扇形、弓形.ppt

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24.4弧长和扇形面积--4.1 弧长公式和扇形面积公式(共27张PPT)

和
所围成的图形叫做扇形，可
以发现，扇形面积与组成扇形的圆心角
的大小有关，圆心角越大，扇形面积也
就越大．
怎样计算圆半径为R，圆心角为n°的扇形面积呢？
12
知识点二：与扇形面积有关的计算
新知探究
由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分.
想一想，如何计算圆的面积? S=πR2
圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积?
O · 1°
n°
R
13
知识点二：与扇形面积有关的计算
归纳总结
圆心角为n°的扇形面积是:
比较扇形面积与弧长公式, 用弧长表示扇形面积:
l=
14
知识点二：与扇形面积有关的计算
典例讲评
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面上有水部分的面积.
解析：弓形的面积 = S扇 - S△OAB
【解析】由弧长公式，可得弧AB的长
l
（mm）
因此所要求的展直长度
l
（mm）
答：管道的展直长度为2970mm．
7
知识点一：与弧长有关的计算
学以致用
1.如图，A，B，C是圆周上的三点， ∠BAC＝30°，且弧BC的长是 π， ⊙O的半径为( A )
A.1 B.2 C.1.5 D.3 2.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将 △ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点 A所经过的路径长为( C ) A.10π B. C. π D.π
形的面积是
㎝2.
解析：设扇形的半径为R，根据题意得
135πR 180
Байду номын сангаас
=3π

人教版数学六年级上册扇形的认识和扇形的面积(课件)(共25张PPT)

答：这块圆形铁皮的面积是78.5平方厘米，剩下的面积是21.5平方厘米。
—— 方中圆
如图，你能求出正方形里面最大圆的面积吗？
正方形面积为n
正方形面积为 20 m²
正方形面积为 8 m²
该正方形面积与内最大圆之间有怎样的关系？
4︰π
—— 圆中方
如图
a
如果圆半径用a表示，圆里面最大正方形的面积是（ 2a²）；
n 360
S圆－
1 2
ab
90 3.14 62 1 6 6 10.26 cm2
360
2
答：弓形AC的面积是10.26平方厘米。
小结
解决策略：
S弓形AC S扇形AOC SAOC
例3：在一块长4.5米，宽2米的长方形铁板上截下2个最大的圆形后，剩下的铁板面积是多少平方米？
2m
2m
4.5m
分析：剩下的铁板的面积可以用长方形铁板的面积减去两个圆形的面积，其中两个圆形铁板的直径均为2米。
r d 2 2 2 1(m)
S剩余 =S长方形－2S圆 =ab 2 r2 4.5 2 2 3.1412 2.72(m2 )
答：剩下的铁板面积是2.72平方米。
例4：从一块边长10厘米的正方形铁皮上剪下一个最大
扇形的认识及扇形的面积
一条弧和经过这条
弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
A
0O
A、B两点之间的部分叫做弧，读作：“弧AB”。
B
像∠AOB这样，顶点在圆心的角叫做圆心角。
下面图中哪些是扇形？
①
②
③
④
下面哪些是圆心角？
①
②
③
④
比较两个扇形的大小

第二讲：直线型几何(2)、曲线形几何圆、扇形、弓形、组合图形

第二讲直线型几何（二）、曲线形几何1、（15届迎春杯）如右图，正方形DEOF在四分之一圆中，如果圆的半径为1厘米，那么，阴影部分的面积是________平方厘米．（取3．14．）2、（第三届走进美妙的数学花园）如图，A为半径为3的⊙O外一点，弦BC//AO且BC=3。

连结AC。

阴影面积等于（π取3.14）3、（第2届迎春杯）求图中空白部分的面积是正方形的_____。

（几分之几）4、（第二届两岸四地华罗庚金杯少年数学精英邀请赛）如图，ABCD是边长为10厘米的正方形，且AB是半圆的直径，则阴影部分的面积是______平方厘米。

（π取3.14）5、两个长方形如下图摆放，阴影三角形面积是多少？（第三届走进美妙的数学花园）6、（小数报01届）把一个平行四边形剪成两块去拼成一个长方形，除去课本上讲的拼法（如图）还可以怎样拼？（画图表示）7、（小数报01届）把边长9.5分米的正方形钢板切割成如图的直角三角形（两条直角边的长分别是4.5分米和1分米）小钢板，最多可切割成____块。

8、（小数报02届）右图是由六个正方形重叠起来的，连接点正好是正方形边的中点，正方形边长是a，图的周长是____。

9、（小数报03届）如右图，正方形被一条曲线分成了A、B两部分。

下面第____种说法正确。

①如果a＞b，那么A的周长大于B的周长；②如果a＜b，那么A的周长小于B的周长；③如果a=b，那么A的周长等于B的周长；④不管a、b哪个大，A、B的周长总是相等的。

10、（小数报05届）长方形ABCD的长是4厘米、宽3厘米。

从这个长方形中剪去两个长2厘米、宽1厘米的小长方形后得到一个“T”形（如图）。

请你沿直线（用虚线在图上画出这样的直线）把这个“T”形剪两刀，并使剪开的部分恰好能拼成一个正方形。

11、（06年迎春杯）有5个长方形，它们的长和宽都是整数，且5个长和5个宽恰好是1～10这10个整数；现在用这5个长方形拼成1个大正方形，那么，大正方形面积的最小值为。

