复合函数求导 ppt课件
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《复合函数的导数》课件
复合函数的导数
目 录
• 复合函数简介 • 复合函数的导数 • 复合函数导数的计算 • 复合函数导数的应用 • 习题与答案
01
CATALOGUE
复合函数简介
复合函数的定义
复合函数是由两个或多个函数通过复 合运算得到的函数。
设$u = f(x)$是一个函数，$y = g(u)$是另一个函数，则复合函数$y = g(f(x))$是由$f(x)$和$g(u)$复合而 成。
复合函数导数的计算
链式法则
总结词
链式法则是复合函数求导的核心，它描述了函数内部自变量对外部自变量的导数关系。
详细描述
链式法则指出，如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，那么dy/dx等于dy/du乘以du/dx。具体 地，假设y=f(u)和u=g(x)，则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$
$f'(frac{pi}{2}) = cos(frac{pi}{2}) cdot frac{pi}{2} = 0$
$f'(e) = frac{2}{e}$
THANKS
感谢观看
复合函数导数的应用 利用导数研究函数的单调性
总结词
利用导数研究曲线的凹凸性。
详细描述
通过求二阶导数并分析其符号，可以判断曲线的凹凸性 。二阶导数大于0的区间内，曲线为凹；二阶导数小于0 的区间内，曲线为凸。这一性质在几何和工程领域中有 重要的应用。
05
CATALOGUE
习题与答案
习题
计算复合函数$f(x) = (x^2 + 1)(x + 3)$的导数 。
乘积法则
目 录
• 复合函数简介 • 复合函数的导数 • 复合函数导数的计算 • 复合函数导数的应用 • 习题与答案
01
CATALOGUE
复合函数简介
复合函数的定义
复合函数是由两个或多个函数通过复 合运算得到的函数。
设$u = f(x)$是一个函数，$y = g(u)$是另一个函数，则复合函数$y = g(f(x))$是由$f(x)$和$g(u)$复合而 成。
复合函数导数的计算
链式法则
总结词
链式法则是复合函数求导的核心，它描述了函数内部自变量对外部自变量的导数关系。
详细描述
链式法则指出，如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，那么dy/dx等于dy/du乘以du/dx。具体 地，假设y=f(u)和u=g(x)，则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$
$f'(frac{pi}{2}) = cos(frac{pi}{2}) cdot frac{pi}{2} = 0$
$f'(e) = frac{2}{e}$
THANKS
感谢观看
复合函数导数的应用 利用导数研究函数的单调性
总结词
利用导数研究曲线的凹凸性。
详细描述
通过求二阶导数并分析其符号，可以判断曲线的凹凸性 。二阶导数大于0的区间内，曲线为凹；二阶导数小于0 的区间内，曲线为凸。这一性质在几何和工程领域中有 重要的应用。
05
CATALOGUE
习题与答案
习题
计算复合函数$f(x) = (x^2 + 1)(x + 3)$的导数 。
乘积法则
5.2.1环节四+简单复合函数的导数课件(人教版)
答案：
设 = ℎ = 2 − 1( >
1
)，则
2
= = ln.
所以 = = ln(2 − 1)可以看做 = 和 = ℎ 经过
“复合”得到.
即： = = = (ℎ()).
探究新知
定义
一般地，对于两个函数 = 和 = ℎ ，如果通过中
间变量， 可以表示成的函数，那么称这个函数为函数 =
和 = ℎ 的复合函数，记作 = (ℎ()).
探究新知
问题2
如何求复合函数的导数？以函数 = sin2为例，研究其导数.
猜想 = sin2的导数与函数 = sin， = 2的导数有关.
以 ′表示对的导数， ′表示对的导数， ′表示对的导数.
3
×3
π
− )
2
= 0.
所以，弹簧振子在3s时的瞬时速度为0mm/s.
知识应用
追问3
函数 =
2
18(
3
− )还可以看作哪两个函数的复合函数？
2
答案：
2
−18 ，看作
3
函数化为 =
有′
=
′
⋅
′
当 = 3时，
= (−18cos)′ ⋅
′
= 12πsin
′
= 32 × 3 = 92 = 9 3 + 5 2 ；
（2）′ = ′ ⋅ ′ = ′ ⋅ −0.05 + 1
= −0.05 = −0.05 −0.05+1 .
