(完整版)二次函数对称性
二次函数的对称性
(一)、教学内容1.二次函数得解析式六种形式①一般式y＝ax2 +bx+c(a≠0)②顶点式（a≠０已知顶点)③交点式(a≠0已知二次函数与X轴得交点）④y=ax２(ａ≠0）（顶点在原点）⑤y=ax２＋c(a≠0) (顶点在y轴上)⑥ｙ=ax2 +ｂx (a≠０) (图象过原点)2.二次函数图像与性质对称轴:顶点坐标:与y轴交点坐标(0,c)增减性:当a＞0时，对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,ｙ随x增大而增大ﻩ当a<０时,对称轴左边，y随x增大而增大;对称轴右边，y随x增大而减小☆二次函数得对称性二次函数就是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为x1, x2 其对应得纵坐标相等那么对称轴:与抛物线y=ax2 ＋ｂx+c(a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y=ａx２-bｘ+c(a≠0)与抛物线y=ax2 +ｂx+c(a≠0）关于x轴对称得函数解析式:y=-ax2–bx-c(a≠0）当a>0时，离对称轴越近函数值越小,离对称轴越远函数值越大；当a＜０时,离对称轴越远函数值越小,离对称轴越近函数值越大;【典型例题】题型 1 求二次函数得对称轴1、二次函数y＝－ｍx+3得对称轴为直线x=３,则m=_＿_____＿。
2、二次函数得图像上有两点(３，-８)与(－5，-8）,则此拋物线得对称轴就是( ) (A) (Ｂ） (C) (D)3、y=２ｘ－４得顶点坐标为___ ___＿_，对称轴为___＿__＿___。
4、如图就是二次函数y＝ａx２+bx＋c图象得一部分,图象过点Ａ(－3,0)，对称轴为x=-１.求它与x轴得另一个交点得坐标( , )5、抛物线得部分图象如图所示,若,则x得取值范围就是( )A、 B、C、或D、或6、如图,抛物线得对称轴就是直线,且经过点(3,0),则得值为 ( ）A、0B、－1C、 1D、２题型2 比较二次函数得函数值大小1、、若二次函数,当x取，(≠)时，函数值相等,则当x取＋时,函数值为( )(A)a＋c （B）a-c （C)-ｃ (D)ｃ2、若二次函数得图像开口向上,与x轴得交点为(4,0),(-2,0）知,此抛物线得对称轴为直线x=1,此时时,对应得y1 与ｙ２得大小关系就是( )Ａ．y1 <ｙ2Ｂ、 y１=y２Ｃ、 y1＞y２Ｄ、不确定点拨:本题可用两种解法yxO–1 13O–1 331解法1:利用二次函数得对称性以及抛物线上函数值y随x得变化规律确定:a>0时，抛物线上越远离对称轴得点对应得函数值越大;a<0时,抛物线上越靠近对称轴得点对应得函数值越大解法2:求值法:将已知两点代入函数解析式,求出a,b得值再把横坐标值代入求出ｙ1 与y２得值,进而比较它们得大小变式１：已知二次函数上两点,试比较得大小变式２:已知二次函数上两点，试比较得大小变式3:已知二次函数得图像与得图像关于y轴对称,就是前者图像上得两点，试比较得大小题型3 与二次函数得图象关于x、y轴对称:二次函数就是轴对称图形，有这样一个结论:当横坐标为x1，x２其对应得纵坐标相等那么对称轴：与抛物线y＝ax2 +bx+c（a≠0）关于y轴对称得函数解析式:y＝ａx２-bｘ＋ｃ(a≠０)与抛物线y=aｘ2+bx+ｃ（a≠0)关于x轴对称得函数解析式:y=-aｘ2 –bx-c(a≠０)１、把抛物线y＝-2x2+4x＋３沿x轴翻折后，则所得得抛物线关系式为____ __＿＿2、与y＝ -3x+关于Ｙ轴对称得抛物线_＿_＿_____＿_____＿3、求将二次函数得图象绕着顶点旋转１80°后得到得函数图象得解析式。
二次函数对称性分析
二次函数对称性分析二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c这样的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一条抛物线。
对于二次函数的对称性分析，有以下几个方面的内容可以展开：一、关于y轴对称:二次函数的图像关于y轴对称，当且仅当a = 0。
这是因为当a = 0时，二次函数变为一次函数，其图像为一条直线，直线与y轴显然是关于y轴对称的。
二、关于x轴对称:二次函数的图像关于x轴对称，当且仅当抛物线的顶点坐标的y值等于c，即f(x) = c。
这是因为顶点是抛物线的最高点或最低点，其对称轴为x轴。
若已知二次函数的标准式（顶点形式）为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标，可以直接得到抛物线关于x轴对称的条件为y = k。
三、关于原点对称:二次函数的图像关于原点对称，当且仅当抛物线的顶点坐标为原点，即(h,k) = (0,0)。
这是因为原点是坐标轴的交点，关于原点对称就是说抛物线与坐标轴的交点在同一直线上。
若已知二次函数的标准式（顶点形式）为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)为顶点坐标，可以直接得到抛物线关于原点对称的条件为k = 0。
四、判定对称性的应用：通过对二次函数的对称性进行分析，可以得到二次函数的一些重要性质。
1. 对称轴的性质：二次函数的对称轴与抛物线的开口方向垂直。
对称轴的方程可以通过两个方法确定：（1）当已知二次函数为标准式f(x) = ax^2 + bx + c时，对称轴的方程为x = -b/(2a)；（2）当已知二次函数为顶点形式f(x) = a(x-h)^2 + k时，对称轴的方程为x = h。
2. 零点的性质：二次函数的图像与x轴的交点称为零点或根。
若二次函数关于x轴对称，则其零点个数为0、2或无穷多个。
当抛物线与x轴相切时，有一个实根；当抛物线与x轴交于两个不同的点时，有两个实根；当抛物线在x轴上方时，无实根。
二次函数的对称性质
