分式的运算及题型讲解

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初升高数学衔接课程-- 分式运算 (教师版含解析)

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第2章 分式运算【知识衔接】————初中知识回顾————(一)分式的运算规律1、加减法 同分母分式加减法:c b a c b c a ±=± 异分母分式加减法:bc bd ac c d b a ±=±2、乘法:bd ac d c b a =⋅3、除法:bc ad c d b a d c b a =⋅=÷4、乘方:n nn ba b a =)( (二)分式的基本性质1、)0(≠=m bm am b a2、)0(≠÷÷=m mb m a b a ————高中知识链接————比例的性质(1)若d c ba=则bc ad = (2)若d c ba =则d d c b b a ±=±(合比性质) (3)若d c ba =(0≠-db )则d b d bc a c a -+=-+(合分比性质) (4)若d c b a ==…=n m ,且0≠+++n d b 则b a n d b m c a =++++++ (等比性质) 分式求解的基本技巧1、分组通分2、拆项添项后通分3、取倒数或利用倒数关系4、换元化简5、局部代入6、整体代入7、引入参数8、运用比例性质【经典题型】初中经典题型1.若代数式4x x -有意义,则实数x 的取值范围是( ) A . x =0 B . x =4 C . x ≠0 D . x ≠4【答案】D【解析】由分式有意义的条件:分母不为0,即x-4≠0,解得x≠4,故选D .2.化简:,结果正确的是( )A . 1B .C .D .【答案】B 【解析】试题分析:原式==.故选B .3.当x =______时,分式523x x -+的值为零. 【答案】5. 【解析】解:由题意得:x ﹣5=0且2x +3≠0,解得:x =5,故答案为:5.4.先化简,再求值: 22121x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭,其中x =22. 【答案】21x -,7. 【解析】试题分析:根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题.试题解析:原式=()22121x x x x x x ++-⋅+=()2211x x x x x +-⋅+=()()2111x x x x x-+⋅+=21x - 当x =22=(2221-=8-1=7.高中经典题型例1:化简232||211x x x x x +-+-- 解:原式=22|)|1()1()1(x x x -+- 当0≥x 且1≠x 时,原式=x +1当0<x 且1-≠x 时,原式=xx +-1)1(2 例2:化简:++++3223bab b a a a 442222223223311b a b a a b b a b ab b a a b -+-+--+-+-例3:计算2)(32222233332222-++÷---++nm m n n m m n n m m n n m m n n m m n 解:设a m n =,b nm =,则1=ab ∴原式=2)(32223322-++÷---++b a b a b a b a b a =ba ab b a b a ab b a ab b a +-+----++2)(32223322=2222232)()()(nm n m b a b a b a b a b a b a -+-=-+=+-⋅-+ 例4:计算abbc ac c b a ac ab bc b a c bc ac ab a c b +---++----+---222 解:既不便于分式通分,又不适合分组通分,试图考察其中一项,从中发现规律ca b a c a b a b a c a c a b a bc bc ac ab a c b ---=-----=--=+---11))(()()())((2 因此不难看出,拆项后通分更容易 ∴原式=))(())(())((b c a c b a a b c b a c c a b a c b ---+------- =))(()()())(()()())(()()(b c a c a c b c a b c b c b a b c a b a b a c a -----+----------- =ac b c a c a b c b c a b a -=---+-+-----2111111 例5:若1=abc ,求111++++++++c ac c b bc b a ab a 解:∵1=abc ,∴bc a 1=,将式中的a 全换成bc1 ∴原式=11111++++++++c bcc c b bc b bc bc b bc =11111=++++++++bc b bc bc b b bc b 例6:已知x z y x y z y x z z y x ++-=+-=-+且0≠xyz ,求分式xyzx z z y y x ))()((+++的值 解:分析:已知条件以连比的形式出现,可引进一个参数来表示这个连比,从而将分式化成整式。

分式的运算例题讲解

分式的运算例题讲解

15.2 分式的运算1.分式的乘除(1)分式的乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母. 用式子表示为:a b ·c d =a ·c b ·d . (2)分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.用式子表示为:a b ÷c d =a b ·d c =a ·d b ·c. 分式的除法要转化为乘法,然后根据乘法法则进行运算,结果要化为最简分式.【例1】 计算:(1)4a 4b 215x 2·9x 8a 4b ; (2)a 2-1a 2+2a +1÷a 2-a a +1;(3)a 2-4a 2+4a +4·2a a 2-4a +4; (4)4x 2+4xy +y 22x +y÷(4x 2-y 2).2.分式的乘方(1)法则:分式乘方要把分子、分母分别乘方.(2)用式子表示:⎝⎛⎭⎫a b n =a n b n .解技巧 分式的乘方的理解 (1)分式乘方时,分子、分母要乘相同次方;(2)其结果的符号与有理数乘方结果的符号确定方法一样.【例2】 计算:(1)⎝⎛⎭⎫a 2-b 34; (2)⎝⎛⎭⎫x 2y -z 23.3.分式的加减(1)同分母分式相加减:①法则:分母不变,把分子相加减; ②用式子表示:a c ±b c =a ±b c. (2)异分母分式相加减:①法则:先通分,变为同分母的分式,再加减;②用式子表示:a b ±c d =ad bd ±bc bd =ad ±bc bd. 警误区 分式加减运算的注意点 (1)同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算,分子加减时要将其作为一个整体进行加减,当分子是多项式时,要添加括号;(2)异分母分式加减运算的关键是先通分,转化为同分母的分式相加减,再根据同分母分式加减法进行运算,通分时要注意最简公分母的确定;(3)分式加减运算的结果要化为最简分式或整式.【例3】 计算:(1)(a -b )22ab +(a +b )22ab ; (2)a a 2-1-11-a 2; (3)1x +y -1x -y +2x x 2-y 2;(4)12m 2-9+23-m ; (5)x -3x 2-1-2x +1; (6)4a +2-a -2.4.整数指数幂一般地,当n 是正整数时,a -n =1a n (a ≠0).这就是说,a -n (a ≠0)是a n 的倒数.这样引入负整数指数幂后,指数的取值范围就推广到全体整数.根据整数指数幂的运算性质,当m ,n 为整数时,a m ÷a n =a m -n ,a m ·a -n =a m +(-n )=a m -n ,因此a m÷a n =a m ·a -n .特别地,a b=a ÷b =a ·b -1,所以⎝⎛⎭⎫a b n =(a ·b -1)n ,即商的乘方⎝⎛⎭⎫a b n 可以转化为积的乘方(a ·b -1)n . 这样,整数指数幂的运算性质可以归纳为:(1)a m ·a n =a m +n (m ,n 是整数);(2)(a m )n =a mn (m ,n 是整数);(3)(ab )n =a n b n (m ,n 是整数).【例4】 计算:(1)⎝⎛⎭⎫-23-2; (2)a 2b -3(a -1b )3÷(ab )-1.5.科学记数法(1)用科学记数法表示绝对值大于1的数时,应当表示为a ×10n 的形式,其中1≤|a |<10,n 为原数整数部分的位数减1;(2)用科学记数法表示绝对值小于1的数时,可以表示为a ×10-n 的形式,其中n 为原数第1个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零),1≤|a |<10.提示:用科学记数法的形式表示数更方便于比较数的大小.【例5】 把下列各数用科学记数法表示出来:(1)650 000; (2)-36 900 000; (3)0.000 002 1; (4)-0.000 006 57.6.分式的乘除混合运算分式的乘除混合运算要统一为乘法运算来计算.谈重点 分式乘除混合运算的方法 (1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同,即从左到右的顺序,有括号先算括号里面的;(2)分式的乘除混合运算要注意每个分式中分子、分母括号的处理,以及结果符号的确定;(3)分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式.7.分式的混合运算分式的四则混合运算与有理数的混合运算相同,必须按照运算顺序,先乘方,再乘除,后加减,有括号时先去小括号再去中括号,最后结果要化为最简分式或整式.解技巧 分式混合运算的技巧 分式四则混合运算要注意:(1)按照运算顺序进行,确定合理的运算顺序是解题的关键;(2)灵活运用交换律、结合律、分配律,可以使运算简捷,而且还可以提高运算速度和准确率;(3)将结果化为最简分式或整式;(4)运算过程中要注意符号的确定.8.把分式化简后再求值 分式的化简求值题,关键是要准确地运用分式的运算法则,然后代入求值.化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变,要注意分清运算顺序,先乘除,后加减,如果有括号,先进行括号内的运算.【例6】 计算:1-x 2x 2+4x +4÷(x -1)2·x 2+3x +2x -1.【例7】 计算:⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2-b 2a 2+2ab +b 2+2ab ÷⎝⎛⎭⎫1a +1b 2·2a 2-b 2+2ab.【例8】 先化简,再求值:⎝⎛⎭⎫3x x -1-x x +1·x 2-12x ,其中x =-3.9.运用分式运算解决实际问题运用分式运算解决实际问题,关键是理解题意,找准各种量之间的关系,这也是解决数学应用题的基本方法,作差法等也是解决这类问题的常用方法.在判断两分式的差的正负的时候,可以考虑利用完全平方式的非负性和题中字母的实际意义来解题.作差法举例:若x ≠y 且x >0,y >0,比较4x +y 与x +y xy的大小.【例9】 甲、乙两工人生产同一种零件,甲每小时比乙多生产8个,现要求甲生产出168个零件,乙生产出144个零件,则他们两人谁能先完成任务?10.分式混合运算的开放型题所以在解决此类问题时,首先还是要正确进行分式的化简,然后还要注意问题的多解的情况.举例:已知P =a 2+b 2a 2-b 2,Q =2ab a 2-b 2,用“+”或“-”连接P ,Q 共有三种不同的形式:P +Q ,P -Q ,Q -P ,请选择其中一种进行化简求值,其中a =3,b =2.【例10】 已知A =1x -2,B =2x 2-4,C =x x +2.将它们组合成(A -B)÷C 或A -B÷C 的形式,请你从中任选一种进行计算.先化简,再求值,其中x =3.。

