离散数学格与布尔代数优秀课件
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11%20布尔代数与格ppt
19
在格中定义运算
在格中可以定义如下的运算：
“保联”：x,yS, x⋁y=lub{x,y}
“保交”：x,yS, x⋀y=glb{x,y}
20
偏序格的例子
({1,2,3,4,6,8,12,16,24,48}, | )
x⋀y=gcd(x,y), x⋁y=lcm(x,y) x⋀y=x⋂y, x⋁y=x⋃y x⋀y=min{x,y}, x⋁y=max{x,y}
9
布尔恒等式（1）
等 式 x=x x+x = x xx = x x+0 = x x1 = x x+1 = 1 x0 = 0 x+y = y+x xy = yx 名 称 双重补律 幂等律 同一律
支配律
交换律
10
布尔恒等式（2）
等 式 x+(y+z)=(x+y)+z x (yz)=(xy) z x+(yz)=(x+y)(x+z) x (y+z)=xy +x z ( x y) = x + y (x+y) = x y x+(xy)=x x (x+y)=x x + x =1 x x =0 名 称 结合律 分配律 德摩根律 吸收律 补律
29
a*b即{a,b}的最大下界
注意：a◦b=b 当且仅当 a*b=a，因此aRb a*b=a
a*b即{a,b}的下界
(a*b)*a=a*(a*b)=(a*a)*b=a*b， (a*b)Ra (a*b)*b=a*(b*b)=a*b，(a*b)Rb
a*b即{a,b}的最大下界
格与布尔代数课件2
= {y | y≤x1} ∩{y | y≤x2} = f(x1) ∧2 f(x2) f (x1∨1x2) = f (max{x1,x2}) = {y | y≤max{x1,x2}}
= {y | y≤x1} ∪ {y | y≤x2} = f(x1) ∨2 f(x2)
存在一个从A1到A2的映射f，使得对 x1,x2 A， 有f(x1∨1x2)=f(x1)∨2f(x2)，f(x1∧1x2)=f(x1)∧2f(x2) ∴f 是 A1 到 A2 的格同态。
吸收律：a∨(a∧b) = a、a∧(a∨b) = a
证明：幂等律 ∵ a≤a，∴ a是a的上界，而a∨a是a的最小上界， ∴a∨a≤a ，又 ∵ a≤a ∨a，
由反对称性得：a∨a = a 由对偶原理得，a∧a = a
第15页，共28页。
证明：吸收律 ∵ a ≤a a ∧b ≤a ∴ a∨(a ∧ b)≤a∨a， a∨(a ∧ b)≤a
解：< I+ , D>是格 ∵整除关系是偏序关系，对a,bI， a、b的最小上界等于a、b的最小公倍数， a、b的最大上界等于a、b的最大公约数。
第3页，共28页。
< P(S) , > 是格
∵子集关系是偏序关系，对a,b P(S)，
a、b的最小上界等于a∪b，
a、b的最大上界等于a∩b。
<<=S{S<n61, ,D,1D>>>,是<2格,2，>,<偏3,序3>关,<系1,6的>,哈<1斯,2>图,<如1,下3>1：,2<2,6>,<3,6>}
{a,b,c}
a
{a,b} {a,c} {b,c}
= {y | y≤x1} ∪ {y | y≤x2} = f(x1) ∨2 f(x2)
存在一个从A1到A2的映射f，使得对 x1,x2 A， 有f(x1∨1x2)=f(x1)∨2f(x2)，f(x1∧1x2)=f(x1)∧2f(x2) ∴f 是 A1 到 A2 的格同态。
吸收律：a∨(a∧b) = a、a∧(a∨b) = a
证明：幂等律 ∵ a≤a，∴ a是a的上界，而a∨a是a的最小上界， ∴a∨a≤a ，又 ∵ a≤a ∨a，
由反对称性得：a∨a = a 由对偶原理得，a∧a = a
第15页，共28页。
证明：吸收律 ∵ a ≤a a ∧b ≤a ∴ a∨(a ∧ b)≤a∨a， a∨(a ∧ b)≤a
解：< I+ , D>是格 ∵整除关系是偏序关系，对a,bI， a、b的最小上界等于a、b的最小公倍数， a、b的最大上界等于a、b的最大公约数。
第3页，共28页。
< P(S) , > 是格
∵子集关系是偏序关系，对a,b P(S)，
a、b的最小上界等于a∪b，
a、b的最大上界等于a∩b。
<<=S{S<n61, ,D,1D>>>,是<2格,2，>,<偏3,序3>关,<系1,6的>,哈<1斯,2>图,<如1,下3>1：,2<2,6>,<3,6>}
{a,b,c}
a
{a,b} {a,c} {b,c}
离散数学课件13.4布尔代数
有限布尔代数的表示定理
定理13.11 若B是有限布尔代数,则 B含有2n个元(n∈N), 并且B与<P(S),∩,∪,~,,S>同构, 其中S是一个n元集合.