′
知识应用
追问1
你能总结求复合函数 = () 的导数的一般步骤吗？
答案：
（1）视察函数结构，辨认构成复合函数的基本初等函数；
设 = ℎ = 2 − 1( >
1
)，则
2
= = ln.
所以 = = ln(2 − 1)可以看做 = 和 = ℎ 经过
“复合”得到.
即： = = = (ℎ()).
探究新知
定义
一般地，对于两个函数 = 和 = ℎ ，如果通过中
间变量， 可以表示成的函数，那么称这个函数为函数 =
和 = ℎ 的复合函数，记作 = (ℎ()).
探究新知
问题2
如何求复合函数的导数？以函数 = sin2为例，研究其导数.
猜想 = sin2的导数与函数 = sin， = 2的导数有关.
以 ′表示对的导数， ′表示对的导数， ′表示对的导数.
3
×3
π
− )
2
= 0.
所以，弹簧振子在3s时的瞬时速度为0mm/s.
知识应用
追问3
函数 =
2
18(
3
− )还可以看作哪两个函数的复合函数？
2
答案：
2
−18 ，看作
3
函数化为 =
有′
=
′
⋅
′
当 = 3时，
= (−18cos)′ ⋅
′
= 12πsin
′
= 32 × 3 = 92 = 9 3 + 5 2 ；
（2）′ = ′ ⋅ ′ = ′ ⋅ −0.05 + 1
= −0.05 = −0.05 −0.05+1 .
′
知识应用
追问1
你能总结求复合函数 = () 的导数的一般步骤吗？
答案：
（1）视察函数结构，辨认构成复合函数的基本初等函数；
《复合函数求导》课件
THANKS
THANK YOU FOR YOUR WATCHING
边际分析
在经济学中，导数可以用来进行边际分析，帮助理解经济变量的 变化对总体的影响。
弹性分析
导数可以用来计算弹性，帮助理解经济变量之间的相对变化。
最优化问题
通过导数，可以找到使经济效用最大的最优解。
导数在物理学中的应用
速度和加速度
在物理学中，导数可以用来计算速度和加速度，从而更好地理解 物体的运动状态。
03
复合函数求导的应用
ห้องสมุดไป่ตู้
导数在几何中的应用
切线斜率计算
在几何中，导数可以用来计算曲线的切线斜率， 从而了解曲线在某一点的增减性。
极值问题
通过导数，可以确定曲线的极值点，从而确定曲 线的最大值和最小值。
曲线的凹凸性
导数的符号可以用来判断曲线的凹凸性，从而更 好地理解曲线的形状。
导数在经济学中的应用
商式法则是指对复合函数的商式形式进行求导，即对分子和分母分别进行求导，然后将结果相除。
详细描述
商式法则用于处理复合函数中多个函数的商式形式。其基本思想是将复合函数分解为两个基本初等函 数的商，然后分别对分子和分母进行求导。具体地，对于复合函数$frac{f(u)}{g(u)}$，商式法则可以 表示为$frac{f'(u) cdot g(u) - f(u) cdot g'(u)}{[g(u)]^2}$。
《复合函数求导》ppt课件
目录 CONTENTS
• 引言 • 复合函数求导法则 • 复合函数求导的应用 • 复合函数求导的注意事项 • 习题与解答
01
引言
课程背景
01
复合函数求导是微积分中的重要概念，是学习微积分的基础。
课件：复合函数的求导法则,反函数的求导法则
dy
即：反函数的导数等于原函数的导数的倒数.
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x ) 由y f ( x)的单调性可知 y 0,
于是有
y x
1 x
,
f ( x)连续,
y
当x 0时，必有 y 0.又知 ( y) 0
f ( x) lim y x0 x
lim 1 y0 x
例1
y lntan x，求
dy dx
.
解 令 u tan x ，则 y ln u
故 dy ln utan x 1 sec2 x
dx
u
1 sec2 x tan x
1 sin x cos x
例2
y 3 1 2x2 ，求 dy
dx
.
