合工大高等数学A(上)习题册.

合集下载

合肥工业大学大一上学期高数期末考试题

高数期末考试一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. =+→xx x sin 20)31(lim .2.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.3.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .4. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)5. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.6. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.7. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

8.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.9.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）10. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .11. .d )1(177x x x x ⎰+-求12. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x13. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()lim x f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.14. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）15. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）16. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）17. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.18. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e .6.cx x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x yey xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1012330()2x f x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰0123()1(1)xxd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

合肥工业大学第二学期高等数学试卷A试题

合肥工业大学第二学期高等数学试卷A试题 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】一、填空题（每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________．2、设曲线L 的方程为221x y +=，则2[()]Lx y y ds +-=⎰ ．3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为． 5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则(1,1,1)grad f = ．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222z x y ze ++=,则11x y dz ===( ) 2、二次积分20(,)dx f x y dy ⎰ 化为极坐标下累次积分为（）3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（）．（A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线1121410214x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（）)(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦限的部分，则下列结论不正确．．．的是（）．（A ）0xdS ∑=⎰⎰（B ）0zdS ∑=⎰⎰（C ）1224z dS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰（D ）22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰三、（本题满分10分）设(,)sin xz f xy y y=+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂．四、（本题满分12分）求22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ：2214y x +≤上的最大值和最小值.五、（本题满分10分）计算二重积分：2DI y x d σ=-⎰⎰，其中:11,02D x y -≤≤≤≤．六、（本题满分12分）已知积分22(5())()x xLy ye f x dx e f x d ---+⎰与路径无关,且6(0)5f = .求()f x ,并计算(2,3)22(1,0)(5())()x x I y ye f x dx e f x dy--=-+⎰.七、（本题满分12分）计算积分2232222()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy I x y z ∑+-++=++⎰⎰，其中∑是上半球面z =，取上侧．八、（本题满分10分）．求幂级数∑∞=---12112)1(n nn x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞=---1112)1(n n n 的和．九、（本题满分4分）设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim 1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛。

合肥工业大学大一上学期高数期末考试题

咼数期末考试一、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)2.lim (1 + 3x)sinx =1. x -0_______________________________________.已知cosx是f(x)的一个原函数，则2.xx兀2兀22兀 2 n — 1lim — (cos 2— + cos 2 ——+||| + cos 2兀)= 3. “世 n n n n ______________ .1 2 2x arcsin x 1 , dx 二2—1书1 一 X4. _ 运______________________ .二、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)设口(x) = —x, P (x)=3-3%'x ,则当 X T 1 时()5.1 x.(A)〉(x)与-(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； (B )〉(x)与］(x)是等价无穷小；(C (X)是比-(x)高阶的无穷小； (D ) -(x)是比〉(X)高阶的无穷小.6 设 f (x) = cos x( x + sin x ),则在 x = 0处有(A C) ■ (D ) f(x)不可导. x7.若F (x )二0( 2—x ) f( t ) dt ，其中f (x)在区间上(-1,1)二阶可导且f (x)，则().(A) 函数F(x)必在x=0处取得极大值； (B) 函数F (x)必在x = 0处取得极小值； (C) 函数F(x)在x=0处没有极值，但点(0, F(0))为曲线y = F(x)的拐点；(D) 函数F(x)在x=0处没有极值，点(0，F(0))也不是曲线y 二F(x)的拐点。

1设f (x)是连续函数，且 f (x) = x + 2 j° f (t)dt ,贝U f (x)=((A ) 2解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)10. 设函数厂y (x)由方程e x y-sin(xy)二1确定，求y (x)以及y (°).1 - x 78. 2—+2(B ) 2(C ) x 1 (D ) x 2.9.三求—dx.11.x(1 x )y(1) =14.求微分方程xy 2^xlnx满足9的解.四、解答题(本大题10分)15. 已知上半平面内一曲线 y 二y(x)(x 一0)，过点(0,1)，且曲线上任一点M&o ’y 。

合肥工业大学大一上学期高数期末考试题

高数期末考试一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. =+→xx x sin 20)31(lim .2. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.3.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .4. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)5. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.6. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.7. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

8.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +. 9.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）10. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 11. .d )1(177x x x x ⎰+-求12. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x13. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.14. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）15. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）16. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）17. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.18. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：101233()2xf x dx xe dx x x dx---=+-⎰⎰⎰123()1(1)x xd e x dx--=-+--⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