二次函数的对称性质二次函数是数学中常见的一类函数，其表达式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像常常呈现出一些对称性质，本文将介绍二次函数的对称轴、顶点和对称中心。
一、二次函数的对称轴对称轴是指二次函数图像上的一条直线，它将二次函数图像分为两部分，对称轴的方程可以通过以下公式确定：x = -b / (2a)公式中的 a 和 b 分别为二次函数的系数。
对称轴与 x 轴垂直，它是二次函数图像上的一条中轴线。
根据对称轴的位置，二次函数图像可以呈现三种情况：1. 当对称轴与 x 轴重合时，二次函数的图像为一条对称于 y 轴的直线。
例如，对于函数 y = x^2，其对称轴方程为 x = 0，图像是一条以原点为对称中心的抛物线。
2. 当对称轴位于 x 轴上方时，二次函数的图像呈现上开口的抛物线形状。
例如，对于函数 y = x^2 + 1，其对称轴方程为 x = 0，即抛物线在 x 轴上方对称。
3. 当对称轴位于 x 轴下方时，二次函数的图像呈现下开口的抛物线形状。
例如，对于函数 y = -x^2 + 1，其对称轴方程为 x = 0，即抛物线在 x 轴下方对称。
二、二次函数的顶点顶点是二次函数图像的最高或最低点，也是对称轴上的一个点。
通过对称轴的方程 x = -b / (2a) 可以求得顶点的横坐标，将其代入二次函数表达式中即可求得顶点的纵坐标。
例如，对于函数 y = x^2 + 2x + 1，其中 a = 1，b = 2，c = 1，根据对称轴的方程可求得 x = -2 / (2*1) = -1，代入函数表达式得到 y = (-1)^2 + 2*(-1) + 1 = 0。
因此，该函数的顶点坐标为 (-1, 0)。
对于上开口的抛物线，顶点为最低点，而对于下开口的抛物线，顶点为最高点。
顶点也可以看作是二次函数的最值点。
三、二次函数的对称中心对称中心是指二次函数图像上的一个点，它在图像上关于对称轴对称。
二次函数的对称问题
（b 不变） （ab 变，c 减）
y=-a(x+h)2-k y=-a(x-h)2+k y=-a(x+h-2m)2+2n-k
（全变） （a 变） （全变，减 2m 加 2n)
6 直线 x=m 对称
y=a(x+h-2m)2+k
（h 变,减 2m）
7 直线 y=n 对称
y=-a(x-h)2 +2n-k
（h 不变，加 2n）
一般式
原二次函数表达式
y=ax2+bx+c
1 x 轴对称Байду номын сангаас
y= -ax2-bx-c
规律 （全变）
顶点式
y=a(x-h)2+k y=-a(x-h)2-k
规律 （h 不变)
2 y 轴对称
y=ax2-bx+c
（b 变 ）
y=a(x+h)2+k
（h 变）
3 原点对称 4 顶点对称
5 点 m，n 对称
y=-ax2+bx-c
二次函数的对称问题
二次函数的对称问题主要分两大类 7 种情况进行讨论，分别是轴（线）对称和点对称。其中轴（线）对称包括关于 X 轴对称、关 于 Y 轴对称、关于直线 x=m 对称和关于直线 y=n 对称；点对称包括关于原点对称、关于顶点对称和关于点 P(m,n)对称。每一种情况再 按二次函数表达式的不同，分一般式和顶点式进行讨论。具体见下表。
二次函数的对称性与单调性
二次函数的对称性与单调性二次函数是一种重要的数学函数，在数学建模、物理学等领域都有广泛的应用。
掌握二次函数的基本性质，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将重点讨论二次函数的对称性与单调性。
一、二次函数的对称性二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
根据对称性的不同，可以分为以下几种情况。
1. 关于y轴对称当a为偶数时，二次函数关于y轴对称。
即若f(x)为二次函数，则有f(-x) = f(x)。
例子：考虑二次函数f(x) = x² - 2x + 1，将x改为-x，则有f(-x) = (-x)² - 2(-x) + 1 = x² + 2x + 1 = f(x)，因此该二次函数关于y轴对称。
2. 关于x轴对称当c = 0时，二次函数关于x轴对称。
即若f(x)为二次函数，则有f(x) = f(-x)。
例子：考虑二次函数f(x) = x² - 4，将x改为-x，则有f(-x) = (-x)² - 4 = x² - 4 = f(x)，因此该二次函数关于x轴对称。
3. 关于原点对称当b = 0时，并且a、c异号，二次函数关于原点对称。
即若f(x)为二次函数，则有f(-x) = -f(x)。
例子：考虑二次函数f(x) = -x²，将x改为-x，则有f(-x) = -(-x)² = -x²= -f(x)，因此该二次函数关于原点对称。
二、二次函数的单调性二次函数的单调性表示函数在定义域上的增减性。
根据二次函数的a值的正负，可以判断其单调性。
1. 当a > 0时，二次函数在定义域上单调递增。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，如果a > 0，则对于任意x₁、x₂，若x₁ < x₂，有f(x₁) < f(x₂)，即函数在定义域上单调递增。
二次函数对称性
