粘性流体力学基本方程组
学习笔记_推导流体力学基本方程组
①连续性方程推导依据：质量守恒，密度变化导致减少的质量=净流出的质量x 方向：单位时间由ABCD 流入质量：dydz dx x u u dx x )2)(2(∂∂-∂∂-ρρ 单位时间由EFGH 流出质量：dydz dx x u u dx x )2)(2(∂∂+∂∂+ρρ 净流出质量：dxdydz x u dxdydz x u x u ∂∂=∂∂+∂∂)()(ρρρ 同理y 、z 方向dxdydz y v ∂∂)(ρ，dxdydz zw ∂∂)(ρ 单位时间密度变化导致减少的质量dxdxdz t ∂∂-ρ所以连续性方程0)()()(=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z w y v x u t ρρρρ（微分形式）矢量形式0)(·=∇+∂∂v tρρ连续性方程是流体流动最基本的方程，任何流体连续运动均必须满足。
②理想流体运动方程（欧拉运动方程）理想流体是一种设想的没有黏性的流体,在流动时各层之间没有相互作用的切应力。
推导依据：牛顿第二定律（动量定理）合外力等于动量对时间的变化率x 方向 面力：dydz dx x p p dydz dx x p p )2()2(∂∂--∂∂+ 质量力：dxdydz f x ρ 合外力dydz dx x p p dydz dx x p p dxdydz f x )2()2(∂∂--∂∂++ρ 动量对时间的变化率dxdydz dt du ρ 整理得xp f dt du x ∂∂+=ρ1 同理y 、z 方向y p f dt dv y ∂∂+=ρ1，zp f dt dw z ∂∂+=ρ1 理想流体运动方程z p f dt dw y p f dt dv xp f dt du z y x ∂∂+=∂∂+=∂∂+=ρρρ111，矢量形式p f dt v d ·1∇+=ρ可写成zp f z w w y w v x w u t w dt dw yp f z v w y v v x v u t v dt dv xp f z u w y u v x u u t u dt du z y x ∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=ρρρ111 根据亥姆霍兹速度分解定理v v t v v v rot v t v v v t v dt v d ⨯+∇+∂∂=⨯+∇+∂∂=∇+∂∂=ω222·22所以欧拉运动方程可以写成兰姆-葛罗米柯方程p f v v t v ∇+=⨯+∇+∂∂ρω1222，把有旋部分凸显出来。
工程流体力学(粘性流体动力学基础公式推导)
2h
u
x
vw0
U 0
不可压连方
u v w 0, u 0, u u( y)
x y z
x
运动方程
u t
u
u x
v
u y
w
u z
1
p x
2u ( x 2
2u y 2
2u z2 )
26
运动方程
u t
u
u x
v
u y
w
u z
1
p x
2u ( x 2
2u y2
2u z 2
)
简化为
2u y 2
1
p x
13
px
py
pz
3 p
2 ( vx
x
vy y
vz z
)
（８--９）
问题：上式括号内表示什么？
对于不可压缩流体，故有：
p
1 3
(
px
py
pz
)
(8-10)
即对于粘性不可压缩流体，三个互相垂直的法
向应力的算术平均值恰好等于理想流体的压力。
14
将切向应力和法向应力关系式代入（8--5）式得
vx t
vx
Dt
x
y
z
DVz Z 1 ( zx zy pzz )
Dt
x
y
z
（8-5）
单位质量流体的惯性力
单位质量流体的应力
单位质量流体的质量力
这就是应力形式的粘性流体运动微分方程 8
讨论
1.式（８-５）中未知函数:三个速度分量和六个 应力分量；加上连续性方程，只有四个方程，
2.若要求解，需补充方程。
将（ｄ）式代入（ａ）式，经移项后可得
第五章 实际(粘性)流体动力学基础
p
p
(5.12)
上式表示总流重力流量（γQ）所具有的势能。
u2 （2）第二类积分 Q dQ A u3dA ，表示总流重力流量 2g 2g
所具有的动能。 总流在同一过流断面上的流速分布一般是不均匀的，即
3 3 u dA v A A
引入修正系数α，即令
3 3 u dA u dA A A 3 v A Qv 2
u y u y u y u y 1 p 2 Y u y ux uy uz y t x y z
1 p uz uz uz uz 2 Z uz ux uy uz z t x y z
（5.1）
与理想流体的欧拉运动微分方程w dhw
1
2
实际流体恒定元流的伯努利方程或能量方程，式中 z：位置水头；
p
: 动水压强水头；
u2 : 流速水头； 2g
: 损失水头。 hw
即单位重力流体在运动中为了克服1~2元流段中水流阻力 hw
所消耗的机械能，称为水头损失。
§5.3
5.3.1
恒定总流的伯努利方程
下降，平均测压管水头线可以上升，
可以下降。
总水头线的坡度叫做水力坡度， 表示单位重力流体在单位长度的 流程上所损失的平均水头。以H 表示总流的平均总水头，则水力
坡度为
dH dhw J ds ds
(5.21)
5.3.3