解
dy
1 2x2
1 3
dx
1
1 2x2
证 由 y f (u)在u处可导,可得
f (u) lim y u0 u
则有 y f (u) o(1),其中lim o(1) 0
u
u0
即 y f (u)u o(1)u
所以 y f (u) u o(1) u
x
x
x
注意到:当x 0时, 由u (x) 的连续性
可得 u 0,从而 lim o(1) lim o(1) 0
2 3
1 2x2
3
1
1 2x2
2 3
4x
3
4x
33 (1 2x2 )2
例3 y sin nx sinn x ,求y. nsinn1 x sin(n 1)x
例4 y ln( x x2 1), 求 yy. 1
例5
y
1
《复合函数求导》课件
《复合函数求导》PPT课 件
本课件将详细介绍复合函数求导的概念和方法，并提供实例演练，帮助你掌 握这一重要的数学技巧。
什么是复合函数
复合函数是由一个函数作为另一个函数的输入而构成的函数。 复合函数的定义：设有函数y=f(u)，u=g(x)，则g(x)为f(u)的函数，称为复合函数，记作y=f(g(x))。 复合函数的示例：如sin(x^2)、e^(-2x)。
怎样对复合函数求导
1
链式法则的公式
2
若有f(u)和g(x)为可导函数，则(f(g(x)))'
= f'(u) * g'(x)。
3
链式法则的含义
链式法则是求解复合函数导数的重要 方法。
链式法则的应用
通过链式法则，我们可以将复杂的复 合函数求导问题简化为简单的导数计 算。
实例演练
实现链式法则的步骤
- 确定外函数和内函数- 分别求导外函数和内函数
2 复合函数求导的注意事项
注意在求导过程中使用链式法则，正确处理连锁关系。
3 复合函数求导的练习题提示
多做练习，加深对链式法则的理解和掌握。
实例演练2
求解(f(g(x)))'，其中f(u)=cos(u)，g(x)=x^2-1。
实例演练1
求解(f(g(x)))'，其中f(u)=u^2，g(x)=5x^3。
实例演练3
求解(f(g(x)))'，其中f(u)=ln(u)，g(x)=2x+1。
总结
1 复合函数求导的考点
了解复合函数的概念和求导方法。
本课件将详细介绍复合函数求导的概念和方法，并提供实例演练，帮助你掌 握这一重要的数学技巧。
什么是复合函数
复合函数是由一个函数作为另一个函数的输入而构成的函数。 复合函数的定义：设有函数y=f(u)，u=g(x)，则g(x)为f(u)的函数，称为复合函数，记作y=f(g(x))。 复合函数的示例：如sin(x^2)、e^(-2x)。
怎样对复合函数求导
1
链式法则的公式
2
若有f(u)和g(x)为可导函数，则(f(g(x)))'
= f'(u) * g'(x)。
3
链式法则的含义
链式法则是求解复合函数导数的重要 方法。
链式法则的应用
通过链式法则，我们可以将复杂的复 合函数求导问题简化为简单的导数计 算。
实例演练
实现链式法则的步骤
- 确定外函数和内函数- 分别求导外函数和内函数
2 复合函数求导的注意事项
注意在求导过程中使用链式法则，正确处理连锁关系。
3 复合函数求导的练习题提示
多做练习，加深对链式法则的理解和掌握。
实例演练2
求解(f(g(x)))'，其中f(u)=cos(u)，g(x)=x^2-1。
实例演练1
求解(f(g(x)))'，其中f(u)=u^2，g(x)=5x^3。
实例演练3
求解(f(g(x)))'，其中f(u)=ln(u)，g(x)=2x+1。
总结
1 复合函数求导的考点
了解复合函数的概念和求导方法。
成人高考高数复合函数求导PPT课件
例子:求椭圆
在点
处的切线方程.
解:对椭圆方程的两边分别求导(在此把y看成是关于x 的函数)得:
于是所求切线方程为:
14
利用上述方法可得圆锥曲线的切线方程如下:
(1)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P0(x0,y0)的切线方程 是: (22))(过过x0椭椭-a圆圆)(x-a)+(y上0上-一b一)点(点yP-Pb0(0)x(=x0,r0y2,0y.)0的)的切切线线方方程程是是: :
又圆面积S=πR2,所以 =40π(cm)2/s. 故圆面积增加的速度为40π(cm)2/s.