合肥工业大学大一上学期高数期末考试题

合肥工业大学大一上学期高数期末考试题Last updated on the afternoon of January 3, 2021高数期末考试一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. =+→xx x sin 20)31(lim .2. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .3.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .4. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)5. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.6. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.7. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）8. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 9.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解. 四、解答题（本大题10分）11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 11.解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

合肥工业大学2014-2015第一学期《高等数学》试卷A试题

一、填空题（每小题3分，共15分） 1、极限2sin 0lim(13)x x x →+= ．2、设2arctan()y x x =，则y ' ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e-，则()________xf x dx '=⎰．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r eθ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、当1x →-时，31x +与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（）(A) 1sin x + (B) 1sin x - (C) 1cos x + (D) 1cos x -3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim 11cos x f x x→=-，则在点0x =处（）． (A) (0)f '不存在 (B) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f '存在，且(0)0f '≠ (D) (0)0f '=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（）(A)1+∞⎰(B)111sin dx x -⎰ (C)221ln dx x x+∞⎰(D) 2x xe dx +∞--∞⎰5、曲线2211x x e y e--+=-（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++L ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +---→． 3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x '． 4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩求22d d ,d d y yx x ． 5、2arctan x dx x ⎰．６、设2ln(1)0()101x x f x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩，求20(1)f x dx -⎰．四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ'=．。

合工大高等数学A(上)习题册.

x x a b →∞− ;
(0,0a b >>
2
0(6lim(2x x x
x a b →+(0,0a b >>.
2.若,(00f =(f x ′在点0x =的某邻域内连续,且(00f ′≠,试求(0lim f x x x +→.
习题Taylor中值定理
43−1.写出2(ln f x x =x在处的四阶泰勒展开式.
21.1x dx x +∫.
22
2.25x dx x x −−+∫.
1
3.1sin dx x +∫.
41
4.cos dx x ∫.
习题广义积分
57−计算下列广义积分:21ln 1.x
dx x +∞∫.
02.x
xe dx +∞−∫.
213.(1dx
x x +∞+∫.
1
4..
习题定积分的应用
61−1.假设曲线21y x =−(01x ≤≤,x轴,y轴所围区域被曲线2
习题洛必达(L′Hospital法则
42−1.求下列极限:30sin (1lim x x x
x →−;
2ln (2lim ln x x x
x x →+∞
+;
2011
(3lim(tan x x x x →−;
0ln(tan
(4lim ln(tan x ax bx +→ ;
(0,0a b >>
11
(5lim (x x
n
n n n ++→∞−+−+1;
221
11(2lim(1(1(123n n →∞−−⋅⋅⋅−2;

合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷A试题

一、填空题（每小题3分，共15分） 1、椭球面∑：222216x y z ++=在点0(2,2,2)P 处的切平面方程是___________．2、设曲线L 的方程为221x y +=，则2[()]Lx y y ds +-=⎰ ．3、设()21,0,1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于． 4、微分方程220y y y '''++=的通解为． 5、设23(,,)2f x y z x y z =++，则(1,1,1)grad f = ．二、选择题（每小题3分，共15分） 1、设222z x y ze ++=,则11x y dz ===( )2、二次积分20(,)dx f x y dy ⎰ 化为极坐标下累次积分为（）3、微分方程sin y y x x '''+=+的特解形式可设为（）．（A ）*()sin cos y x ax b A x B x =+++ （B ）*(sin cos )y ax b x A x B x =+++ （C ）*(sin cos )y x ax b A x B x =+++ （D ）*sin cos y ax b A x B x =+++ 4、直线1121410214x y z x y z -+-==-++=-与平面2的位置关系是（）)(A l ∥π但l 不在π上 )(B l 在平面π上 )(C l ⊥π )(D l 与π斜交5、设曲面∑的方程为222,x y z z ++=，1∑为∑在第一卦限的部分，则下列结论不正确．．．的是（）．（A ）0xdS ∑=⎰⎰ （B ）0zdS ∑=⎰⎰（C ）1224z dS z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ （D ）22x dS y dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰三、（本题满分10分）设(,)sin xz f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂．四、（本题满分12分）求22(,)2f x y x y =-+在椭圆域D ：2214y x +≤上的最大值和最小值.五、（本题满分10分）计算二重积分：2DI y x d σ=-⎰⎰，其中:11,02D x y -≤≤≤≤．六、（本题满分12分）已知积分22(5())(x xLy ye f x dx e f x ---+⎰与路径无关,且6(0)5f = .求()f x ,并计算(2,3)22(1,0)(5())()x x I y ye f x dx e f x dy--=-+⎰.七、（本题满分12分）计算积分2232222()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy I x y z ∑+-++=++⎰⎰，其中∑是上半球面z =，取上侧．八、（本题满分10分）．求幂级数∑∞=---12112)1(n nn x n 的收敛域及和函数，并求数项级数∑∞=---1112)1(n n n 的和．九、（本题满分4分）设0(1,2,3,...)n u n ≠=,且lim 1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑是否收敛如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛。