恒定总流伯努利方程的应用
总流伯努利方程适用条件：
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流； （3）作用于流体上的质量力不可压缩流体； （4）所取过流断面1-1，2-2都在渐变流区域，但两断面之
这些功时所消耗的机械能，就是能量的损失。
粘性流体力学课件
适用于牛顿流体
流体运动微分方程——Navier－Stokes方程
y
vx v y vx vz z x x z y
Dvx p 2 x fx 2 Dt x 3 x x x
Dvy
2 y 2 y 2 y 1 p fy 2 2 x Dt y y z 2
2 z 2 z 2 z Dvz 1 p fz 2 2 2 Dt z y z x
( x z ) ( y z ) ( z 2 ) dxdydz x y z
微元体内的动量变化率
x dxdydz x方向： t z dxdydz y方向： dxdydz z方向： t t
y
运动方程
以应力表示的运动方程
p
xx
yy zz 3
这说明：三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平 均值却总是与压力大小相等。
切应力与角边形率
流体切应力与角变形率相关。
牛顿流体本构方程反映了流体应力与变形速率之间的关系， 是流体力学的虎克定律。
N-S方程
Dvx p 2 x fx 2 Dt x 3 x x x
xx dx x
每个应力有两个下标，第一个下 标表示应力作用面的法线方向； 第二个下标表示应力的作用方向
fz
fy fx
应力正负的规定
应力与所在平面的外法线方向相 同为正，否则为负：
微元体上的表面力和体积力
运动方程
应力状态及切应力互等定律
粘性流动三大方程推导
连续性方程：单位时间内从x, y, z 方向流入体积元的质量流量为:dydx v dxdz v dydz v z y x ρρρ,, 单位时间内从x, y, z 方向流出体积元的质量流量为:dydx v dxdz v dydz v dz z dy y dx x +++ρρρ,, 有:dydx v v dxdz v v dydz v v dxdydz tdz z z dy y yx dx x x )()()(+++-+-+-=∂∂ρρρρρρρ其中: dx x v v v x x dxx ∂∂+=+ρρρ；dy yv v v y y dy y ∂∂+=+ρρρ；dz z v v v zz dz z ∂∂+=+ρρρ； 可得连续性方程:v div v zv y v x v t i z y x ρρρρρρ-=∙-∇=∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂)()( 全微分形式推导：密度ρ是时间t 和空间x, y, z 的函数，即ρ= ρ(t, x, y , z )，则根据全微分定义可得：dz zdy y dx x dt t d ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=ρρρρρ 对t 求导可得：z v y v x v t dt dz z dt dy y dt dx x t dt d zy x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂=ρρρρρρρρρ zv y v x v t t dt d zy x v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇∙+∂∂=ρρρρρρρ…………全微分形式 ρρρρρ)(∇∙+∂∂=∇∙+∂∂=v v tt dt d , 由ρρρρ∇∙-∙∇-=∙-∇=∂∂v v v t )(可得：)( zvy v x v d i v dt d z y x v v v v v ∂∂+∂∂+∂∂-=-=∙∇-=∇∙+∇∙-∙∇-=ρρρρρρρ随体导数：dt d ；定义为：zv y v x v t t Dt D z y x v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇∙+∂∂=)( 任一物理量随体导数形式为：zFv y F v x F v t F F t F Dt DF zy x v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇∙+∂∂=运动方程：物理意义：∑=ii F dt d mv ；其中dt d dxdydz dt d V dt d m v v v ⋅=⋅=ρρzv y v x v t t dt d v v v v v v v v z y x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇∙+∂∂=：x 方向：zvv y v v x v v t v dt dv x z x y x x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= y 方向：zv v y v v x v v t v dt dv y z y y y x y y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= z 