分式知识点及例题

分式知识点及例题

分式知识点及例题一、分式的概念形如 A/B(A、B 是整式,且 B 中含有字母,B≠0)的式子叫做分式。

其中 A 叫做分子,B 叫做分母。

例如:1/x,(x + 1)/(x 2) 等都是分式。

需要注意的是,分母不能为 0,否则分式无意义。

二、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为 0 的整式,分式的值不变。

即:A/B = A×C/B×C,A/B = A÷C/B÷C(C 为不等于 0 的整式)例如:若分式 2x/(3x 1) 的分子分母同时乘以 2,得到 4x/(6x 2),其值不变。

三、分式的约分把一个分式的分子和分母的公因式约去,叫做分式的约分。

约分的关键是确定分子和分母的公因式。

例如:对分式 6x/9 进行约分,分子分母的公因式为 3,约分后得到2x/3。

四、分式的通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

最简公分母的确定方法:1、取各分母系数的最小公倍数;2、凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式;3、同底数幂取次数最高的。

例如:1/2x 和 1/3y 的最简公分母为 6xy。

五、分式的运算1、分式的乘除法分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。

例如:(2x/y) ×(3y/4x) = 3/2 ;(2x/y) ÷(3y/4x) =(2x/y) ×(4x/3y) = 8x²/3y²2、分式的加减法同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减;异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减。

例如:1/x + 2/x = 3/x ; 1/2x 1/3y =(3y 2x) / 6xy六、分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

分式运算公式

分式运算公式

分式运算公式分式是数学中常见的一种表示形式,由分子和分母组成的比值。

在运算中,我们常常需要对分式进行加减乘除等操作。

下面将介绍分式运算的公式以及具体的计算方法。

1. 分式加法公式:a/b + c/d = (ad + bc) / bd这个公式表示了两个分式相加后的结果。

要进行分式的加法,首先将两个分式的分母进行通分,然后将分子相加,最后将得到的结果的分子和分母写在一个新的分式中即可。

2. 分式减法公式:a/b - c/d = (ad - bc) / bd与分式加法公式类似,分式的减法也需要先通分,然后将分子相减,最后得到的结果写在一个新的分式中。

3. 分式乘法公式:(a/b) * (c/d) = ac / bd分式的乘法只需要将两个分式的分子相乘,分母相乘,然后将结果写在一个新的分式中。

4. 分式除法公式:(a/b) / (c/d) = ad / bc分式的除法可以转化为乘法,即将除法转化为被除数乘以倒数的形式,然后按照分式乘法的计算方法进行运算。

在进行分式运算时,我们还需要注意以下几点:1. 通分:在分式加法和减法中,通分是必要的。

要通分,需要找到两个分数的最小公倍数作为新分数的分母,并将分子按比例扩大或缩小。

2. 约分:在分式的结果中,如果分子和分母有公因数,可以进行约分化简,将它们的最大公因数约去。

3. 分母为零:在运算时,分母不能为零,否则分式将无意义。

下面通过一些例子来演示分式运算的具体过程:例题1:计算 1/2 + 1/3解:首先将两个分数进行通分,分母取2和3的最小公倍数6,将分子按比例扩大或缩小,得到 3/6 和 2/6。

然后将分子相加,得到 5/6,所以结果为 5/6。

例题2:计算 3/4 * 2/5解:将分子相乘,分母相乘,得到 6/20。

然后可以进行约分,将分子和分母同时除以它们的最大公因数2,得到 3/10,所以结果为 3/10。

通过以上的分式运算公式和例子,我们可以看到,掌握了分式的运算方法,就能够轻松地进行分式的加减乘除等运算。

专题25 分式的运算-重难点题型(举一反三)(学生版)

专题25 分式的运算-重难点题型(举一反三)(学生版)

专题5.2 分式的运算-重难点题型【知识点1 分式的加减】同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减;异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减。

①同分母分式的加减:a b a bc c c±±=; ②异分母分式的加法:a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=。

注:不论是分式的哪种运算,都要先进行因式分解。

【题型1 分式的加减】【例1】(2021春•盐城月考)化简: (1)a a−b+b b−a; (2)x 2−4x 2−4x+4−4x x 2−2x.【变式1-1】当m >﹣3时,比较m+2m+3与m+3m+4的大小.【变式1-2】(2021•乐山)已知A x−1−B 2−x=2x−6(x−1)(x−2),求A 、B 的值.【变式1-3】(2021春•河南期末)若a >0,M =aa+1,N =a+1a+2 (1)当a =1时,M =12,N =23;当a =3时,M =34,N =45;(2)猜想M 与N 的大小关系,并证明你的猜想.【题型2 分式与整式的混合运算 】 【例2】(2021•嘉兴一模)计算x 2x+2−x +2时,两位同学的解法如下:解法一:x 2x+2−x +2=x 2x+2−x+21=x 2x+2−(x+2)2x+2解法二:x 2x+2−x +2=1x+2[x 2−(x −2)(x +2)] (1)判断:两位同学的解题过程有无计算错误?若有误,请在错误处打“×”. (2)请选择一种你喜欢的方法,完成解答.【变式2-1】(2021•梧州)计算:(x ﹣2)2﹣x (x ﹣1)+x 3−4x 2x 2.【变式2-2】(2021秋•昌平区期中)阅读下列材料,然后回答问题.我们知道,假分数可以化为整数与真分数的和的形式.例如:32=1+12,在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”.例如:x+1x−2,x 2x+2这样的分式是假分式;1x−2,xx 2−1这样的分式是真分式.类似的,假分式也可以化为整式与真分式的和的形式. 例如:x+1x−2=(x−2)+3x−2=1+3x−2,x 2x+2=(x+2)(x−2)+4x+2=x −2+4x+2.解决下列问题: (1)将分式x−2x+3化为整式与真分式的和的形式;(2)如果分式x 2+2x x+3的值为整数,求x 的整数值.【变式2-3】(2021春•玄武区期中)著名数学教育家波利亚曾说:“对一个数学问题,改变它的形式,变换它的结构,直到发现有价值的东西,这是数学解题的一个重要原则.”《见微知著》谈到:从一个简单的经典问题出发,从特殊到一般,由简单到复杂;从部分到整体,由低维到高维,知识与方法上的类比是探索发展的重要途径,是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法.阅读材料:在处理分数和分式的问题时,有时由于分子大于分母,或分子的次数高于分母的次数,在实际运算时难度较大,这时,我们可将分数(分式)拆分成一个整数(整式)与一个真分数(分式)的和(差)的形式,通过对它的简单分析来解决问题,我们称这种方法为分离常数法,此法在处理分式或整除问题时颇为有效. 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行,如:x 2−2x+3x−1=x(x−1)+x−2x+3x−1=x +−(x−1)+2x−1=x ﹣1+2x−1,这样,分式就拆分成一个分式2x−1与一个整式x ﹣1的和的形式. 根据以上阅读材料,解答下列问题: (1)假分式x+6x+4可化为带分式 形式;(2)利用分离常数法,求分式2x 2+5x 2+1的取值范围;(3)若分式5x 2+9x−3x+2拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式为:5m ﹣11+1n−6,则m 2+n 2+mn 的最小值为 .【知识点2 分式的混合运算】 1.乘法法则:db ca d cb a ⋅⋅=⋅。

分式讲义(二)

分式讲义(二)

分式讲义(二)一、知识点:1.确定最大公因式的方法:①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.2.确定最简公分母的方法:①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂3.分式的运算法则:(1)乘法法则________________________________________(2)除法法则________________________________________二、范例讲解:题型一:通分.【例1】将下列各式分别通分.(1)c b a c a b ab c 225,3,2--; (2)a b b b a a 22,--;(3)22,21,1222--+--x x x x x x x ; (4)aa -+21,2题型二:分式的乘除法 【例2】(1))223a 2y 4y 3a⋅ (2)22122a a a a+⋅-+(3))22224a b a b a a a b ab a --÷+- (4))2226631x x x x x x -++⋅--题型三:分式的混合运算【例3】计算:(1)42232)()()(a bc ab c c b a ÷-⋅-; (2)22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+;题型四:分式的加减运算【例4】计算:(1)221214y y x y - (2) )8(5122y x a xy -÷(3)yx x y x ++-+32 (4)(11x y x y +-+)÷22xy x y -(5)y x y x y x -+-33 (6)题型五:化简求值题【例5】先化简后求值(1)已知:1-=x ,求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值;(2)已知:432z y x ==,求22232z y x xz yz xy ++-+的值;(3)已知:0132=+-a a ,试求)1)(1(22a a a a --的值. 22)(3)(3m n n n m m ---题型五:求待定字母的值【例6】若111312-++=--x Nx M x x ,试求N M ,的值.练习:1.计算(1))1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ; (2)a b abb b a a ----222;(4)b a b b a ++-22; (5)2121111x x x ++++-;2.先化简后求值(1)1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ,其中a 满足02=-a a .(2)已知3:2:=y x ,求2322])()[()(y xx yx y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.三.作业:1、有理式(1)-3x ;(2)y x; (3) 35+y ; (4)112--x x ;(5)-π-12m ,分式有()个。