例4:在曲线
上求一点,使通过该点的切线平行于
x轴,并求此切线的方程.
解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知:
切线斜率
把x0=0代入曲线方程得:y0=1. 所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10
我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论:
“可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导 函数为偶函数”.现在我们利用复合函数的导数重新加 以证明:
证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x
求导得:
,故
为
奇函数.
同理可证另一个命题.
我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数
量 的求导.
3.复合函数的求导法则: 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间
变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.
法则可以推广到两个以上的中间变量. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关 系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变 量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接 求导,就不必再选中间变量.
人教A版高中数学选择性必修第二册【整合课件】5.2第3课时复合函数求导数课件
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x
5.曲线 y＝e2在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为__e_2_.
解析
y'
=
1
x
e2
,
2
切线的斜率 k＝12e2，
则切线方程为 y－e2＝e22(x－4)，
令x＝0，得y＝－e2，
令y＝0，得x＝2，
∴切线与坐标轴围成的面积为12×2×|－e2|＝e2.
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规律与方法
12345
3 3.已知函数f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝__2___. 解析 ∵f′(x)＝3x－1 1·(3x－1)′＝3x－3 1，∴f′(1)＝32.
12345
4.函数 y＝2cos2x 在 x＝1π2处的切线斜率为_－__1_. 解析 由函数y＝2cos2x＝1＋cos 2x， 得y′＝(1＋cos 2x)′＝－2sin 2x， 所以函数在 x＝1π2处的切线斜率为－2sin2×1π2＝－1.
由 f(x)＝ln(x＋1)＋ x＋1＋ax＋b， 得 f′(x)＝x＋1 1＋2 x1＋1＋a， 则 f′(0)＝1＋12＋a＝32＋a，
即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率. 由题意，得32＋a＝32，故 a＝0.
反思与感悟 复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前 提，审题时注意所给点是不是切点，发掘题目隐含条件，求出参数，解 决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.
跟踪训练2 求下列函数的导数. (1)y＝sin3x＋sin x3； 解 y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′ ＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2 ＝3sin2xcos x＋3x2cos x3. (2)y＝xln(1＋2x). 解 y′＝x′ln(1＋2x)＋x[ln(1＋2x)]′
x
5.曲线 y＝e2在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为__e_2_.
解析
y'
=
1
x
e2
,
2
切线的斜率 k＝12e2，
则切线方程为 y－e2＝e22(x－4)，
令x＝0，得y＝－e2，
令y＝0，得x＝2，
∴切线与坐标轴围成的面积为12×2×|－e2|＝e2.
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规律与方法
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3 3.已知函数f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝__2___. 解析 ∵f′(x)＝3x－1 1·(3x－1)′＝3x－3 1，∴f′(1)＝32.
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4.函数 y＝2cos2x 在 x＝1π2处的切线斜率为_－__1_. 解析 由函数y＝2cos2x＝1＋cos 2x， 得y′＝(1＋cos 2x)′＝－2sin 2x， 所以函数在 x＝1π2处的切线斜率为－2sin2×1π2＝－1.
由 f(x)＝ln(x＋1)＋ x＋1＋ax＋b， 得 f′(x)＝x＋1 1＋2 x1＋1＋a， 则 f′(0)＝1＋12＋a＝32＋a，
即为曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率. 由题意，得32＋a＝32，故 a＝0.
反思与感悟 复合函数导数的应用问题，正确的求出此函数的导数是前 提，审题时注意所给点是不是切点，发掘题目隐含条件，求出参数，解 决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键.
跟踪训练2 求下列函数的导数. (1)y＝sin3x＋sin x3； 解 y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′ ＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2 ＝3sin2xcos x＋3x2cos x3. (2)y＝xln(1＋2x). 解 y′＝x′ln(1＋2x)＋x[ln(1＋2x)]′
新教材高中数学第五章导数的四则运算法则简单复合函数的导数ppt课件新人教A版选择性必修第二册
4.(2020·广州高二检测)设函数f(x)的导数为f′(x),且满足f(x)=f′(1)x32x,则f(1)=________. 【解析】根据题意,f(x)=f′(1)x3-2x,则f′(x)=3f′(1)x2-2xln 2,当x=1时, 有f′(1)=3f′(1)-2ln 2,解得f′(1)=ln 2,则f(x)=ln 2×x3-2x,故f(1)= ln 2-2. 答案:ln 2-2
c 9,
【内化·悟】 运用导数解有关切线问题应特别注意什么? 提示:(Байду номын сангаас)导数的双重性;(2)切点坐标的双重性.