举例
格S12,gcd.lcm是布尔代数吗? 解: S12={1,2,3,4,6,12}的元素个数6, 不是2的整数幂, 故不是布尔代数. 不难看出2没有补元,因为 2∨x=lcm(2,x)=12当且仅当 x=12, 而12的补元是1而不是2.
例
集合代数<P(S),∩,∪,~,,S>是 布尔代数.
开关代数<{0,1},∧,∨,￢,0,1>是 布尔代数,其中∧为与运算,∨为或 运算, ￢为非运算.
布尔代数有以下性质.
定埋13.10 设<B,∧,∨,',0,1>是布尔代数, 则有:
a∈B,(a’)’＝a(双重否定律), a,b∈B, (a∨b)'=a'∧b'
布尔格、布尔代数
定义13.12 如果格<L,∧,∨,0,1>是有 补分配格,则称L为布尔格,也叫做布 尔代数. 由于布尔代数L中的每个元都有唯一 的补元,求补运算也可以看成是L中的 一元运算. 因此,布尔代数L可记为<L,∧,∨,',0,1>, 其中'表示求补运算.
布尔代数的等价定义
定义13.13(公理化定义): 有两个二元运算的代 数B,*, 称为布尔代数,如果对任意元素 a,b,cB,成立
•此类布尔表达式可用带3个基本元件的电路来实 现.3个基本元件是:
①反相器
x
x’
②与门
x xy
y
③或门
x xy
y
实例之一
•实例1: 三人委员会表决某个提案,如有两张赞 成票即获通过,实现上述过程的表决机器的控制 电路如下图所示:
离散数学 格与布尔代数共89页
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
离散数学 格与布尔代数
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
中北大学离散数学第六章格和布尔代数分析
证明：（反证法）设有两个全上界a和b，则由定义 a≤b，且b≤a，由“≤”的反对称性， a＝b。
[定义]设<L,≤>是一个格，格中存在全上界和全下 界，则称该格为有界格。
16
§6.3 有补格
[定理]如果<L,≤>是有界格，全上界和全下界分别 是1和0，则对任意元素aL，有： a1=1a=1 ，a1=1a=a， a0=0a=a ，a0=0a=0。
证明：因为1≤a1， 又因(a1)L且1是全上界，∴a1≤1， ∴ a1=1。由交换律：1a＝a1=1。 因为a≤a，a≤1，∴a a≤a1，即：a≤a1， 又a1≤a， ∴ a1=a。仿此可得另两式。
17
§6.3 有补格
[定义]设<L,≤>是一个有界格，对于L中的一个元素 a，如果存在bL，使得ab=1和ab=0，则称元素 b是元素a的补元。
6
§6.1格的概念
(2)对格<L,≤>中任意a和b，有a≤ab及ab≤a。 (3)<L,≤>是格。对任意a,b,c,dL，如a≤b，
c≤d，则ac≤ bdபைடு நூலகம் ac≤bd
(4)（交换律）交和并运算是可交换的。 (5)（结合律）交和并运算是可结合的。
7
§6.1 格的概念
(6)（幂等律）对L中每一个a，有aa=a，aa=a。
2
§6.1 格的概念
1.偏序集合格
L,
[定义]格是一个偏序集合
，其中每一对元素
a,b L都拥有一个最小上界和最大下界。通常用
a b表示a和b的最大下界，用 a b 表示a和b的最 小上界。即：
GLB{a,b} a b ——称为元素a和b的保交运算，
LUB{a,b} a b——称为元素a和b的保联运算。
[定义]设<L,≤>是一个格，格中存在全上界和全下 界，则称该格为有界格。
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§6.3 有补格
[定理]如果<L,≤>是有界格，全上界和全下界分别 是1和0，则对任意元素aL，有： a1=1a=1 ，a1=1a=a， a0=0a=a ，a0=0a=0。
证明：因为1≤a1， 又因(a1)L且1是全上界，∴a1≤1， ∴ a1=1。由交换律：1a＝a1=1。 因为a≤a，a≤1，∴a a≤a1，即：a≤a1， 又a1≤a， ∴ a1=a。仿此可得另两式。
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§6.3 有补格