合肥工业大学第一学期高等数学试卷A试题

合肥工业大学第一学期高等数学试卷A试题Happy childhood is the best, June 12, 2023一、填空题每小题3分,共15分 1、极限2sin 0lim(13)xx x →+= ．2、设2arctan()y x x =,则y ' ．3、设()f x 的一个原函数为2x e -,则()________xf x dx '=⎰． 4、曲线x e y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r e θ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题每小题3分,共15分 1、当1x →-时,31x +与3(1)x +为A 高阶无穷小B 低阶无穷小C 等价无穷小D 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是 A 1sin x + B 1sin x - C 1cos x + D 1cos x -3、设()f x 在0x =处连续,且0()lim 11cos x f x x→=-,则在点0x =处．A (0)f '不存在B (0)0f '=,且(0)f 为()f x 的极小值C (0)f '存在,且(0)0f '≠D (0)0f '=,且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是A 1+∞⎰111sin dx x -⎰ C 221ln dx x x +∞⎰ D 2x xe dx +∞--∞⎰ 5、曲线2211x x e y e--+=-A 没有渐近线B 仅有水平渐近线C 仅有铅直渐近线D 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题每小题6分,共36分1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +---→． 3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x '． 4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩求22d d ,d d y yx x ．5、2arctan x dx x ⎰．６、设2ln(1)0()101x x f x x x +≥⎧⎪=⎨<⎪+⎩,求2(1)f x dx -⎰．四、本题满分10分设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、本题满分10分设曲线2x e y =,切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ,求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、本题满分8分证明不等式：0>x 时,有11ln ≥+xx . 七、本题满分6分设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导,0)(≠x f 01x <<,且0)1()0(==f f ,证明：在)1,0(内至少存在一点ξ,使()2015()f f ξξ'=．。

【VIP专享】合肥工业大学-高等数学-上-4-1微分中值定理

如果将这一限制条件取消，我们会得到什么结论？
从图4-1-5上看，我们看到一个不变的
下面分两种情况讨论．
(1) 如果 M m ，则 f x M, x[a,b] ，因此 f x 0 ，
x (a,b)，于是(a,b) 内任一点都可作为，均有 f ( ) 0 ． (2) 如果M m ，由于 f (a) f (b) ，故 M ,m 中至少有一个
不等于 f a ，不妨设M f (a) f (b) ，此时 M 只能在(a,b) 内
使 F( ) 0 ，即
2 f ( ) 2 f () 0 ．由于 0 ，故得
2 f ( ) f ( ) 0 ．
所以函数2 f (x) xf பைடு நூலகம்x) 在0,1 内至少有一零点．
26-12
4.1.3 拉格朗日中值定理
由于罗尔中值定理对函数有很高的要求，特别是要求函数在端点的两个函数值相等，这对于多数函数来说是无法满足，这样就大大限制了罗尔中值定理的应用范围．
图4-1-4
26-9
例 4.1.1 证明方程x5 ax 1 0 a 0 只有一个正根．
证先利用零点定理证明根的存在性
令 f x x5 ax 1，则 f 0 1 0 ，又 lim f x ，知 x
存在 b 0 ，使 f b 0 ．由零点定理知，在0,b 内至少存在一点，使得 f 0. 即 x5 ax 1 0 至少有一个正根．
因此由罗尔中值定理，至少存在一点 (a,b) ，使得F( ) 0 ，即
[ f x g x] 0 ，从而有 x f ( )g( ) f ( )g( ) 0 ．
26-11
例 4.1.3 设函数 f x 在0,1上连续，在0,1 内可导， f 1 0 ，
证明函数2 f (x) xf (x) 在0,1 内至少有一零点. 证令 F x x2 f x ，x0,1 ．则F x 在0,1上连续，在0,1 内可导，且 F 1 F 0 0 ，由罗尔中值定理知，至少存在一点 (0,1) ，