【类题·通】 关于求导法则的综合应用
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的 条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键, 务必做到准确. 易错警示:分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上则要设出切点.
x
2.函数f(x)=ex+xsin x-7x在x=0处的导数等于 ( )
A.-6
B.6
C.-4
D.-5
【解析】选A.f′(x)=(ex)′+(xsin x)′-(7x)′=ex+sin x+xcos x-7,
所以f′(0)=e0-7=-6.
3.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内.已知 曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为________. 【解析】设P(x0,y0)(x0<0),由题意知y′｜x=x0 3 x-012 0=2, 即 x0=2 4,得x0=-2,所以y0=15,故点P的坐标为(-2,15). 答案:(-2,15)
复合函数求导课件
多目标优化
利用求导法则解决多目标优化问题，权衡多个目标之间的冲突， 寻求最优解。
THANKS
正导数表示函数在该区间内单调递增， 负导数表示函数在该区间内单调递减。
复合函数导数的几何意义
复合函数在某一点的导数表示该点处 切线的斜率，这个斜率是各个组成部 分的切线斜率的乘积。
02
复合函数的求导法则
链式法则
总结词
链式法则是复合函数求导的核心，它描述了函数内部自变量 对整体函数的影响。
详细描述
运算优先级
在求导过程中，需要遵循运算的优 先级，先进行乘除运算，再进行加 减运算。
求导过程中的等价变换问题
等价变换
在求导过程中，有时候需要进行 等价变换，以简化求导的过程。
等价变换原则
在进行等价变换时，需要遵循一 定的原则，以保证变换的正确性。
等价变换技巧
在进行等价变换时，需要掌握一 定的技巧，以快速准确地完成变
复合函数求导课件
xx年xx月xx日
Байду номын сангаас
• 复合函数导数的基本概念 • 复合函数的求导法则 • 复合函数求导的实例解析 • 复合函数求导的注意事项 • 复合函数求导的应用
目录
01
复合函数导数的基本概念
复合函数的定 义
复合函数
由两个或多个函数通过一定的规 则组合而成的函数。
复合函数的定义
设 $u = g(x)$ ， $v = h(u)$ ，如 果 $y = f(v)$ ，则称 $y = f[h(g(x))]$为复合函数，其中$x$ 是自变量，$y$是因变量，$u$是 中间变量。
符号变化
在复合函数中，符号的变 化可能会影响求导的结果， 因此需要特别注意。
利用求导法则解决多目标优化问题，权衡多个目标之间的冲突， 寻求最优解。
THANKS
正导数表示函数在该区间内单调递增， 负导数表示函数在该区间内单调递减。
复合函数导数的几何意义
复合函数在某一点的导数表示该点处 切线的斜率，这个斜率是各个组成部 分的切线斜率的乘积。
02
复合函数的求导法则
链式法则
总结词
链式法则是复合函数求导的核心，它描述了函数内部自变量 对整体函数的影响。
详细描述
运算优先级
在求导过程中，需要遵循运算的优 先级，先进行乘除运算，再进行加 减运算。
求导过程中的等价变换问题
等价变换
在求导过程中，有时候需要进行 等价变换，以简化求导的过程。
等价变换原则
在进行等价变换时，需要遵循一 定的原则，以保证变换的正确性。
等价变换技巧
在进行等价变换时，需要掌握一 定的技巧，以快速准确地完成变
复合函数求导课件
xx年xx月xx日
Байду номын сангаас
• 复合函数导数的基本概念 • 复合函数的求导法则 • 复合函数求导的实例解析 • 复合函数求导的注意事项 • 复合函数求导的应用
目录
01
复合函数导数的基本概念
复合函数的定 义
复合函数
由两个或多个函数通过一定的规 则组合而成的函数。
复合函数的定义
设 $u = g(x)$ ， $v = h(u)$ ，如 果 $y = f(v)$ ，则称 $y = f[h(g(x))]$为复合函数，其中$x$ 是自变量，$y$是因变量，$u$是 中间变量。
符号变化
在复合函数中，符号的变 化可能会影响求导的结果， 因此需要特别注意。
高等数学第九章第四节多元复合函数的求导法则课件.ppt
tt
z z u z v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t
则有u 0, v 0,
z
u du , v dv t dt t dt
uv
o( )
tt
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
d z z d u z dv ( 全导数公式 ) d t u d t v d t