[定义]设<L,≤>是一个有界格，对于L中的一个元素 a，如果存在bL，使得ab=1和ab=0，则称元素 b是元素a的补元。
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§6.1格的概念
(2)对格<L,≤>中任意a和b，有a≤ab及ab≤a。 (3)<L,≤>是格。对任意a,b,c,dL，如a≤b，
c≤d，则ac≤ bdபைடு நூலகம் ac≤bd
(4)（交换律）交和并运算是可交换的。 (5)（结合律）交和并运算是可结合的。
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§6.1 格的概念
(6)（幂等律）对L中每一个a，有aa=a，aa=a。
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§6.1 格的概念
1.偏序集合格
L,
[定义]格是一个偏序集合
，其中每一对元素
a,b L都拥有一个最小上界和最大下界。通常用
a b表示a和b的最大下界，用 a b 表示a和b的最 小上界。即：
GLB{a,b} a b ——称为元素a和b的保交运算，
LUB{a,b} a b——称为元素a和b的保联运算。
离散数学格与布尔代数
<L, > <L, , *>
§7.1 格
例 < P(S) ， >是格 表示为<P(S), , * > 又可表示为< P(S) ,∪,∩>
例 <Z+,≤>,或 <Z+,|> <Z+, , * > <Z+, LCM,GCD>
§7.2 格——代数系统
格〈L，≤〉中自然存在两个运算 和 * ，从而 派生出一个代数系统〈L，，*〉
6
<S15,|>,
2
2019/10/5
30
10
15
3
5
1
§7.1 格
例 判断图中的哈斯图表示的偏序集是否构成格,说明为什么。
d c
b a
(a)
e d
c b
a (b)
f
d
e
d
e
c
b
c
a (c)
a
b
(d)
e
c
d
a
b
(e)
2019/10/5
§7.1 格
例 设Z+为正整数集合，对于a,b Z+，关系“≤”定义为： a≤b当 且仅当a整除b。则偏序集<Z+,≤>构成格，
并、交 运算的性质
定理１ 设〈L，≤〉是一个格，并运算与交运算 * 满足 如下性质：
L1 a a ＝ a
a*a＝a
（幂等律）
L2 a b ＝ b a a * b ＝ b * a （交换律）
L3 （a b） c ＝ a （b c）
§7.1 格
例 < P(S) ， >是格 表示为<P(S), , * > 又可表示为< P(S) ,∪,∩>
例 <Z+,≤>,或 <Z+,|> <Z+, , * > <Z+, LCM,GCD>
§7.2 格——代数系统
格〈L，≤〉中自然存在两个运算 和 * ，从而 派生出一个代数系统〈L，，*〉
6
<S15,|>,
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§7.1 格
例 判断图中的哈斯图表示的偏序集是否构成格,说明为什么。
d c
b a
(a)
e d
c b
a (b)
f
d
e
d
e
c
b
c
a (c)
a
b
(d)
e
c
d
a
b
(e)
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§7.1 格
例 设Z+为正整数集合，对于a,b Z+，关系“≤”定义为： a≤b当 且仅当a整除b。则偏序集<Z+,≤>构成格，
并、交 运算的性质
定理１ 设〈L，≤〉是一个格，并运算与交运算 * 满足 如下性质：
L1 a a ＝ a
a*a＝a
（幂等律）
L2 a b ＝ b a a * b ＝ b * a （交换律）
L3 （a b） c ＝ a （b c）
离散数学课件_7 格与布尔代数
布尔代数可用相互独立的亨廷顿公理给出, 即一个代数系统 (L, ∧,∨,-,0,1)是布 尔代数当且仅当交换律、分配律、同一律 及互补律成立;
有限布尔代数同构于某个集合上的幂集构 成的布尔代数；
两个有限布尔代数同构当且仅当它们所含 的元素个数相同.