(人教版)扇形精品课件1

3 6 0
答：阴影部分面积是25.12平方厘米，周长是20.56厘米。
【冀教版教材】圆和扇形ppt1
【冀教版教材】圆和扇形ppt1
解：假设大圆中的三个圆半径分别为
r1、r2、r3，大圆半径为R。 r1+r2+r3=R C大圆 C1+2+3=3.14×2r1+3=.134.1×4×2r22+R3.14× 2r3 =3.14×2(r1+r2+r3) =3.14×2 所以大圆周长R和三个小圆周长和一样长。
解：阴影部分面积=大扇形－小扇形阴影部分的周长=两段弧长＋2×4
阴影面积 = 4 5 3 .1 4 1 0 2 -6 2= 2 5 .1 （ 2 平方厘米 ) 3 6 0
阴影周长 = 3 . 1 4 4 5 1 0 6 2 4 2 2 0 .5 6 ( 厘米 )
答：圆形铁皮面积是78.5平方厘米，剩下面积是21.5平方厘米。
怎样才能得到一个最大的圆呢？
【冀教版教材】圆和扇形ppt1
【冀教版教材】圆和扇形ppt1
10cm
5cm 10cm
S1 05125(0cm 2) 2
答：正方形面积是50平方厘米。
【冀教版教材】圆和扇形ppt1
【冀教版教材】圆和扇形ppt1
【冀教版教材】圆和扇形ppt1
【冀教版教材】圆和扇形ppt1
1、扇形面积公式：S=πr2 n n是圆心角的度数
360
2、扇形的圆弧长=所在圆周长的n n是圆心角的度数
360 3、弓形公式：S弓ACS扇AOC-S△AOC
【冀教版教材】圆和扇形ppt1
【冀教版教材】圆和扇形ppt1
•
1、通过分析、比较、综合，了解文本的阐述方向，找准文本所展示的话题，探究材料之间的联系，明确不同点，找准每则材料和图表在内容和观点上的共同点，从而归纳出文本的主要内容及文本主题。

圆、扇形、弓形的面积(二)

圆、扇形、弓形的面积(二)教学目标：1、使同学在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上，会计算弓形面积；2、会计算一些简洁的组合图形的面积.3、通过弓形面积的计算培育同学观看、理解力量，综合运用学问分析问题和解决问题的力量；4、通过运用弓形面积的计算解决实际问题，培育同学把实际问题抽象成数学问题的力量；5、通过同学对弓形及简洁组合图形面积的计算，培育同学正确快速的运算力量.教学重点：弓形面积的计算.教学难点：(1)简洁组合图形的分解.(2)从实际问题中抽象出数学模型.教学过程：一、新课引入：上一节我们复习了圆的面积，在它的基础上我们学习了扇形的面积，本节课就要在前一课的基础上学习弓形面积的计算.弓形是一个最简洁的组合图形之一，由于有圆的面积、扇形面积、三角形面积做基础，很简单计算弓形的面积.由于计算弓形的面积不像圆面积和扇形面积那样有公式，当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差；当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和；当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半.也就是说要计算弓形的面积首先要观看这个弓形是怎么组合而成的，从而得到启发；一些组合图形的面积总要分解为几个规章图形的和与差来解决的方法.所谓规章图形指的是有计算公式的图形.因此弓形面积的计算以及受它启发的分解组合图形求面积的方法就是本节课的重点.本节拟就三部分组成：1.师生共同观看分解弓形，然后作有关的练习.2.运用弓形面积的计算解决实际问题.3.受分解弓形的启发分解一些简洁的图形.二、新课讲解：(复习提问)：1.请回答圆的面积公式.2.请回答扇形的面积公(以上三问应支配中下生回答)4.请同学看图7-163，弦ab把圆分成两部分，这两部分都是弓形，哪位同学记得弓形的定义？(支配中下生回答：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.)所组的弓形.它的面积能不能跟扇形面积联系上呢？(支配中上生回答：能，连结oa、ob).大家再观看图形，这个弓形的面积如何通过扇形也就是说组成弓形的弧假如是劣弧，那么它的面积应当等于以此劣弧与半径组成的扇形面积减去这两半径与弦组成的三角形的面积.和半径oa、ob组成的图形是扇形吗？为什么？(支配中上生回答：是，由于它符合扇形的定义.)假如弦ab是⊙o的直径，那么以ab为弦，半圆为弧的弓形的面积又是多少？(支配中下生回答：圆面积的一半.)于是我们得出结论：假如组成弓形的弧是半圆，则此弓形面积是圆面积的一半；假如组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；假如组成弓形的弧是优弧，则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积.也就是说：要计算弓形的面积，首先观看它的弧属于半圆？劣弧？优弧？只有对它分解正确才能保证计算结果的正确.哪位同学知道要对这种题进行计算，首先要作什么工作？(支配中下三角形aob的面积怎么求？(支配中上生回答：过o作o d⊥ab，垂以只要解此△aod即可求出od、ad的长，则s△aob可求.)请同学们把这题计算出来.(支配一同学上黑板做，其余在练习本上请同学们争论讨论第2题，并计算出它的结果.(支配中上生上黑板共2页，当前第1页12。

人教版九年级数学上册课件：24.4弧长和扇形面积(共19张PPT)