t tt
z f (u,v) , u (x, y), v (x, y)
z x
z u z v u x v x
f11
f21
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2
x yx y
又如, z f (x,v), v (x, y)
当它们都具有可微条件时, 有
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 (x y z, xyz)
2w xz
f12 xy
f22 x y
为简便 起f11见
,y引(x入 z记) f号12
xfy12z
f2f2, u
fy12f
2
2 f u v
,
例5. 设
二阶偏导数连续,求下列表达式在
极坐标系下的形式
解: 已知
,则
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u,v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 有增量△u ,△v ,
z z u z v o ( )
u v
说明: 若定理中
5.2.3简单复合函数的导数课件(人教版)
y通过中间变量u表示成x的函数.
复合函数
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u， y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和 u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
试一试
指出以下函数是由哪些函数复合而成的？
（1）y＝log2(x＋1) （2）y＝(3x+5)3
（3）y＝e－0.05x＋1
y=log2u和u=x+1 y=u3和u=3x+5 y=eu和u=－0.05x+3
探究:如何求复合函数的导数？以函数 y=sin2x 为例，研究其导数.
y′ =(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2 (sinxcosx)′ =2[ (sinx)′cosx + sinx (cosx)′] = 2[cos2x-sin2x]=2cos2x
特别地，[cf ( x)] ___cf__(_x_)__；
f (x)
f ( x)g( x) f ( x)g( x)
(3)
g(
x)
[g( x)]2
.
学习新知
思考 如何求函数y=ln(2x－1)的导数？
LOGO
函数y= ln(2x－1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的, 所以无 法用现有的方法求它的导数.
[解] 解法一：f′(x)＝2f′(2－x)·(2－x)′－2x＋8＝－2f′(2－x)－2x＋8， 则f′(1)＝－2f′(1)－2＋8，得f′(1)＝2. 又f(1)＝2f(1)－1＋8－8，得f(1)＝1， 故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1.
巩固练习 1.曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________.
高中数学选择性必修二 课件 5 2 3简单复合函数的导数课件(共49张)
(2)令 y＝f (x)，则曲线 y＝eax 在点(0，1)处的切线的斜率为 f ′(0)， 又切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂直，所以 f ′(0)＝2.因为 f (x)＝eax，所以 f ′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以 f ′(0)＝ae0＝a，故 a＝2.]
1．(变条件)本例(1)的条件变为“曲线 y＝ln(2x－1)上的点到直线 2x－y＋m＝0 的最小距离为 2 5”，求 m 的值．
第五章 一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算 5.2.3 简单复合函数的导数
学习目标
核心素养
1.通过复合函数求导公式的学习， 1.了解复合函数的概念．(易混
培养数学抽象、逻辑推理的核心素 点)
养． 2．理解复合函数的求导法则，
2．借助复合函数求导及导数运算 并能求简单的复合函数的导
法则的综合应用，提升数学运算的 数．(重点、易错点)
2．曲线 y＝aex＋xln x 在点(1，ae)处的切线方程为 y＝2x＋b，你 能求出 a，b 的值吗？
[提示] ∵y′＝aex＋ln x＋1， ∴y′|x＝1＝ae＋1， ∴2＝ae＋1， ∴a＝e－1. ∴切点为(1，1)， 将(1，1)代入 y＝2x＋b，得 1＝2＋b， ∴b＝－1，故 a＝1e，b＝－1.
5．求下列函数的导数： (1)y＝e2x；(2)y＝(1－3x)3.