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5 2019/12/4
本章小结
第七章 格与布尔代数
布尔代数是计算机科学最重要的基础理论之 一,它在开关网络及数字电路的设计上有广 泛深入的应用. 布尔代数是计算机科学工作者必备的基础知 识，应掌握格与布尔代数的一般理论和方法， 除§3 Stone定理的证明细节可根据具体情 况删减外，其他内容应很好地掌握.
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1 2019/12/4
本章我们介绍了代数格、偏序格，并证 明了这两种格的等价性，此外我们还介 绍了对偶原理、分配格、有补格、布尔 代数等概念.布尔代数是数字逻辑的基 础、在学习数字逻辑时会更深刻地体会 到布尔代数在计算机中的应用.
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6 2019/12/4
第一节 格的概念(1)
格有两种等价的定义:一种是从偏序集 的角度给出格的定义，这种定义可以借 助哈斯（Hasse）图来表示，因而比较 直观，易于理解，这样定义的格称为偏 序格；另一种是从代数系统的角度来给 出格的定义，这种定义方法我们在上一 章的群、环的定义中已有所体会，用代 数系统的方法定义的格称为代数格.
主要概念有:有界格、余元素(或补元素) 、 有余格、分配格等.
主要结论有: 1.格的基本性质(见教材定理7.2.1); 2.序集构成的格是分配格; 3.在有界分配格中,若某个元素有补元,
则补元惟一.ຫໍສະໝຸດ 返回本章首页4 2019/12/4
第三节 布尔代数
有限布尔代数同构于某个集合上的幂集构 成的布尔代数；
两个有限布尔代数同构当且仅当它们所含 的元素个数相同.
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5 2019/12/4
本章小结
第七章 格与布尔代数
布尔代数是计算机科学最重要的基础理论之 一,它在开关网络及数字电路的设计上有广 泛深入的应用. 布尔代数是计算机科学工作者必备的基础知 识，应掌握格与布尔代数的一般理论和方法， 除§3 Stone定理的证明细节可根据具体情 况删减外，其他内容应很好地掌握.
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1 2019/12/4
本章我们介绍了代数格、偏序格，并证 明了这两种格的等价性，此外我们还介 绍了对偶原理、分配格、有补格、布尔 代数等概念.布尔代数是数字逻辑的基 础、在学习数字逻辑时会更深刻地体会 到布尔代数在计算机中的应用.
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6 2019/12/4
第一节 格的概念(1)
格有两种等价的定义:一种是从偏序集 的角度给出格的定义，这种定义可以借 助哈斯（Hasse）图来表示，因而比较 直观，易于理解，这样定义的格称为偏 序格；另一种是从代数系统的角度来给 出格的定义，这种定义方法我们在上一 章的群、环的定义中已有所体会，用代 数系统的方法定义的格称为代数格.
主要概念有:有界格、余元素(或补元素) 、 有余格、分配格等.
主要结论有: 1.格的基本性质(见教材定理7.2.1); 2.序集构成的格是分配格; 3.在有界分配格中,若某个元素有补元,
则补元惟一.ຫໍສະໝຸດ 返回本章首页4 2019/12/4
第三节 布尔代数
离散数学教学课件 (19)
❖ 引理：设[A;+,·]为环,若对任aA,a2=a, 则必有2a=0。
❖ 给定的有单位元1的环[B;+,·],若它的每个 元素都是幂等元,且定义任a,bB,a'=1-a, ab=a+b-a·b,ab=a·b,可以得到一个代 数系统[B;,,'],可以验证它满足H1~H4, 因此所定义的代数系统[B;,,']是布尔代 数。
❖ (H4)a'B,使aa'=0,aa'=1。 ❖ 则[B;,,']为布尔代数。