－
1353π6×0 152＝375π(cm2)．
9
能力提升
11．如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分．图2中，图形的相关数据：半径OA＝2 cm，∠AOB＝120°，则图2的周长为 83π ________cm.(结果保留π)
10
12．如图，在△ABC中，AC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△FGC，则图43中π 阴影部分的面积为________.
第二十四章圆
弧长和扇形面积
第一课时
知识展示
知识点 1 弧长公式 n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 l＝n1π8R0 ，其中 R 为半径．核心提示：在弧长公式中，已知 l、n、R 中的任意两个量，都可以求出第三个量．知识点 2 扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
分析：先用扇形OAB的面积－三角形OAB的面积求出上面空白部分面积，再用扇形OCD的面积－三角形OCD的面积－上面空白部分的面
积7．，如即图可，求5分出．别阴以影【五部边分黑形的A龙面BC积D江．E的顶哈点尔为圆滨心，中以1考为半】径作一五个个圆，扇则图形中的阴影弧部分长的面是积之1和1为π__c___m___.，半径是18
2
知识点 3 扇形面积公式 (1)n°圆心角的扇形面积公式：S 扇形＝n3π6R02 ，其中 R 为半径． (2)弧长为 l 的扇形面积公式：S 扇形＝12lR，其中 R 为半径．【典例】如图，半径为 12 的圆中，两圆心角∠AOB＝60°、∠COD＝120°，连接 AB、CD，求图中阴影部分的面积．
cm，则此扇形的圆心角是__________度． 71．2．如如图图，，分在别△以AB五C中边，形AACB＝CD4E，的将顶△点AB为C圆绕心点，C逆以时11为针1半旋0 径转作30五°得个到圆△，FG则C，图则中图阴中影阴部影分部的分面的积面之积和为为________________.. 一列火车以6每．小时【28 江km的苏速度泰经州过10中秒通考过弯】道．如那么图弯，道所分对的别圆心以角为正___三_____角__度形．(π的取3.3个顶点为圆心， 98．．一已段知铁扇边路形弯所长道在成圆为圆半弧径半形为，4径，圆弧弧画长的为弧半6径π，，是则2三扇km形.段面积弧为_围_____成____.的图形称为莱洛三角形．若正三角分积析，：即先可用求形扇出形阴边影OA部长B的分面为的积面6－积三．c角m形，OAB则的面该积求莱出上洛面三空白角部分形6面π积的，再周用扇长形为OCD_的_面__积_－__三_角c形mOC. D的面积－上面空白部分的面

五年级奥数几何专项十四扇形、弓形、割补法

专项十四扇形、弓形、割补法课前预习方形和圆形的故事世界上有两位魔法师，一个管方形，另一个管圆形，管方形的魔法师很稳重，管圆形的魔法师很机灵、活泼。

他们都用魔球来施魔法。

有一天，魔法师管辖下的方形和圆形吵起来了，他们吵起来的原因是：谁在生活当中最重要？自己都说自己是最重要的，圆形说：“你看，车轮是圆形的，盘子是圆形的，就连水杯都是圆形的！”方形说：“小学生用的书本是方形的，楼是方形的，就连国旗都是我的形状！”他们吵着吵着就睡着了。

魔法师知道了这件事，就怪他们不好好工作，反尔吵了起来，就想惩罚他们一下。

他们分别把方形和圆形放在不同的地方……等方形一睁开双眼发现世界都变成方形的了：火车的车轮变成方形的了，什么地方也去不了了；货车的车轮也变成了方形，货物都运不到指定的位子上，人们都饿着肚子，工厂里的材料和商场里的货物都运不到了。

想坐车的时候，车也跑不了了，想骑车呢？一骑就会摔跟头，人们都不理方形了，方形很伤心。

圆形呢？他睁开双眼看到车跑的飞快，他忽然从远处看到了一个小黑点，渐渐变大，向他扑了过来，他还像没有事是的问：“这是什么呀？一摇一晃的？”等他想出来是楼房的时候，他才大叫：“楼房快压着我了！”圆形说完这句话的时候，魔法师出现了，他们把所有的被改变的物体都恢复了原样。

他们俩回到家反思了一下，过了几天，他们又面了，他们总结出来一个道理：每个人都不要自以为是，每个人都要有尺有所短，寸有所长的思想。

知识框架圆的知识：1.当一条线段绕着它的一个端点O在平面上旋转一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫做圆，点O叫做这个圆的圆心.2.连结一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径.3.连结圆上任意两点的线段叫做圆的弦.过圆心的弦叫做圆的直径.4.圆的周长与直径的比叫做圆周率.圆周上任意两点间的部分叫做弧.5.圆周长=直径×π.=半径×2π 圆面积=π×半径2.扇形的知识：1. 扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形.顶点在圆心的角叫做圆心角.2. 我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n． 3. 扇形中的弧长= 180r n π.扇形的周长= 180r n π+2r.扇形的面积=3602r n π =.弓形的知识：弦与它所对的弧所组成的图形叫做弓形。