分式单元复习教案_教师版

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考点一:分式的基本概念及分式的运算(1)分式的概念:整式A 除以整式B ,可以表示成 AB 的形式,如果除式B 中含有字母,那么称 AB为分式.(2)分式有意义的条件:若B ≠0,则 A B 有意义;若B=0,则 AB无意义;(3)分式值为0的条件:若A=0且B ≠0,则 AB=0(4)分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.(5)约分:把一个分式的分子和分母的公团式约去,这种变形称为分式的约分. (6)【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ∙=,b c b d bda d a c ac÷=∙=4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m -n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a mb n,()nm mnaa=7.负指数幂: a -p =1p aa 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2(二)分式的基本性质及有关题型1.分式的基本性质:MB MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯= 9.分式的变号法则:bab a b a b a =--=+--=-- (三)分式的运算1.确定最简公分母的方法:①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数; ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2.确定最大公因式的方法:①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.(一)、分式定义及有关题型题型一:考查分式的定义【例1】下列代数式中:yx yx y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π,是分式的有: .题型二:考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时,下列分式有意义(1)44+-x x (2)232+x x (3)122-x (4)3||6--x x(5)xx 11-题型三:考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时,下列分式的值为0. (1)31+-x x(2)42||2--x x (3)653222----x x x x题型四:考查分式的值为正、负的条件【例4】(1)当x 为何值时,分式x-84为正; (2)当x 为何值时,分式)1(35-+-x x为负;(3)当x 为何值时,分式32+-x x 为非负数. 练习:1.当x 取何值时,下列分式有意义:(1)3||61-x(2)1)1(32++-x x (3)x111+2.当x 为何值时,下列分式的值为零: (1)4|1|5+--x x(2)562522+--x x x3.解下列不等式(1)012||≤+-x x (2)03252>+++x x x(二)分式的基本性质及有关题型题型一:化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数.(1)y x yx 41313221+- (2)ba ba +-04.003.02.0题型二:分数的系数变号【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.(1)y x yx --+- (2)b a a --- (3)b a ---题型三:化简求值题【例3】已知:511=+y x ,求yxy x yxy x +++-2232的值.提示:整体代入,①xy y x 3=+,②转化出yx 11+.【例4】已知:21=-x x ,求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ,求yx 241-的值.练习:1.不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数.(1)yx yx 5.008.02.003.0+-(2)b a ba 10141534.0-+2.已知:31=+x x ,求1242++x x x 的值.3.已知:311=-b a ,求aab b bab a ---+232的值.4.若0106222=+-++b b a a ,求ba ba 532+-的值.5.如果21<<x ,试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.(三)分式的运算题型一:通分【例1】将下列各式分别通分. (1)cb ac a b ab c 225,3,2--; (2)a b b b a a 22,--; (3)22,21,1222--+--x x xx xx x ; (4)aa -+21,2题型二:约分【例2】约分: (1)322016xyy x -;(3)n m mn --22;(3)6222---+x x x x .题型三:分式的混合运算【例3】计算:(1)42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-;(2)22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+; (3)mn mn m n m n n m ---+-+22; (4)112---a a a;(5)874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--;(6))5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ;(7))12()21444(222+-⋅--+--x xx x x x x题型四:化简求值题【例4】先化简后求值(1)已知:1-=x ,求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值;(2)已知:432zy x ==,求22232z y x xz yz xy ++-+的值;(3)已知:0132=+-a a ,试求)1)(1(22a a aa --的值.题型五:求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x,试求N M ,的值.考点二、分式方程 【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数. 题型一:用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 (1)x x 311=-;(2)0132=--x x ;(3)114112=---+x x x ;(4)x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题:①分子不添括号;②漏乘整数项;③约去相同因式至使漏根;④忘记验根.题型二:特殊方法解分式方程【例2】解下列方程 (1)4441=+++x x x x ; (2)569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示:(1)换元法,设y x x =+1;(2)裂项法,61167++=++x x x .题型三:求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根,求m 的值. 【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数,求a 的取值范围. 提示:032>-=ax 且2≠x ,2<∴a 且4-≠a .题型四:解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x提示:(1)d c b a ,,,是已知数;(2)0≠+d c .题型五:列分式方程解应用题练习:1.解下列方程: (1)021211=-++-xx x x ;(2)3423-=--x x x ;(3)22322=--+x x x ;(4)171372222--+=--+x x x x xx(5)2123524245--+=--x x x x(6)41215111+++=+++x x x x(7)6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2.解关于x 的方程:(1)b x a 211+=)2(a b ≠; (2))(11b a xb b x a a ≠+=+.3.如果解关于x 的方程222-=+-x xx k 会产生增根,求k 的值.4.当k 为何值时,关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数.5.已知关于x 的分式方程a x a =++112无解,试求a 的值.考点三:分式方程的解法(1)定义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.(2)解法:解分式方程的关键是去分母(方程两边都乘以最简公分母,将分式方程转化为整式方程);解整式方程;验跟。

分式知识点总结及例题

分式知识点总结及例题

分式知识点总结及例题一、分式的概念分式是指以分数的形式表示的数,通常由分子和分母两部分组成,分子表示分数的一部分,分母表示分数的总份额。

分式通常用来表示比例、部分和整体的关系。

二、分式的基本性质1. 分式的分子和分母可以分别约分。

2. 分式的值与分子和分母的乘除有关。

3. 分式的运算可以转化为通分和通分的计算问题。

三、分式的化简分式的化简是指将分式表示的数化为最简形式的操作,主要包括分子分母约分、常数和分式的转化等。

四、分式的加减法分式的加减法是指对分式的分子和分母进行通分后,进行加减运算的操作。

五、分式的乘法和除法分式的乘法是指对分式的分子和分母分别进行乘法运算后,化简为最简形式的操作。

分式的除法是指对分式进行倒数运算,然后化简为最简形式的操作。

六、分式的应用分式在实际问题中有着广泛的应用,如物体的比例尺、物体的比重、长方形的面积和周长等问题都可以用分式进行表示和计算。

七、例题1. 化简分式$\frac{6}{8}$解:分子和分母可以同时除以2,得到$\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$,所以$\frac{6}{8}$的最简形式为$\frac{3}{4}$。

2. 计算$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}$解:先将两个分式通分,得到$\frac{3}{5}+\frac{2}{3}=\frac{9}{15}+\frac{10}{15}=\frac{19}{15}$,再化简得$\frac{19}{15}=1 \frac{4}{15}$。

3. 计算$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}$解:将两个分式分别相乘得到$\frac{5}{6} \times \frac{2}{3}=\frac{10}{18}$,再将$\frac{10}{18}$化简为最简形式,得$\frac{10}{18}=\frac{5}{9}$。

4. 计算$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}$解:将两个分式进行倒数运算,得到$\frac{4}{5} \div \frac{2}{3}=\frac{4}{5} \times\frac{3}{2}=\frac{12}{10}=1 \frac{2}{10}=1 \frac{1}{5}$。

人教版八年级数学上册第十五章 分式知识点总结和题型归纳

人教版八年级数学上册第十五章 分式知识点总结和题型归纳

人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算一)分式的定义及有关题型考查分式的定义:一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子A/B为分式。

例1:下列代数式中是分式的有:(x- y)/(2x+ y),π/(2x- y),(x+ y)/(a+ b)。

考查分式有意义的条件:分式有意义:分母不为0 (B≠0)分式无意义:分母为0 (B=0)例1:当x有何值时,下列分式有意义:1) (x-4)/(13x2-6x)2) 2/x3) 2/(x-4)4) (x+4|x|-3x+2)/(x-1)5) x/(x2-2x-3)考查分式的值为的条件:分式值为:分子为A且分母不为0 (A/B) 例1:当x取何值时,下列分式的值为0.1) (x-1)/(x+3)2) |x|-23) (x2-2x-3)/(x-5)(x+6)例2:当x为何值时,下列分式的值为零:1) 5-|x-1|/(x+4)2) (25-x2)/(x-6)(x+5)考查分式的值为正、负的条件:分式值为正或大于0:分子分母同号 (A/B>0) 分式值为负或小于0:分子分母异号 (A/B<0) 例1:(1) 当x为何值时,分式4/(8-x)为正;2) 当x为何值时,分式5-x/(5+x)为负;3) 当x为何值时,分式(x-2)/(x+3)为非负数.例2:解不等式|x|-2≤(x+1)/(x+5)考查分式的值为1,-1的条件:分式值为1:分子分母值相等 (A/B=1)分式值为-1:分子分母值互为相反数 (A+B=0)例1:若分式|x-2|/(x+2)的值为1,-1,则x的取值分别为3和-1.思维拓展练题:1、若a>b>0,a2+b2-6ab=0,则(a+b)/(a-b)=9/5.2、一组按规律排列的分式:-b/2.5/b。

-8/b。

11/b。

则第n 个分式为(3n-1)/b。

分式知识点及题型总结超好用

分式知识点及题型总结超好用

分式知识点与题型一、分式的定义:一般地,如果A ,B 表示两个整数,并且B 中含有字母,那么式子BA叫做分式,A 为分子,B 为分母。

二、与分式有关的条件①分式有意义:分母不为0(0B ≠) ②分式无意义:分母为0(0B =) ③分式值为0:分子为0且分母不为0(⎩⎨⎧≠=0B A )④分式值为正或大于0:分子分母同号(⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ) ⑤分式值为负或小于0:分子分母异号(⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0B A )⑥分式值为1:分子分母值相等(A=B )⑦分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0)三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。

