信号噪声分析

功率谱：信号功率在频域的分布 F ( ) 1 1 R ( )l i m f ( t ) f ( t ) d t l i m e d T 2 T
T 2 2 T j T 2 T T
与自相关函数的关系
1 1 2 F ) T( R ( 0 ) l i m F () d P Sf ( ) lim T T T 2 T T R f ( ) E f ( )
6
例：周期矩形脉冲信号
E f(t)
E t 2 2 f (t) T T 0 t and t 2 2 2 2

T 2
2
T 2
T
t
1=2/T Sa(x)=sin(x)/x
E 2 E n 1 f ( t ) Sa ( ) cos n t 1 T n 2 1 T
E T
Cn
E n 1 C Sa ( ) n T 2
4
0 1
n
2
n 1

k 2 （ k 1 ） 2 ,k 1 , 3 , 5 ,.. n 0 其他
2 4

0

8
将幅频和相频合画在同一幅图中 ( X ()为实数）
例：调制定理 ft ( ) ftft ( ) ( ) x ( t ) c o s t 1 2 0
ft ( ) x ( t ) ft ( )c o s t 1 2 0

F 2 ( )

X ( )
( 0)
( 0)

2
0
2
t

2
2
F ( ) F ( ) e j d F ( ) e j d
2
R ( ) F( )
2
功率信号的相关定理 —— 维纳-辛钦定理
1 T 2 R ( ) li m f (t ) f (t )d t T 2 T T 1 li m f T ( t ) f T ( t ) d t T T R T ( ) li m T T FT ( ) R ( ) li m T T
dt Ee dt
j t
E jt 2 E j2 j2 2E e | e e s in 2 j j 2 ESa (

2


2
)
11
矩形脉冲的频谱
F ( )E Sa (
j ( )

0 0 0

/ 2 F ( )

0

0

17
相关
能量信号的相关
自相关 互相关
R ) t ) f( t ) dt f( f(
R ( ) ( t ) f ( t ) dt 12 1 2 f



功率信号的相关 相关的物理含义
1

T (t )
2
F ( )
T1
T1
t 频率搬移性： 1 0
时域内乘以 e
jn 1t
相当于频域内搬移
1 2 1

1
常用傅氏变换对：（3）三角函数
F()
F ( ) F [co T t ] [ ( s ) ( )] 0 0 0

X ()
E T

2
0 1
2
4

n E E 1 c S a ( ) S a ( ) X () n T 2 T 2
9
E n jn t 1 1 f( t ) Sa ( ) e Tn 2
傅里叶变换
非周期信号的时/频域转换
T0 T0
2

T 2
0
O T
2
0
t
A T0
R ( )
F ( )A TS ( 0 a
T 0
2
)
T0
O
T
0

从定义求 T 2 2 2 2 0 能量谱 E ( ) F ( ) A T S a ( ) f 0
2
从自相关函数求
2 A T ( 1 ) 0 T 0 R ( ) 0
F ( )

f (t )e- jt dt
jt
f (t ) F ( )e


d 2
f( t) F ( )
举例
例：矩形脉冲信号
E
f (t )

2
2
t
j t
E f (t ) 0

2
t
t 2
2
F() f (t)e
与周期矩形脉冲比较
E T
X ()
1、周期信号的频谱包络线与 非周期信号的频谱函数曲线形 状相同 2、频谱都具有收敛性 2 3、占有频带宽度为
2 4


2
0 1

12
傅里叶变换（2）
互易特性
教材p24例2-1
F ( t ) 2 f( )
常用傅氏变换对 t) ( t) （1）冲激函数 f(
例:
反映了信号相似度随时间变化的快慢
square wave
例：矩形信号的自相关函数
1 f (t ) 0 t 1 2 t 1 2
1 2
1
f (t)
O
1 2
t
1 R ( ) 0
1 1
1
1
R ( )
O
1