圆、扇形、弓形的面积

圆、扇形、弓形的面积【重点难点解析】重点是圆面积，扇形面积、弓形面积公式，要能运用它们解决有关圆的面积、扇形面积、弓形面积的计算与证明问题.难点是扇形面积公式的推导，要理解圆心角为1°的扇形的面积等于圆面积的，圆心角为n°的扇形面积及于圆面积的即，注意：公式中的n没有单位.【基础知识精讲】一、基本公式1.圆的面积：S＝πR22.扇形面积：S扇形＝＝lR3.弓形面积：①弓形所含弧为劣弧时 S弓＝S扇-S△②弓形所含弧为优弧时 S弓＝S扇+S△③弓形所含弧为串圆时 S弓＝S圆二、值得注意的问题1.扇形面积公式中的n与弧长公式中的一样，不带单位.2.对于一些没有面积计算公式的几何图形，可采用割补法，转化为学过的几何图形的面积和或差.对于弧形部分，一定要分清圆心和半径.典型例题〔例1〕已知如图7-65，PA切⊙O于A，PO交⊙O于C，且CP＝CO，弦AB∥OP，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积.图7-65解：连OA，OB∵PA为⊙O切线，∴OA⊥AP∵OA＝OC＝CP＝OP∴∠OPA＝30°，∴∠AOP＝60°∵AB∥OP，∴∠OAB＝∠AOPB＝60°∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形∴∠AOB＝60°∴S扇形OAB＝＝∵AB∥OP，∴S△ABP＝S△AOB∴S阴影＝S扇形OAB＝〔例2〕已知：如图7-66⊙O的半径为R，直径AB垂直于弦CD，以B为圆心，以BC为半径作⊙B 交AB于点E，交AB的延长线于F，连结CB并延长交⊙B于点M，连结AM交⊙O于N，(1)求两圆公共部分的面积S.(2)求证AM·AN＝2AE·AF图7-66(1)解：连结BD∵CD为⊙O直径∴∠CBD＝90°∵CD⊥AB，OC＝OD ∴CB＝DB在Rt△CBD中，CD＝2R∴BC＝CDcos45°＝2R· ＝R∴S＝S⊙O+S弓形CDE＝πR2+〔π( R)2- ( R)2〕＝(π-1)R2(2)证明连AC∵AB为直径∴∠ACB＝90°∵BC为⊙B半径∴AC为⊙B的切线∴AC2＝AE·AF∵OA＝OB ∴CA＝CB∵MN·MA＝MB·MC＝BC·2BC＝2BC2＝2AC2∴AM·MN＝2AE·AF〔例3〕已知：如图7-67，⊙O的长l是半径R的π倍，AC，BC是方程-2x2-(m-1)x+m+1＝0的根，OC＝1，求弓形AmB的面积.图7-67〔解〕延长线段OC交⊙O于E，F，作OG⊥AB于G，∴GB＝ABl＝＝R，∴n=130,∴∠AOB＝120°∴∠GOB＝60°在Rt△OGB中，sin∠GOB＝，∴GB＝R·sin60°＝R∴AB＝R，又cos∠GOB＝，∴OG＝R，∴S△ABD＝AB·OG＝× R× R＝R2.∵AC、BC是方程-2x2-(m-1)x+m+1＝0的根，∴AC·BC＝- ①AC+BC＝. ②又∵AC·BC＝CE·CF＝(R-OC)(R+OC)＝R2-OC2＝R2-1 ③AC+BC＝AB＝R ④∴由②，④得R＝由①，③得R2-1＝-解方程组R＝R2-1＝- 得R＝∴S△ABC＝R2＝·S扇形OAmB＝＝π∴弓形AmB的面积＝S扇形OAmB-S△OAB＝π- (平方单位).〔说明〕此题是一道代数几何综合问题，解决此题的关键是求出⊙O的半径，综合分析题的图形与已知条件，寻找与半径有关的式子，发现AC+BC＝AB，AC·BC＝CE·CF，而AB及CE·CF都与半径与关，再由题已知方程的根与系数关系，找到含R的方程组，从而求得R.〔例4〕如图7-68，已知半径为3cm和1cm的两个圆，⊙O1和⊙O2外切于点P，AB是它们的一条外公切线，切点分别为A，B，QP垂直于O1O2于P交AB于Q点，连O1Q和O2Q，求：图中阴影部分面积.图7-68〔解〕连O1A，O2B可求得外公切线长AB＝2 ＝2 (cm)∵QP⊥O1O2，∴QP是⊙O1，⊙O2的内公切线，由切线长定理知AQ＝QP＝QB，∠＝O1QO2＝∠AQB＝90°.∴QP＝AB＝(cm)在Rt△QO1P中，tg∠QO1P＝＝，∴∠QO1P＝30°，∴∠QO2P＝60°∴S阴＝S －S -S ＝O1O2·QP－-＝×4× - π- ＝2 - π(cm2).〔说明〕此题就是将一个不规则图形的面积化归为几个已学过的图形面积的和差形式.练习一、填空题1.扇形的弧长是2πcm，半径是10cm，则此扇形的面积是 .2.圆心角为n°，面积为S的扇形的半径是 .3.如果圆的周长是π，则圆的面积是 .4.如下图7-75，C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，OC，OD是半径，且半径为长6，CD为弦，则图中阴影部分的面积是 .图7-75 图7-765.如图7-76，Rt△ABC中两直角边AC＝4cm，BC＝5cm，分别以AB，AC，BC为直径的三个半圆所围成的两个新月形(图中阴影部分)的面积和为平方厘米.图7-776.如图7-77，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，以A为圆心，以AC的长为半径画弧与AB 相交于D，若图中阴影部分的面积为6πcm2，则AB＝ cm.7.若扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm，则扇形的面积是 .二、选择题1.如图7-78，以边长为a的正三角形的三个顶点为圆心，以边长一半为半径画弧，则三弧所围成的阴影部分的面积是( )A. (2 -π)；B. (2 -π)；C. +D. a2.2.如图7-79，正方形ABCD的边长为1cm，以CD为直径在正方形内画半圆，再以C为圆心，1cm 长为半径画弧BD，则图中阴影部分的面积为( )A. cm2B. cm2C. cm2D. cm2图7-78 图7-79 图7-803.三个半径为R的圆两两外切，则夹在三个圆之间部分的面积是( )A. R2- πR2B. R2- πR2C.( -1)R2D. R2-R24.如图7-80，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，再以AB为直径作半圆，所得月牙形面积为( )A.大于S△OABB.等于S△OABC.小于S△OABD.以上都有可能三、解答题1.如图7-81所示，已知正方形ABCD的边长为2，以顶点A为圆心，AB为半径作，由AD的中点E，作EF∥AB，交BC于F，交于G，再以E为圆心，ED为半径作交EF于H，试求图中阴影部分的面积.图7-81 图7-822.如图7-82所示，正三角形ABC的高AD＝4cm，以AD为直径作圆分别交AB、AC于E、F，求阴影部分的面积.四、1.如图7-83所示，已知直角梯形ABCD中，∠D＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以斜腰AB为直径的半圆切CD于E，交AD于F.求图中阴影部分的面积.图7-83 图7-842.如图7-84所示，已知⊙O1与⊙O2的公共弦为AB，若AB分别为⊙O1和⊙O2的内接正三角形和内接正六边莆的一边，且AB＝a，求两圆公共部分的面积.答案：一、1.10πcm2 2. 3. 4.6π 5.10 6.12 7.140πcm2二、1.A 2.C 3.D 4.B。

