点数为奇数 2. 事件B：出现的点数小于4； 3. 事件 e1 :出现1点 4. 事件 ei :出现的点数为i(i=2,3,4,5,6) 当事件 e1 , e3或 e5 发生时，A发生，即
A { e1,e3,e5}.
不可能再分的事件； 基本事件：
集，交集为 At { | At 对至少一个 At , t T成立}
tT tT
At { | At , t T同时成立 }
显然， s T As
tT
At
As
tT
At
3、差与余：
A 称 A B { | A同时 B} 为集
事件 分类
由基本事件复合而成的事件。 复合事件：
必然事件: 一定发生的事件, 记作 。 不可能事件: 一定不发生的事件, 记作 。
投掷一枚硬币的基本事件: e 2 :T e1 ：H 投掷两枚硬币的基本事件: e3 : TH e1 : HH e 2 : HT
e 4 : TT
投掷一枚骰子的基本事件和复合事件
有限个事件和事件记作 A1 A2 An ˆ Ai
i 1 n
无限个事件和事件记作 A1 A2 An ˆ Ai
i 1
AB ）， （4）积事件：记作A B (简记为
ˆ Ai 有限个事件的积事件记作 A1 A2 An
Random Experiments and Random Events
随机试验 随机事件 样本空间
Sample Space
集与事件及其运算
事件之间的关系及运算
一. 随机试验
随机试验和随机事件名词解释
随机试验和随机事件名词解释
随机试验是指具有以下特征的试验：在相同的条件下，可以重复进行，每次试验的结果不确定，且试验的结果有多个可能的结果。
这些结果中的每一个被称为一个随机事件。
随机事件是指随机试验中可能发生的结果。
例如，抛一枚硬币的随机试验中，可能出现正面朝上或反面朝上的两种结果。
这两种结果分别被称为随机事件A和随机事件B。
在随机试验中，随机事件可以用事件的概念来描述。
事件是试验结果的一个子集，可以包含一个或多个结果。
例如，在抛一枚硬币的试验中，事件A可以表示出现正面朝上的结果，事件B可以表示出现反面朝上的结果。
每个事件都有一个概率与之对应，表示该事件发生的可能性大小。
概率是一个介于0和1之间的数值，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。
例如，在抛一枚均匀的硬币的随机试验中，事件A（出现正面朝上）和事件B（出现反面朝上）的概率均为0.5。
随机试验和随机事件的概念在概率论和统计学中起着重要作用。
通过对随机试验和随机事件的研究和分析，我们可以预测事件发生的可能性，并进行概率推断和统计推断，从而为决策和预测提供科学依据。
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§ 1 .1随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是：S ________________ ;(2) —枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S= ________________________ ;2. (1) 丢一颗骰子.A :出现奇数点，贝U A= ___________ ;B:数点大于2，则B=(2) 一枚硬币连丢2次，A :第一次出现正面，则A= _____________ ;B:两次出现同一面，则= __________ ; C :至少有一次出现正面，则C=§ 1 .2随机事件的运算1. 设A、B、C为三事件，用A B、C的运算关系表示下列各事件：(1) A、B C都不发生表示为：.(2)A 与B都发生，而C不发生表示为：(3) A与B都不发生，而C发生表示为：.(4)A 、B C中最多二个发生表示为：(5)A、B C中至少二个发生表示为：.(6)A 、B C中不多于一个发生表示为：2. 设S {x:0 x 5}, A {x: 1 x 3}, B {x: 2 4}:贝U(1) A B,(2) AB,(3) A B(4) A B =(5) AB =o§ 1.3概率的定义和性质1.已知P(A B)0.8, P(A)0.5, P(B) 0.6，贝U(1)P(AB),(2)(P(A B))= ,⑶P(A B)2.已知P(A) 0.7, P(AB) 0.3,则P(AB)= .§ 1 .4古典概型1. 某班有30个同学，其中8个女同学，随机地选10个，求:(1)正好有2个女同学的概率，(2) 最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中，求有三个盒子各一球的概率.§ 1 .5条件概率与乘法公式1 •丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7，则其中一颗为1的概率是____________ 。
1.1随机试验与随机事件
(De· Morgan)律： A B A B; A B A B
对差事件运算： A - B AB A - AB
例 掷一颗骰子。设事件 A1 为掷出是奇数点，A2 为掷出 是偶数点，A3 为掷出是小于 4 的偶数点，则有
A1 A2 {1, 2, 3, 4, 5, 6} ;
A1 A2 A2 Ai 发生。
i 1 n
对任一事件Ａ件 A B { A, B}称为事件 A 与 B 的差事件。
当事件 A 发生而事件 B 不发生时，A - B 发生。
5、对于事件 A、B，若 AB = ，则称事件 A 与 B 是互不相 容事件，或互斥事件。
如上例中，如某天的营业额为 500 元，则事件 A 发生。
特别地，由一个样本点组成的单点集称为基本事件 (basic event)。
例如试验 E1 中有 6 个基本事件{1},{2},{3},{4},{5},{6}.
