研究生计算方法试卷

江西理工大学研究生考试试卷

一、填空题（共20分，每题2分） (1) 设

)(x f 充分光滑，若12+n 次多项式)(12x H n +满足

),2,1,0()()(,)()('12'12n i x f x H x f x H i i n i i n ===++，则称)(12x H n +是)(x f 的 多项式，且余项=-=+)()()(12x H x f x R n 。

(2) 设Simpson 数值积分公式具有 次代数精度，用来计算

dx x x x

]45.02)2(ln [1

34

+++⎰所产生的误差为 。

(3) 如果向量n R X ∈的某个实值函数x x N =)(，满足条件 ， 及 ，则称)(x N 是n R 上的一个向量范数。 (4) 矩阵范数),2,1(∞=νν

A

，与谱半径)(A ρ有一个不等式关系，表现为

。

(5) 迭代过程),1,0()(1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足

。

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(6) 用４阶Runge-Kutta 方法求解初值问题

0'),(y y y x f y x === 10<

1.0=h ,

得)1(y 的近似值为0.42671,而取05.0=h 得)1(y 的近似值为0.43382。若不考虑舍入误差，则)1(y 的更好的近似值是 。

二、给定数据 用复合辛普森方法计算⎰

=38

.130

.1)()(dx x f f I 的近似值，并估计误差。

（15分）

三、用追赶法求解三对角方程组(15分)

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1211113112⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x ＝⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0221

四、证明：（15分） a)

对于向量T

n 21)x ,,x ,x (X =,实值函数∑==n

1

i i 1x X 确定了向量X

的一个范数；

b) 212

X n X X

≤≤；

c) A 为n 阶非奇异矩阵，则A

1A 1≥

-

五、设有求解常微分方程初值问题

0'y )x (y ),y ,x (f y ==

的如下线性二步显格式

=+1n y )f f (h y y 1n 1n 01n 1n 0--+++ββαα

其中，)y ,x (f ),y ,x (f f 1-n 1n 1-n n n n -=，试确定参数1010,,,ββαα,使差分格式的阶尽可能高。(15分)

六、均匀横截面梁的挠度方程是

曲率=)1()(2L x L EL pL EI x M -=若梁的长度2.0,12

==EL

pL L 荷载,根据曲

率公式，即

曲率=2

/32''

')

)(1(y y + 则关于挠度的微分方程为 10)

1())(1(2.02

32

'''≤≤-+=x x y y

设初始条件0)0(,0)0('

==y y , 试求梁的挠度)(x y y =在结点ih x i =处的值2.0),5,1,0(==h i y i 取步长 ，试用四阶龙格---库塔方法，计算)2.0(y 。（20分）