主题二认识弓形与扇形

國中數學基本學習內容補救教材第四冊-4 主題二認識弓形與扇形生活中常常見到各式各樣的圓形圖案，像是圓形時鐘、籃球等等…。

如果兩圓半徑相同，我們稱這兩圓為“等圓”。

實際上，我們也常見到與圓形有關的東西，像遠古時代的人類已開始利用弓箭作為武器。

那弓箭上的每一個細節如果放到一個圓上，又該如何稱呼它們呢?(一) 連接圓上任意兩點所形成的線段稱為「弦」。

〔考考你〕：你覺得圓的直徑是一個弦嗎？那半徑是嗎？ (二) 一弦把圓周分成兩部分，每一部分都稱為「弧」。

大於半圓的弧稱為優弧，小於半圓的弧稱為劣弧。

如果這條弦恰為直徑，則圓周分成的兩部分都是半圓。

(三) 圓上一弦和它對應的弧所圍成的圖形稱為「弓形」。

每條弦會切出兩塊弓形喔!如圖，圓O 上任意兩點A 、B 將圓分為兩個弧，稱為AB 弧，以「AB̂」表示。

為了區別此兩弧，可在弧上各取一點C 、D ，把這兩弧表示成「ACB̂」及「ADB ̂」。

國中數學基本學習內容補救教材第四冊-5日常生活中，我們都認識這樣的圖形是個扇子，那扇子上的每一個細節如果放到一個圓上，又該如何稱呼它們呢?(一)由圓的兩個半徑與一弧所圍成的圖形稱為「扇形」。

(二)扇形中兩半徑所夾出來的角則稱為「圓心角」。

【小試身手】2.承接上題，回答下列問題：(1) 以左圖圓心角作成的扇形面積，是圓面積的幾分之幾？(2) 以中圖圓心角作成的扇形面積，是圓面積的幾分之幾？(3) 以右圖圓心角作成的扇形面積，是圓面積的幾分之幾？3. (1)連接圓上任意兩點所形成的線段稱為。

(2)大於半圓的弧稱為，小於半圓的弧稱為。

(3)圓上一弦和它對應的弧所圍成的圖形稱為。

(4)圓的兩個半徑與一弧所圍成的圖形稱為。

专题01 扇形、弓形的周长和面积+刘子琳

1、扇形、弓形的周长和面积平面上到定点距离等于定长的点的集合称为圆.扇形、弓形都是圆的一部分，圆中一段弧及过该弧两端点的半径围成的图形称为扇形；由圆得弦及所对的弧围成的图形称为弓形.设圆的半径为r ，则圆的周长为2,C r π=面积2.S r π=若扇形的半径为r ，弧所对的圆心角为,n 则扇形弧长为,180n r l π=扇形周长2,180nC r r π=+面积2.360n r S π=弓形面积则需要考虑弧所对的是优弧还是劣弧，如图1-1，弓形ADB 的面积,ADB AOB S S S ∆=+弓形的周长C =弧长+弦长.由圆、扇形、弓形等构成的图形面积或周长计算通常需要一定技巧，处理这类问题的手段是分解组合、等积变形等等.例1 如图1-2，,AB CD 是O 的两条互相垂直的直径，且2,AB =以点B 为半径画弧AE 交CD 延长线与点,E 又四边形EFGO 为正方形，求阴影部分的面积.分析将图形分割为AED 区域和DEFGB 区域，其中AED 区域的面积等于扇形ABE 的面积减去扇形AOD 的面积及OBE ∆的面积之和.解注意到,BA BE =且EO 垂直平分,AB 故ABE ∆为正60,ABE OE AB ∠=== 所以ADE ABE AOD OBE S S S S ∆=--CODBAE FGAC2342DEFGB EFGO DOB S S S ππ=--=-2434ππ=-=-故362S π=+-例2 如图1-3.正方形ABCD 的边长为,a 分别以,,,A B C D 为圆心，,a 为半径画弧，求四条弧所围成的阴影部分面积.解如图1-3将正方形各部分进行分割，面积相等区域用相同的字母表示，于是 244x y z a ++= ① 232.4a x y z π++=②另外，设以点,A D 为圆心的弧交于点,E 则,AE DE AD ADE ==∆为正三角形。