样本空间 包含所有的样本点，在每次试验中它总发生， 称为必然事件(certain event)。
n 个事件 A1 , A2, … , An 被称为互不相容的，是指其中任意 两个事件都是互不相容的，即 Ai Aj , (i j, i , j 1,2,, n) 。
6.事件 A、B，若 A∪B = ,且 A B ， 就是说，无论
试验的结果如何，事件 A 与 B 中必有且仅有一个发生,
概率论与数理统计
在现实世界中发生的现象千姿百态， 概括起来无非 是两类现象：
一类是在一定条件下必然出现（或恒不出现）的现象，
例如，在标准大气压下，水加热到 100 时 必定沸腾，三角形内角和为 180 等等．
0 0
1随机事件和概率
解 ：令A={第一次取到次品},B={第二次取到次品}, 需求P(B│A).
(1)在缩减的样本空间中计算.因第一次已经取得了次品, 剩下的产品共19件其中3件次品,从而
P(B│A)=3/19 (2)在原样本空间中计算,由于
二 、乘法公式
设P(B)>0,则有 P(AB)=P(B)P(A│B) 同样,当P(A)>0时,有： P(AB)=P(A)P(B│A) 上述乘法公式可推广至任意有限个事件的情形:
三、样本空间
试验E的所有基本结果构成的集合称为样本空间， 记为S。 S中的元素即E的每个基本结果称为样本点，记为 ω，即S={ω}。 基本事件是样本空间的单点集。 复合事件是由多个样本点组成的集合。 必然事件包含一切样本点，它就是样本空间S。 不可能事件不含任何样本点，它就是空集φ。
四、事件间的关系及其运算 例1 : 从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数， 则这一试验的样本空间为：
可列个事件A1 , A2 , … , An的积记为A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An
或A1A2 … An ，也可简记为 在可列无穷的场合，用 件同时发生。” 。 表示事件“A1、A2 …诸事
4.互不相容事件
事件A与事件B不能同时发生，即AB=φ，则称A 和B是互不相容的或互斥的。 基本事件是两两互不相容的。 5.对立事件 若A，B互不相容，且它们的和事件为必然事件，即
例2: 设A，B，C为三个事件，试用A，B，C表
示下列事件： （1）A发生且B与C至少有一个发生； （2）A与B都发生而C不发生； （3）A，B，C恰有一个发生； （4）A，B，C中不多于一个发生； （5）A，B，C不都发生；
（6）A，B，C中至少有两个发生。
1.2 事件的概率
.1-1随机试验与随机事件
将不确定性数量化，来尝试回答这 些问题，是直到20世纪初叶才开始的. 还不能说这个努力已经十分成功了，但 就是那些已得到的成果，已经给人类活 动的一切领域带来了一场革命. 这场革命为研究新的设想，发展自 然科学知识，繁荣人类生活，开拓了道 路. 而且也改变了我们的思维方法，使 我们能大胆探索自然的奥秘.
i 1
Ai Ai Ai Ai
i 1
n
n
n
n
i 1
i 1
例1 袋中有10个球，分别编号为1～10，从中任取 一球，设 A＝{取出的球号码为偶数}
B＝{取出的球号码为奇数} C＝{取出的球号码小于5} 则事件 （ 1） A B （ 2） A B
s
为必然事件 为不可能事件
5. A B 称事件A 与事件B 的差事件
A B 发生 事件 A 发生， 但事件 B 不发生
A1 , A2 ,, An ,的积事件记 A1 A2 An Ai
i 1
i 1
A
B
S
A B
6. AB 称事件A与事件B
互斥(互不相容)
s
A
A、B不可能同时发生
或，事件A 是事件B的子事件。 B A 事件A发生时事件B必发生 2. A B 称A事件与B相等 A B 且 B A S 称事件 A 与事件 B 3. A B A 的和（并）事件 A B B A B 发生 事件A与事件B 至少有一个发生 n A1 , A2 ,, An 的和事件记 A1 A2 An Ai
(H,T)： (T,H): (T,T)：
H H T T H T H T
义上提供了一个理想试 验的模型：
在每次试验中必有 一个样本点出现且仅有 一个样本点出现 .
1-1随机试验随机事件和样本空间
23
概率论与集合论有关概念的对应关系
概率论
样本点
样本空间
集合论
元素
全集
记号
e
S
随机事件
基本事件
子集
单点集
A , B , C ……
{e}
不可能事件
空集
Φ
24
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例１、设试验为抛一枚硬币，观察是正面还 是反面，则样本空间为： S={正面，反面｝ 例２、设试验为从装有三个白球(记为1，2,3号) 与两个黑球(记为4,5号)的袋中任取两个球． (１)观察取出的两个球的颜色，则样本空间为： S={e00, e11, e01} e00 表示“取出两个白球”， e11 表示“取出两个黑球”， e01 表示“取出一个白球与一个黑球”
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五、随机数学简史
古——艺术及文学作品，游戏、决策
古希腊——哲学与宗教的思考 文艺复兴——数学讨论
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第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机试验、随机事件和样本空间
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性 联系, 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现
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(2)
试验的所有可能结果:
正面，反面;
(3) 进行一次试验之前不能 故为随机试验. 确定哪一个结果会出现.
同理可知下列试验都为随机试验 1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三 件,记 录出现正品与次品的件 数”.