[解] (1)y′＝e2x·(2x)′＝e2x·2＝2e2x. (2)y′＝3(1－3x)2(1－3x)′＝－9(1－3x)2 或 y′＝－81x2＋54x－9.
3如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线 的斜率，这是求切线方程最重要的条件.
4与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的 切线与曲线的公共点不一定只有一个.
高中数学选择性必修二 5 2 3简单复合函数的导数课件(共27张)
5.2.3
简单复合函数的导数
课标阐释
思维脉络
1.了解复合函数的概念.(数学抽象) 简 单 复 合 函 数 的 导 数
2.理解复合函数的求导法则,并能求
概念
简单的复合函数的导数.(逻辑推理、
求导法则——应用
数学运算)
激趣诱思
知识点拨
我们学习过基本初等函数,如指数函数、对数函数、幂函数、三角
函数、常数函数,我们可以把这些函数进行加、减、乘、除、乘方、
a=
.
分析:(1)设 P(x0,y0)→由 y'| = =2
0
求P(x0,y0)→由点到直线的距离求最小值
(2)求y'→由y'|x=0=2求a的值
)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:(1)设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.
2
,∴y'| =
f'(x)=(
)
A.2cos 2x+2e2x
B.cos 2x+e2x
C.2sin 2x+2e2x
D.sin 2x+e2x
解析:因为f(x)=sin 2x+e2x,所以f'(x)=2cos 2x+2e2x.故选A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.(2020福建高二期末)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f'(2)=-1,则a=(
(1)中间变量的选择应是基本函数结构;
(2)关键是正确分析函数的复合层次;
(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;
简单复合函数的导数
课标阐释
思维脉络
1.了解复合函数的概念.(数学抽象) 简 单 复 合 函 数 的 导 数
2.理解复合函数的求导法则,并能求
概念
简单的复合函数的导数.(逻辑推理、
求导法则——应用
数学运算)
激趣诱思
知识点拨
我们学习过基本初等函数,如指数函数、对数函数、幂函数、三角
函数、常数函数,我们可以把这些函数进行加、减、乘、除、乘方、
a=
.
分析:(1)设 P(x0,y0)→由 y'| = =2
0
求P(x0,y0)→由点到直线的距离求最小值
(2)求y'→由y'|x=0=2求a的值
)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:(1)设曲线y=ln(2x-1)在点(x0,y0)处的切线与直线2x-y+3=0平行.
2
,∴y'| =
f'(x)=(
)
A.2cos 2x+2e2x
B.cos 2x+e2x
C.2sin 2x+2e2x
D.sin 2x+e2x
解析:因为f(x)=sin 2x+e2x,所以f'(x)=2cos 2x+2e2x.故选A.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.(2020福建高二期末)已知f(x)=ln(2x+1)-ax,且f'(2)=-1,则a=(
(1)中间变量的选择应是基本函数结构;
(2)关键是正确分析函数的复合层次;
(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导;
2.5简单复合函数的求导法则课件-高二下学期数学北师大版选择性必修第二册
数几何意义的相应题型的解法.
环节四
学以致用
1.求下列函数的导函数
′
2
1 = 2 + 3 ;
2 =
−0.05+1
;
= 8 + 12
′
= −0.05
−0.05+1
3 = sin + (其中π，p均为常数)
′ = cos +
2.求下列函数的导函数
5
1 = 2 + 1 ;
5
关系s(t)＝3sin( t＋ )(0≤t≤24)，其中s的单位
12
6
是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，
并解释它的实际意义．
解：函数s(t)＝3sin(
12
t＋
5
)可以看作函数f(x)＝3sinx和x＝φ(t)
6
12
5
＝
t＋ 的复合函数，其中x是中间变量．由导数公式表可得
油膜的半径r随着时间t(单位：s)的增加而扩大，假设r关
于t的函数解析式为
= = + .
油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少?
分析
由题意知，时间t决定油膜的半径r，进而决定油膜的面积S，所以
可得S关于的函数解析式为
= = 2 + 1 2 .
油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率就是函数 = 的导数.
100
数解析式为 ℎ = ℎ =
,求函数在 = 3时的
2+1
导数，并解释它的实际 意义.