所以222222.6434a a x y z a a ππ++=⨯-=- ③由①②③解得：2(16z a π=-于是22243)3S a z a π=-=+说明此题关键是发现ADE ∆为正三角形，因此，请读者在解决问题时宜用心掘潜在条件.例3 如图1-4，扇形的半径为20，圆心角为144,,,,,,,B C D E F G H 是扇形弧线八等分点，求阴影部分的面积之和.BACD分析合理分割，小心拼接解连接OE 交DF 与点,M 交GC 与点,J 交HB 于点,K 交AI 与点,N 连接OF 与AI 与点,Q 连接OG 交HB 于点,p 连接.OH易证,,QNMF IQO OFM ION S S ∆≅∆=从而区域IHGFQ 为公布部分，故IOF FMNI S S = 又,GJO OKH ∆≅∆所以又区域GHP 为公共部分，故GHKJ HOG S S = 从而区域FMNI 中，23636040.IOF HOG IOG S S S S r ππ=-===由于对称性，于是在区域AIFD 中，80.S π=例4 在一个三边长为50,120,130的三角形内部与外部分别取出与三角形边上至少有一点的距离为2的所有点，求所有这些点构成的区域的面积.解依题意得，所求面积区域为图1-5中111A B C ∆的外围部分面积.ABC ∆的三个顶点在一起处各有一个小扇形，半径均为2，合在一起恰好为2的圆，故图中ABC ∆外部面积212(50120130)26004.S ππ=⨯+++⨯=+其次，易知，111A B C ∆ABC ∆，且共内心，内切圆半径相差2，由于ABC ∆的内切圆半径为5012013020,2+-=故111A B C ∆的内切圆半径为18.所以 11111181100811008115012010022430.A B C ABC A B C ABC S S ∆∆∆=∆=⨯=⨯⨯⨯=例5 在边长为1的正五边形ABCDE 内，去掉所有与各点距离小于1，求余下部分面积.分析关键是确定余下部分形状.解如图1-6所示，分别以,,,,A B C D E 为圆心，以1为半径画弧，这些弧围成一个“曲边五边形”,MNPQR 其余的部分由五个等积的形如“曲边三角形” NBC 的图形组成.注意到曲边三角形NBC 与扇形NDC 的面积之和等于DNC ∆与扇形NCB 的面积之和，所以所求余下面积之和，5()310860605()436036046DNC NCB NDC S S S S πππ∆=+--=+-=-例6 已知正方形和三角形都外切于半径为1的圆，求证：正方形和三角形重叠部分且在圆的外部区域面积大于0.34.证明当三角形的边与正方形所在边的直线不重合或者平行时，则三角形的边必将正方形减去一个角，此角BEAC ACB ODE F在重叠部分之外，先考虑部分面积的情况. 如图1-7 O 切正方形的边长与点,,E F ABC ∆与点,D 连接,,,,,OE OB OD OC OF 则四边形OEAF 为正方形.设,,1,1,AB x AC y BD x CD CF y ===-==-故有Rt ABC ∆中有222(11)x y x y -+-=+22()22(220, 1.xy x y xy x y x y +=++=+≥+-<<>）2121).2ABC S xy ∆=≤ 由于三角形最大边最多截去正方形三个“角”，从而三角形与正方形重叠面积至少为3,ABC S S ∆-若符合题意得区域面积为,S 则2223231)150.34.ABC S S S Sππ∆≥--≥-⨯-⨯=->证明正方形与三角形重叠部分的面积不可能等于5,但可无限接近. 习题11. ,,90,Rt ABC AC BC C ∆=∠=点D 在AB 上，以点A 为圆心，AD 为半径画弧交BC 交于点,E AC 的延长线与,F 若图中两个阴影部分面积相等，求:.AD DB2.在一块周长为500米的三角形草坪周围修筑一条宽1米的小路，且路的任何一处至少与草坪的某处距离为1米，求路的占地面积.3. AB 是半圆O 的直径，作OD AB ⊥交半圆O 与点,D 分别以点,A B 为圆心，AB 为半径画弧交,AD BD 延长线与,,F E 再以点D 为圆心，DE 为半径画弧，连接,E F ,若2,AB =求图中阴影部分面积.4.直角三角形,2,90,ABC AC CB C ==∠=将ACB ∆绕C 顺时针转90,求AB 扫过的区域面积.5.将一枚半径为1cm 的硬币置于n 边形内，硬币可在里面任意移动，但不可超越边界，求正n 边形内硬币不能接触到部分面积.6. 正三角形的边长为a ，过每两个顶点及中心O 在三角形内作弧，求阴影部分的面积S 阴.7.正三角形的边长为2a为半径画圆，求:圆的公共部分面积.8.ABC ∆的三条边, AB c BC a CA b ===,，作ABC ∆的内切圆，再作此内切圆的三条切线分别平行,,,AB BC CA 又得到三个小三角形，再作这三个小三角形的内切圆，求这四个圆的面积之和.习题11.区域ADEC 是扇形DAF 与ACB ∆公共部分，若图中阴影部分面积相等，2222221451,,2,,,2360482ABC DAF AD AD S S AC AD AC AB AB AD AB DB πππ∆======FEABCDOABC2.依题意，路的占地面积由三个矩形和三个扇形组成，三个矩形可拼成一个长500米宽1米的矩形，三个扇形正好拼成一个半径为1米的圆，从而占地面积3.250011(500)S ππ=⨯+⨯=+4.边AB 扫过的区域即图中的阴影部分，它由两个弓形ADB 和BEF 及曲边三角形DBE 组成，故2221113224 2.2242S πππ=⨯-⨯⨯+-⨯=-5.将各顶点处不能接触到部分拼合在一起，围成一个边心距为1cm 的正n 边形，但除去半径为6.连接,,OB OC 作21,.2OBC OH BC S a ∆⊥=⨯=设弧BOC 的圆心为1,O 由垂径定理得1,O B =从而扇形1BO C 中减去1BOCO 得到两个小弓形，两个小弓形恰好拼成“三叶玫瑰”中的一片叶子，所以213()233OBC S a S π∆⎡⎤=⨯-⎢⎥⎣⎦=222213.9632a a a a ππ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦ 7.由于对称性，可将图中各部分面积分别用,,x y z 表示，相同字母表示面积相等，易知222133...,2)...63x y z x y z a ππ++=++==注意到222222)(2),BN CN a BC +=+==故,BN NC ⊥从而不难知道MN 垂直平,45,BC NBM BNM ∠=∠=22224512()236022NBD NBM y z S S a a a ππ∆⎡⎤+=-=-=-⎢⎥⎣⎦解得，()262a z π=+8. 8.设ABC ∆的面积为S ，半周长为p ，则11AB C ∆的半周长为22, ,p a QB A q -∆的半周长为p b -,33CA B ∆的半周长为,p c -则ABC ∆的内切圆半径Sr P=，又 112233ABCAB C AB C AB C ∆∆∆∆，从而1111212,AB C AB C S p a p a S S r S p p a p ∆∆⎛⎫--===⋅ ⎪-⎝⎭同理2222A BC S p b r S p bp ∆-==⋅-，3332A B C S p cr S p c p ∆-==⋅-，故 ()()()()()222212322222444222241S r r r r p a p b p c S p p p p ab c S p πππ=+++⎡⎤---=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦++=总又()()()2,S p p a p b p c =--- 故S =总()()()()2223p a p b p c a b c p π---++，这里.2a b cp ++=（第7题图）（第8题图）D CBAMA BC。