合肥工业大学高数习题册上册答案

习题11- 函数1．设函数2,0,()2,0,x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，求（1）(1)f -，(0)f ，(1)f ；（2）()(0)f x f x∆-∆，()(0)f x f x -∆-∆（0x ∆>）．【解】（1）2|2)1(,2|)2()0(,1|)2()1(101===+==+=-==-=x x x x f x f x f ；（2）()(0)f x f x ∆-∆⎪⎩⎪⎨⎧<∆>∆∆-=⎪⎩⎪⎨⎧<∆∆-∆+>∆∆-=∆∆.0,1,0,220,2)2(,0,22x x x x x x x x xx ()(0)f x f x-∆-∆)0(12)2(>∆-=∆-∆-=x x x 。

■2．已知21()1f x x x=+()f x ．【解】令x t 1=，则2111)(t t t f ++=，故2111)(x x x f ++=。

■ 3．证明：()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数．【证】方法1（定义法）∵对任意2121),,(,x x x x <+∞-∞∈，有)sin 2()sin 2()()(112212x x x x x f x f +-+=-2sin 2cos2)(2sin sin )(21221121212xx x x x x x x x x -++-=-+-= 2)1(2)(22sin )1(2)(212121212xx x x x x x x -⋅-⋅+->-⋅-⋅+-≥012>-=x x ，其中用到)0(sin ,cos 1>≤≤-x x x x ，∴()2sin f x x x =+在(,)-∞+∞内是严格递增函数。

方法2（导数法）∵)(0cos 2)(+∞<<-∞>-='x x x f∴),()(+∞-∞∈↑x f 。

■4．设()f x 在[,]a a -上是奇函数，证明：若()f x 在[0,]a 上递增，则()f x 在[,0]a -上也递增．【证】∵对任意0,],0,[,2121><-∈a x x a x x ，有2121],,0[,x x a x x ->-∈--，∴由()f x 在)0](,0[>a a 上单调增加可得：)()(21x f x f ->-。

合肥工业大学高数习题册上下册答案详解

(1) lim (2)n 3n ； n (2) n 1 3n 1
极限
【解】分之分母同除 3n ，利用四则运算极限法则和幂极限可得
2 ( ) n 1 1 3 L lim 。■ n 2 (2)( ) n 3 3 3 1 1 1 (2) lim(1 2 )(1 2 ) (1 2 ) ； n 2 3 n
1 cos(sin x) ． x 0 x2 1 2 sin x 1 sin x 2 1 2 (lim ) 。■ 【解】 L lim 2 x 0 x 0 x 2 x 2 (3) lim
ln(1 2 x) , x 0, x f ( x) 存在． 2．设 f ( x) 确定正数 a 的值，使得 lim x 0 a x a x , 1 x 0, x
1 1 1 1 n 1 n 1 ， 2 1 1 1 n 2n n 1 1 lim 。■ ∴L n 2n 2
(3) lim[(1 r )(1 r 2 )
n
(1 r 2 )] ( r 1) ；
n
n
(1 r )(1 r )(1 r 2 )(1 r 2 ) 【解】∵ (1 r )(1 r )(1 r ) 1 r
1
1
从而， l i mf ( x) l i m
x 0

1 e 1 e
1 x 1 x
1
x 0

1 l i m ex
x 0
1 l i m e
x 0
t 1 x
1 x
1，
1 1 1 lim t 1 t 1 et t e lim f ( x) lim lim lim e 1， 1 t 1 e t t 1 1 x 0 x 0 x 1 lim t 1 1 e t e et

合工大高等数学A上习题册

递增．
5．利用均值不等式证明： (1+ 1 )n < (1+ 1 )n+1 （ n = 1, 2, ）．
n
n +1
6．求证： (1+ 1 )n < 3 （ n = 1, 2, ）． n
2
班级
姓名
习题 2 −1 数列的极限函数的极限极限的性质
1．
求下列极限： (1) lim n→∞
(−2)n (−2)n+1
10
班级
姓名
学号
习题 3 −1 导数的概念
1．求曲线
y
=
x
−
1 x
在点
⎛ ⎜⎝
1 2
,
−
3 2
⎞ ⎟⎠
处的切线方程与法线方程．
2．若函数 f (x) 可导，求 lim n[ f (x + a ) − f (x − b )] (a,b ≠ 0) ．
n→∞
n
n
3．讨论函数 f (x) = sin x 在点 x = 0 处的连续性与可导性．
姓名
∫π
(2)
sin x − sin3 xdx ；
0
学号
∫ (3) 设 f (x) = 3x − 1 ，计算 x2 +1
2 0
1
f +
f′(2x()x)dx
．
32
班级
姓名
习题 5 − 3 不定积分的概念与性质
求下列不定积分：
1.∫ tan2 xdx ．
∫2. 2x4 dx ．
1+ x2
∫3.
1
dx ．
求
d2y dx2
．
5．求曲线

