初二三角形的证明培优同步讲义

学科教师辅导讲义

体系搭建

一、知识梳理

1、等腰三角形的性质定理

（1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS）

（2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。

（3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。

（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。

2、等腰三角形的判定定理

（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。

（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。

（3）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

4、直角三角形的性质和判定方法

定理：直角三角形的两个锐角互余。

定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。

5、勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

6、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

7、逆命题、逆定理

互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。

8、斜边、直角边定理

定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。

9、线段垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

10、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）

定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

11、三角形三条边的垂直平分线的性质

性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。

12、角平分线的性质定理：定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

13、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

14、三角形三内角的角平分线性质：性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

考点一：等腰三角形

例1、如图在等腰△ABC中，其中AB=AC，∠A=40°，P是△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC等于（）A．110°B．120°

C．130°D．140°

例2、如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的

点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）

A．44°B．66°

C．88°D．92°

例3、如图，在△ABC中，AB=AC=6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连接AD，若AD=4，则DC=．

例4、在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为．

例5、如图，锐角三角形的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC．求证：△ABC是等腰三角形．

例6、如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．

已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．

分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．请根据上述分析写出详细的证明过程（只需写一种思路）．

考点二：直角三角形

例1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，如果∠A=50°，则∠DCB=（）A．50° B．45°

C．40° D．25°

例2、具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）

A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠C

C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C

例3、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB．

（1）求∠B的度数；

（2）求证：CE是AB边上的中线，且CE=AB．

例4、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中

点，试说明：

（1）MD=MB；

（2）MN⊥BD．

考点三：线段的垂直平分线与角平分线

例1、如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（）A．8 B．9

C．10 D．11

例2、如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）

A．48° B．36°

C．30° D．24°

例3、如图，在△ABC中，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，连接AE，AF，已知∠BAC=80°，请运用所学知识，确定∠EAF的度数．

例4、如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2a＞b，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，计算DE+DF和BG的长（用a，b表示），并判断DE+DF与BG的关

系．

（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF与BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．

（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系．（不要求证明）

P(Practice-Oriented)——实战演练

实战演练

➢课堂狙击

1、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（）

A．AD=BD B．BD=CD

C．∠1=∠2 D．∠B=∠C

2、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，

折痕为CD，则∠A′DB=（）

A．40° B．30°