❖[B; ,,']为代数系统,,,为定义在B 上的二元运算,’为定义在B上的一 元运算, 满足条件(H1)~(H4),则称B为
布尔代数。
❖ 二、布尔环
❖ 定义:在布尔代数[B;,,']中,定义B上的 二元运算+及·如下:任a,bB
❖
a(bc)=(ab)c;
❖ L4吸收律:a(ab)=a, a(ab)=a。 ❖ 分配格,满足分配等式D1~D2,
❖ D1:a(bc)=(ab)(ac);(ab)(ac)=a(b c)
❖ D2:(ab)(ac)(bc)=(ab)(ac)(bc)
❖ 有补格:一定是有界格,每个元素有补元, 满足B1、B2和C1~C3,
❖ a+b=(ab')(a'b),a·b=ab
❖ 容易验证在一般的布尔代数[B;,,']上定 义的[B;+,·]是可交换的有单位元环。我 们称这样的环为布尔环
❖ 定义16.12:[B;,,']为布尔代数,如上定 义+,·,则有[B;+,·]为环,称此环为布尔环。
❖ 定理16.12:[B;+,·]为布尔环,则对任 aB,a2=a,且2a=0。
❖ 给定的有单位元1的环[B;+,·],若它的每个 元素都是幂等元,且定义任a,bB,a'=1-a, ab=a+b-a·b,ab=a·b,可以得到一个代 数系统[B;,,'],可以验证它满足H1~H4, 因此所定义的代数系统[B;,,']是布尔代 数。
❖ (H4)a'B,使aa'=0,aa'=1。 ❖ 则[B;,,']为布尔代数。
❖[B; ,,']为代数系统,,,为定义在B 上的二元运算,’为定义在B上的一 元运算, 满足条件(H1)~(H4),则称B为
布尔代数。
❖ 二、布尔环
❖ 定义:在布尔代数[B;,,']中,定义B上的 二元运算+及·如下:任a,bB
❖
a(bc)=(ab)c;
❖ L4吸收律:a(ab)=a, a(ab)=a。 ❖ 分配格,满足分配等式D1~D2,
❖ D1:a(bc)=(ab)(ac);(ab)(ac)=a(b c)
❖ D2:(ab)(ac)(bc)=(ab)(ac)(bc)
❖ 有补格:一定是有界格,每个元素有补元, 满足B1、B2和C1~C3,
❖ a+b=(ab')(a'b),a·b=ab
❖ 容易验证在一般的布尔代数[B;,,']上定 义的[B;+,·]是可交换的有单位元环。我 们称这样的环为布尔环
❖ 定义16.12:[B;,,']为布尔代数,如上定 义+,·,则有[B;+,·]为环,称此环为布尔环。
❖ 定理16.12:[B;+,·]为布尔环,则对任 aB,a2=a,且2a=0。
第十二章格与布尔代数-PPT精选.ppt
L4： a∧(a∨b)=a，
a∨(a∧b)=a。（吸Βιβλιοθήκη 律）第十二章 格与布尔代数
12.1 格定义的代数系统 12.2 格的代数定义 12.3 一些特殊的格 12.4 有限布尔代数的唯一性 12.5 布尔函数和布尔表达式
问题
设（A，∨，∧）是具有两个二元运算∨和∧的代数系统 ，并且∨和∧运算适合上节定理3中描述的四个算律L1 、L2、L3与L4。
（A，∨，∧）, 其中∨和∧是A上的两个二元运算，
对于任意的a，b∊A， a∨b等于a和b的最小上界， a∧b等于a和b的最大上界。
称（A，∨，∧）是由格(A，≺)所定义的代数系统。
注意：二元运算∨通常称为并运算，二元运算∧通常称 为交运算，因此， a和b的最小上界，也称a和b的并； a和b的最大下界，也称a和b的交。
对于任意的a，b，c∊A，
L1： a∧a=a，
a∨a=a；
（幂等律）
L2： a∧b=b∧a，
a∨b=b∨a；
（交换律）
L3： (a∧b)∧c=a∧(b∧c)
(a∨b)∨c=a∨(b∨c)； （结合律）
L4： a∧(a∨b)=a，
a∨(a∧b)=a。
（吸收律）
则说（A，∨，∧）是一个格。
例1 (Z+，∨，∧)= (Z+，|)
分配格
定义1 设(A，∨，∧)是一个格， 若对于任意a，b，c∊A，有 a∧(b∨c)= (a∧b)∨(a∧c) a∨(b∧c)= (a∨b)∧(a∨c)
则称(A，∨，∧)是一个分配格。
例 (2A，∪，∩)是一个分配格。
泛下界、泛上界