合肥工业大学近两年高数上试卷

2014-2015试卷一、填空题1、极限2sin 0lim(13)x x x →+=． 2、设2arctan()y x x =，则y ′ ． 3、设()f x 的一个原函数为2x e−，则()________xf x dx ′=∫．4、曲线xe y =过原点的切线方程为____________． 5、曲线2r e θ=从0=θ至2πθ=的一段弧长=l ____________．二、选择题 1、当1x →−时，31x+与3(1)x +为（）(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小2、若()f x 的导函数为sin ,x 则()f x 的一个原函数是（）(A) 1sin x + (B) 1sin x − (C) 1cos x + (D) 1cos x −3、设()f x 在0x =处连续，且0()lim11cos x f x x→=−，则在点0x =处（）． (A) (0)f ′不存在 (B) (0)0f ′=，且(0)f 为()f x 的极小值 (C) (0)f ′存在，且(0)0f ′≠ (D) (0)0f ′=，且(0)f 为()f x 的极大值4、下列广义积分发散的是（）(A)1∫(B)111sin dx x −∫ (C)221ln dx x x+∞∫(D) 2x xe dx +∞−−∞∫5、曲线2211x x e y e−−+=−（）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1、222111lim ()2n n n n n n πππ→∞++++++ ． 2、)cos 1)(1(1cossin 3lim 20x e x x x xx +−−−→．3、求sin (0)xy xx =>的导数()y x ′．4、已知()2ln 1,arctan ,x t y t =+ = 求22d d ,d d y y x x ．5、2arctan x dx x∫．６、设2ln(1)0()101x x f x x x+≥= < + ，求20(1)f x dx −∫．四、（本题满分10分）设 ()()22021cos , 0, 1, 0,1cos d , 0,xx x x f x x t t x x −<== > ∫ 讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性．五、（本题满分10分）设曲线2xe y =，切线2ey x =及y 轴围成的平面图形为D ，求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积V .六、（本题满分8分）证明不等式：0>x 时，有11ln ≥+xx . 七、（本题满分6分）设函数)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)(≠x f （01x <<），且0)1()0(==f f ，证明：在)1,0(内至少存在一点ξ，使()2015()f f ξξ′=2013-2014高数试卷一、填空题 1、极限0_________x →=．2、曲线221x xy y −+=在点(1,1)处的切线方程为．3、设曲线()y f x =过点(0,0)，且当x 在0x =处取得增量x ∆时相应的函数值增量3()(0)y x o x x ∆=∆+∆∆→，则2lim ()________n nf n→∞=．4、设连续函数()f x 满足1()2()d f x x f x x =，则1()d __________f x x =∫．5、积分121[ln(]_________x x −+=∫．二、选择题1、设lim n n x →∞与lim n n y →∞均不存在，那么下列命题正确的是（）．（A ）若lim()n n n x y →∞+不存在，则lim()n n n x y →∞−必也不存在（B ）若lim()n n n x y →∞+存在，则lim()n n n x y →∞−必也存在（C ）lim()n n n x y →∞+与lim()n n n x y →∞−均不存在（D ）lim()n n n x y →∞+与lim()n n n x y →∞−中只要有一个存在，另一个必定不存在2、已知0x =是函数ln()()sin a x f x x bx+=−的可去间断点，则常数,a b 的取值情况为（）．（A ）1,a b =为任意实数（B ）1,b a =为任意实数（C ）1,a b ≠为任意实数（D ）=1,1a b ≠3、设21sin ,0()0,0,x x f x xx ≠= = 那么()f x 在0x =处（）． (A) 不连续 (B) 连续但不可导 (C) 可导但()f x ′不连续 (D) 可导且()f x ′也连续 4、极限22212lim()12n nn n n n→∞++⋅⋅⋅+=+++（）. (A) 14 (B) 13 (C) 12(D) 15、设2sin 1x +为)(x f 的一个原函数，则()d x f x x ′=∫（）．(A) 22cos x x C + (B) 2222cos sin x x x C −+ (C) 2222sin cos x x x C −+ (D) 222cos sin x x x C ++三、计算下列各题（每小题５分，共3０分）1、011lim()ln(1)x x x →−+．2、设,0,(),0,x e x f x x x ≤= >求()21sin 0lim()d xxx f t t+−∞→∫．3、设y =d y 及y ′′．4、设()y y x =由220ln(1),d 1,1u t x te y u u =+ −= +∫确定，求1d d t y x =．5、x ．６、设20sin ()d 1cos xt f x t t=+∫，求220()d 1()f x x f x π′+∫．四、（本题满分８分）已知0x →时，22cos sin ()x x A Bx Cx o x +=+++，其中2()o x 是2x 的高阶无穷小，求常数,,A B C 的值．五、（本题满分10分）设2()1xf x x x =+−，（１）求函数()f x 的单调区间，（２）求函数()f x 的极值．六、（本题满分10分）如图所示1D 是由抛物线22y x x =−与直线(0)y kx k =>围成的图形，2D 是由曲线22y x x =−与直线y kx =及x 轴围成的图形，设1D 的面积为1S ，2D 的面积为2S ，若12:1:7S S =．（１）求常数k 的值；（２）求1D 绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积x V 及2D 绕y 轴旋转一周所得到的旋转体的体积y V ．七、（本题满分6分）证明：0x ≠时，2cos 12x x >−．八、（本题满分6分）设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且1(0)(1)0,(0)()02f f f f ><．证明：（１）在()0,1内存在两个不同的点,ξη，使得()()0f f ξη==成立；（２）(0,1)ζ∃∈使得()()0f f ζζζ′−=成立。