扇形ppt课件

04
在自然界中，许多植物的形状和纹理呈现扇形特征，如银杏叶、向日葵等。
02
扇形的性质与定理
弧长公式
总结词
弧长公式是计算扇形弧长的关键公式，它表示了圆心角与弧长之间的关系。
详细描述
弧长公式为 L = θ/360° × 2πr，其中 L 是弧长，θ 是圆心角，r 是半径。这个公式用于计算给定圆心角和半径的扇形的弧长。
详细描述
圆心角越大，扇形的弧长越长。这是因为圆心角决定了扇形在圆周上占据的比例，从而影响其对应的弧长。
圆心角与扇形面积的关系
总结词
圆心角是影响扇形面积的重要因素，随着圆心角的增大，扇形的面积也会相应增加。
详细描述
当圆心角增大时，扇形在圆中所占的比例增大，导致其面积增加。因此，通过圆心角可以计算出对应的扇形面积。
03
扇形的作图与计算
已知圆心角作扇形
总结词
通过给定的圆心角，我们可以确定扇形的角度大小，进而画出扇形。
详细描述
首先，我们需要确定圆心角的大小，这通常以度数表示。然后，我们可以使用这个圆心角来计算扇形的角度大小。在PPT课件中，我们可以使用绘图工具绘制一个圆，然后使用圆规和直尺等工具，根据圆心角的大小，从圆心出发，绘制出扇形的两条半径。最后，连接这两条半径的端点，形成扇形的弧线。
06Байду номын сангаас
扇形与其他图形的比较
与圆、椭圆、矩形的比较
与圆的比较
圆是所有点距离中心点距离相等的形状，而扇形是圆的一部分，具有圆的部分特性，如对称性和
弧度。
与椭圆的比较
椭圆是两个焦点之间的所有点的集合，其形状比圆更复杂，而扇形与椭圆在某些方面相似，如对称性和弧度，但在形状上更为简

6、弧长、弓形、扇形、圆锥

6、弧长、弓形、扇形、圆锥【知识要点】1．弧长公式：半径为R 的圆，其周长是R π2，将圆周分成360份，每一份弧就是1o的弧，1o弧的弧长应是圆周长的3601，而为1803602R R ππ=，因此，on 的弧的弧长就是180R n π，于是得到公式：)(180代表弧长l Rn l π=。

2．（1）扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形（如图）。

（2）扇形的周长：（3）扇形的面积：如图，阴影部分的面积即为扇形OAB 的面积。

S 扇形=)(3602为扇形圆心角的度数为半径，n R R n π 由上面两公式可知S 扇形=213602n R lR π=．可据已知条件灵活选用公式。

3．弓形的面积（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S 弓形=S 扇形-S △OAB 。

（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S 弓形=S 扇形+S △OAB 。

4．圆锥的侧面展开图是扇形。

【典型例题】例1．（1）如果一段弧的长度等于半径，则这段弧所对的圆心角的度数一定（）A 、小于60oB 、等于60oC 、大于60oD 、无法确定（2）．如图所示的是五个半圆，邻近的两半圆相切两只小虫同时出发，以相同的速度从A 点到B 点，甲虫沿1ADA 、12A EA 、13A FA、3A GB 路线爬行，乙虫沿ACB 路线爬行，则下列结论中，正确的是（） A 、甲先到B 点 B 、乙先到B 点 C 、甲、乙同时到B 点D 、无法确定（3）一个扇形如图所示，半径为10cm ，圆心角为270o，用它做成一个圆锥的侧面，那么圆锥的高为 cm 。