（一）、教课内容1.二次函数的分析式六种形式①一般式 y=ax 2 +bx+c(a ≠ 0)②极点式y a( x h)2 k （a≠0已知极点）③交点式y a( x x1 )( x x2 ) （a≠0已知二次函数与X 轴的交点）④2y=ax (a≠0) (极点在原点) 2⑤y=ax +c(a≠0) (极点在y轴上)⑥y= ax2+bx (a≠0) (图象过原点)2.二次函数图像与性质b对称轴：xy2ab 4ac b2极点坐标： (, )2a 4aO x 与 y 轴交点坐标（ 0， c）增减性：当 a>0 时，对称轴左侧， y 随 x 增大而减小；对称轴右侧， y 随 x 增大而增大当a<0 时，对称轴左侧， y 随 x 增大而增大；对称轴右侧， y 随 x 增大而减小☆ 二次函数的对称性x1 x2 二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为 x1, x2其对应的纵坐标相等那么对称轴: x2 与抛物线 y=ax 2 +bx+c( a≠ 0)对于 y 轴对称的函数分析式：y=ax2 -bx+c( a≠ 0)与抛物线 y=ax 2 +bx+c( a≠ 0)对于 x 轴对称的函数分析式：y=-ax 2–bx-c(a≠ 0)当a>0 时，离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大；当a<0 时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大；【典型例题】题型1求二次函数的对称轴1、二次函数 y= 2 的对称轴为直线，则m= 。
x - mx+3 x=32、二次函数y x 2 bx c 的图像上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）（） x 1 （） x 1 （） x 2 （） x 3A B C D3、 y=2x 2 -4 的极点坐标为 ___ _____ ，对称轴为 __________。
4、如图是二次函数y＝ ax ＋bx＋ c 图象的一部分，图象过点A（－，），2 轴的另一个交点的坐标（，3 0对称轴为 x＝－．求它与x）15、抛物线y x2 bx c 的部分图象以下图，若 y 0 ，则 x 的取值范围是（）yA. 4 x 1B. 3 x 13C. x 4 或 x 1D. x 3 或 x 1–1O 1 x 6、如图，抛物线y ax 2 bx c( a 0) 的对称轴是直线x 1，且经过点 P（3，0），则 a b c 的值为（）yA. 0B. －1C. 1D. 23题型 2 比较二次函数的函数值大小–1 O 1 Px31、、若二次函数，当 x 取，（≠）时，函数值相等，则当 x 取+ 时，函数值为（）（A）a+c （B）a-c （C）-c （ D） c2、若二次函数y ax2 bx 4 的图像张口向上，与x轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线 x=1，此时x1 1, x2 2 时，对应的y1与y2的大小关系是（）A ．y1 <y2 B. y 1 =y2 C. y 1 >y2 D.不确立点拨：此题可用两种解法解法 1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y 随 x 的变化规律确立： a>0 时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a<0 时，抛物线上越凑近对称轴的点对应的函数值越大解法 2：求值法：将已知两点代入函数分析式，求出a，b 的值再把横坐标值代入求出y1与y2的值，从而比较它们的大小变式 1：已知(2, q1),(3, q2)二次函数y x22x m 上两点，试比较 q1与 q2的大小变式 2：已知(0, q1),(3, q2)二次函数y x22x m 上两点，试比较 q1与 q2的大小变式 3 ：已知二次函数y ax2bx m 的图像与 y x22x m 的图像关于y轴对称，( 2, q1 ),( 3, q2 ) 是前者图像上的两点，试比较q1与 q 2的大小x 1 x 2二次函数是 轴对称图形 ，有这样一个结论： 当横坐标为 x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴: x2与抛物线 y=ax 2 +bx+c( a ≠ 0)对于 y 轴对称的函数分析式： y=ax 2 -bx+c( a ≠ 0) 与抛物线 y=ax 2 +bx+c( a ≠ 0)对于 x 轴对称的函数分析式： y=-ax 2 –bx-c(a ≠ 0)、把抛物线 y =-2 x 2 x 沿 x 轴翻折后，则所得的抛物线关系式为 ________1 +4 +3 2、与 y= 21x 2-3x+ 25对于 Y 轴对称的抛物线 ________________3、求将二次函数 yx22 x 3的图象绕着极点旋转 180°后获得的函数图象的分析式。
二次函数性质总结
二次函数性质总结1。
定义域、值域：任意的实数都是二次函数的定义域；对任意的实数，在y=x（ t）图象上的任一点P（ x）都有唯一确定的位置。
2。
对称性：二次函数图象关于原点对称。
3。
顶点坐标公式： y=kx+b=kx。
2。
对称性：二次函数图象关于原点对称。
3。
顶点坐标公式：y=kx+b=kx。
4。
奇偶性：若一个二次函数y=kx+b=0，则该函数一定是偶函数，它的图象关于y轴对称，这与奇函数的定义相同。
4。
平移性：设二次函数的解析式为y=kx+b=kx+b，如果将k=0，即可得到原二次函数的图象平行于y轴，因此二次函数图象具有平移性。
5。
周期性：二次函数的图象关于点K=0对称，因此二次函数在[0， K]上单调增加，且其周期为2π（ k=0， 1）。
6。
最值：过(0， 1)并且不等于K的任何实数x， y， z都是二次函数的最值；其中最大值是y=0，最小值是y=K。
7。
最值，最大值，值域的求法：二次函数的最大值和最小值分别是：y=kx+b=kx；当k=0时， y=kx+b=kx，根据一元二次方程求最大值和最小值的方法，列出方程组： y=kx+b=kx，解得b， k为正整数，且b>0，所以y的最大值为最大值= k；当k=0时， y=kx+b=kx，根据方程组解得k>0，所以y的最小值为最小值=k。
二次函数值域为：当k=0，且b>0时，二次函数的值域是[-b， b];当k=0，且b<0时，二次函数的值域是[b， b]。
因此y=kx+b=kx是二次函数值域的一个充要条件。
8。
