1.1 随机试验与随机事件

概率论的重要研究之一是希望从简单事件的概率推算出复杂事 件的概率。 设同一试验里有两个事件A、B， 事件的包含 ： A B, A 发生必然导致 B 发生.
事件的相等:
A = B A B 而且 B A.
事件的互不相容（互斥）： A 和 B不能同时发生.
B
A
B
A
Ω
Ω
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1.1 随机事件及其运算
事件A与B至少有一个发生
事件A与事件B同时发生 事件A的对立事件 事件A发生而B不发生 事件A与B互不相容（互斥）
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_


1.1 随机事件及其运算
事件间的运算规律： 设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律
A B B A, AB BA.
( AB )C A( BC ).
1.1.5 事件的运算
• 事件A与B的并（和）： A B A 与 B 至少有一发生 • 事件A与B的交（积）： A B = AB A 与 B 同时发生 • 事件A与B的差： A B A发生但 B不发生 • 对立（互逆）事件: A 不发生，记为 A
A A=Ω-A Ω
A
B Ω
A
B Ω
A
B Ω
分别表示第i个盒子放入a球，b球，ab球，没放球。 于是所求的样本空间为 S={(a, b, 0), (a, 0, b), (b, a, 0), (b, 0, a), (0, a, b), (0, b, a),(ab, 0, 0), (0, ab, 0), (0, 0, ab)}
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1.1 随机事件及其运算
概率论与数理统计
课程主要内容
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 概率论的基本概念 随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 大数定律及中心极限定理 样本及抽样分布 参数估计 假设检验 方差分析及回归分析 ……………………
概率论是一门研究客观世界随 机现象数量规律的 数学分支学科. 数理统计学是一门研究怎样去 有效地收集、整理和分析带有随机 性的数据，以对所考察的问题作出 推断或预测，直至为采取一定的决 策和行动提供依据和建议的 数学 分支学科. 统计方法的数学理论要用到很 多近代数学知识，如函数论、矩阵代
意外事件发生的可能性的大小, 由此去计算保险
费和赔偿费的多少. 在一次试验中事件 A 发生的可能性大小的量度称 为事件 A 的概率, 记之为P(A). 这就涉及到概率的"测量"问题.
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A
B;
AB ;
AB;
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1.1 随机事件及其运算
3. 试用A、B、C 表示下列事件： ① A 出现； A ② 仅 A 出现；A B C ③ 恰有一个出现；A B C A B C A B C ④ 至少有一个出现；A B C ⑤ 至多有一个出现； ABC ABC ABC ABC ABC ⑥ 三个事件都不出现； ⑦ 三个事件不都出现；A B C A B C ⑧ 至少有两个出现； AB AC BC ⑨ A, B 至少有一个出现, C 不出现 ( A B) C
出现了、发生了.
当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现。
2. 基本事件 —— S 的单点集.
(相对于观察目的不可再分 解的事件)
3. 必然事件 (S) —— S 的最大子集. 4. 不可能事件 (φ) —— S 的最小子集.
例
下例事件属
从十个产品(
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1.1 随机事件及其运算
1.1.4 事件间的关系
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关 系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量 重复试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性, 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象?
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1.1 随机事件及其运算
数、组合数学等等，但关系最密切的 是概率论，故可以这样说：概率论是 数理统计学的基础，数理统计学是概 率论的一种应用 . 但是它们是两个并 列的数学分支学科，并无从属关系. 第2页
学习前具备的基本知识
排列组合 微积分
1、深刻理解，牢固掌握基本概念。 2、多做练习，很抓解题基本功。
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第一章 随机事件与概率
( 2) 结合律 ( A B ) C A ( B C ),
( 3) 分配律
( A B ) C ( A C ) ( B C ) AC BC ,
( A B ) C ( A C ) ( B C ) ( A C )( B C ).
(4)德 摩根律 : A B A B, A B A B.
n i 1
Ai
n i 1
n
Ai ;
i 1
Ai
n i 1
Ai
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1.1 随机事件及其运算
注意点
(1) 基本事件互不相容，基本事件之并=Ω
A (2) AB A B B (3) A B A A B = A B
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 随机试验 样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型 条件概率 独立性
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1.1 随机事件及其运算
1.1.1 自然界中有两类现象
1. 确定性现象 (一定的条件下必然发生或必然不发生)
2. 随机现象(在一定的条件下,可能出现也可能不出现的现象)
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1.1 随机事件及其运算
n
类似地，称 A k 为n个事件A1, A2, …, An的积事件。
k 1
称
A
k 1