方向：zv v y v v x v v t v dt dv z z z y z x z z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= 质量力：zz g y y g xx g g dxdydz mg F g dxdydz mg F g dxdydz mg F z y x )()()(ρρρ======表面力：定义：SFS n δδσδlim)(→= 流出流体表面力的泰勒级数展开（x 向为例）：dxdydz zdxdy dxdz dy y dxdz dydz dx x dydz zx zx x dz z xyyx x dy y xxxx x dx x )()()()()()(∂∂+=∂∂+=∂∂+=+++σσσσσσσσσ净面力计算（x 向为例）：dxdydz z y x dxdydz z dxdy dxdy dxdydz y dxdz dxdz dxdydz x dydz dydz F zxyx xx xzzx x dz z xy yxx dy y xx xx x dx x )()()()(∂∂+∂∂+∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂=-∂∂=-∂∂=-=+++∑σσσσσσσσσσσσdxdydzz y x F dxdydz zy x F dxdydz z y x F zz yz xz z zyyy xy y zxyx xx x )()()(∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=σσσσσσσσσ各轴向动量变化率： 各轴向∑F ：dt d dxdydz dt d m dt d dxdydz dt d m dtd dxdydz dt d m zz y y x x νρννρννρν=== dxdydz zy x dxdydz g F F F dxdydz z y x dxdydz g F F F dxdydz z y x dxdydz g F F F zz yz xz z z gz z zyyy xy y y gy y zx yx xx x x g xx )()()(∂∂+∂∂+∂∂+=+=∂∂+∂∂+∂∂+=+=∂∂+∂∂+∂∂+=+=∑∑∑σσσρσσσρσσσρ各轴线方向分量的运动方程：zy x g dt d zy x g dt d z y x g dt d zz yz xz z zzy yy xy y y zx yx xx x x ∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+=σσσρνρσσσρνρσσσρνρ 运动方程的张量形式：ij i i j ji i i g DtDvx g Dt Dv σρρσρρ∙∇+=∂∂+=或 ij ij ij p τδσ+-=实用的粘性流体剪切流动的运动方程： ij i ip g DtDv τρρ∙∇+∇-= )(zy x i p g Dt Dv ziyi xi i i ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=τττρρ运动方程在直角坐标系中各方向分量的全微分展开形式：x 方向：)()(zy x x p g z v v y v v x v v t v zx yx xx x x z x y x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂τττρρy 方向：)()(z y x y p g z v v y v v x v v t v zyyy xy y y z y y y x y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂τττρρ z 方向：)()(zy x z p g z v v y v v x v v t v zzyz xz z z z z y z x z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂τττρρ 运动方程物理意义：表面粘性力压力重力体积动量局部动量)()(z y x i p g z v v y v v x v v t v ziyi xi i i z i y i x i ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂τττρρ能量方程：物理意义：总能量变化率＝单位体积流动能量E 1＋热能净流量E 2＋应力做功E 3＋重力做功E 4 总能量变化率：tE ∂∂)(ρ 单位体积流动能量E 1：)(1i E E ρν∙-∇=x 方向：dV x E dxdydz x E dxdydz x E dydz E dydz E x x x x x ∂∂-=∂∂-=∂∂+-)()())((ρνρνρννρνρ y 方向：dV yE dydxdz y E dydxdz y E dxdz E dxdz E y y y y y ∂∂-=∂∂-=∂∂+-)()())((ρνρνρννρνρz 方向：dV z E dzdxdy z E dzdxdy