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3. 记录某公共汽车站某
概率论与集合论有关概念的对应关系
概率论
样本点
样本空间
集合论
元素
全集
记号
e
S
随机事件
基本事件
子集
单点集
A , B , C ……
{e}
不可能事件
空集
Φ
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例１、设试验为抛一枚硬币，观察是正面还 是反面，则样本空间为： S={正面，反面｝ 例２、设试验为从装有三个白球(记为1，2,3号) 与两个黑球(记为4,5号)的袋中任取两个球． (１)观察取出的两个球的颜色，则样本空间为： S={e00, e11, e01} e00 表示“取出两个白球”， e11 表示“取出两个黑球”， e01 表示“取出一个白球与一个黑球”
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五、随机数学简史
古——艺术及文学作品，游戏、决策
古希腊——哲学与宗教的思考 文艺复兴——数学讨论
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第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机试验、随机事件和样本空间
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性 联系, 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现
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(2)
试验的所有可能结果:
正面，反面;
(3) 进行一次试验之前不能 故为随机试验. 确定哪一个结果会出现.
同理可知下列试验都为随机试验 1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三 件,记 录出现正品与次品的件 数”.
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3. 记录某公共汽车站某
概率论第一二章随机变量随机事件
数.
注： 1. 满足非负性，规范性，有限可加性. 2. 大数定理(n足够大，频率稳定于概率)
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2.古典型概率（等可能事件的概率）
1)古典概型(试验)：
（1）有限性： Ω = {ω1 , ω 2 ,L , ω n } （2）等可能性： P (ω1 ) = P (ω 2 ) = L = P (ω n ) =
样本空间：随机试验E的所有可能结果组成的集合，记 Ω 例： Ω1={ H,T } 注意：样本空间的元素是由实验的目的决定的。 例：将一枚硬币连抛三次 1) 观察正反面出现的情况, Ω1 ={HHH,HHT……} 2) 观察正面出现的次数, Ω2 ={0,1,2,3} 样本点：样本空间中的元素，记为w
1
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例2、(会面问题)甲、乙二人约定在12点到下午5点之 间在某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这 段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求 二人能会面的概率。 解： 以 x , y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，于 是 0 ≤ x ≤ 5, 0 ≤ y ≤ 5. y
（1）非负性： 0≤P(A) ≤1； （2）规范性： P(Ω)=1； （3）可列可加性： A1 , A2 ,L两两互不相容 ，则
P ( U An ) = ∑ P ( An ).
n =1 n =1 ∞ ∞
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3. 概率的性质
（1） P(Φ)=0；
Pk)∑ (AP =A U (k).
注： 满足非负性，规范性，可列可加性.
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例1、从区间(0,1)中任取两个数,则两数之积小于
xy = 1 4
《概率论与数理统计》1.1 随机试验与随机事件
i点 5, 6
}
在一起所构成的事件）
复合事件
事件 B = { 掷出奇数点 }
五. 随机事件间的关系及其运算
设试验 E 的样本空间为 S, A, B, Ak (k 1, 2, ) 是 S 的子集.
1. 事件的包含：如( A果中事的件每A个发样生本必点然都导包致含事在件BB中发）生.
注 ▲
则称 事件 B 包含事件 A 或 A 含于事 件 B 。记作：B A或 A B
从观察试验开始 研究随机现象，首先要对 研究对象进行观察或试验.
这里的试验指的是随机试验.
第一节 随机试验与随机事件
一. 试 验 : 为了研究随机现象，就要对客观事物进行 观察，观察的过程称之为试验。记为 E。
例1 E1：掷一枚硬币观察正面，反面出现的情况。 E2：记录一小时内，到某保险公司投保的户数 E3：射手射击一个目标，直到射中为止，观察 其射击的次数。 E4：从一批产品中抽取十件，观察其次品数。 E5：抛一颗骰子，观察其出现的点数。
A
B
为 A 与 B 的和 (并）, 记作：
A B 或 A B x xA 或 xB
AB
注
▲ 它是由事件 A 和 B 所有样本点构成的集合 n
▲ 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件
k1
k 1 Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,
的和事件
4. 事件的积(交)： 若 “两个事件A与 B 同时发生” 也是一个事件，
样本空间元素 是由试验目的 所确定的，不 同的试验目的 其样本空间也 是不一样的。
S
.e
样本点e
例 3．若试验 E是将一枚硬币抛掷两次. 试写出该试验 E 的样本空间.
1-1节随机现象和随机试验
确定性现象的特征 条件完全决定结果
2. 随机现象
在相同的条件下可以进行重复观测或试验,所 有可能发生的结果已知,但事前不能预知究竟 哪一个结果会出现,这类现象称为随机现象. 实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观 察正反两面出现的情况”. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 “用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等
车人 数. 4. 考察某地区 10 月
份的平均气温. 5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
三、小结
1. 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果.
2. 随机现象是通过随机试验来研究的.
(1) 可以在相同的条件下重复地进行; 随 (2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 机 先明确试验的所有可能结果; 试 (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 验 出现.
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性
联系,其数量关系无法用函数的形式加以描述.