最大值和最小值的求法：最大值和最小值分别是： y=kx+b=kx；当k=0时， y=kx+b=kx，根据一元二次方程求最大值和最小值的方法，列出方程组： y=kx+b=kx，解得b， k 为正整数，且b>0，所以y的最大值为最大值=k；当k=0时，y=kx+b=kx，根据方程组解得k>0，所以y的最小值为最小值=k。
二次函数的对称性
〔一〕、教学容1. 二次函数的解析式六种形式① 一般式y=ax 2+bx+c(a ≠0)② 顶点式2()y a x h k =-+〔a ≠0顶点〕③ 交点式12()()y a x x x x =--〔a ≠0二次函数与X 轴的交点〕 ④ y=ax 2(a ≠0) (顶点在原点) ⑤ y=ax2+c (a ≠0) (顶点在y 轴上)⑥ y= ax 2+bx (a ≠0) (图象过原点)2. 二次函数图像与性质对称轴：2b x a=-顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- 与y 轴交点坐标〔0，c 〕增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小 ☆二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴:122x x x +=与抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)关于 y 轴对称的函数解析式：y=ax 2-bx+c(a ≠0)与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 x 轴对称的函数解析式：y=-ax 2–bx-c(a ≠0)当a>0时，离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大； 当a<0时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大；【典型例题】题型 1 求二次函数的对称轴1、 二次函数y=2x -mx+3的对称轴为直线x=3，那么m=________。
2、二次函数c bx x y ++=2的图像上有两点(3，－8)和(－5，－8)，那么此拋物线的对称轴是〔〕〔A 〕1x =-〔B 〕1x =〔C 〕2x =〔D 〕3x =3、y=2x 2-4的顶点坐标为___ _____，对称轴为__________。
y xO4、如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一局部，图象过点A 〔－3，0〕，对称轴为x ＝－1．求它与x 轴的另一个交点的坐标〔，〕 5、抛物线c bx x y ++-=2的局部图象如下图，假设0>y ，那么x 的取值围是〔〕A.14<<-xB. 13<<-xC. 4-<x 或1>xD.3-<x 或1>x6、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P 〔3，0〕，那么c b a +-的值为〔〕A. 0B. －1C. 1D. 2题型2 比拟二次函数的函数值大小1、、假设二次函数，当x 取，〔≠〕时，函数值相等，那么当x 取+时，函数值为〔〕〔A 〕a+c 〔B 〕a-c 〔C 〕-c 〔D 〕c2、假设二次函数24y ax bx =+-的图像开口向上，与x 轴的交点为〔4，0〕，〔-2，0〕知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2x x =-=时，对应的y 1 与y 2的大小关系是〔〕 A ．y 1 <y 2 B. y 1 =y 2 C. y 1 >y 2 D.不确定 点拨：此题可用两种解法解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y 随x 的变化规律确定：a>0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a<0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大 解法2：求值法：将两点代入函数解析式，求出a ，b 的值再把横坐标值代入求出y 1 与y 2 的值，进而比拟它们的大小变式1：12(2,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比拟12q q 与的大小y–1 1 3Oxy–1 3 3 O xP1变式2：12(0,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比拟12q q 与的大小变式3：二次函数2y ax bx m =++的图像与22y x x m =-++的图像关于y 轴对称，12(2,),(3,)q q --是前者图像上的两点，试比拟12q q 与的大小题型3 与二次函数的图象关于x 、y 轴对称：二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴:122x x x += 与抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)关于 y 轴对称的函数解析式：y=ax 2-bx+c(a ≠0)与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 x 轴对称的函数解析式：y=-ax 2–bx-c(a ≠0)1、把抛物线y =-2x 2+4x +3沿x 轴翻折后，那么所得的抛物线关系式为____ ____2、与y=212x -3x+25关于Y 轴对称的抛物线________________3、求将二次函数3x 2x y 2+--=的图象绕着顶点旋转180°后得到的函数图象的解析式。
二次函数的对称性分析
二次函数的对称性分析一、对称轴对称轴是指二次函数图像上的一条直线，对称轴上的点关于该直线对称。
对称轴是二次函数的重要特征之一。