z E dxdy E dxdy E z z z z z ∂∂-=∂∂-=∂∂+-)()())((ρνρνρννρνρ热能净流量E 2：)(2i q E ∇-=设沿着x 轴，y 轴，z 轴方向在单位时间、单位面积流入的热流密度（即热通量）分别为q x ， q y ，q z ： x 方向：dV x qdydz dx x q q dydz q x x x x ∂∂-=∂∂+-)( y 方向：dV yqdxdz dy y q q dxdz q y y y y ∂∂-=∂∂+-)( z 方向：dV zqdxdy dz z q q dxdy q z z z z ∂∂-=∂∂+-)( 应力做功E 3： )(3i ij j i ijv x v E ∙∙∇=∂∂=σσ 推导原理：dv dF dtdsdF dt dE F ⋅=⋅= x 方向： dV xz xz y xy x xx )(νσνσνσ++∂∂y 方向：dV yz yz y yy x yx )(νσνσνσ++∂∂z 方向：dV zz zz y zy x zx )(νσνσνσ++∂∂ji ij j i jix x ∂∂=∂∂νσνσσ有，作为 对称张量 重力做功E 4：i i v g E ⋅=ρ4 能量方程张量形式：i i ij i i v g v q E tE ∙+∙∙∇+∇-∙-∇=∂∂i )()()(ρσρνρ 能量方程全微分形式推导（实用能量方程）：总能量E = 内能U + 动能K 单位体积能量变化率：dtdKdt dU dt dE ρρρ+= 1. 求解dtdE做随体导数展开：E tE dt dE v ∇∙+∂∂= 同乘以ρ得：E t Edt dE v ∇∙+∂∂=ρρρ有能量方程张量形式：v v v g q E tE t E t E ∙+∙∙∇+∇-∙-∇=∂∂+∂∂=∂∂ρσρρρρ)()()(有运动方程偏微分形式：)(v tρρ∙-∇=∂∂ )(v E tEρρ∙∇-=∂∂ 带入随体导数形式可得： E E g q E E tE t E dt dE v v v v v v ∇∙+∙∇∙+∙∙∇+∇-∙-∇=∇∙+∂∂-∂∂=+ρρρσρρρρρ)()()()(对第一项做∇运算展开：E E E vv v ∇∙+∙∇=∙∇ρρρ)()( 代入可得：v v g q dtdE∙+∙∙∇+-∇=ρσρ)( 2. 求解dt dU有：v v g q dtdK dt dU dt dE ∙+∙∙∇+-∇=+=ρσρρρ)(其中：dtdv v dt v d dt m mvd dt dK ⋅===222121，所以dt d dt dK v v ⋅=ρρ 代入可得：dtd g q dt dK dt dE dt dU v v v v ⋅-∙+∙∙∇+-∇=-=ρρσρρρ)( 有运动方程全微分形式：σρρ∙∇+=g dtd v ， 代入可得： )()()()(σσσρρσρ∙∇∙-∙∙∇+-∇=∙∇∙-∙-∙+∙∙∇+-∇=v v v v v v q g g q dtdU 有张量恒等式置换： v v v ∇=∙∇∙-∙∙∇:)()(σσσ(其中v ∇为并矢运算)，代入可得：i ij i v q dtdU∇+-∇=:σρ又ij ij ij p τδσ+-=，代入可得：i ij i i v v p q dtdU∇+∇--∇=:τρ3. 求解dtdT内能U 是温度T 和体积V 的函数，其全微分形式为：dV V U dT C dV V U dT T U dU T V T V )()()(∂∂+=∂∂+∂∂=，其中V V TU C )(∂∂=………定容比热容； 由热力学第二定律，将dU 写为熵变与体积关系：pdV TdS dW dQ dU -=-=将其在恒温下对体积求导可得： p V ST V U T T -∂∂=∂∂)()(由麦克斯韦热力学函数关系：T V V S T p )()(∂∂=∂∂，代入可得：p Tp T V U V T -∂∂=∂∂)()( 将其代入dU 全微分形式：dV p TpT dT C dU V V ])([-∂∂+= 写为dt dU形式：dtdV p T p T dt dT C dt dU V V ρρρ])([-∂∂+=其中，iv dt d dt d dt d dt dV v ∙∇=∙∇-⋅-=⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)(11112ρρρρρρρρρρ代入可得：i V V v p T pT dt dT C dt dU ∙∇-∂∂+=])([ρρ联立dtdU ρ两个表达式：i ij i i i V V v v p q v p T p T dt dT C ∇+∇--∇=∙∇-∂∂+:])([τρ至此，可求得以dtdT描述的能量方程全微分形式：i ij i i V v v Tp T q dt dT C ∇+∙∇∂∂--∇=:)()(τρρ，其中V T p T p )()(∂∂≡∂∂ρ能量方程全微分展开形式：∑+∂∂+∂∂+∂∂∂∂-∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂ij z y x V z y x z y x V A zv y v x v T p T z q y q x q z Tv y T v