字母表示:C B C ••=A B A ,CB C ÷÷=A B A ,其中A 、B 、C 是整式,C ≠0。

拓展:分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变, 即:BB A B B --=--=--=A A A 注意:在应用分式的基本性质时,要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。

四、分式的约分1.定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。

2.步骤:把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因。

3.注意:①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式,先对分子分母进行因式分解,再约分。

4.最简分式的定义:一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。

◆约分时。

分子分母公因式的确定方法:1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.五、分式的通分1.定义:把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。

初二数学上册:分式运算6大技巧+例题

初二数学上册:分式运算6大技巧+例题

初二数学上册:分式运算6大技巧+例题
分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。

但对某些较复杂的题目,使用一般方法有时计算量太大,导致出错,有时甚至算不出来,下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。

一、分段分步法
例1、计算:
分析:若一次通分,计算量太大,注意到相邻分母之间,依次通分构成平方差公式,采用分段分步法,则可使问题简单化。

解:原式
二、分裂整数法
例2、计算:
分析:当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时,一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分;在解某些分式方程中,也可使用分裂整数法。

解:原式
三、拆项法
例3、计算:
分析:对形如上面的算式,分母要先因式分解,再逆用公式
,各个分式拆项,正负抵消一部分,再通分。

在解某些分式方程中,也可使用拆项法。

解:原式
四、活用乘法公式
例4、计算:
分析:在本题中,原式乘以同一代数式,之后再除以同一代数式还原,就可连续使用平方差公式,分式运算中若恰当使用乘法公式,可使计算简便。

解:当且时,
原式
五、巧选运算顺序
例5、计算:
分析:此题若按两数和(差)的平方公式展开前后两个括号,计算将很麻烦,一般两个分式的和(差)的平方或立方不能按公式展开,只能先算括号内的。

解:原式
六、见繁化简
例6、计算:
分析:若运算中的分式不是最简分式,可先约分,再选用适当方法通分,可使运算简便。

解:原式。

分式的运算及题型讲解

分式的运算及题型讲解

§17.2分式的运算一、分式的乘除法1、法则:〔1〕乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。

〔意思就是,分式相乘,分子与分子相乘,分母与分母相乘〕。

用式子表示:bd ac d c b a =•〔2〕除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,再与被除式相乘。

用式子表示: 2、应用法则时要注意:〔1〕分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同,即“同号得正,异号得负,多个负号出现看个数,奇负偶正”;〔2〕当分子分母是多项式时,应先进行因式分解,以便约分;〔3〕分式乘除法的结果要化简到最简的形式。

二、分式的乘方1、法则:根据乘方的意义和分式乘法法则,分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方,然后再相除。

用式子表示:〔其中n 为正整数,a ≠0〕2、注意事项:〔1〕乘方时,一定要把分式加上括号;〔2〕在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时,应先算乘方,再算乘除,有bcad c d b a d c b a =•=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛多项式时应先因式分解,再约分;〔3〕最后结果要化到最简。

三、分式的加减法〔一〕同分母分式的加减法1、法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减。

用式子表示:2、注意事项:〔1〕“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减,各个分子都应有括号;当分子是单项式时括号可以省略,但分母是多项式时,括号不能省略;〔2〕分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。

〔二〕异分母分式的加减法1、法则:异分母分式相加减,先通分,转化为同分母分式后,再加减。

用式子表示:bd bc ad bdbc bd ad d c b a ±=±=±。

2、注意事项:〔1〕在异分母分式加减法中,要先通分,这是关键,把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。

〔2〕若分式加减运算中含有整式,应视其分母为1,然后进行通分。

分式运算典型例题精解

分式运算典型例题精解

分式性质及运算【基础精讲】 一、分式的概念1、正确理解分式的概念: 【例1】有理式(1)x 1; (2)2x ; (3)y x xy +2; (4)33yx -;(5)11-x ;(6)π1中,属于整式的有: ;属于分式的有: 。

. 2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零. (1) 例如,当x 为 时,分式()()()322-++x x x 有意义. 错解:3≠x 时原分式有意义. (2) 不要随意用“或”与“且”。

例如 当x____时,分式有意义?错解:由分母,得3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制.当x 时,分式11-x x +有意义.当x 时,分式11-x x +无意义.当x 时,分式112-x x -值为0.二、分式的基本性质:1、分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变. (1) 分式的基本性质是分式恒等变形的依据,它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础,因此,我们要正确理解分式的基本性质,并能熟练的运用它.理解分式的基本性质时,必须注意:①分式的基本性质中的A 、B 、M 表示的都是整式. ②在分式的基本性质中,M ≠0.③分子、分母必须“同时”乘以M (M ≠0),不要只乘分子(或分母).④性质中“分式的值不变”这句话的实质,是当字母取同一值(零除外)时,变形前后分式的值是相等的。

但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的. (2)注意:①根据分式的基本性质有:分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变.②分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式 【例3】下列变形正确的是( ).A .a b a b c c -++=-; B .a a b c b c -=--- C .a b a ba b a b-++=--- D .a b a b a b a b --+=-+- 【例4】 如果把分式52xx y-中的,x y 都扩大3倍,那么分式的值一定( ) .A.扩大3倍B.扩大9倍C. 扩大6倍D.不变 2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.【例5】(1)化简222a b a ab -+的结果为( )A .b a - B .a b a - C .a ba + D .b -(2)化简2244xy y x x --+的结果()A .2x x + B .2x x - C .2y x + D .2y x -(3)化简62962-+-x x x 的结果是()A .23+x B .292+x C .292-x D .23-x3、通分通分的依据是分式的基本性质,通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定:(1)最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数; (2)最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积; 三、分式的运算 1、分式运算时注意:(1)注意运算顺序.例如,计算aaa a +-⋅+÷-31)3(11,应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行.错解:原式2)1(1)1(11a a a -=-÷-=(2)通分时不能丢掉分母.例如,计算11---x x x,出现了这样的解题错误:原式=11-=--x x .分式通分是等值变形,不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆;(3)忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时,若分子是多项式,其括号不能省略. (4)最后的运算结果应化为最简分式.2、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则. (1)先把除法变为乘法;(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解,当然有乘方运算要先算乘方,然后同其它分式进行约分;(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘; (4)最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式. 3、加减的加减1)同分母分式加减法则:分母不变,分子相加减。

分式的运算

分式的运算

分式的运算分式是数学中一种常见的表示形式,它由分子和分母组成,中间用分数线表示。

分式可以进行加、减、乘、除等运算,下面我将分别介绍这几种运算的方法和规则。

一、分式的加法和减法运算分式的加法和减法运算可以通过求出分母的最小公倍数来进行。

下面通过几个例子来具体说明。

例1:计算分式2/3 + 1/4。

首先找出2/3和1/4的最小公倍数,即12。

然后通过保持分子不变,将两个分式的分母都改为最小公倍数12。

计算得到(2×4)/(3×4) + (1×3)/(4×3) = 8/12 + 3/12 = 11/12。

例2:计算分式5/8 - 3/5。

同样地,求出5/8和3/5的最小公倍数,即40。

然后将两个分式的分母都改为最小公倍数40。

计算得到(5×5)/(8×5) - (3×8)/(5×8)= 25/40 - 24/40 = 1/40。

二、分式的乘法运算分式的乘法运算很简单,只需要将两个分式的分子和分母相乘即可。

下面通过一个例子来说明。

例3:计算分式3/5 × 4/7。

将分子相乘得到3×4=12,将分母相乘得到5×7=35,所以3/5 × 4/7 = 12/35。

三、分式的除法运算分式的除法运算可以通过求出两个分式的倒数,然后进行乘法运算来实现。

下面通过一个例子来说明。

例4:计算分式3/4 ÷ 2/3。

求出2/3的倒数,即3/2。

然后将3/4乘以3/2,得到(3×3)/(4×2) = 9/8。

四、分式的简化和化简有些分式可以进行简化,也就是将分子和分母的公因子约掉,使得分式的值保持不变。

下面通过一个例子来说明。

例5:将分式12/36化简为最简分式。

首先求出12和36的最大公因数,即12。

然后将分子和分母都除以12,得到1/3。

所以12/36化简为1/3。

有些分式也可以通过将分子和分母分别因式分解,然后约掉相同的因子,得到最简分式。

分式及其运算(完整版)ppt课件

分式及其运算(完整版)ppt课件

(1)x2
x 2x
(
x2
)
(分子分母都乘以 x)
(2)3x2 3xy xy
6x2
(
)
(分子分母都除以 3x)
例3(补充)判断下列变形是否正确.
(1)
a b
a2 b2
(
)
(2) b bc a ac
(c≠0)
(
)
(3) b b 1 ( )
a a 1
(4)
2x 2x 1
x x 1
(
)
(四)课堂练习
无意
-1 义 -1 0
思考:
1、第2个分式在什么情况下无意义? 2、 这三个分式在什么情况下有意义? 3、这三个分式在什么情况下值为零?
练习3:
A
1、归纳:对于分式 B
(1) 分式无意义的条件是 B=0 。
(2)分式有意义的条件是 B≠0

