专题3.1 复杂数列的通项公式求解问题(解析版)

一．方法综述

数列的通项公式是数列高考中的热点问题，求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数阵（数表）问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为n a 形式的数列通项公式问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略

类型一 数阵（数表）中涉及到的数列通项公式问题

【例1】如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字73在图中出现的次数为____．

【答案】12

【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列，先从第一行入手求出第一行数组成的数列),2,1(1⋯⋯=j A j 的通项公式，再把第一行的数当成首项，再次根据等差数列这一性质求出第j 数列组成的数列),2,1(⋯⋯=i A ij ，最后根据整数解方程的解法列举所有解即可.

2.数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要明

确“行”与“列”的概念.横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标

a进行表示，其

ij

中i代表行，j代表列.例如：

a表示第3行第4列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方

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法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前n 行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列. 【举一反三】

1.【河北省衡水市第二中学2019届高三上期中】数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，……以此类推，设数列的前项和为，则满

足的最小正整数的值为（）

4,

4,4 3

4,43,4

4,43,4, 4

…

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】

由图可知，第n行是4为首项，以3为公比的等比数列的前n项，

和为，

设满足的最小正整数为，

项在图中排在第行第列（且），

所以有

，则，，

即图中从第行第列开始，和大于.

因为前行共有项，

所以最小正整数的值为，

故选C.

2.【2019年3月3日《每日一题》】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上用小石子排成多边形，从而研究“多边形数”．如图甲的三角形数1，3，6，10，15，…，第个三角形数为

．又如图乙的四边形数1，4，9，16，25，…，第个四边形数为

．以此类推，图丙的五边形数中，第个五边形数为

________________．

【答案】

【解析】

由图可知，从第个三角形数为，第个四边形数为

发现规律，归纳出第n 个五边形数为1+4+7+…+（3n ﹣2）＝

．

故答案为：

．

类型二 点列问题中涉及到的数列通项公式问题 【例2】已知点1122(1,),(2,),

,(,),

n n A y A y A n y 顺次为直线11

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y x =

+上的点，点1122(,0),(,0),,(,0),n n B x B x B x 顺次为x 轴上的点，其中1(01)x a a =<<.对于任意*

n N ∈，点

1,,n n n B A B +构成以n A 为顶点的等腰三角形.则数列{}n x 的通项公式为____________.

【答案】,(1,(n n a n x n a n -⎧=⎨

+-⎩为偶数）

为奇数）

【指点迷津】对于点列问题，要根据图像上点与点之间的关系，以及平面几何知识加以分析，找出关系式即可，本题是直线上的点列，已知点列n A 的通项公式，求点列n B 的通项公式，并研究等腰三角形是否为特殊的等腰直角三角形.

【举一反三】在直角坐标平面中，已知点列111,2A ⎛

⎫-

⎪⎝⎭，2212,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，3313,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，…，1,(1)2n n n A n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，…，其中n 是正整数.连接12A A 的直线与x 轴交于点()11,0B x ，连接23A A 的直线与x 轴交于点()22,0B x ，…，连接1n n A A +的直线与x 轴交于点(),0n n B x ，….则数列{}n x 的通项公式为___________. 【答案】2

3

n x n =+

【解析】直线1n n A A +的斜率为11

121(1)(1)3(1)222n n n n n n k ++++---=-=， 所以111(1)3(1):()22n n n n n n A A y x n +++-⋅--=-，2

3

n

x n =+. 类型三 函数问题中涉及到的数列通项公式问题

【例3】【河北省石家庄市第二中学2019届高三上期末】定义在正实数上的函数，其中表示不小于x 的最小整数，如，

，当

时，函数

的值域为

，记集

合

中元素的个数为

，则

=____.

【答案】

【解析】

易知：当n =1时，因为x ∈（0，1]，所以{x }=1，所以{x {x }}=1，所以.

当n =2时，因为x ∈（1，2]，所以{x }=2，所以{x {x }}∈（2，4]， 所以

.

当n =3时，因为x ∈（2，3]，所以{x }=3，所以{x {x }}={3x }∈（6，9]，

；

当n =4时，因为x ∈（3，4]，所以{x }=4，所以{x {x }}={4x }∈（12，16]， 所以

；

当n =5时，因为x ∈（4，5]，所以{x }=5，所以{x {x }}={5x }∈（20，25]， 所以.

由此类推：.

故

.

【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

2.已知n S 求n a 的一般步骤：（1）当1n =时，由11a S =求1a 的值；（2）当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，求得n a 的表达式；（3）检验1a 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示n a ；（4）写出n a 的完整表达式.

【举一反三】【北京西城35中2017届高三上学期期中数学】已知()112F x f x ⎛

⎫

=+

- ⎪⎝⎭

是R 上的奇函数，

()()()

*

12101n n a f f f f f n N n n n -⎛⎫⎛⎫

⎛⎫=+++

++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，则数列{}n a 的通项公式为（ ）

． A. n a n = B. 2n a n = C. 1n a n =+ D. 2

23n a n n =-+

【答案】C

【解析】∵()112F x f x ⎛⎫=+

- ⎪⎝⎭是奇函数，∴11022F F ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12x =， ()1112F f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

，