x T v t T C )()()()(或ρρ 其中:)()()()(yv z v x vz v x v y v z v y v x v A z y yz z x xz y x xy z zz y yy x xxij ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∑ττττττ 注：i ij v ∇:τ的并矢运算和双点积)()()(::332211zvy v x v z v y v x v z v y v x v A A A z v z v z v y v y v y v x v x v xv v A z zz z zy z zx y yz y yy y yx x xz x xy x xx z y x z y x z y x zz zy zx yz yy yx xz xy xx i ij ij ∂∂∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=++=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∇=∑τττττττττττττττττττ 又ji ij ττ=，移项整理可得：)()()()(yv z v x vz v x v y v z v y v x v A z y yz z x xz y x xy z zz y yy x xxij ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∑ττττττ 傅立叶热传导方程推导：设流体不可压缩，且流体粘度很低，则可忽略膨胀功与摩擦生热作用；能量方程可简化为：i Vq dtdTC -∇=ρ 将导热通量i q 在x, y, z 三个方向展开：zTq y T q x T q z y x ∂∂-=∂∂-=∂∂-=λλλ, , 则单位时间通过流体微元的导热量为：T zT yT xT q ∇-=∂∂+∂∂+∂∂-=λλλλ)(代入简化能量方程，有：T C T q dt dT C Vi V∆=∇--∇=-∇=ρλλρ)(定义扩散系数（导温系数）a ：VC a ρλ=单位：s m /2 其中：λ为导热系数，单位：K m W ⋅/；ρ为密度； V C 为定容比热容，单位：K kg J ⋅/ 引入扩散系数a ，则写为傅立叶热传导方程：T a DtDT∆=。
粘性流体力学讲解
z
-px
、v、px、p y、pz、f
牛顿第二定律：
x -py
z
M
z
y
py
p y y
y
ma F
x
y
px
p x x
x
-pz
Dv Dt
x
y
z
f
x
y
z
p x
y
z
(p x
p x x
x)
y
z
p y
x
z
(p
y
p y y
y)
x
z
Dv Dt
fy
1
p y
2v
Dw Dt
fz
1
p z
2w
Discussion:
Dv f 1 p 2 v v
Dt
3
1. 物理意义：单位质量流体惯性力、质量力、压力合力和 粘性力平衡。粘性力包括剪应力与附加法向应力。
0
du
dy
yh
dp h dx
y
h
o -h
umax x
dp 0 dx
压力梯度使速度剖面为抛物型——层流运动的特征。
7.3.2往复振荡平板引起的层流流动
平板运动引起粘性效应的扩散。 流场速度分布：
y o u=Ucos t
u U eky cosky t ——粘性扰动波。 y 2
dp 0 dx
速度分布： （Couette流动）
粘性流体力学
∂n w
式中 T w 是物面上的温度。 q w 为通过单位面积传递给流体 的热量。 ∂T / ∂n 为沿物面外法线方向的温度梯度。
5.粘性流体运动的涡量传输方程
为了讨论漩涡在粘性流体中运动的性质和规律， 有必要建立涡量传输方程。涡量传输方程是从运动 方程派生出来的，便于说明粘性流体中涡旋的产生、 发展和衰减的现象。 根据数学中的场论知识，速度矢量V的随体导数 2 可写为 DV ∂V ∂V V
不可压缩粘性流体的N-S方程在柱坐标系下形式为
∂vr ∂vr vθ ∂vr vθ2 ∂vr vr 2 ∂vθ 1 ∂p 2 + vr + − + vz = fr − +ν ∇ vr − 2 − 2 ∂t ∂r r ∂θ r ∂z ρ ∂r r r ∂θ ∂vθ ∂vθ vθ ∂vθ vr vθ ∂vθ vθ 2 ∂vr 1 1 ∂p 2 + vr + + + vz = fθ − +ν ∇ vθ − 2 + 2 ∂t ∂r r ∂θ r ∂z ρ r ∂θ r r ∂θ ∂vz ∂vz vθ ∂vz ∂vz 1 ∂p + vr + + vz = fz − +ν∇2 vz ∂t ∂r r ∂θ ∂z ρ ∂z
同理，可分别计算沿y方向和z方向净流出控 制体的质量分别为 ∂ ( ρ v) δ xδ yδ zδ t
∂y ∂(ρw)
∂z
(1.2 )
δ xδ yδ zδ t
(1.3 )
Байду номын сангаас
同时，在δ t 时间内控制体内的流体质量减少 了
∂ρ - δ xδ yδ zδ t ∂t
纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)
纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)名称由来Navier-Stokes equations描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
简称N-S方程。
因1821年由C.-L.-M.-H.纳维和1845年由G.G.斯托克斯分别导出而得名。
该方程是可压缩流体的N-S方程。
其中，Δ是拉普拉斯算子；ρ是流体密度；pN-S方程意义后人在此基础上又导出适用于可压缩流体的N-S方程。
N-S方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。
它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，目前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。
例如当雷诺数Re1时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，N-S方程简化为理想流动中的欧拉方程（=－Ñp+ρF）；而在边界层内，N-S方程又可简化为边界层方程，等等。
在计算机问世和迅速发展以后，N-S方程的数值求解才有了很大的发展。
基本假设在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。
第一个是流体是连续的。
这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。
另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强P，速度v，密度，温度Q，等等。
该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。
对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。
该有限体积记为\Omega，而其表面记为\partial\Omega。
该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。
纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·盖伯利尔·斯托克斯命名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。
9.粘性流体力学基本方程组
内热源所产生热量 代傅立叶定律
t dxdydz q k q n
9.3 能量守恒定律——能量方程
C项.外力对控制体所做功
u x Fbx u y Fby u z Fbz ρdxdydz Fb u ρdxdydz
质量力做功
表面力做功
[
Px u
第9章 粘性流体力学基本方程组
9.4.粘性流体动力学方程组的封闭性问题 • 未知函数有, U, F, p ,，h、Q和q共八个（这 里把矢量作为一个量）,而方程数目仅三个. • 通常假设彻体力F和外热Q是已知。 • 目前还未找到联系各热力学参数之间的普遍适 用关系式。对于空气等气体，常采用完全气体 假设，即满足：
9.2、动量守恒定律：运动方程
• 应在上式中再加一项，此项应只影响主对 角线上的元素（因为静压是 ij 对角线上正 • 应力），由此，假设： 1 ij 2sij bij ij
0 (i j) (i j)
(3.7)
• 其中b为待定标量，其选定方式有很多种。
9.2、动量守恒定律：运动方程
x
+
Py u y
+
Pz u z
]dxdydz
9.3 能量守恒定律——能量方程
D项. 能量累计速率
ρE t dxdydz
de q k 2 t - u d
对于无内热源、不可压流体、忽略耗散项，即： 内能的增量 内热源获得的热量 对外做功 热传导所获热量
(3.4)
9.2、动量守恒定律：运动方程
• 定义一个反映流体运动与变形的对称张量， 称为应变变化率张量
粘性流体力学基本方程组
牛顿流体具有剪切应力和剪切速率成线性关系的特性，这种 关系可以用本构方程来表示。
牛顿流体的本构方程
本构方程
本构方程是描述流体应力与应变之间 关系的方程，对于牛顿流体，其本构 方程为剪切应力等于粘性系数乘以剪 切速率。
本构方程的意义
本构方程是粘性流体力学中的基本方 程之一，它描述了流体在受到外力作 用时内部应力的产生和分布情况。
有限差分法
将流场离散化为网格，用差分表达式近似代 替微分方程中的导数项，从而将微分方程转 化为差分方程进行求解。
有限元法
将流场离散化为单元，用有限元近似表示流场中的 物理量，通过求解有限元方程得到流场中的数值解 。
有限体积法
将流场离散化为体积，每个体积单元上的物 理量通过中心值或平均值表示，通过求解离 散方程得到流场中的数值解。
VS
详细描述
非牛顿流体在剪切力作用下不会表现出恒 定的剪切粘度，其流动行为受到许多因素 的影响，如温度、压力、浓度、分子间相 互作用等。
非牛顿流体的本构方程
总结词
本构方程是描述非牛顿流体在剪切力作用下 的应力与应变率之间关系的数学模型。
详细描述
非牛顿流体的本构方程通常由实验数据确定， 并可以用来预测流体在不同剪切力作用下的 流动行为。常见的本构方程包括幂律模型、 Carreau模型、Bingham模型等。