定义2 设(A，≺)是一个格， 若存在a∊A，对于任意b∊A， a ≺ b， 则称a为泛下界； 若存在e∊A，对于任意b∊A， b ≺ e， 则称e为泛上界。
《格和布尔代数》课件
第二部分：格的基础知识
有限格和无限格
介绍有限格和无限格的概念， 讨论其特点和应用。
笛卡尔积和格的同构
解释格的笛卡尔积以及同构 关系，揭示它们在格理论中 的重要性。
原子性和可分性
详细阐述格的原子性和可分 性，论述它们在实际问题中 的应用价值。
第三部分：布尔代数
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3.2 布尔代数运算
2
系统阐述布尔代数的与、或、非运算，
总结格和布尔代数的重要性及其在学术和实
多研究和应用探索，促进学科的发展与创新。
践中的潜力，并对未来的研究方向进行展望。
《格和布尔代数》PPT课 件
本《格和布尔代数》PPT课件将带您深入了解格和布尔代数的基础知识、运 算规则以及其在现实世界中的重要应用。全方位解析格和布尔代数，帮助您 掌握这一重要数学领域的核心概念与技巧。
第一部分：引言
什么是格和布尔代数？探讨格和布尔代数的定义、特性和相关领域应用，以 及其在数学、计算机科学和工程中的重要性。
以及相关的异或和置位运算。
3
3.1 布尔代数的起源和发展
探索布尔代数的历史渊源与发展轨迹， 重点介绍George Boole对其的贡献。
3.3 布尔代数的完备性和最小化
讲解布尔代数的完备性定理、最小化方 法和卡诺图的应用。
第四部分：格和布尔代数的应用案例
逻辑电路设计
展示格和布尔代数在逻辑电路设 计中的重要应用，以及其在计算 机工程领域的意义。
程序设计中的控制流分析
阐述格和布尔代数在程序设计中 的控制流分析应用，帮助程序员 编写高效的代码。
数据库查询优化
探究格和布尔代数在数据库查询 优化中的关键作用，提高查询效 率和性能。
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于是有 a∨(b∧c) ≤(a∨b)∧(a∨c) 。
由对偶原理得 a∧(b∨c)≥ (a∧b)∨(a∧c) 。
即 (a∧b)∨(a∧c)≤ a∧(b∨c) 。
b c d
由<A,≤>诱导的代数系统。B是A的
非空子集，如果∧
a
和∨在B上封闭，则 称<B, ≤>是<A, ≤>
b
c b
d
e
f e
的子格。
g
a
e
c
a
b f
c
g
d
<C,≤>是<A,≤>的子格。 <A,≤>
<B,≤> <C,≤>
而<B,≤>不是. b∧c=dB, (运算规则要从格<A,≤>中找)
二. 格的对偶原理
界，所以 a∨c≤b∨d。 类似可证 a∧c≤b∧d。 推论：在一个格中，任意 a,b,c∈A，如果b≤c，则
a∨b≤a∨c，a∧b≤a∧c。 此性质称为格的保序性。
3. ∨和∧都满足交换律。即 a∨b=b∨a，a∧b=b∧a 此性质由运算∨和∧的定义直接得证。
4. ∨和∧都满足幂等律。即 a∨a=a a∧a=a 证明：由性质1, a≤a∨a (再证a∨a≤a)
P’: a∨b≥a
{a,b}的最大下界≤a {a,b}的最小上界≥a
三. 格的性质
<A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统。a,b,c,d∈A 1. a≤a∨b b≤a∨b a∧b≤a a∧b≤b
此性质由运算∨和∧的定义直接得证。 2.如果a≤b，c≤d，则 a∨c≤b∨d，a∧c≤b∧d。 证明：如果a≤b，又b≤b∨d，由传递性得 a≤b∨d, 类似由c≤d， d≤b∨d，由传递性得 c≤b∨d, 这说明b∨d是 {a,c} 的一个上界，而a∨c是 {a,c} 的最小上
又由≤自反有a≤a，这说明a是a的上界，而a∨a是a 的最小上界，所以 a∨a≤ a。 最后由≤反对称得 a∨a=a 。
由对偶原理得 a∧a=a
5. ∨和∧都满足结合律。即 (a∨b)∨c =a∨(b∨c)，(a∧b)∧c =a∧(b∧c)