2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性,但在大量重复试验或观察中,这种结果的出 现具有一定的统计规律性.概率论就是研究随机 现象及其统计规律的一门数学学科.
如何来研究随机现象?
随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
二、随机试验
如果一个实验具有以下特征： 1. 试验可在相同的条件下重复进行; 2. 试验的可能结果不唯一,但试验所有可能出
现的结果在实验前已知；
3. 每次试验只出现一个结果,究竟哪一个结果 出现在实验前未知.
则称这种试验为随机试验,简称为试验.
随机试验的特点：随机性、重复性.
说明 1. 随机试验是一个广泛的术语.它包括各种各样 的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、 “观察”、或 “测量” 等.
2. 随机现象
在相同的条件下可以进行重复观测或试验,所 有可能发生的结果已知,但事前不能预知究竟 哪一个结果会出现,这类现象称为随机现象. 实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观 察正反两面出现的情况”. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 “用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等
车人 数. 4. 考察某地区 10 月
份的平均气温. 5. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命.
三、小结
1. 随机现象的特征: 条件不能完全决定结果.
2. 随机现象是通过随机试验来研究的.
(1) 可以在相同的条件下重复地进行; 随 (2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事 机 先明确试验的所有可能结果; 试 (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 验 出现.
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性
联系,其数量关系无法用函数的形式加以描述.
2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性,但在大量重复试验或观察中,这种结果的出 现具有一定的统计规律性.概率论就是研究随机 现象及其统计规律的一门数学学科.
如何来研究随机现象?
随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
二、随机试验
如果一个实验具有以下特征： 1. 试验可在相同的条件下重复进行; 2. 试验的可能结果不唯一,但试验所有可能出
现的结果在实验前已知；
3. 每次试验只出现一个结果,究竟哪一个结果 出现在实验前未知.
则称这种试验为随机试验,简称为试验.
随机试验的特点：随机性、重复性.
说明 1. 随机试验是一个广泛的术语.它包括各种各样 的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、 “观察”、或 “测量” 等.
《概率论与统计原理》第1章
P (B) =
P (A ) P ( B A )
i
i 1
i
n
例13 两台车床加工同样的零件，第一台的废品率为 0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混 放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2 倍。现任取一零件，求它是的合格品的概率。
1.5.4 贝叶斯公式
设 Ai ( i =1，2，…，n)是样本空间的一个划分，且 P( Ai )>0，则对任意事件 B，有
例10 已知P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AC） =P（BC）=1/16，P（AB）=0，求事件A，B，C都 不发生的概率。
§1.5
条件概率和事件的独立性
1.5.1 条件概率 在事件 B 发生的条件下，事件 A的条件概率为
P( AB) P( B A) P( A) 理解条件概率的意义
第一章 事件的概率
§1.1 随机事件和样本空间
1.1.1 随机现象与随机试验 1、确定性现象和随机现象
确定性现象是指在一定条件下必然会发生的现象
随机现象是指在一定条件可能发生也可能不发生的 现象，其出现的结果不确定 概率论研究的主要问题就是随机现象的规律性
2、随机试验
对随机现象的观察称为随机试验，简称为试验，用 字母E来表示 随机试验的特点： （1）可重复性 试验在相同的条件下可以重复进行
（2）可观测性 每次试验的可能结果不止一个，而且 事先能明确试验的所有可能结果
（3）随机性 在每次试验之前不能准确预知将会出现 的结果 一些随机试验的例子： E1：掷一颗均匀对称的骰子，观察出现的点数
E2：记录一段时间内某城市110报警次数 E3：从含有三件次品a1，a2，a3和三件正品b1，b2， b3的六件产品中，任取两件，观察出现正品和次品 的情况 E4：从一批电脑中任取一台，观察无故障运行的时 间 E5：设平面上有一簇间距为a的平行线，现反复用一 枚长度为l（l<a）的针投掷下去，投掷n次后，观察 针与平行线相交的数目 E6：向坐标平面区域D：x2 +y2≤100内随机投掷一点 （假设点必落在D内），观察落点M的坐标
P (A ) P ( B A )
i
i 1
i
n
例13 两台车床加工同样的零件，第一台的废品率为 0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混 放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2 倍。现任取一零件，求它是的合格品的概率。
1.5.4 贝叶斯公式
设 Ai ( i =1，2，…，n)是样本空间的一个划分，且 P( Ai )>0，则对任意事件 B，有