二次函数的标准形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
对称轴的求法如下：1. 先求出二次函数的顶点坐标，顶点坐标的x坐标为x_s = -b / (2a)；2. 对称轴与顶点坐标的x坐标相等；3. 对称轴的解析式为x = x_s。
二、顶点顶点是二次函数图像上的一个点，也是对称轴上的一个点。
顶点是二次函数的另一个重要特征。
1. 顶点的x坐标为 x_s = -b / (2a)，其中a、b、c为二次函数的系数，且a≠0；2. 顶点的y坐标可通过将x_s代入二次函数的解析式计算得出。
三、对称性二次函数具有关于对称轴的对称性。
1. 对于对称轴上的点，其关于对称轴的对称点也在二次函数图像上；2. 对于任意一点P（x, y）在二次函数图像上，它的对称点P'（x', y'）也在二次函数图像上；3. 对称性使得我们可以通过研究对称轴上的点和一侧的点来得出整个二次函数图像的形状。
四、开口方向二次函数的开口方向由二次项系数a的正负确定。
1. 当a > 0时，二次函数的图像开口向上，形状类似于一个"U"；2. 当a < 0时，二次函数的图像开口向下，形状类似于一个"∩"。
五、对称点和特殊情况1. 对称轴上的两个点关于对称轴对称，它们的y坐标相等；2. 在对称轴上，函数图像的两侧对称点的坐标关于对称轴对称；3. 当二次函数的系数满足特殊条件时，比如二次项系数a为0，此时二次函数为一次函数，对称轴和顶点的概念将失去意义。
六、例题分析举例分析一个二次函数图像的对称性：给定二次函数y = -2x^2 + 6x - 4。
1. 求对称轴：对称轴的解析式为x = -b / (2a)，带入a=-2、b=6可得x = -6 / (-4) = 3/2。
二次函数性质总结
二次函数性质总结二次函数是高中数学中经常遇到的一个函数类型，它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a不等于0。
二次函数的性质有很多，下面就逐一进行总结：一、基本性质：1. 对称性：二次函数在抛物线的顶点处有对称轴，对称轴是图像的一条垂直线。
如果二次函数是y=ax^2+bx+c，则对称轴的方程为x=-b/2a。
2. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即使f(x)=0的解。
对于y=ax^2+bx+c，可以用求根公式x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a来求解。
3. 导函数：二次函数的导函数是一次函数，即f'(x)=2ax+b。
导数可以用来研究函数的变化趋势、极值等性质。
二、图像特征：1. 开口方向：当a>0时，二次函数的抛物线开口向上，称为正向抛物线；当a<0时，二次函数的抛物线开口向下，称为负向抛物线。
2. 顶点坐标：对于y=a(x-h)^2+k形式的二次函数，顶点坐标为(h,k)，其中h为对称轴的横坐标，k为对称轴的纵坐标。
3. 最值：当二次函数开口向上时，最小值为顶点值；当二次函数开口向下时，最大值为顶点值。
4. 平移变换：二次函数的图像可以通过平移变换来进行位置调整，平移的方式有水平、垂直两个方向，可以通过更改常数c、h、k来实现。
三、根性质：1. 根的个数：二次函数的根的个数不会超过2个。
当判别式D=b^2-4ac大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式D=0时，方程有两个相等的实数根；当判别式D小于0时，方程没有实数根。
2. 根的关系：如果一个二次函数有两个根x1和x2，则有以下性质：根的和x1+x2=-b/a，根的积x1x2=c/a。
3. 根的位置：根的位置与二次函数的开口方向有关。
当二次函数开口向上时，如果根存在，则根的值在顶点的两侧；当二次函数开口向下时，根的值在顶点的外侧。
四、函数变化：1. 单调性：二次函数的单调性与二次项系数a的正负有关。
二次函数图象中的“对称性” ppt课件
（2）求抛物线y=2x2-4x-5关于y轴对称的抛物线。
（3）求抛物线y=2x2-4x-5关于原点成中心对称的抛物线。
（4）求抛物线y=2x2-4x-5绕着 顶点旋转180°得到的抛物线。
▲ 抛物线关于x轴对称：将解析式中的(x，y)换成它的对称点(x，－y)
y＝ax2＋bx＋c变为y＝－ax2－bx－c.
变式训练:已知二次函数的图像经过A（-1,0）、 B（3,0）,且函数有最小值-8，试求二次函数 解析式.
y 2(x 1)2 8
ppt课件
12
巧用“对称性” 化繁为 简
6、求代数式的值
▲ 抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=2，且
经过点P（3，0），则a+b+c的值为（ B ）
（1）设抛物线顶点为(m,n)则顶点式为y=a(x-m)²+n
抛物线绕顶点坐标旋转180后,解析式中a变为-a,其余不发生变化：y=-a(x-m)²+n
（2）如果原解析式为y=ax²+bx+c,顶点纵p坐pt标课件为n
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则新解析式为y=2n-(ax²+bx+c)=-ax²-bx+2n-c
最短路径：“将军饮马” 问
y
1
M
A O1N
Bx
C
D
▲ 若点N（n,0)是对称轴上的一个动点，当NA＋NC的值最小时，求n的值.
▲在抛物线的对称轴上是否存在点Q， 使得△ACQ周长最小？
▲在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点Ppp到t课B件、C两点距离之差最大？
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感悟与反思
1、抛物线是轴对称图形，充分利用对称轴的方程 x=(x1+x2)/2,注意数形结合思想.