k
为可列个事件A1, A2, …的积事件。
类似地，称 A k 为n个事件A1, A2, …, An的和事件。
k 1
n
称
A
k 1

k
为可列个事件A1, A2, …的和事件。
4. 两类样本空间： 则样本空间 S 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个. 第1次
第6页 H (H,H):
1.1 随机事件及其运算 在具体问题的研究中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
例1.1.1 写出下列随机试验的样本空间 (1) 将a, b两只球随机地放到3个盒子中(一盒可容2球) 【解】设样本点为=(x1, x2, x3)，当xi为a, b, ab, 0时，
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1.1 随机事件及其运算
互斥与互逆的区别：
B
B
A A Ω A=Ω-A Ω
两事件A、B互斥： A B
两事件A、B互逆： A B

且 A∪B= Ω
• 互斥事件不能同时发生，但可能同时都不发生，但 • 对立事件不能同时发生，但也不能同时都不发生，其中必有 且仅有一个发生。
注意：对立事件一定是互斥事件，但反之未必成立。
(2) 一射手进行射击，直到击中目标为止，观察射击情况
【解】若以0表示没有击中目标，以1表示击中目标，则
样本点为1, 01, 001, 0001, …， 于是所求的样本空间为 S={1, 01, 001, 0001, …}
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1.1 随机事件及其运算
1.1.3 随机事件
1. (随机)事件 ——随机试验 E 的样本空间 S 的子集称为 E 的 随机事件, 简称事件.通常以大写英文字母 A, B, C, 来表示事件。 • 事件发生：在试验中，A中某个样本点出现了，就说 A
(4) A A B A B
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1.1 随机事件及其运算
课堂练习
1. 设 A 与B 同时出现时 C 也出现，则( ③ ) ① AB 是 C 的子事件； ② C 是 AB 的子事件； ③ AB 是 C 的子事件； ④ C 是 AB 的子事件. 2. 设 A 与B为事件，问下列各事件表示什么意思？
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1.1 随机事件及其运算
小
结
1. 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验 样本空间 子集 随机事件 基本事件 复合事件 必然事件
2. 概率论与集合论之间的对应关系 随 机 3. 随机事件的关系与运算 事 件
不可能事件
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1.1 随机事件及其运算
除必然事件和不可能事件外, 任一事件在一次试 验中可能发生 , 也可能不发生 . 我们希望知道某 些事件在一次试验中发生的可能性大小 . 例如 , 商业保险机构为获得较大利润, 就必须研究个别
1.1.2 样本空间
1. 随机试验 (E) —— 很多随机现象是可以大量重复的， 对这种随机现象进行的实验与观察称为随机试验 . 它具有三个特点：重复性、可知性、随机性.
2. 样本点 (ω) —— 随机试验的每一个可能(基本)结果.
3. 样本空间(S) —— 实例 将一 随机试验的所有样本点构成的集合.面T出现的情况:
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1.1 随机事件及其运算
eS
S S
中的点（或称元素） 样本点 基本事件 事件A 事件A包含于事件B中 事件A与事件B相等
e
S
单点集 的子集A

集合A包含在集合B中 集合A与集合B相等


集合A与集合B的并集
集合A与集合B的交集 集合A的补集 集合A与集合B的差集 集合A与B没有公共元素