高等数学(复旦大学版)第十章-多元函数积分学(一)

第十章多元函数积分学（Ⅰ）

f x在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立

一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数()

了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。

第一节二重积分

教学目的：

1、熟悉二重积分的概念；

2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理；

3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法；

4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序

教学重点：

1、二重积分的性质和几何意义；

2、二重积分在直角坐标系下的计算

教学难点：

1、二重积分的计算；

2、二重积分计算中的定限问题

教学内容：

一、二重积分的概念

1曲顶柱体的体积

设有一立体它的底是xOy面上的闭区域D它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面它的顶是曲面z f(x y)这里f(x y)0且在D上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积

首先用一组曲线网把D分成n个小区域 1 2n分别以这些小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体在每个i中任取一点(i i)以f (i i)为高而底为i的平顶柱体的体积为

f (

i

i

)

i

(i 1 2 n )

这个平顶柱体体积之和

i

i i n

i f V σηξ∆≈=∑),(1

可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值 为求得曲顶柱体体积的精确值 将分割加密 只需取极限

即

i

i i n

i f V σηξλ∆==→∑),(lim 1

其中是个小区域的直径中的最大值 2 平面薄片的质量

设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D

它在点(x

y )处的面密度为(x

y )

这里

(x

y )0且在D 上连续 现在要计算该薄片的质量M

用一组曲线网把D 分成n 个小区域 1

2

n

把各小块的质量近似地

看作均匀薄片的质量 (

i

i

)

i

各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值

i

i i n

i M σηξρ∆≈=∑),(1

将分割加细 取极限 得到平面薄片的质量

i

i i n

i M σηξρλ∆==→∑),(lim 1

其中是个小区域的直径中的最大值

定义 设f (x y )是有界闭区域D 上的有界函数

将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 1

2

n

其中

i

表示第i 个小区域 也表示它的面积

在每个

i

上任取一点( i

i

) 作和

i

i i n

i f σηξ∆=∑),(1

如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f (x y )在

闭区域D 上的二重积分 记作

σ

d y x f D

⎰⎰),( 即

i

i i n

i D

f d y x f σηξσλ∆==→∑⎰⎰),(lim ),(1

f (x y )被积函数 f (x y )d 被积表达式 d 面积元素 x y 积分变量 D 积分区域 积分和

直角坐标系中的面积元素

如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D 那么除了包含边界点的一些小闭区域外 其余的小闭区域都是矩形闭区域 设矩形闭区域

i

的边长为x i 和y i 则

i

x i y i 因此

在直角坐标系中 有时也把面积元素d 记作dxdy 而把二重积分记作

dxdy y x f D

⎰⎰),(

其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素

二重积分的存在性 当f (x y )在闭区域D 上连续时 积分和的极限是存在的 也就是说函数

f (x y )在D 上的二重积分必定存在 我们总假定函数f (x y )在闭区域D 上连续 所以f (x y )在D 上的二重积分都是存在的

二重积分的几何意义 如果f (x

y )0

被积函数f (x

y )可解释为曲顶柱体的在点(x y )处

的竖坐标 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 如果f (x y )是负的 柱体就在xOy 面的下方

二重积分的绝对值仍等于柱体的体积 但二重积分的值是负的

二、二重积分的性质

性质1

σσd y x f k d y x kf D

D

⎰⎰⎰⎰=),(),(.

性质2 设c 1、c 2为常数 则

σ

σσd y x g c d y x f c d y x g c y x f c D

D

D

⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+),(),()],(),([2121

性质3 如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域 则在D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和 例如D 分为两个闭区域D 1与D 2 则

σ

σσd y x f d y x f d y x f D D D

⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=2

1

),(),(),(

性质4

σσσ==⋅⎰⎰⎰⎰D

D

d d 1(

为D 的面积)

性质5 如果在D 上 f (x y )g (x y ) 则有不等式