二次函数轴对称性质
二次函数轴对称性质二次函数是高中数学中的一个重要内容，它在解决实际问题以及数学建模中具有广泛的应用。
在研究二次函数时，轴对称性质是其中一个重要的性质，它在图像的对称性、方程的解等方面具有重要的作用。
本文将详细介绍二次函数轴对称性质及其应用。
1. 轴对称性质的定义二次函数的一般形式为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a≠ 0。
二次函数的轴对称性质即为其图像相对于某一直线的对称性。
这条直线称为二次函数的轴线。
2. 轴对称性质的表达式设二次函数的轴线方程为 x = p，那么对于任意 x，函数值相等：f(p + h) = f(p - h)其中 h 为任意实数，即函数在轴线两侧对称。
3. 轴对称性质与图像的关系对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，其轴线方程为 x = -b/2a。
当 a > 0 时，二次函数图像开口向上，轴线是图像的最低点；当 a < 0 时，二次函数图像开口向下，轴线是图像的最高点。
轴对称性质使得二次函数图像关于轴线对称。
也就是说，对于图像上任意一点 (x, y)，关于轴线上的对称点 (-x, y) 也在图像上。
这意味着二次函数图像在轴线上两侧的形状是完全一样的。
4. 轴对称性质的应用轴对称性质可以用于求二次函数的性质、方程的解以及解决实际问题。
首先，通过轴对称性质，可以简单地确定二次函数的开口方向以及最值点的坐标。
其次，利用轴对称性质可以求解二次函数的方程。
对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，如果 a > 0，则对称轴为 x = -b/2a，方程与 x 轴的交点为相等的两个解；如果 a < 0，则对称轴依然为 x = -b/2a，方程无解。
最后，轴对称性质在实际问题中的应用十分广泛。
例如，某商品的销售量与商品售价之间可能存在二次函数的关系。
通过研究二次函数的轴对称性质，我们可以确定最佳售价，以最大程度地提高销售量。
二次函数的平移与对称性
二次函数的平移与对称性二次函数是一个非常重要的数学概念，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。
在本篇文章中，我们将探讨二次函数的平移与对称性。
1. 平移的概念平移是指改变函数图像的位置而不改变其形状。
对于二次函数来说，平移可以分为水平平移和垂直平移两种情况。
1.1 水平平移水平平移是指在横轴方向上移动函数图像的位置。
当二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c时，水平平移的公式为f(x-h) = a(x-h)^2 + b(x-h) + c，其中h为平移的距离。
1.2 垂直平移垂直平移是指在纵轴方向上移动函数图像的位置。
当二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c时，垂直平移的公式为f(x) = ax^2 + bx + c + k，其中k为平移的距离。
2. 平移的影响平移会改变二次函数图像的位置，进而对函数的性质和方程产生影响。
2.1 平移对顶点的影响顶点是二次函数图像的最低点（极小值）或最高点（极大值）。
当进行平移时，顶点的坐标会发生改变。
对于水平平移，顶点的横坐标会加上平移的距离；而对于垂直平移，顶点的纵坐标会加上平移的距离。
2.2 平移对对称轴的影响对称轴是二次函数图像的对称线，对称轴的方程是x = -b/(2a)。
当进行平移时，对称轴的位置会发生改变。
对于水平平移，对称轴的方程中的b会减去平移的距离；而对于垂直平移，对称轴的方程不会受到平移的影响。
2.3 平移对图像形状的影响平移不会改变二次函数图像的形状，只会改变其位置。
二次函数的形状由参数a的正负确定，正数的a使得图像开口向上，负数的a使得图像开口向下。
平移只会改变图像在坐标系中的位置，不会改变其形状。
3. 对称性的概念对称性是指图像在某种变换下仍旧保持原样。
对于二次函数来说，有两种类型的对称性：轴对称和中心对称。
3.1 轴对称轴对称是指图像相对于某一条直线对称。
对于二次函数来说，其图像关于对称轴对称。
对称轴的方程是x = -b/(2a)，这条直线将图像分为左右两部分，两部分关于该直线对称。
二次函数中对称轴的求解方法和性质
二次函数中对称轴的求解方法和性质二次函数是高中数学中的重要内容，它的图像呈现出一种独特的对称性，这种对称性在二次函数的求解和性质研究中起到了重要的作用。
本文将介绍二次函数中对称轴的求解方法和性质，以及其在实际问题中的应用。
一、对称轴的求解方法二次函数的标准形式为y=ax^2+bx+c（其中a≠0），在该形式下，对称轴的求解方法如下：1. 第一步，将一次项系数b消去，得到y=a(x+h)^2+k的形式，其中h为平移横坐标的量，k为平移纵坐标的量。
2. 第二步，对于函数y=a(x+h)^2+k，对称轴的横坐标为-x-h，即对称轴方程为x=-h。
二、对称轴的性质二次函数的对称轴具有以下性质：1. 对称轴是图像的一条直线，二次函数图像关于对称轴对称。
2. 对称轴将函数图像分为两个对称的部分，左侧和右侧呈现出镜像关系。
3. 对称轴上的点到图像的任意点的距离相等，即对称轴上的点是图像关于对称轴的中点。
三、对称轴的应用对称轴的求解和性质在实际问题中有广泛的应用，下面以一些典型问题作为例子进行介绍：例1：给定二次函数y=ax^2+bx+c，如果已知顶点坐标为（p,q），求对称轴的方程。
解：首先，根据顶点坐标的性质可得到顶点坐标满足关系式q=a(p-h)^2+k。
根据对称轴的性质，对称轴的横坐标为-x-h，即对称轴方程为x=-h。
从而可以得到以下等式：-h=p，解得h=-p。
因此，对称轴的方程为x=-p。
例2：某二次函数的图像关于x轴对称，已知该二次函数的顶点坐标为（1，-2），求二次函数的解析式。
解：根据题目要求可得到a的值为-1，因为图像关于x轴对称。
又已知顶点坐标为（1，-2），代入二次函数的标准形式y=ax^2+bx+c，得到-2=a(1)^2+b(1)+c。
又因为顶点坐标满足关系式-2=a(1)^2+b(1)+c，解得b=0，c=-2。
因此，二次函数的解析式为y=-x^2-2。
结论：本文介绍了二次函数中对称轴的求解方法和性质，并举例说明了对称轴在实际问题中的应用。
二次函数中像的对称性质和性质
二次函数中像的对称性质和性质二次函数中的对称性质和性质二次函数是一种基本的函数形式，具有多种特点和性质。
其中，对称性质是二次函数的重要特征之一。
本文将从对称轴、顶点和焦点等几个方面来探讨二次函数的对称性质，并分析其相关性质。
一、对称轴二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线，将二次函数分成左右两个对称的部分。
对称轴与二次函数的图像有以下几个特点：1. 对称轴的方程：对称轴的方程可以通过分析二次函数的表达式来得出。