例10 已知P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AC） =P（BC）=1/16，P（AB）=0，求事件A，B，C都 不发生的概率。
§1.5
条件概率和事件的独立性
1.5.1 条件概率 在事件 B 发生的条件下，事件 A的条件概率为
P( AB) P( B A) P( A) 理解条件概率的意义
第一章 事件的概率
§1.1 随机事件和样本空间
1.1.1 随机现象与随机试验 1、确定性现象和随机现象
确定性现象是指在一定条件下必然会发生的现象
随机现象是指在一定条件可能发生也可能不发生的 现象，其出现的结果不确定 概率论研究的主要问题就是随机现象的规律性
2、随机试验
对随机现象的观察称为随机试验，简称为试验，用 字母E来表示 随机试验的特点： （1）可重复性 试验在相同的条件下可以重复进行
（2）可观测性 每次试验的可能结果不止一个，而且 事先能明确试验的所有可能结果
（3）随机性 在每次试验之前不能准确预知将会出现 的结果 一些随机试验的例子： E1：掷一颗均匀对称的骰子，观察出现的点数
E2：记录一段时间内某城市110报警次数 E3：从含有三件次品a1，a2，a3和三件正品b1，b2， b3的六件产品中，任取两件，观察出现正品和次品 的情况 E4：从一批电脑中任取一台，观察无故障运行的时 间 E5：设平面上有一簇间距为a的平行线，现反复用一 枚长度为l（l<a）的针投掷下去，投掷n次后，观察 针与平行线相交的数目 E6：向坐标平面区域D：x2 +y2≤100内随机投掷一点 （假设点必落在D内），观察落点M的坐标
1.1随机事件及其运算
1.1.6 事件的运算(operation of events )
1.1.6.1 事件的和（并）(Union of events)
“事件A,B 中至少有一个发
生”，称为事件A与B的和（并
A
B
）.记作A∪B. 即 A∪B={x|x∈A或x∈B}
A∪B
注 A∪B = {事件A发生或事件B发生}
意
＝{A 发生,且B不发生;或A不发生,且B
2. 结合律(Combination law)
(A ∪ B) ∪ C＝A ∪(B ∪ C)，(AB)C＝A(BC)
3.分配律(Distributive law) (A ∪ B)C＝(AC) ∪(BC)，(AB) ∪ C＝(A ∪ C)(B ∪ C) 4. 对偶律 (Dual law)
A BA B
Ak Ak
在每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件 (Impossible event )，记为.
1.1.4 随机变量(random variable)
直观定义 随试验结果的不同而变化的量称为随机变量.通
常用大写字母X,Y,Z,…表示. 例1:抛一粒骰子,记X为出现的点数，则X是一
个随机变量. （1）事件“出现3点”可用“X=3”表示. （2）事件“出现的点数不小于3”可用“X≥3”表示.
AB
A B.
例1: 抛一粒骰子，事件A=“出现4点”，B=“出 现偶数点则”A. B .
例2:记T为电视机的寿命, 令 A={寿命超过10000小时}={T| T>10000}， B={寿命超过20000小时”}={T| T>20000}.
则BA.
1.1.5.2 相等关系
若事件A发生必然导致B发生，而且B发生必然导 致A发生，则称事件A与B相等. 记作A = B . 即 AB且BA A＝B .
1.1.1 随机试验与随机事件
样本空间的元素 即每次试验的可能结果 , 记为ω.
第一章
5
*
第一讲 随机试验与随机事件
例 写出下列随机试验的样本空间
E1 抛一枚均匀的硬币： Ω1 ｛正, 反｝ Head, Tail E2 掷一粒均匀的骰子： Ω2 ｛1,2,3,4,5,6｝ E3 地铁每5分钟一趟, 乘客等车时间： Ω3 0, 5
试验观察测量或实验第一讲随机试验与随机事件第一章随机试验第一讲随机试验与随机事件第一章1重复性试验可以在相同的条件下重复地进行多次2明确性试验前知道一切可能出现的试验结果3随机性每次试验的具体结果不能预知随机试验满足以下特征
第一章 随机事件的概率
第一讲 随机试验与随机事件
第一讲 随机试验与随机事件 现实世界的客观现象
1）重复性 试验可以在相同的条件下重复地进行多次 2）明确性 试验前知道一切可能出现的试验结果 3）随机性 每次试验的具体结果不能预知
第一章
4
*
第一讲 随机试验与随机事件
随机试验的样本空间
1）样本空间（Sample Space）
随机试验的所有可能结果组成的集合, 记为Ω.
2）样本点（Sample Point）
第一章
6
*
第一讲 随机试验与随机事件
市场现状分析
随机事件（
）
定义：随机试验的具有某些属性的结果的集合称为随机事件.
简称为事件, 用大写英文字母A, B, C 表示.
随机事件是样本空间的某个子集. 随机事件在一次试验中可能发生, 也可能不发生.
第一章
7
*
第一讲 随机试验与随机事件
市场现状分析
例 表示掷一粒骰子看点数试验中的下列随机事件
市场现状分析
第一章
5
*
第一讲 随机试验与随机事件
例 写出下列随机试验的样本空间
E1 抛一枚均匀的硬币： Ω1 ｛正, 反｝ Head, Tail E2 掷一粒均匀的骰子： Ω2 ｛1,2,3,4,5,6｝ E3 地铁每5分钟一趟, 乘客等车时间： Ω3 0, 5
试验观察测量或实验第一讲随机试验与随机事件第一章随机试验第一讲随机试验与随机事件第一章1重复性试验可以在相同的条件下重复地进行多次2明确性试验前知道一切可能出现的试验结果3随机性每次试验的具体结果不能预知随机试验满足以下特征
第一章 随机事件的概率
第一讲 随机试验与随机事件
第一讲 随机试验与随机事件 现实世界的客观现象
1）重复性 试验可以在相同的条件下重复地进行多次 2）明确性 试验前知道一切可能出现的试验结果 3）随机性 每次试验的具体结果不能预知
第一章
4
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第一讲 随机试验与随机事件
随机试验的样本空间
1）样本空间（Sample Space）
随机试验的所有可能结果组成的集合, 记为Ω.
