中考培优竞赛专题经典讲义第1讲角平分线

第1讲角平分线

1. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

定理的数学表示：如图，已知0E是/ AOB的平分线，F是0E上一点，若CF

点C, DF OB 于点D，则CF = DF.

逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上

角平分线除了简单的平分角以外，结合其它的条件，一般可产生以下三种常见模型! 模型讲解

模型1-BD平分/ ABC,且DC BC

理由：角平分线的性质

结论：△ DCB2 △ DEB

模型 2 一BD 平分/ ABC, 且CD BD

理由：等腰三角形三线合一

结论：△ BDC BDE

模型3-BD 平分/ ABC, AD// BC

理由：平行线的性质

结论：△ ABD为等腰三角形OA于

【例题讲解】

例题1、如图所示，在四边形ABCD 中，DC// AB，/ DAB =90 °, AC BC, AC=BC,

BF

/ ABC的平分线交AD , AC于点E、F，贝U BS的值是

EF

BF

EF

值得一试.

【解答】解：如图，作FG AB于点G

QAC BC，/ ACB =90°

又QBF 平分/ ABC，FG = FC 在Rt A BGF 和Rt A BCF 中

BF BF

AC =16，贝U DE的长度为_________

【分析】有AE平分/ BAC，且AE EC，套用模型2，即可解决该题

△ BGF BCF ( HL) ，BC = BG

Q AC

=

:BC，/ CBA =45°，AB = 2 BC

BF BG BC BC1 . 2 .

EF AG AB BG.2BC BC、2 I

CF GF

例题2、如图，D是厶ABC的BC边的中点,

当过点F作FG AB时，即可将转化为竺，又会出现模型

EF AG

1，所以这个辅助线与思路Q / DAB-90°，FG/AD，

BF

EF

BG

AG

AE 平分/ BAC，AE CE 于点E，且AB =10，【分析】要求B匚的值，一般来说不会直接把

EF

BF和EF都求出来，所以需要转化

【解答】解：如图，延长CE, AB交于点F.

QAE 平分/ BAC, AE EC

/ FAE = / CAE ,Z AEF = / AEC =90°在厶AFE和厶ACE中

/ EAF / EAC

AE AE

/ AEF / AEC

△ AFE 也ACE (ASA)

AF = AC = 16, EF = EC,

BF = 6

又QD是BC的中点，BD =CD

DE是厶CBF的中位线

1

DE = — BF =3

2

故答案为：3.

例题3、如图所示，在△ ABC中，BC =6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射

1

线EF 上, BP交CE于D，/ CBP的平分线交CE于Q,当CQ =- CE时，EP+BP= .

3 -------------

【分析】这里出现角平分线，又有平行，应该想到模型3，即可构造出等腰三角形，结合相

似模型，即可解出答案.

【解答】解：如图，延长BQ交射线EF于点M.

QE、F分别是AB、AC的中点，

EF// BC

/ CBM = / EMB

Q BM 平分/ ABC , / ABM = / CBM

/ EMB = / EBM , EB = EM

EP +BP = EP +PM =EM

1

QCQ = CE, EQ =2CQ

3

由EF// BC 得，△ EMQ CBQ

EM EQ

2 EM 2BC 12 EP BP 12

BC CQ

（第 5 题）

（第 7 题）

【巩固练习】

1、如图，/ AOB 是一个任意角，在边 OA , OB 上分别取OM =ON ，移动角尺，使角尺 两边相同的刻度分别与 M , N 重合，过角尺顶点 C 的射线OC 便是/ AOB 的平分线OC ,做 法用得到三角形全等的判定定方法是（

） A. SAS

B.SSS

C.ASA

D.HL

2、三角形中到三边距离相等的点是（ A 、三条边的垂直平分线的交点 C 、三条中线的交点

3、如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE 平分/ ABC , CF 平分/ BCD , BE 、CF 交于 1

G.若使EF = AD ，那么平行四边形 ABCD 应满足的条件是（

）

4

A. /ABC =60°

B. AB ： BC = 1 : 4

C. AB ： BC = 5： 2

D. AB ： BC = 5： 8

4、 如图，△ ABC 的周长为26,点D , E 都在边BC 上,/ ABC 的平分线垂直于 AE ,垂 足为Q ,/ ACB 的平分线垂直于 AD ，垂足为P ,若BC = 10，则PQ 的长为（

）

3 5 A 3

B. -

C.3

D. 4

'2

2

5、 如图，在△ ABC 中，/ C =90°, AC =BC , AD 平分/ BAC 交 BC 于点 D , DE AB 于点丘，若厶BDE 的周长是5cm ,则AB 的长为_. ________

（第 1 题）

（第 3 题）

（第 4 题）

）

B 、三条高的交点

D 、三条角平分线的交点

（第 6

题）