(3)分式的值为零的条件是 B≠0且A=0 。
2、当x ≠2 时,分式 x 有意义。 x2
5a2b2
4ab3cd
2bd .
10a2b2c2
5ac
课堂练习
练习1 计算:
( 1 ) b a ; ( 2 ) 2b; ( 3 ) n y m y. ac a2 a m x n x
课堂练习
练习2 计算:
(1)3a 4b
196ab2 ; (2)
3xy
2y2 3x

(3)12xy 8x2y;(4)x y y x.
解: 即2011年与2010年相比,森林面积增长率提 高了 S 1 S 3 - S 2 2 . S1S 2
八年级 上册
15.2 分式的运算
分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算

分式的概念及基本性质分式的运算

分式的概念及基本性质分式的运算

X X 22X⑴(2)(3)(4)一.知识精讲及例题分析 (一)知识梳理1.分式的概念A形如—(A B 是整式,且B 中含有字母,B 0 )的式子叫做分式。

其中 A 叫分式的分子,B 叫分式 B 的分母。

注:(1) (2) 有理式的分类 分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。

A AM A AM 丄 Mt 、 Q n fl c \------- --------------- , (M 为整式,且 M 0)B BMB B M分式的约分与通分(1) 约分:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫分式的约分。

步骤:① 分式的分子、分母都是单项式时 ② 分子、分母是多项式时(2) 通分:把n 个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式,为进行分式加减奠定基础。

2.下列分式何时有意义分式的概念及基本丿卜匕分式的运算分式的分母中必须含有字母分式的分母的值不能为零,否则分式无意义2. 3. 4.5. 通分的关键是准确求岀各个分式中分母的最简公分母,即各分母所有因式的最高次幕的积。

求最简公分母的步骤:① 各分母是单项式时 ② 各分母是多项式时分式的运算乘除运算 分式的乘方 分式的加减运算 分式的混合运算(1) (2) (3) (4) 【典型例题】 1.下列有理式中,哪些是整式,哪些是分式。

ab 21 a1;(xy),1-(a yb),XX 22X⑴(2)(3) (4)4xX 213.下列分式何时值为零下列各式中X 为何值时,分式的值为零?|X| 1X 1 X 1 11 41. 2.例1.2. 3. 5.填空。

X (1)—— X 1 X y (3)——L X y (2)(X2 |x| 1)(X 2) F(X0) (2)3xy~2 ■■ ~X 2x0) (4)a 2ab ab不改变分式的值,将下列分式的分子、分母中的系数化为整数。

1 -X(2)-3- 1—X 2(1) 0.3X y0.02 X 0.5y5.约分(1)56a 2bd X 2 4x 4 (3) —2X(4)1 n2 3y b)63⑵ 3ab(a 12a(b a) (3a 2a 2)(3 2aa 2)(a 2a)(2a 25a 3)6. 通分:(1) 仝r ,4a 2b(2)丄22x 2 7. 分式运算 计算: a 2b (1) ------- 3c 5 6b 2c1 2ac 26cd (云); 2 c 2X 2xy y (3) y y 计算: (1)( 计算:计算:xy 8 4xxyX 2xy(2)(4)a 8)b)7a 1)6;(2)(4.(弓a a1 a 2)2aa 2 7a 8 ~3~ a4a (ab b 2)a 23a 24 X'2 y2y-)3 X计算:XyX 26. 计算:亠1X 4x(X 1)2X 2 3X 27.计算:(丄 X2y 2 (x y ")8.能力提咼题1. 已知X 2 3X X 2丄的值。

分式的加减法运算技巧及应用场景

分式的加减法运算技巧及应用场景

分式的加减法运算技巧及应用场景一、分式的加减法运算技巧1.分式的概念与基本性质–分式是指有分数形式的表达式,一般形式为 a/b,其中 a 和 b 都是整式,且b ≠ 0。

–分式的基本性质包括:分式的分子与分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变。

2.分式的加减法原则–同分母分式相加减,分子相加减,分母保持不变。

–异分母分式相加减,先通分,再按照同分母分式相加减的方法进行计算。

3.分式的加减法步骤–判断分式是否为同分母,若是同分母,则直接相加减分子的对应项。

–若异分母,则先进行通分,即将分式化为同分母分式,再进行相加减。

–通分的方法:求最简公分母,将各个分式的分母乘以相应的倍数,使得分母相同。

4.最简公分母的求法–最简公分母是指几个分式的分母的最小公倍数,且不含有公因数。

–求最简公分母的方法:分别对各个分式的分母进行质因数分解,取各个质因数的最高次幂的乘积。

5.通分后的计算方法–通分后,分式的分子相加减,分母保持不变。

–计算过程中,注意化简分式,使其保持最简形式。

二、分式的应用场景1.溶液稀释问题–溶液的稀释问题中,浓度与体积的关系可以表示为分式,通过分式的加减法运算,可以求得稀释后的浓度。

2.分数运算问题–在解决分数运算问题时,如分数的加减乘除等,可利用分式的加减法技巧进行计算。

3.比例问题–在解决比例问题时,如求解比例系数,可以将比例关系表示为分式,通过分式的加减法运算求解。

4.几何问题–在解决几何问题时,如求解三角形面积、相似三角形问题等,可以将相关量表示为分式,利用分式的加减法运算求解。

5.函数问题–在解决函数问题时,如求解分段函数的值域、函数的交点等,可以将函数表达式表示为分式,利用分式的加减法运算求解。

6.实际应用问题–在解决实际应用问题时,如经济问题、物理问题等,可以将相关量表示为分式,利用分式的加减法运算求解。

通过以上分式的加减法运算技巧及应用场景的学习,可以更好地理解和运用分式,提高解决实际问题的能力。

专题09 分式方程(归纳与讲解)(解析版)

专题09 分式方程(归纳与讲解)(解析版)

专题09 分式方程【专题目录】技巧1:分式的意义及性质的四种题型 技巧2:分式运算的八种技巧技巧3:巧用分式方程的解求字母的值或取值范围 技巧4:分式求值的方法 【题型】一、分式有意义的条件 【题型】二、分式的运算 【题型】三、分式的基本性质 【题型】四、解分式方程 【题型】五、分式方程的解 【题型】六、列分式方程 【考纲要求】1、理解分式、最简分式、最简公分母的概念,掌握分式的基本性质,能熟练地进行约分、通分.2、能根据分式的加、减、乘、除的运算法则解决计算、化简、求值等问题,并掌握分式有意义、无意义和值为零的约束条件.3、理解分式方程的概念,会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)。