理论分析方法
01
02
03
数学建模
通过建立数学模型来描述 粘性流体的运动规律，包 括连续性方程、动量方程、 能量方程等。
解析求解
对建立的数学模型进行解 析求解，得到流体运动的 解析解，用于分析流体运 动的特性。
近似方法
在某些情况下，可以采用 近似方法来求解数学模型， 如摄动法、匹配渐近展开 等。
流体力学5.2 粘性流体的运动方程式
第五章
粘性流体动力学
5.2 粘性流体中的运动方程式
P P P
5.2.2奈维-斯托克斯运动方程
流体力学第五章
一、应力与变形的关系
关于四个假设的说明：
（1）虽然这些假设本身以及由其所得到的结果曾经
为实践所近似地或很好地证实，但在逻辑的程度上，
不像欧拉对理想流体所建立的数学理论那样严密。
（2）有些假设是可以立刻接受的，有些则具有相当
大的近似性。
第一假设偏差较小：没有粘性时，主应力的值等于压强，即
123P P P P
1,2,3
1
2
3
,,p p P P P P P P p 考虑粘性时，主应力有了附加项，因此有可能把粘性
主应力写成压强和附加应力之和：
注：大P 代表应力张量，小p 代表压强。
第二假设偏差较大：应力主轴与变形主轴重合，而且附加应力和主变形之间有线性关系，即
111121322122233
313233'''P a b c P a b c P a b c
第三假设：流体为力学上各向同性的物质
11231
1112132
212223221333132333312p a b p a b c p a b c p a b p a b c p a b
123231312a b c a a a b b c c b
2,a b 令则
1123112
123223
12333222222p b b V p b b V p b b V
112233
222P b V P b V p p p P b V。
粘性流体力学第二章
8
输运方程的物理意义：
某一时刻可变体积上系统总物理量的变化率，等 于该时刻所在空间域（控制体）中物理量的时间变化 率与单位时间通过该空间域边界净输运的流体物理量 之和。
D d 0 d Vn dA Dt 0 t A
9
,A
3
dA A1
, A
V dt
5
控制面A有如下特点：
控制面不随时间变化； 在控制面上有质量交换，有流体的流进和流出;
控制面上有外力作用； 控制面上有能量交换，除了传热和外力做功外， 还有内能和动能的流进和流出，以及动量的交换， 这些是由质量的交换造成的。 一般来说，流体力学多用欧拉法描述，这两种方 法联系的桥梁就是质点导数公式和输运公式。
20
(2-16)式可以写成
DV F p ( V ) [ ( S S ) )] Dt
（2－18a）
DV F p ( V ) [ (V V )] （2－18b） Dt
u j ui ui ui u j p [ uj ] Fi [ ( )] [ ] t x j xi x j x j xi xi x j i 1 3为分量，j 1 3为重复脚表，称为哑标。 （2－18c）
可得： DV F p 2V ( )( V ) （2－20）
Dt ui ui 2ui p u j [ u j ] Fi ( ) ( ) t x j xi x j x j xi x j
（2－21）
第一节 表述流体运动的方法
1、欧拉法和拉格朗日法
流体力学中的研究方法有两种：欧拉法和拉格 朗日法。(目前发展: ALE法:任意拉格朗日-欧拉法)
第八章粘性流体动力学基础-武汉理工大学---网络学堂
第八章 粘性流体动力学基础一、内容小结本章为粘性流体动力学的理论基础部分，主要建立了粘性流体运动的基本微分方程式即 N-S 方程，所采用的方法同欧拉运动微分方程的推导类似，即仍然从牛顿第二定理出发采用微分体积法进行推导。
最后给出了两个特殊情况下N-S 方程的求解。
1．作用于粘性流体上的力：粘性流体的表面力：对于理想流体：表面力垂直作用面，沿内法线方向：P np =−J K Kp=p(x,y,z,t) 是标量，对于粘性流体：表面力即不垂直作用面，且与n K 有关，()n P p n =⋅J K JJ K K是张量。
一点的应力表示xx xy xz ij yxyy yz zxzyzz p p p p ττττττ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦应力： 第一个下标，表示应力作用面的法线；ij p 第二个下标，表示应力所投影的坐标轴。
应力的方向：法应力xxyy p p p zz ：拉为正，压为负。
切应力,,,,,xy yx yz zy zx xz ττττττ：作用面的外法线与坐标轴指向一致时为正。
其中切应力,,xy yx yz zy zx xz ττττττ===(13)xx yy zz p p p p =−++称粘性流体的压力， 与作用面的方位无关。