2）样本点（Sample Point）
第一章
6
*
第一讲 随机试验与随机事件
市场现状分析
随机事件（
）
定义：随机试验的具有某些属性的结果的集合称为随机事件.
简称为事件, 用大写英文字母A, B, C 表示.
随机事件是样本空间的某个子集. 随机事件在一次试验中可能发生, 也可能不发生.
第一章
7
*
第一讲 随机试验与随机事件
市场现状分析
例 表示掷一粒骰子看点数试验中的下列随机事件
市场现状分析
1.1随机试验、样本空间、随机事件
随机试验E
例如：抛一颗骰子，观察其出现的点数.
样本点
可能的结果：1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点.
所有可能结果的集合：{1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点}.
样本空间
随机试验、样本空间、随机事件
定义 随机试验 E 的所有可能结果组成的集合，称为 E 的样本空间， 记为 S. 样本空间的元素，即 E 的每个结果，称为样本点，记为ei .
结合律： AU( BUC) = ( AUB) UC ， ( AI B) I C = AI ( BI C) .
分配律： AU( BI C) = ( AUB) I ( AUC) ， AI ( BUC) = ( AI B) U( AI C) .
德摩根律： A U B = A I B ， A I B = A U B .
随机现象 概率论与数理统计
——研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科！
随机试验、样本空间、随机事件
二、随机试验 E1：抛一枚硬币，观察其出现正面 H 、反面T 的情况； E2 ：抛一颗骰子，观察其出现的点数； E3：抛一颗骰子，观察点数 2 是否出现； E4 ：记录车站售票处一天内售出的车票数； E5 ：任取同一生产线上生产的一只灯泡，测试其寿命； E6 ：在[0,1]之间随机地投一点，记录该点的坐标.
随机试验、样本空间、随机事件
例 1 设 A、B、C 为三个事件，试用其运算关系表示下列事件：
（1）A、B、C 同时发生；
ABC
（2）A、B、C 至少有一个发生；
AU B UC
（3）A、B、C 至少有两个发生；
AB U BC U AC
（4）A、B、C 都不发生；
ABC
（5）A、B、C 不都发生.
概率论习题1.1-1.4解答
7. 设 x y,k 为任意一实数， ①若 A ={ x | x k }，B { y | y k} ， 试比较 P( A) 与 P( B) 的大小； ②若 A ={ x x k }， B { y | y k} ，试比较 P( A) 与 P( B) 的大小． 解：①∵ x y ,∴由 y k x k ;即 B { y | y k} 出现导致 A ={ x | x k }出现, ∴ A B , ∴ P( B) P( A) . ②∵ x y ∴由 x k y k ; 即 A ={ x | x k }出现导致 B { y | y k} 出现, ∴ A B , ∴ P( A) P( B) . 8. 若正方形由 x 轴 y 轴 直线 x 1 和 y 1 所围成正方形内部的点坐标为 ( x, y) 且
§1.2 随机事件的概率
习题解答
P16
1．上抛一枚硬币来决定乒乓球比赛的先发球权，方法是选手分别猜{正面朝上}或{反面朝 上}，根据上抛硬币的结果猜中的选手先发球，试说明此方法的公平性． 解：∵ P {正面朝上}= P {反面朝上}=0.5 ∴此方法公平． 2．上抛两枚硬币若 A ={有两枚正面朝上}， B ={有一枚正面朝上}， C ={至少有一枚正面朝 上}，则 P ( A) _________， P ( B) ________， P(C ) _________． 解：∵ n 4 ,而 r ( A) 1 , r (( B) 2 , r (C ) 3 ， ∴ P ( A)
2 y=x+2
A ={ ( x, y) | y x 2或y x 1 },
y=x-1 2 1
1 1 23 23 22 22 S 2 所以 P ( A) A = 2 24 24 SD
1.1 随机试验、样本空间.1.2 随机事件 (1)
n
n
Cm n
即
n m
:
从n个相异元中取m个元素并成一组
P C P m m m(先取后排）
n
n
m
Pmn n (n 1) (n 2)
(n m 1)
n! (n m)
!
0！ 0.
m
P m Cn
n m
n(n
1)L (n m!
抽查式考勤，缺三次平时成绩为零，取消考试资格（学校规定），希望遵守公 德：不迟到 • 5.须按时、按质、按量完成作业。作业采用等级评分 • 6.复习微积分，保证学习正常进行 • 7注：平时成绩大于30分；别因中学“学过”而大意，应当重新审视这门课。
4
预备知识（排列组合） • 1. 两个基本原理 • 2. 排列、组合的意义 • 3. 排列数、组合数计算公式 • 4. 例题
解法一：先组队后分校（先分堆后分配） C62 C24 P33 540
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.
(C13 C62) (C12 C24) 1 540
引言
•概率是什么？
•1.概率是频率：
P A
fn
ALeabharlann nA 频数 n 试验次数
.