4、了解解分式方程产生增根的原因,会检验和对分式方程出现的增根进行讨论. 【考点总结】一、分式形如AB(A 、B 是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子叫做分式.A A【考点总结】二、分式方程【注意】1.约分前后分式的值要相等.2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.3.约分是对分子、分母的整体进行的,也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式 分式混合运算的运算运算顺序:1.先把除法统一成乘法运算;2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式;3.确定分式的符号,然后约分;4.结果应是最简分式.【技巧归纳】分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母,即a b ·c d =acbd .分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘,即a b ÷c d =a b ·d c =adbc在分式的加减乘除混合运算中,应先算乘除,进行约分化简后,再进行加减运算,遇到有括号的,先算括号里面的.运算结果必须是最简分式或整式.技巧1:分式的意义及性质的四种题型 【类型】一、分式的识别1.在3x 4x -2,-5x 2+7,4x -25,2m ,x 2π+1,2m 2m中,不是分式的式子有( )A .1个B .2个C .3个D .4个2.从a -1,3+π,2,x 2+5中任选2个构成分式,共有________个. 【类型】二、分式有无意义的条件3.若代数式1a -4在实数范围内有意义,则实数a 的取值范围为( )A .a =4B .a>4C .a<4D .a≠4 4.当x =________时,分式x -1x 2-1无意义. 5.已知不论x 为何实数,分式3x +5x 2-6x +m 总有意义,试求m 的取值范围.【类型】三、分式值为正、负数或0的条件6.若x +2x 2-2x +1的值为正数,则x 的取值范围是( )A .x <-2B .x <1C .x >-2且x≠1D .x >1 7.若分式3x -42-x 的值为负数,则x 的取值范围是________.8.已知分式a -1a 2-b 2的值为0,求a 的值及b 的取值范围.【类型】四、分式的基本性质及其应用 9.下列各式正确的是( )A .a b =a 2b 2B .a b =ab a +bC .a b =a +c b +cD .a b =ab b 2 10.要使式子1x -3=x +2x 2-x -6从左到右的变形成立,x 应满足的条件是( ) A .x >-2 B .x =-2 C .x <-2 D .x≠-2 11.已知 x 4=y 6=z7≠0,求 x +2y +3z 6x -5y +4z 的值.12.已知x +y +z =0,xyz≠0,求x |y +z|+y |z +x|+z|x +y|的值. 参考答案1.C 点拨:4x -25,2m ,x 2π+1不是分式.2.6 点拨:以a -1为分母,可构成3个分式;以x 2+5为分母,可构成3个分式,所以共可构成6个分式. 3.D 4.±15.解:x 2-6x +m =(x -3)2+(m -9).因为(x -3)2≥0,所以当m -9>0,即m >9时,x 2-6x +m 始终为正数,分式总有意义.6.C 点拨:x 2-2x +1=(x -1)2.因为分式的值为正数,所以x +2>0且x -1≠0.解得x >-2且x≠1. 7.x >2或x <438.解:因为分式a -1a 2-b 2的值为0,所以a -1=0且a 2-b 2≠0.解得a =1且b≠±1.9.D 10.D11.解:设x 4=y 6=z7=k(k≠0),则x =4k ,y =6k ,z =7k.所以x +2y +3z 6x -5y +4z =4k +2×6k +3×7k 6×4k -5×6k +4×7k =37k 22k =3722.12.解:由x +y +z =0,xyz≠0可知,x ,y ,z 必为两正一负或两负一正.当x ,y ,z 为两正一负时,不妨设x >0,y >0,z <0,则原式=x |-x|+y |-y|+z|-z|=1+1-1=1;当x ,y ,z 为两负一正时,不妨设x >0,y <0,z <0,则原式=x |-x|+y |-y|+z|-z|=1-1-1=-1.综上所述,所求式子的值为1或-1. 值的分式消元求值. 技巧2:分式运算的八种技巧 【类型】一、约分计算法 1.计算:a 2+6a a 2+3a -a 2-9a 2+6a +9.【类型】二、整体通分法 2.计算:a -2+4a +2.【类型】三、顺次相加法3.计算:1x -1+1x +1+2x x 2+1+4x 3x 4+1.【类型】四、换元通分法4.计算:(3m -2n)+(3m -2n )33m -2n +1-(3m -2n)2+2n -3m3m -2n -1.【类型】五、裂项相消法⎝⎛⎭⎫即1n (n +1)=1n -1n +15.计算:1a (a +1)+1(a +1)(a +2)+1(a +2)(a +3)+…+1(a +99)(a +100).【类型】六、整体代入法6.已知1a +1b =16,1b +1c =19,1a +1c =115,求abcab +bc +ac 的值.【类型】七、倒数求值法7.已知 x x 2-3x +1=-1,求x 2x 4-9x 2+1的值.【类型】八、消元法8.已知4x -3y -6z =0,x +2y -7z =0,且xyz≠0,求5x 2+2y 2-z 22x 2-3y 2-10z 2的值.参考答案1.解:原式=a (a +6)a (a +3)-(a +3)(a -3)(a +3)2=a +6a +3-a -3a +3=9a +3. 点拨:在分式的加减运算中,若分式的分子、分母是多项式,则首先把能因式分解的分子、分母分解因式,其次把分子、分母能约分的先约分,然后再计算,这样可简化计算过程. 2.解:原式=a -21+4a +2=a 2-4a +2+4a +2 =a 2a +2. 点拨:整式与分式相加减时,可以先将整式看成分母为1的式子,然后通分相加减. 3.解:原式=x +1x 2-1+x -1x 2-1+2x x 2+1+4x 3x 4+1=2x x 2-1+2x x 2+1+4x 3x 4+1=2x (x 2+1)+2x (x 2-1)(x 2-1)(x 2+1)+4x 3x 4+1=4x 3x 4-1+4x 3x 4+1=4x 3(x 4+1)+4x 3(x 4-1)(x 4-1)(x 4+1)=8x 7x 8-1. 点拨:此类题在计算时,采用“分步通分相加”的方法,逐步递进进行计算,达到化繁为简的目的.在解题时既要看到局部特征,又要全局考虑.4.解:设3m -2n =x ,则原式=x +x 3x +1-x 2-x x -1=x (x 2-1)+x 3(x -1)-x 2(x 2-1)-x (x +1)(x +1)(x -1)=-2x(x +1)(x -1)=4n -6m(3m -2n +1)(3m -2n -1).5.解:原式=1a -1a +1+1a +1-1a +2+1a +2-1a +3+…+1a +99-1a +100=1a -1a +100=100a (a +100).点拨:对于分子是1,分母是相差为1的两个整式的积的分式相加减,常用1n (n +1)=1n -1n +1进行裂项,然后相加减,这样可以抵消一些项. 6.解:1a +1b =16,1b +1c =19,1a +1c =115,上面各式两边分别相加,得⎝⎛⎭⎫1a +1b +1c ×2=16+19+115, 所以1a +1b +1c =31180.易知abc≠0,所以abc ab +bc +ac =11c +1a +1b =18031.7.解:由xx 2-3x +1=-1,知x≠0,所以x 2-3x +1x =-1.所以x -3+1x =-1.即x +1x =2.所以x 4-9x 2+1x 2=x 2-9+1x 2=⎝⎛⎭⎫x +1x 2-11=22-11=-7. 所以x 2x 4-9x 2+1=-17.8.解:以x ,y 为主元,将已知的两个等式化为⎩⎪⎨⎪⎧4x -3y =6z ,x +2y =7z.解得x =3z ,y =2z. 因为xyz≠0,所以z≠0.所以原式=5×9z 2+2×4z 2-z 22×9z 2-3×4z 2-10z 2=-13.点拨:此题无法直接求出x ,y ,z 的值,因此需将三个未知数的其中一个作为常数,解关于另外两个未知数的二元一次方程组,然后代入待求值的分式消元求值.技巧3:巧用分式方程的解求字母的值或取值范围 【类型】一、利用分式方程解的定义求字母的值1.已知关于x 的分式方程2x +4=m x 与分式方程32x =1x -1的解相同,求m 2-2m 的值.【类型】二、利用分式方程有解求字母的取值范围2.若关于x 的方程x -2x -3=mx -3+2有解,求m 的取值范围.【类型】三、利用分式方程有增根求字母的值 3.如果解关于x 的分式方程m x -2-2x 2-x=1时出现增根,那么m 的值为( ) A .-2 B .2 C .4 D .-44.若关于x 的方程m x 2-9+2x +3=1x -3有增根,则增根是多少?并求方程产生增根时m 的值.【类型】四、利用分式方程无解求字母的值5.若关于x 的分式方程x -ax +1=a 无解,则a =________.6.已知关于x 的方程x -4x -3-m -4=m3-x 无解,求m 的值.7.已知关于x 的分式方程x +a x -2-5x=1.(1)若方程的增根为x =2,求a 的值; (2)若方程有增根,求a 的值; (3)若方程无解,求a 的值. 参考答案1.解:解分式方程32x =1x -1,得x =3.经检验,x =3是该方程的解. 将x =3代入2x +4=mx ,得27=m 3.解得m =67. ∴m 2-2m =⎝⎛⎭⎫672-2×67=-4849.2.解:去分母并整理,得x +m -4=0.解得x =4-m.∵分式方程有解, ∴x =4-m 不能为增根. ∴4-m≠3.解得m≠1.∴当m≠1时,原分式方程有解. 3.D4.解:因为原方程有增根,且增根必定使最简公分母(x +3)(x -3)=0,所以x =3或x =-3是原方程的增根.原方程两边同乘(x +3)(x -3),得m +2(x -3)=x +3. 当x =3时,m +2×(3-3)=3+3,解得m =6; 当x =-3时,m +2×(-3-3)=-3+3, 解得m =12.综上所述,原方程的增根是x =3或x =-3. 当x =3时,m =6; 当x =-3时,m =12.点拨:只要令最简公分母等于零,就可以求出分式方程的增根,再将增根代入分式方程化成的整式方程,就能求出相应的m 的值.5.1或-16.解:原方程可化为(m +3)x =4m +8.由于原方程无解,故有以下两种情形:(1)若整式方程无实根,则m +3=0且4m +8≠0,此时m =-3;(2)若整式方程的根是原方程的增根,则4m +8m +3=3,解得m =1.经检验,m =1是方程4m +8m +3=3的解.综上所述,m 的值为-3或1.7.解:原方程去分母并整理,得(3-a)x =10.(1)因为原方程的增根为x =2,所以(3-a)×2=10.解得a =-2. (2)因为原分式方程有增根,所以x(x -2)=0.解得x =0或x =2.因为x =0不可能是整式方程(3-a)x =10的解,所以原分式方程的增根为x =2.所以(3-a)×2=10.解得a =-2.(3)①当3-a =0,即a =3时,整式方程(3-a)x =10无解,则原分式方程也无解; ②当3-a≠0时,要使原方程无解,则由(2)知,a =-2.综上所述,a 的值为3或-2.点拨:分式方程有增根时,一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解.分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解. 技巧4:分式求值的方法 【类型】一、直接代入法求值 1.先化简,再求值:⎝⎛⎭⎪⎫2a +1+a +2a 2-1÷a a -1,其中a =5.【类型】二、活用公式求值2.已知实数x 满足x 2-5x +1=0,求x 4+1x 4的值.3.已知x +y =12,xy =9,求x 2+3xy +y 2x 2y +xy 2的值.【类型】三、整体代入法求值4.已知x y +z +y z +x +z x +y =1,且x +y +z≠0,求x 2y +z +y 2z +x +z 2x +y 的值.【类型】四、巧变形法求值5.已知实数x 满足4x 2-4x +1=0,求2x +12x 的值.【类型】五、设参数求值6.已知x 2=y 3=z4≠0,求x 2-y 2+2z 2xy +yz +xz 的值.参考答案1.解:原式=[2a +1+a +2(a +1)(a -1)]·a -1a=2(a -1)+(a +2)(a +1)(a -1)·a -1a=3a +1. 当a =5时,3a +1=35+1=12.2.解:由x 2-5x +1=0得x≠0,∴x +1x=5.∴⎝⎛⎭⎫x +1x 2=25.∴x 2+1x 2=23. ∴x 4+1x 4=⎝⎛⎭⎫x 2+1x 22-2=232-2=527 点拨:在求解有关分式中两数(或两式)的平方和问题时,可考虑运用完全平方公式进行解答. 3.解:x 2+3xy +y 2x 2y +xy 2=x 2+2xy +y 2+xy xy (x +y )=(x +y )2+xyxy (x +y ).因为x +y =12,xy =9, 所以(x +y )2+xy xy (x +y )=122+99×12=1712.4.解:因为x +y +z≠0,所以等式的两边同时乘x +y +z ,得x (x +y +z )y +z +y (x +y +z )z +x +z (x +y +z )x +y=x +y +z ,所以x 2y +z +x (y +z )y +z +y 2z +x +y (z +x )z +x +z 2x +y +z (x +y )x +y =x +y +z.所以x 2y +z +y 2z +x +z 2x +y +x +y +z =x +y +z.所以x 2y +z +y 2z +x +z 2x +y=0.点拨:条件分式的求值,如需对已知条件或所求条件分式变形,必须依据题目自身的特点,这样才能收到事半功倍的效果.条件分式的求值问题体现了数学中的整体思想和转化思想. 5.解:∵4x 2-4x +1=0,∴(2x -1)2=0.∴2x =1. ∴2x +12x =1+11=2.6.解:设x 2=y 3=z4=k≠0,则x =2k ,y =3k ,z =4k.所以x 2-y 2+2z 2xy +yz +xz=(2k )2-(3k )2+2(4k )22k·3k +3k·4k +2k·4k=27k 226k 2=2726. 【题型讲解】【题型】一、分式有意义的条件例1x 的取值范围是( ) A .x≥4 B .x >4C .x≤4D .x <4【答案】D【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案.4﹣x >0,解得:x <4 即x 的取值范围是:x <4故选D . 【题型】二、分式的运算 例2、分式222111a a a a++---化简后的结果为( ) A .11a a +-B .31a a +-C .1a a --D .2231a a +--【答案】B【分析】根据异分母分式相加减的运算法则计算即可.异分母分式相加减,先通分,再根据同分母分式相加减的法则计算. 【详解】解:222111a a a a++--- ()()()()()21221111a a a a a a ++=-+--+ ()()()222111a a a a +++=+-()()2222111a a a a a ++++=+-()()()()3111a a a a +=++- 31a a +=- 故选:B .【题型】三、分式的基本性质 例3、若b a b -=14,则ab的值为( ) A .5B .15C .3D .13【答案】A 【解析】因为b a b -=14, 所以4b=a -b .,解得a=5b① 所以a b ①55b b=. 故选A.【题型】四、解分式方程 例4、方程2152x x =+-的解是( ) A .1x =- B .5x =C .7x =D .9x =【答案】D【分析】根据题意可知,本题考察分式方程及其解法,根据方程解的意义,运用去分母,移项的方法,进行求解. 【详解】 解:方程可化简为()225x x -=+ 245x x -=+9x =经检验9x =是原方程的解 故选D【题型】五、分式方程的解 例5、关于x 的分式方程2mx -﹣32x-=1有增根,则m 的值( ) A .m =2 B .m =1C .m =3D .m =﹣3【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程有增根,确定出m 的值即可. 【详解】解:去分母得:m +3=x ﹣2, 由分式方程有增根,得到x ﹣2=0,即x =2,把x=2代入整式方程得:m+3=0,解得:m=﹣3,故选:D.【题型】六、列分式方程例6、随着快递业务的增加,某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具,公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件,平均每人每周比原来多投递80件,若快递公司的快递员人数不变,求原来平均每人每周投递快件多少件?设原来平均每人每周投递快件x件,根据题意可列方程为()A.3000420080x x=-B.3000420080x x+=C.4200300080x x=-D.3000420080x x=+【答案】D【分析】设原来平均每人每周投递快件x件,则现在平均每人每周投递快件(x+80)件,根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量,结合快递公司的快递员人数不变,即可得出关于x的分式方程,此题得解.【详解】解:设原来平均每人每周投递快件x件,则现在平均每人每周投递快件(x+80)件,根据快递公司的快递员人数不变列出方程,得:3000420080x x=+,故选:D.分式方程(达标训练)一、单选题1.(2022·广西·富川瑶族自治县教学研究室模拟预测)关于x的分式方程3122m xx x++=--有解,则实数m应满足的条件是()A.m=-1B.m≠-1C.m=1D.m≠1【答案】D【分析】解分式方程得:m + x-3=2-x即x=52m,由题意可知x≠2,即可得到m.【详解】解:31 22m xx x++= --方程两边同时乘以2-x得:m+x-3=2-x, 2x=5-m,x=52m①分式方程有解① x ≠2, 即52m≠2, ①m ≠1. 故选D .【点睛】本题主要考查了分式方程的解,熟练掌握分式方程的解法,理解分式方程有意义的条件是解题的关键.2.(2022·海南省直辖县级单位·二模)分式方程211x =+的解为( ) A .1- B .0 C .1 D .2【答案】C【分析】按照分式方程的解法求解判断即可. 【详解】①211x =+, 去分母,得2=x +1, 移项,得 x =2-1=1,经检验,x =1是原方程的根 故选C .【点睛】本题考查了分式方程的解法,熟练掌握分式方程的解法是解题的关键. 3.(2022·天津南开·二模)化简2222432x y x yx y y x -----的结果是( )A .5x y- B .5x y+ C .225x y -D .223x yx y +-【答案】B【分析】利用同分母分式的加法法则计算,约分得到最简结果即可.【详解】解:2222432x y x yx y y x ----- 2222432x y x yx y x y --=+--55()()x yx y x y -=+-5()()()x y x y x y -=+-5x y=+,【点睛】本题主要考查了分式的加减,解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则. 4.(2022·贵州贵阳·三模)计算222m m m ---的结果是( ) A .2 B .-2C .1D .-1【答案】C【分析】根据分式减法运算法则进行运算,化简即可. 【详解】解:221222m m m m m --==---, 故选:C .【点睛】本题考查了分式的减法,正确运算是解题关键,注意运算后需要约分化简. 5.(2022·江苏淮安·一模)若分式2xx +有意义,则x 的取值范围是( ) A .0x ≠ B .2x ≠- C .2x >- D .2x ≥-【答案】B【分析】根据分式有意义的条件:分母不为0即可得到. 【详解】要分式2xx +有意义,则20x +≠, 解得:2x ≠-. 故选:B【点睛】本题考查分式有意义的条件,掌握分式有意义的条件是解题的关键.二、填空题6.(2022·四川省遂宁市第二中学校二模)分式方程31311x x x -=-+的解为 ______. 【答案】x =-2【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x 的值,经检验即可得到分式方程的解.【详解】解:去分母得:3x (x +1)-(x -1)=3(x +1)(x -1), 解得:x =-2,经检验x =-2是分式方程的解, 故答案为x =-2.【点睛】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.7.(2022·湖南怀化·模拟预测)计算52x x ++﹣32x +=_____. 【答案】1【分析】根据同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减计算即可. 【详解】解:52x x ++﹣32x +=532122x x x x +-+==++ 故答案为:1.【点睛】本题考查分式的加减,解题关键是熟练掌握同分母分式相加减时分母不变,分子相加减,异分母相加减时,先通分变为同分母分式,再加减.三、解答题8.(2022·浙江丽水·一模)解方程:13233x x-=--. 【答案】=5x【分析】这是一道可化为一元一次方程的分式方程,根据解分式方程的一般步骤:去分母,转化为求解整式方程,然后检验得到的解是否符合题意,最后得出结论. 【详解】两边同时乘以(3)x -,得132(3)x +=-, 去括号,得426x =-, 化简,得=5x ,检验:当=5x 时,30x -≠, ∴原分式方程的解为=5x .【点睛】此题考查可化为一元一次方程的分式方程,熟练掌握解分式方程的方法与步骤是解此题的关键,但是要特别注意:检验是不可少的环节.分式方程(提升测评)一、单选题1.(2022·辽宁葫芦岛·一模)2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外朋友的喜爱.某特许零售店准备购进一批吉祥物销售.已知用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同,已知购进“冰墩墩”的单价比“雪容融”的单价多10元,设购进“冰墩墩”的单价为x 元,则列出方程正确的是( )A .60050010x x=+ B .60050010x x =+ C .60050010x x=- D .60050010x x =- 【答案】D【分析】设“冰墩敏”的销售单价为x ,则 “雪容融”的销售单价为(x -10)元,然后根据用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同即可列出方程.【详解】解:设“冰墩敏”的销售单价为x ,则 “雪容融”的销售单价为(x -10)元, 根据题意,得60050010x x =-。