例2．已知：如图所示，⊙O 中AB 的长度为4cm π，它所对的圆心角为120o，求弦AB 的长．ABl R l OB OA +=++2例3．已知：如图所示，∠AOB =60o，与⊙1O 与⊙O 、OA 、OB 分别相切于C 、D 、E ，求证：AB的长等于⊙1O 周长的一半．例4．若一个扇形的半径等于一个圆的半径的3倍，且它们的面积相等，则这个扇形的圆心角为多少？例5．如图所示，等腰直角三角形ABC 的斜边4AB =，O 是AB 的中点，以O 为圆心的半圆分别与两腰相切于D 、E ．求圆中阴影部分的面积．例6．如图10所示，已知圆锥的母线AB=6，底面半径2=r ，求圆锥的侧面积以及圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角.·O 1·O AB CDEB图10AB随堂小测1．在两个同心圆中，两条半径所截得的弧长的比一定等于（）A 、两心角的度数比B 、两条半径的比C 、两圆半径的平方比D 、以上都不对2．若圆上一段劣弧所对的弦长等于圆的半径R ，R=1，那么劣弧和弦围成的弓形面积为（）A、16π-B 、0.09CD 、16π3．如图所示，两个同心圆中大圆的弦AB 与小圆相切于点C ，若AB =4，则图中圆环的面积为（） A 、16π B 、4π C 、16D 、2π4．如图所示，矩形ABCD 中，AB =1，AD =，以BC 的中点E 为圆心的与AD 相切于点P ，则图中阴影部分的面积为（）． A 、23π B 、34πC D 、3π5．小明要制作一个圆锥模型，其侧面是一个半径为9cm ，圆心角为240o的扇形纸板制成的，还需要一块圆形纸板做底面，那么这块圆形板的直径为（）A 、15cmB 、12cmC 、10cmD 、9cm 6．已知100o的圆心角所对的弧长l 为5cm π，则这个圆的半径R= cm ．7．两条弧的长度相等，它们的半径之比为1:5，则它们所对的圆心角度数的比为． 8．已知弓形的弧所对的圆心角为60o，弓形的弦长为8，则弓形的面积为．9．一扇形的面积等于一圆的面积，且扇形半径是圆的半径的2 10．如图12，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥底面周长为32m ，母线长7m ，为防雨需要在粮仓顶部铺上油毡，则共需油毡 m 2。

人教版九年级数学上册《弧长和扇形面积》圆PPT课件(第1课时)

（2）弧长单位和半径单位一致.
创设情境
探究新知
应用新知
巩固新知
做一做
弧长公式
：
l=
π
180
1.在半径为24 cm的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 4π cm，
60°的圆心角所对的弧长为 8π cm，120°的圆心角所对的弧
长为
16π cm.
2.半径为6 cm的圆中，75°的圆心角所对的弧长是 2.5π cm；
D．80°
，扇形OAB的面积为15π，则
(
巩固新知
π，半径是6，那么此扇形的
AB 所对的圆心角是（ B ）
课堂小结
布置作业
A．120°
B．72°
C．36°
D．60°
创设情境
随堂练习
3．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水
探究新知
面高0.9 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）.
线，垂足为D，交
于点C，连接
O●
巩固新知
课堂小结
布置作业
AC.
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
∴OD=OC-DC=0.3（m）.
∴OD=DC.
又AD⊥DC，
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
A
D
C
B
创设情境
典型例题
【例2】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，
探究新知
圆心角
有关，
创设情境
典型例题
【例1】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，
探究新知
再下料，试计算图所示管道的展直长度L (结果取整数) .
A

扇形弓形和面积的计算

扇形弓形和面积的计算扇形、弓形和面积的计算扇形弓形和面积的计算是几何学中的基本问题之一。

在解决这个问题时，我们需要了解扇形和弓形的定义、性质以及计算公式。

本文将详细介绍扇形和弓形的概念，并给出计算它们的面积的方法。

一、扇形的定义和性质：扇形是指以一个圆心角为度数，且半径固定的圆的一部分。

它的边界由圆心、半径和两条半径所夹的弧组成。

扇形在日常生活中经常出现，比如钟面、风扇等。

扇形面积的计算公式为：扇形面积 = (圆心角 / 360°) ×圆的面积其中，圆心角是扇形所对应的圆的圆心的角度，圆的面积是指整个圆的面积。

二、弓形的定义和性质：弓形是指以一条圆周弧为边界的封闭区域，与此同时，它还与圆心有关。

弓形可以理解为一个扇形减去一个三角形。

弓形面积的计算公式为：弓形面积 = 扇形面积 - 三角形面积其中，扇形面积的计算公式我们已经在上面提到过了，而三角形面积可以通过以下公式计算：三角形面积 = (底边长 ×高) / 2有了以上的定义和性质，我们可以通过以下步骤来计算扇形和弓形的面积：步骤一：确定扇形或者弓形所对应的圆的半径和圆心角。

步骤二：根据上述给出的公式计算扇形的面积。

步骤三：如果题目要求计算的是弓形的面积，则根据上述给出的公式计算三角形的面积。

步骤四：将步骤三得到的三角形的面积从步骤二得到的扇形的面积中减去，即可得到弓形的面积。

需要注意的是，计算面积时所用的单位一定要一致，比如长度单位和面积单位要统一。

例如，对于一个半径为5cm的扇形，其圆心角为60°，我们可以按照以下步骤计算其面积：步骤一：半径r = 5cm，圆心角θ = 60°。

步骤二：扇形的面积= (60° / 360°) × π × r² = (1/6) × 3.14 × 5² = 13.09cm²（保留两位小数）。