100
是由函数
2+1
100
和函数
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co 2 x(s 2 x) e2x(2 x)
2co 2xs2e2x
(2)y.lnx3(lxn)3
解y： (lx3 n )[(xl)3n ]x13(x3)3(ln x)2(ln x)
x133x23(lnx)2
1 x
33(lxn )23[1(lxn )2]
xx
x
(B) 例12 求下列函数的导数
（1） y(5x24)31x
练习3：设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).
解 f(x)cosx2(x2)x2xcosx2
练习 求下列函数的导数
(A)1. y e3x
解：y (e 3 x ) e 3 x (3 x ) 3 e 3 x
(A)2. ycosx(3)
解：y (cx 3 o ) s six 3 n (x 3 )3x2sin x3
公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x )
(3)ysinx ()其 ( 中 ， 均为)常
解(1： )函数 ysinx()可以看作 y函 sinu数 和 ux的复合函数。函 根数 据求 复导 合法
y x ' y u '• u x ' (sin u )'• ( x )' cos u cos( x )
二、举例
(A) 例1 求函数 y(3x2)5 的导数
1.2.3复合函数求导
我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0;
公 式 2 .若 f ( x ) x a , 则 f '( x ) a x a 1 ;
公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ;
x
y u, u3x2x1 ycosu, usinx
yum, uabxn.
ysinu, u11 x
*
复合函数的求导法则
定理 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导，
则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 yx yuux，或 yxf(u)(x)
即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法 注意则： )
1
1
解：y (5x2 4)(1x)3 (5x2 4)[1(x)3]
1x0 (1x)1 3(5x24)1(1x)3 2(1) 3
1x031x1(5x24) 1 .
3
3(1x)2
例 1 求 下 列 函 数 的 导 数
1、法则可以推广到两个以上的中间变量； 2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定 中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.
例4 求下列函数的导数
(1)y(2x3)2
解(1： )函数 y(2x3)2可以看作 y函 u2和 数 u2x3的复合函数。函 根数 据求 复导 合法
即: f(x)•g (x)f(x)g (x)f(x)g (x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
二、讲授新课：
1.复合函数的概念:
y x ' y u '• u x ' (u 2 )'• ( 2 x 3 )' 4u 8 x 12
(2)ye0.05x1
解(1： )函数 ye0.05x1可以看作 ye函 u和数 u0.05x1的复合函数。 函根 数据 求复 导合
y x ' yu '•u x ' (e u )'•( 0 .05 x 1)' 0 .05 e u 0 .05 e 0.05 x1
log a
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x
导数的运算法则：
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的
导数的和(差),即: f(x)g(x)f(x)g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,
(A) 例3 求函数 y cos2 x 的导
数
解：设 y u 2
ucoxs
因为 yu2u,uxsixn
所以 yx yuux 2 u ( sx i ) n 2 cx o sx is n s2 i xn
(A)2、y 求 lnsin x的导数
解：ylnu, usinx
yx yu ux (lnu)u (sinx)x 1cox s 1 cox scoxt u sixn
对于函数y f ((x)),令u (x),
若y f (u)是中间变量u的函数，
u (x)是自变量x的函数，则称 y f ((x))是自变量x的复合函数.
*
练习1
指出下列函数是怎样复合而成：
(1) y s in 2 x；
ysinu, u2x
( 2 ) y 3 x 2 x 1； (3 ) y c o s (s in x )； (4) y (a bxn)m； (5 ) y s in (1 1 ).
sin 1
(B)3. y e x
解：
y
sin1
ex
(sin1)
sin1
ex
co
s1(1)
x
xx
sin1
e x
(
1
x2
)cos1 x
1 x2
sin1
ex
cos1 x
综合运用求导法则求导
(A) 例11 求下列函数的导数 (1)y . si2 nxe2x
解y： (s2 ixn e2x)(si2n x)(e2x)
解：设 y u5
则 u3x2,
因为 yu 5u4,ux 3, 所以 yxyuux5 u 4 3 5 (3 x 2 )4 3 1(3 x 5 2 )4
(B) 例2 求函数 yln1(x2) 的导数
解：设 ylnu 则 u1x2
因为
yu u1,ux 2x,
所以 yxyuuxu 1(2x)x2 2x1