分式 知识点及典型例题

分式 知识点及典型例题

分式知识点及典型例题正文:分式,又称有理数,是数学中的一个重要概念,它由分子和分母组成,表示两个数的比值关系。

在分式的运算中,我们需要了解一些基本知识点,并且通过典型的例题来加深理解。

一、分式的定义和基本性质分式可以用“a/b”的形式表示,其中a为分子,b为分母。

分子和分母都可以是整数、小数或者其他分式。

分式也可以是正数、负数或者零。

分式的基本性质有:1. 当分子为0时,分式的值为0,即0/b=0。

2. 当分母为1时,分式的值等于分子本身,即a/1=a。

3. 当分子和分母互为相反数时,分式的值为-1,即(-a)/a=-1。

二、分式的运算1. 分式的加减运算分式的加减运算遵循相同分母则分子相加减的原则。

具体步骤如下:(1)将两个分式的分母化为相同的分母;(2)将两个分式的分子按照相同分母相加减;(3)将结果化简为最简形式。

例如:计算1/3 + 1/4 - 1/6。

解:首先将三个分式的分母化为12,得到4/12 + 3/12 - 2/12,再将分子相加减,得到5/12。

2. 分式的乘除运算分式的乘除运算遵循分子相乘除,分母相乘除的原则。

具体步骤如下:(1)将两个分式的分子相乘或相除;(2)将两个分式的分母相乘或相除;(3)将结果化简为最简形式。

例如:计算2/3 × 5/8 ÷ 4/5。

解:根据乘除法的原则,分子相乘得到10,分母相乘得到24,再将结果化简为最简形式,得到5/12。

三、分式的简化分式的简化是将分子和分母的公因式约去,使其达到最简形式。

具体步骤如下:(1)求分子和分母的最大公因数;(2)将分子和分母分别除以最大公因数。

例如:将12/18简化为最简分式。

解:求12和18的最大公因数为6,将分子和分母都除以6,得到最简分式2/3。

四、分式的应用举例1. 问题:小明爸爸买了一块布长3米,要均分给他和他妹妹,他分到几分之几的布?解:设小明分到的布的长度为x米,他妹妹分到的布的长度为y米,则由题意可得分式x/y=3/2。