合肥工业大学-高等数学-上-7-2一阶微分方程的常见类型及解法

(7.2.12)
把式（7.2.11）、式（7.2.12）代入
dy P( x) y Q( x) ，得 dx
C( x) Q( x)e P ( x )dx
27-13
积分得
C ( x) Q( x)e P ( x )dxdx C ．
(7.2.13)
将式（7.2.13）代回式（7.2.11），得方程
dx x x ( )2 1 ． dy y y
x dx dv 这是齐次方程．令 v ，则 x yv ，有 v y ，代入上式，得 y dy dy v y dv dv dy v v 2 1 ，得． 2 dy v 1 y
积分得以v
ln(v v 2 1) ln y ln C ，
27-6
7.2.2
齐次方程
形如
dy y ( ) dx x
定义 7.2.2
(7.2.6)
的一阶微分方程称为齐次方程．
dy y y ln 是齐次方程． dx x x
例如
y 2dx (2 x2 xy)dy 0 也是齐次方程．这是因为可将方程化为
y ( )2 dy y dy x ． 2 ，进而 dx xy 2 x dx y 2 x
1 及f ( x) 的原函数，则有 g ( y)
G( y) F ( x) C .
(7.2.5)
将式（7.2.5）两边微分即可证明由式（7.2.5）所确定的 x, y 之间的隐函数关系式一定满足方程式（7.2.3），且式（7.2.5）含有一个任意常数 C，所以式（7.2.5）为方程（7.2.3）的通解，也即为方程（7.2.1）的通解，称为隐式通解，在方便时可以转化为显式通解．

合肥工业大学大一上学期高数期末考试题

高数期末考试一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. =+→xx x sin 20)31(lim .2.,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.3.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221L n n nnn n ππππ .4. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)5. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.6. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.7. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

8.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.9.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）10. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .11. .d )1(177x x x x ⎰+-求12. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x13. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()lim x f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.14. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）15. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）16. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）17. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.18. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e .6.cx x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x yey xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

合工大高等数学A(上)习题册.

合肥工业大学大一上学期高数期末考试题

合肥工业大学第二学期高等数学试卷A试题

最新合肥工业大学大一上学期高数期末考试题

合肥工业大学大一上学期高数期末考试题

合肥工业大学大一上学期高数期末考试题

合肥工业大学大一上学期高数期末考试题

合肥工业大学2014-2015第一学期《高等数学》试卷A试题

合工大高等数学A(上)习题册.

合肥工业大学第二学期《高等数学》试卷A试题

合肥工业大学第一学期高等数学试卷A试题

【VIP专享】合肥工业大学-高等数学-上-4-1微分中值定理

合肥工业大学高数习题册上册答案

合肥工业大学高数习题册上下册答案详解

合工大高等数学A上习题册

合肥工业大学近两年高数上试卷

合肥工业大学-高等数学-上-7-2一阶微分方程的常见类型及解法

合肥工业大学大一上学期高数期末考试题