•2.概率是比例：
序
一、概率论 简史及概率论的应用
1. 概率论简史
1654年， 有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久 的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m 局就算赢，全部赌本就归谁．但 是当其中一个人赢了a 局，另一个人赢了b 局的时候，赌博中止．问：赌本应该 如何分法才合理？” ．
《概率论与数理统计》第一章知识点
第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。
2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。
二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。
（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。
2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。
1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。
2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。
一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。
3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。
用Ω表示。
样本空间是必然事件。
4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。
1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。
2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。
3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或 。
4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。
5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。
概率论与数理统计初步(第一节 随机事件与概率)
概率论与数理统计初步(第一节随机事件与概率)－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－第七章概率论与数理统计初步第一节随机事件与概率1．1 随机试验与随机事件1．随机现象与随机试验自然界和社会上发生的现象是多种多样的。
有一类现象在一定的条件下必然发生或必然不发生，称为确定性现象。
例如，沿水平方向抛出的的物体，一定不作直线运动。
另一类现象却呈现出非确定性。
例如，向地面抛一枚硬币，其结果可能是“正面向上”，也可能是“反面向上”。
又如在有少量次品的一批产品中任意地抽取一件产品，结果可能抽得一件正品，也可能是抽得一件次品。
这类现象可看作在一定条件下的试验或观察，每次试验或观察的可能结果不止一个，而且在每次试验或观察前无法事先知道确切的结果。
人们发现，这类现象虽然在每次试验或观察中具有不确定性，但在大量重复试验或观察中，其结果却呈现某种固定的规律性，即统计规律性，称这类现象为随机现象。
概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。
定义1 在概率统计中，我们把对随机现象的一次观测称为一次随机实验，简称试验。
概率论中研究的试验具有如下特点：（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的结果具有多种可能，并且事先能明确试验的所有可能结果；（3）每次试验之前不能确定该次试验将出现哪种结果。
例1 掷一枚均匀了，观察出现的点数。
试验的所有可能的结果有6个：出现点1，出现点2，出现点3，出现点4，出现点5，出现点6。
分别用1，2，3，4，5，6表示。
例2 将一枚均匀的硬币抛掷两次，观察出现正面、反面的情况。
试验的所有可能结果有4个：两次都出现正面，两次都出现反面，第一次出现正面而第二次出现反面，第一次出现反面而第二次出现正面。
分别用“正正”、“反反”、“正反”、“反正”表示。
2．随机事件在随机试验中，每一个可能的基本结果称为这个试验的一个基本事件。
全体基本事件的集合称为这个试验的样本空间，记为Ω。
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1.1.2 样本空间
1. 随机试验 (E) —— 很多随机现象是可以大量重复的， 对这种随机现象进行的实验与观察称为随机试验 . 它具有三个特点：重复性、可知性、随机性.
2. 样本点 (ω) —— 随机试验的每一个可能(基本)结果.
3. 样本空间(S) —— 实例 将一 随机试验的所有样本点构成的集合.面T出现的情况:
概率论与数理统计
课程主要内容
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 概率论的基本概念 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 大数定律及中心极限定理 样本及抽样分布 参数估计 假设检验 方差分析及回归分析 ……………………
概率论是一门研究客观世界随 机现象数量规律的 数学分支学科. 数理统计学是一门研究怎样去 有效地收集、整理和分析带有随机 性的数据，以对所考察的问题作出 推断或预测，直至为采取一定的决 策和行动提供依据和建议的 数学 分支学科. 统计方法的数学理论要用到很 多近代数学知识，如函数论、矩阵代
第12页
1.1 随机事件及其运算
互斥与互逆的区别：
B
B
A A Ω A=Ω-A Ω
两事件A、B互斥： A B
两事件A、B互逆： A B
且 A∪B= Ω
• 互斥事件不能同时发生，但可能同时都不发生，但 • 对立事件不能同时发生，但也不能同时都不发生，其中必有 且仅有一个发生。
注意：对立事件一定是互斥事件，但反之未必成立。
A
B;
AB ;
AB;
第17页
1.1 随机事件及其运算
3. 试用A、B、C 表示下列事件： ① A 出现； A ② 仅 A 出现；A B C ③ 恰有一个出现；A B C A B C A B C ④ 至少有一个出现；A B C ⑤ 至多有一个出现； ABC ABC ABC ABC ABC ⑥ 三个事件都不出现； ⑦ 三个事件不都出现；A B C A B C ⑧ 至少有两个出现； AB AC BC ⑨ A, B 至少有一个出现, C 不出现 ( A B) C
出现了、发生了.
当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现。
2. 基本事件 —— S 的单点集.
(相对于观察目的不可再分 解的事件)
3. 必然事件 (S) —— S 的最大子集. 4. 不可能事件 (φ) —— S 的最小子集.
例
下例事件属
从十个产品(
第9页
1.1 随机事件及其运算
1.1.4 事件间的关系
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 随机试验 样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型 条件概率 独立性
第4页
1.1 随机事件及其运算
1.1.1 自然界中有两类现象
1. 确定性现象 (一定的条件下必然发生或必然不发生)
2. 随机现象(在一定的条件下,可能出现也可能不出现的现象)
( 2) 结合律 ( A B ) C A ( B C ),
( 3) 分配律
( A B ) C ( A C ) ( B C ) AC BC ,
( A B ) C ( A C ) ( B C ) ( A C )( B C ).