对称轴的方程为x = -b/(2a)，其中二次函数的一般形式为f(x) =ax² + bx + c。
2. 对称性质：对称轴将二次函数分成两个对称的部分，即对称轴左右两侧的函数图像关于对称轴对称。
简单来说，对称轴上一点的函数值与其对称点的函数值相等。
3. 对称轴和图像的关系：二次函数的图像与其对称轴的位置关系密切相关。
当a>0时，二次函数的图像开口向上，对称轴在图像的下方。
当a<0时，二次函数的图像开口向下，对称轴在图像的上方。
二、顶点二次函数图像的顶点是具有最值的点，也是对称性质的体现之一。
对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，其中a≠0，顶点的横坐标和纵坐标分别可以通过以下公式得出：1. 横坐标：顶点横坐标的公式为x = -b/(2a)。
这个公式与对称轴的方程相同，因此顶点也位于对称轴上。
2. 纵坐标：顶点纵坐标的公式为y = f(-b/(2a))。
通过将顶点的横坐标代入二次函数的表达式中，可以得出顶点的纵坐标。
三、焦点焦点是二次函数的另一个重要概念，与二次函数的对称性质密切相关，与对称轴、顶点的位置关系有所不同。
对于二次函数f(x) = ax² +bx + c，其中a≠0，焦点的横坐标和纵坐标分别可以通过以下公式得出：1. 横坐标：焦点的横坐标的公式为x = -b/(2a)。
这个公式与对称轴的方程和顶点的横坐标公式相同。
2. 纵坐标：焦点的纵坐标的公式为y = f(-b/(2a)) + 1/(4a)。
二次函数对称规律
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1、 y 1=ax 2+bx+c 关于x 轴对称的函数是y 2= -ax 2-bx-c 。
因为抛物线的形状未变，只是开口方向相反，所以a 变为-a ；对称轴未变，y 1的对称轴是a 2b x -=，y 2的对称轴也应该是a 2b a 2b x -=---
=；y 1与y 轴的交点坐标是〔0，c 〕，关于x 轴对称后就是〔0，-c 〕。
2、 y 1=ax 2+bx+c 关于y 轴对称的函数是y 2= ax 2-bx+c 。
因为抛物线的形状未变，开口方向未变，所以a 不变；对称轴改变，y 1的对称轴是a 2b x -
=，y 2的对称轴就应该是a
2b a 2b x =--=；y 1与y 轴的交点坐标是〔0，c 〕，y 2与y 轴的交点坐标也是〔0，c 〕，所以c 不变。
3、 y 1=a 〔x-h 〕2＋k 关于原点对称的函数是y 2=-a 〔x+h 〕2-k 。
此时必须将抛物线化成顶点式研究。
因为y 1=a 〔x-h 〕2＋k 的顶点是(h,k)，关于原点对称后的顶点是〔-h ，-k 〕，抛物线形状不变，开口方
向相反，所以a 变为-a 。
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（一）、教学内容1. 二次函数的解析式六种形式① 一般式 y=ax 2+bx+c(a ≠0) ② 顶点式 2()y a x h k =-+（a ≠0已知顶点）③ 交点式 12()()y a x x x x =--（a ≠0已知二次函数与X 轴的交点） ④ y=ax 2(a ≠0) (顶点在原点) ⑤ y=ax2+c (a ≠0) (顶点在y 轴上)⑥ y= ax 2+bx (a ≠0) (图象过原点) 2. 二次函数图像与性质对称轴：2b x a=-顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- 与y 轴交点坐标（0，c ） 增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小☆ 二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴:122x x x += 与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 y 轴对称的函数解析式：y=ax 2 -bx+c(a ≠0) 与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 x 轴对称的函数解析式：y=-ax 2 –bx-c(a ≠0)当a>0时，离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大； 当a<0时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大；【典型例题】题型 1 求二次函数的对称轴1、 二次函数y=2x -mx+3的对称轴为直线x=3，则m=________。
2、 二次函数c bx x y ++=2的图像上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） （A ）1x =- （B ）1x = （C ）2x = （D ）3x =3、 y=2x 2-4的顶点坐标为___ _____，对称轴为__________。
4、 如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为x ＝－1．求它与x 轴的另一个交点的坐标（ ， ）y xO5、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则x 的取值范围是（ ）A.14<<-xB. 13<<-xC. 4-<x 或1>xD.3-<x 或1>x6、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为 （ ）A. 0B. －1C. 1D. 2题型2 比较二次函数的函数值大小 1、、若二次函数，当x 取，（≠）时，函数值相等，则当x 取+时，函数值为（ ）（A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c2、 若二次函数24y ax bx =+-的图像开口向上，与x 轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2x x =-=时，对应的y 1 与y 2的大小关系是（ ）A ．y 1 <y 2 B. y 1 =y 2 C. y 1 >y 2 D.