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§17.2分式的运算一、分式的乘除法1、法则:(1)乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。

(意思就是,分式相乘,分子与分子相乘,分母与分母相乘)。

用式子表示:bd ac d c b a =•(2)除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,再与被除式相乘。

用式子表示: 2、应用法则时要注意:(1)分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同,即“同号得正,异号得负,多个负号出现看个数,奇负偶正”;(2)当分子分母是多项式时,应先进行因式分解,以便约分;(3)分式乘除法的结果要化简到最简的形式。

二、分式的乘方1、法则:根据乘方的意义和分式乘法法则,分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方,然后再相除。

用式子表示:(其中n 为正整数,a ≠0)2、注意事项:(1)乘方时,一定要把分式加上括号;(2)在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时,应先算乘方,再算乘除,有bcad c d b a d c b a =•=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛多项式时应先因式分解,再约分;(3)最后结果要化到最简。

三、分式的加减法(一)同分母分式的加减法1、法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减。

用式子表示:2、注意事项:(1)“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减,各个分子都应有括号;当分子是单项式时括号可以省略,但分母是多项式时,括号不能省略;(2)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。

(二)异分母分式的加减法1、法则:异分母分式相加减,先通分,转化为同分母分式后,再加减。

用式子表示:bd bc ad bdbc bd ad d c b a ±=±=±。

2、注意事项:(1)在异分母分式加减法中,要先通分,这是关键,把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。

(2)若分式加减运算中含有整式,应视其分母为1,然后进行通分。

(3)当分子的次数高于或等于分母的次数时,应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算,可使运算简便。

四、分式的混合运算1、运算规则:分式的加、减、乘、除、乘方混合运算,先乘方,再乘除,最后算加减。

遇到括号时,要先算括号里面的。

2、注意事项:(1)分式的混合运算关键是弄清运算顺序;(2)b c a b c b a ±=±有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用,要灵活运用交换律、结合律和分配律;(3)分式运算结果必须化到最简,能约分的要约分,保证运算结果是最简分式或整式。

例计算:(1)()212242-⨯-÷+-a a a a ; (2)222---x x x ; (3)xx x x x x 2421212-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+ 【分类解析】一、分式运算的几种技巧1、先约分后通分技巧例 计算2312+++x x x +4222--x xx分析:不难发现,两个分式均能约分,故先约分后再计算解:原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21+x +2+x x =21++x x2、分离整数技巧例 计算233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -3412+-x x分析:两个分式的分子、分母不能约分,如把分子突出分母,分离整数方法可使计算化简。

解:原式=231)23(22+-++-x x x x -651)65(22+-++-x x x x -3412+-x x =1+2312+-x x -1-6512+-x x -3412+-x x =)2)(1(1--x x -)3)(2(1--x x -)3)(1(1--x x =)3)(2)(1()2()1(3--------x x x x x x =)3)(2)(1(----x x x x =-)3)(2)(1(---x x x x3、裂项相消技巧例 计算)1(1+x x +)3)(1(2++x x +)6)(3(3++x x 分析:此类题可利用)(1m n n +=m 1(n 1-m 1)裂项相消计算。

解:原式=(x 1-11+x )+22(11+x -31+x )+33(31+x -61+x ) =x 1-61+x =)6(6+x x练习:4、分组计算技巧例 计算21-a +12+a -12-a -21+a分析:通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a 2-4,第二项、第三项分母乘积为a 2-1,采取分组计算简捷。

解:原式=(21-a -21+a )+(12+a -12-a ) =442-a +142--a =)1)(4(1222--a a练习:5、分式求值问题全解1)字母代入法例1. b=a+1,c=a+2,d=a+3,求da d d cbc c b a bd a a +++++++++的值. 【解析】 仔细观察已知条件,虽然出现的字母很多,但都可以用一个字母代替: a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简da d d cbc c b a bd a a +++++++++ =3332122113+++++++++++++++++++a a a a a a a a a a a a a a =32363233132++++++++++a a a a a a a a =)2(32)1(31323+++++++++a a a a a a a =31311++=35 【探讨】 当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时,第一个要想到的方法就是字母带入法,因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示,所以用这种方法能不能得到正确结果就在于自己的分式化简能力了。

2) 设值代入法例2. 已知cz b y a x ==,求证:22a x ca bc ab zx yz xy =++++ 【解析】这道题也可以用字母代入法,可以得到x ab y =,x ac z =,代入后分式的分子分母中有分式,化简麻烦。

我们用一种新的代入方式,考虑到a x 、b y 、c z 连等,让它们都等于k 则 x=ak y=bk z=ck代入得cabc ab zx yz xy ++++=ca bc ab ckak bkck akbk ++++ =2k ca bc ab ca bc ab ++++ =222a x k =【探讨】 当遇到连等式,可以采用以下三种方式来运用这个条件设cz b y a x == 则(1)x ab y =,x ac z = (2)设k cz b y a x === 则x=ak y=bk z=ck (3)设k c z b y a x === 则k c b a z y x =++++ 其中0≠++c b a 3) 整式代入法例3. 已知:113a b -=,求分式232a ab b a ab b+---的值. 【解析】如果用字母代入法,要用b 代替a 本来就比较复杂,会增加我们化简的负担。

将条件化简成乘积形式,得 3=-aba b ,再将分式稍化简变为ab b a ab b a --+-)(3)(2,可以发现分子分母中只有(a-b)和ab 这两项,所以可以用ab 代替b-aab a b 3=-43336)(3)(2232=--+-=--+-=---+ab ab ab ab ab b a ab b a b ab a b ab a 【探讨】用整式代入法,能够很大程度地化简代数式,比字母代入法更优越,但要善于观察代数式的组成部分,比如这题,代数式就含有ab 和a-b 这两项,刚好条件也适当变形能得到a-b 与ab 的关系,题目很快就解出来了。

4) 变形代入法这类题是用代入法最需要技巧的,我们分以下五类题型来分析怎么变形再代入。

例4(方程变形). 已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc ≠0,求2ab bc ca b++的值. 【解析】 对已知条件作形变往往要比对代数式做形变简单得多,因为代数式比条件复杂,而且给代数式做形变漫无目的,往往得不到想要的结果。

这道题已知条件是两个等式,三个字母,所以我们可以用一个字母表示其它字母,对已知条件变形得到方程组a+b+c=0 b=-2c==>a+2b+3c=0 a=c用c 代替a 、b 代入到分式中,能很快求解出来2ab bc ca b ++=434222222-=+--c c c c例5(非负变形). 已知:2286250a b a b +-++=,求22222644a ab b a ab b ---+的值. 【解析】观察已知条件,有平方项,所以可以化成平方的形式0)3()4(25682222=++-=++-+b a b a b a其中0)4(2≥-a 0)3(2≥+b 所以2)4(-a =0 2)3(+b =0得3,4-==b a再带入原式很容易求出解。

例6(对应变形). 证明:若a+b+c=0,则2222222221110.b c a c a b a b c ++=+-+-+- 【解析】这题可以用整式代入法,比如用-b-c 代替a ,但是代数式a 的符号和位置在三个分式中不同,如果用22)(c b a +=代入得到的分母截然不同,增大化简的难度。

如果将代数式三个分式的分母化成相同的形式,反而化简方便,比如:用a=-b-c 代入222a c b -+中的a ,得到-2bc用b=-a-c 代入222b a c -+中的b ,得到-2ac用c=-a-b 代入222c b a -+中的c ,得到-2ab原式=02212121=-++=-+-+-abcc b a ab ac bc 例7(倒数变形). 已知,,,0.xy xz yz a b c abc x y x z y z ===≠+++且求证abac bc abc x -+=2 【解析】已知条件是y x xy +的形式,不能化简,如果颠倒分子分母,将a y x xy =+改写成 yx xy y x a 111+=+=的形式,使得x 、y 相互独立,简化已知条件。

写出变化后的形式y x a 111+=,z x b 111+=,zy c 111+= xz x y x z y c 2)11()11(111-+++=+= =xb a 211-+所以cb a x 1112-+= =abcab ac bc -+ 则ab ac bc abc x -+=2,得证。

例8(归类变形). 已知ac c b b a 111+=+=+,且a 、b 、c 互不相等,求证:1222=c b a 【解析】已知条件有三个字母,两个方程,若用a 表示b 、c ,能不能求出b 、c 的代数式都是问题。

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