第11页
1.1 随机事件及其运算
n
类似地，称 A k 为n个事件A1, A2, …, An的积事件。
k 1
称
A
k 1
k
为可列个事件A1, A2, …的积事件。
类似地，称 A k 为n个事件A1, A2, …, An的和事件。
k 1
n
称
A
k 1
k
为可列个事件A1, A2, …的和事件。
(4)德 摩根律 : A B A B, A B A B.
n i 1
Ai
n i 1
n
Ai ;
i 1
Ai
n i 1
Ai
第15页
1.1 随机事件及其运算
注意点
(1) 基本事件互不相容，基本事件之并=Ω
A (2) AB A B B (3) A B A A B = A B
1.1.5 事件的运算
• 事件A与B的并（和）： A B A 与 B 至少有一发生 • 事件A与B的交（积）： A B = AB A 与 B 同时发生 • 事件A与B的差： A B A发生但 B不发生 • 对立（互逆）事件: A 不发生，记为 A
A A=Ω-A Ω
A
B Ω
A
B Ω
A
B Ω
概率论的重要研究之一是希望从简单事件的概率推算出复杂事 件的概率。 设同一试验里有两个事件A、B， 事件的包含 ： A B, A 发生必然导致 B 发生.
事件的相等:
A = B A B 而且 B A.
事件的互不相容（互斥）： A 和 B不能同时发生.
B
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
A
Ω
Ω
第10页
1.1 随机事件及其运算
(2) 一射手进行射击，直到击中目标为止，观察射击情况
【解】若以0表示没有击中目标，以1表示击中目标，则
样本点为1, 01, 001, 0001, …， 于是所求的样本空间为 S={1, 01, 001, 0001, …}
第8页
1.1 随机事件及其运算
1.1.3 随机事件
1. (随机)事件 ——随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的 随机事件, 简称事件.通常以大写英文字母 A, B, C, 来表示事件。 • 事件发生：在试验中，A中某个样本点出现了，就说 A
第13页
1.1 随机事件及其运算
eS
S S
中的点（或称元素） 样本点 基本事件 事件A 事件A包含于事件B中 事件A与事件B相等
e
S
单点集 的子集A
集合A包含在集合B中 集合A与集合B相等
集合A与集合B的并集
集合A与集合B的交集 集合A的补集 集合A与集合B的差集 集合A与B没有公共元素
数、组合数学等等，但关系最密切的 是概率论，故可以这样说：概率论是 数理统计学的基础，数理统计学是概 率论的一种应用 . 但是它们是两个并 列的数学分支学科，并无从属关系. 第2页
学习前具备的基本知识
排列组合 微积分
1、深刻理解，牢固掌握基本概念。 2、多做练习，很抓解题基本功。
第3页
第一章 随机事件与概率
意外事件发生的可能性的大小, 由此去计算保险
费和赔偿费的多少. 在一次试验中事件 A 发生的可能性大小的量度称 为事件 A 的概率, 记之为P(A). 这就涉及到概率的"测量"问题.
第20页
(4) A A B A B
第16页
1.1 随机事件及其运算
课堂练习
1. 设 A 与B 同时出现时 C 也出现，则( ③ ) ① AB 是 C 的子事件； ② C 是 AB 的子事件； ③ AB 是 C 的子事件； ④ C 是 AB 的子事件. 2. 设 A 与B为事件，问下列各事件表示什么意思？
分别表示第i个盒子放入a球，b球，ab球，没放球。 于是所求的样本空间为 S={(a, b, 0), (a, 0, b), (b, a, 0), (b, 0, a), (0, a, b), (0, b, a),(ab, 0, 0), (0, ab, 0), (0, 0, ab)}
第7页
1.1 随机事件及其运算
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关 系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量 重复试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性, 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象?
第5页
1.1 随机事件及其运算
第18页
1.1 随机事件及其运算
小
结
1. 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验 样本空间 子集 随机事件 基本事件 复合事件 必然事件
2. 概率论与集合论之间的对应关系 随 机 3. 随机事件的关系与运算 事 件
不可能事件
第19页
1.1 随机事件及其运算
除必然事件和不可能事件外, 任一事件在一次试 验中可能发生 , 也可能不发生 . 我们希望知道某 些事件在一次试验中发生的可能性大小 . 例如 , 商业保险机构为获得较大利润, 就必须研究个别
4. 两类样本空间： 则样本空间 S 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个. 第1次
第6页 H (H,H):
1.1 随机事件及其运算 在具体问题的研究中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
例1.1.1 写出下列随机试验的样本空间 (1) 将a, b两只球随机地放到3个盒子中(一盒可容2球) 【解】设样本点为=(x1, x2, x3)，当xi为a, b, ab, 0时，
事件A与B至少有一个发生
事件A与事件B同时发生 事件A的对立事件 事件A发生而B不发生 事件A与B互不相容（互斥）
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1.1 随机事件及其运算
事件间的运算规律： 设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律
A B B A, AB BA.
( AB )C A( BC ).