不确定 点拨：本题可用两种解法解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y 随x 的变化规律确定：a>0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a<0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大 解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a ，b 的值 再把横坐标值代入求出y 1 与y 2 的值，进而比较它们的大小变式1：已知12(2,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小变式2：已知12(0,),(3,)q q 二次函数22y x x m =-++上两点，试比较12q q 与的大小变式3：已知二次函数2y ax bx m =++的图像与22y x x m =-++的图像关于y 轴对称，12(2,),(3,)q q --是前者图像上的两点，试比较12q q 与的大小题型3 与二次函数的图象关于x 、y 轴对称：y–1 1 3Oxy–1 3 3O xP1二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴:122x x x += 与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 y 轴对称的函数解析式：y=ax 2 -bx+c(a ≠0) 与抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)关于 x 轴对称的函数解析式：y=-ax 2 –bx-c(a ≠0)1、把抛物线y =-2x 2+4x +3沿x 轴翻折后，则所得的抛物线关系式为____ ____2、与y= 212x -3x+25关于Y 轴对称的抛物线________________3、求将二次函数3x 2x y 2+--=的图象绕着顶点旋转180°后得到的函数图象的解析式。
4、在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A ．22y x x =--+B ．22y x x =-+-C ．22y x x =-++D ．22y x x =++ 5、如图，已知抛物线l 1:y=-x 2+2x 与x 轴分别交于A 、O 两点，顶点为M.将抛物线l 1关于y 轴对称到抛物线l 2.则抛物线l 2过点O ，与x 轴的另一个交点为B ，顶点为N ，连接AM 、MN 、NB ，则四边形AMNB 的面积A.3B.6C.8D.10题型4 二次函数图象的翻折1、如图，已知抛物线5621+-=x x ：y l 与x 轴分别交于A 、B 两点，顶点为M ．将抛物线l 1沿x 轴翻折后再向左平移得到抛物线l 2．若抛物线l 2过点B ，与x 轴的另一个交点为C ，顶点为N ，则四边形AMCN 的面积为 A ．32 B ．16 C ．50 D ．40（二）.教学辅助练习 一、选择1、若二次函数，当x 取，（≠）时，函数值相等，则当x 取+时，函数值为（ ）（A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）cx A y OBM N Cl 1l 22、已知抛物线2(1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB 的长度为（ ）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．43、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则x 的取 值范围是（ ）A.14<<-xB. 13<<-xC. 4-<x 或1>xD.3-<x 或1>x 4、小明从右边的二次函数2y ax bx c =++图象中，观察得出了下面的五条信息：①0a <，②0c =，③函数的最小值为3-，④当0x <时，0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >．你认为其中正确 的个数为（）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．55、小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)， (－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为（ ）A.y 1>y 2>y 3B.y 2>y 3>y 1C.y 3>y 1>y 2D.y 3>y 2>y 16、下列四个函数：①y=2x ；②；③y=3-2x ；④y=2x 2+x(x ≥0)，其中，在自变量x 的允许取值范围内，y 随x 增大而增大的函数的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 47、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.38、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为A. 0B. －1C. 1D. 2 二、填空1、已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_________·2、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，其中a b c ，，满足0a b c ++=和930a b c -+=，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．y–1 13Ox4、一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，且214x x +=，点(38)A -，在抛物线2y ax bx c =++上，则点A 关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为 ． 5、抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是x=2，且过点（3,0），则a+b+c= 6、y=a 2x +5与X 轴两交点分别为（x 1 ,0），（x 2 ,0） 则当x=x 1 +x 2时，y 值为____7、请你写出一个b 的值，使得函数22y x bx =+在第一象限内y 的值随着x 的值增大而增大，则b 可以是．8、当22x -<<时，下列函数中，函数值随自变量增大而增大的是（只填写序号）①2y x =；②2y x =-；③2y x=-；④268y x x =++9、一个关于x 的函数同时满足如下三个条件 ①x 为任何实数，函数值y ≤2都能成立； ②当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大； ③当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；符合条件的函数的解析式可以是 。
10、已知(-2,y 1),(-1,y 2),(3,y 3)是二次函数y=x 2-4x+m 上的点,则y 1,y 2,y 3从小到大用 “<”排列是 . （三）、作业布置。
5、在平面直角坐标系xOy中，二次函数C1:y=ax2+bx+c的图象与C2:y=2x2-4x+3的图象关于y轴对称，且C1与直线y=mx+2交与点A(n，1).试确定m的值.。