证明：⑴先证明(a∨b)∨c ≤a∨(b∨c) 因 a≤ a∨(b∨c) ， b≤b∨c ≤ a∨(b∨c) 所以 a∨b≤a∨(b∨c) 又 c≤b∨c ≤ a∨(b∨c) 于是有 (a∨b)∨c ≤a∨(b∨c)
b
我们先看右图的例子：
d∨(b∧e)=d∨c=d
a e
d c
(d∨b)∧(d∨e) =a∧e=e 而 d≤e 即
d∨(b∧e) ≤ (d∨b)∧(d∨e)
证明：⑴ 因 a≤a∨b，a≤a∨c 所以 a ≤(a∨b)∧(a∨c)
又因 b∧c≤b≤ a∨b，b∧c≤c≤ a∨c
所以 b∧c ≤(a∨b)∧(a∨c)
a∨b=LUB {a,b} {a,b}的最小上界.Least Upper Bound
a∧b=GLB {a,b} {a,b}的最大下界.Greatest Low格<A,≤>诱导的代数系统. (∨-并,∧-交)
例如右边的格中a∧b=b a∨b=a b∧c=e
a
4. 子格：设<A,≤>是格, <A,∨,∧>是
设<A,≤>是格，≤的逆关系记作≥，≥也是偏序关系。
<A, ≥>也是格，<A,≥>的Hasse图是将<A,≤>的Hasse图
颠倒180º即可。
格的对偶原理：设P是对任何格都为真的命题，如果将
P中的≤换成≥，∧换成∨，∨换成∧，就得到命题P’ ,
称P’为P的对偶命题，则P’对任何格也是为真的命题。
例如：P: a∧b≤a
离散数学格与布尔代数
2.B的最小元与最大元 y是B的最小元y∈B∧x(x∈By≤x) y是B的最大元y∈B∧x(x∈Bx≤y) {2,3,6}的最小元:无 最大元: 6 B如果有最小元(最大元), 则是唯一的。 3.B的下界与上界
24。 36。 12。 ６。
２。 ３。 １。
y是B的下界y∈A∧x(x∈By≤x)
2。
１。
。 １5。
10
3。 5。
１。
1。 4。 3。
是格。
<A,≤>
<B,≤>
<C,≤>
a
b
c
d
e
1
2
3
4
5
6
a
b
c
d
e
这三个偏序集，也都不是格，第一个与第三个是同构的。 因为 d和e无下界，也无最小上界；b,c虽有下界，但无 最大下界。 2,3无最大下界，4,5无最小上界。 2. 平凡格：所有全序都是格，称之为平凡格。
y是B的上界y∈A∧x(x∈Bx≤y)
{2,3,6}的下界:1 上界: 6,12,24,36
4.B的最大下界(下确界)与最小上界(上确界)
y是B的最大下界(下确界)：B的所有下界x,有x≤y。
y是B的最小上界(上确界)：B的所有上界x,有y≤x。
{2,3,6}下确界:1 上确界:6 (B若有下(上)确界，则唯一)
⑵再证 a∨(b∨c)≤(a∨b)∨c 因a≤a∨b ≤(a∨b)∨c； 再由b≤a∨b≤(a∨b)∨c， c≤ (a∨b)∨c 所以
b∨c ≤(a∨b)∨c 于是有 a∨(b∨c)≤(a∨b)∨c 最后由≤反对称得 (a∨b)∨c = a∨(b∨c)
类似可证 (a∧b)∧c =a∧(b∧c) 。
6. ∨和∧都满足吸收律。即 a∨( a∧b) =a， a∧(a∨b) =a。
因为全序中任何两个元素x,y，要么x≤y, 要么y≤x。 如果x≤y，则{x,y}的最大下界为x，最小上界为y。 如果y≤x，则{x,y}的最大下界为y，最小上界为 x 。 即这{x,y}的最大下界为较小元素，最小上界为较大元素.
3. 由格诱导的代数系统
设<A, ≤>是格,在A上定义二元运算∨和∧为:a,b∈A
7-1 格 (Lattice)
一 . 基本概念
1. 格的定义
<A,≤>是偏序集，如果任何a,b∈A,使得{a,b}都有最大
下界和最小上界，则称<A,≤>是格。
右图的三个偏 24。 36。
30。
2。
序集， <A,≤>不是格， 因为{24,36} 无最小上界。
<B,≤><C,≤>
。 12 6。
６。 ２。 ３。
证明：⑴显然有 a≤a∨( a∧b) ⑵再证 a∨( a∧b) ≤a
因 a≤ a ， a∧b ≤a 所以 a∨( a∧b) ≤a 最后由≤反对称得 a∨( a∧b) =a， 类似可证 a∧(a∨b) =a。
7. ∨和∧不满足分配律。但有分配不等式：
a∨(b∧c)≤ (a∨b)∧(a∨c) ，
(a∧b)∨(a∧c)≤ a∧(b∨c) 。