能量信号的相关定理—— 维纳-辛钦定理
通信系统原理
北京交通大学 电子信息工程学院 通信工程教研室 郭宇春 郑宏云
1
Chap 2 信号与噪声分析
1. 确知信号分析 2. 随机信号分析 3. 噪声分析
2.1 确知信号分析
信号类型 信号的频谱表示
傅里叶级数 傅氏变换 常用信号及其傅氏变换 傅氏变换重要性质
卷积和相关 能量谱、功率谱及帕氏定理 确知信号通过线性时不变系统
c 0 f( t ) C cos( n t ) n 0 n 2 n 1
例：周期信号f(t)在一个周期内的波形
1 f (t ) 1
n 1
T 0t 2 T t T 2
f(t) 1
0
T
t
f( t) b n t n sin 1 4 4 sin t sin 3 t 1 1 3
( 0)
0
( 0)
0
F ( ) FT [sin t ] j [ ( ) ( )] 0 0 0

( 0)
0
jF()
0

0
0
( ) 0

15
卷积

f ( t ) f ( t ) f ( t ) f ( ) d f ( ) f ( t ) d f ( t ) f ( t ) 1 2 1 2 1 2 2 1
F ( ) 1
教材P25例2-2
常用傅氏变换对：（2）周期单位冲激序列
( t ) ( t n T ) C . e T 1 n
n n


j nt 1
1 1 T 1 2 j n t 1 C () t. e d t T n T 1 2 T T 1 1 1 2 jn t 1 F ( ) ( n ) T (t) e 1 T T n 1n
/ 2 2T b f() ts i n ( n t ) d t n 0 T / 2 T

/ 2 2T a f() tc o s ( n td )t n 0 T / 2 T
cn a b
2 n
2 n
a r c t a n ( b / a ) n n n
1 T/2 j n t 0 V f () t e d t n T /2 T
傅里叶级数
周期信号
f ( t ) f ( tn T ) n 1 2 3 （图）
a0 f (t ) [an cos(n0t ) bn sin(n0t )] 2 n 1 c0 cn cos(n0t n ) 2 n 1
n jn0t V e n
1 F [ ft ( ) ] F [ f ( t ) ] *[ F f ( t ) ] 1 2 2 1 1 X ( ) * { [( 0 ) ( 0 ) ] } [ X ( 0 ) X ( 0 ) ] 2 2
1 x(t)
2 1 T
Q1: 傅里叶级数的物理含义是什么？ Q2: 引入傅氏分析的意义/目的是什么？
5
c 0 f( t ) C cos( n t ) n 0 n 2 n 1
其中：Cn代表n次谐波的振幅，称幅度频谱。

n代表n次谐波的初相位，称相位频谱。
周期信号的各次谐波的分布图表征了信号的谐波 组成情况，称为信号的频谱。 它是信号频域表示的一种方法
E n jn t 1 1 f( t ) Sa ( ) e Tn 2
1 E n 2 jn t 1 1 c Ee dt Sa ( ) n T2 T 2 7
将各谐波分量的幅度和相位用垂直线段在频率轴的 相应位置上标出，即信号的频谱图。
R ( )


f (t ) f (t )d t
1 2 1 2 1 2 1 2
Fra Baidu bibliotek

f ( t ) F ( ) e j ( t ) d d t F ( ) f ( t ) e j t d t e j d
2
能量谱、功率谱
能量谱：信号能量在频域的分布
1 2j R ( ) f ( tf ) ( t ) d t F ( ) ed 2 1 2 2 2 R ( 0 ) ft ( ) d t F ()d E E ) F ( ) f( 2


t
物理含义 两个定律：如果
卷积定律 调制定律
举例
f ( t ) F ( )f ( t ) F ( ) 1 1 2 2


f ( t ) f ( t ) F ( ) F ( ) 1 2 1 2
1 f ( t ) f ( t ) F ( ) F ( ) 1 2 1 2 2
2
E n 1 ) X ( ) X ( n ) Sa ( ) 1 T 2
F ( ) F ( ) e
E
2
F ( )
1、 X () 的值比F()的值多乘了系 数1/T 2、X () 式中为不连续的变量 (即n1), F()为连续变量

2
2
R f ( ) S f ( )
帕氏定理
1 2 E f ( t ) d t R ( 0 ) F ( ) d f f 2 2
时域(t)
自相关域()
频域()
1 Pf lim T T

T /2
T / 2
1 f (t ) dt R f (0) 2
2



S f ( )d
信号在时域和频域计算的能量或功率是相等的
自相关函数表示了信号的能量谱或功率谱的时域特性
例题
square wave
计算矩形信号的自相关函数，能量谱密度， f (t) 能量 A
2 A T0 (1 ) T0 R ( ) 0
A t T0 2 f (t) 0 t T0 2