粘性流体的质量力：与理想流体类似如重力，惯性力等 2．粘性流体应力形式的运动微分方程1()yx x xx zx dV pX dt p x y z ττ∂∂∂=+++∂∂∂1()yxy yy dV p Y dt x y zzyττρ∂∂∂=+++∂∂∂1()yz xz z z p dV Z dt x y zτz τρ∂∂∂=+++∂∂∂矢量形式为：1(yx z p p p dV F dt x y zρ∂∂∂=+++∂∂∂J K J K J K J KJ K方程中未知量为：,,,,,,,,,x y z xx yy zz xy yz zx V V V p p p ρτττ共十个，粘性流体运动微分方程在直角坐标系下有三个方程，加上连续性方程，共四个方程，而未知数十个，因而方程不封闭，求解须补充方程。
流体力学基本方程组总结
gradvi
（34）
上述运动方程是以应力表示的粘性流体的运动方程，它们对任何粘性流体，任何运 动状态都是适用的。但它没有反映出不同属性的流体受力后的不同表现。另外，方程数 和未知量之数不等，运动方程有三个，加上连续性方程共四个，但未知量却有九个（六 个应力张量分量（九个张量分量因对称关系减少为六个）和三个速度分量），所以该方 程组不封闭。为使该方程组可解，必须考虑应力张量和变形速度张量之间的关系（将应 力张量用速度分量表示出来），补足所需的方程[2]。
称张量 S 和反对称张量 A 之和，于是
所以
vi x j
1 2
vi x j
vj xi
1 2
vi x j
vj xi
aij
sij
A S
（40）
vi
v0i
vi x j
dx j
v0i
aijdx j
sijdx j
（41）
上式右边第二、三项可具体表示为
aijdx j
1 2
rotv dr
（3）流体是各向同性的，即流体性质不依赖于方向或坐标系的转换。 根据假设（2），有
ij
cijkl
vk xl
cijkl skl
cijkl klm m
（48）
显然 cijkl 是一四阶张量，它是表征流体粘性的常数，共 34 81 个。根据假设（3），lkcj i 是
各向同性张量且对 i ， j 对称，故
vdm
Dv dm Dt
v
D dm Dt
Dv d Dt
由上可得两种积分形式的动量方程，即
(v) t
d
S
vnvdS
Fd
divPd
或
（21） （22）
高等流体力学 第三章 流体力学基本方程组-3
P pI P
p xz p p yz 0 p zz 0
0 p 0
xx 0 0 yx p zx
xy
(3) 固壁处：
当固壁与流体一起运动时：
v f vs
Tm1 Tm 2
T T k k n m1 n m 2 T T k k n m1 n m 2
16
当固壁静止时：
v f vs 0
Tm1 Tm 2
第七节 初始条件和边界条件
(b) 边界条件：流体运动边界上方程组的解应该满足的条件：
(4) 自由边界处，对理想流体：
p p0
17
随堂作业
(1) 粘性不可压缩均质流体定常运动（绝热过程）方程组在 二维直角坐标系中的形式 (2) P200 (3) P202 (4) P140 第9题（1）；P201 第22题 第二题1（2）； P141 第三题1（3）； 第13题（1）
1 u v 2 y x
1 v w 2 z y
1 P pI 2 S I v 3
1，i=j
Ⅰ= 0，i≠j
i,j=1,2,3
5
1 P pI 2 S I v 3
1 u w 2 z x u x 1 v w 1 u 2 z y 2 y 1 u 0 2 z 1 u v 2 y x v x w x v y 1 v w 2 z y 1 u w 2 z x 1 v w 2 z y w z
CAE的基本原理
CAE的基本原理1）粘性流体力学的基本方程(1) 广义牛顿定律，反映了一般工程问题范围内粘性流体的应力张量与应变速率张量之间的关系，数学表达式为本构方程。
(2) 质量守恒定律，其含义是流体的质量在运动过程中保持不变，数学表达式为连续性方程。
(3) 动量守恒定律，其含义是流体动量的时间变化率等于作用于其上的外力总和，数学表达式为运动方程。
(4) 热力学第一定律，其含义是系统内能的增加等于对该系统所作的功与加给该系统的能量之和，数学表达式为能量方程。
2）塑料熔体充模流动的简化和假设(1) 由于型腔壁厚(z向)尺寸远小于其他两个方向(x和y方向)的尺寸且塑料熔体粘性较大，所以熔体的充模流动可视为扩展层流，z向的速度分量可忽略不计，且认为压力不沿z向变化。
(2) 充模过程中熔体压力不是很高，因此可视熔体为未压缩流体。
(3) 由于熔体粘性较大，相对于粘性剪切应力而言，惯性力和质量力都很小，可忽略不计。
(4) 在熔体流动方向(x和y方向)上，相对于热对流项而言，热传导项很小，可忽略不计。
(5) 熔体不含内热源。
(6) 在充模过程中，熔体温度变化不大，可认为比热容和导热系数是常数。
(7) 熔体前沿采用平面流前模型。
3）塑料熔体充模流动的控制方程5）数值计算实施过程与策略CAE软件的应用过程。
首先根据制品的几何模型剖分具有一定厚度的三角形单元，对各三角形单元在厚度方向上进行有限差分网格剖分，在此基础上，根据熔体流动控制方程在中性层三角形网格上建立节点压力与流量之间的关系，得到一组以各节点压力为变量的有限元方程，解方程组求得节点压力分布，同时将能量方程离散到有限元网格和有限差分网格上，建立以各节点在各差分层对应位置的温度为未知量的方程组，求解方程组得到节点温度在中性层上的分布及其在厚度方向上的变化，由于压力与温度通过熔体粘度互相影响，因此必须将压力场与温度场进行迭代耦注射温度熔体流入冷却的型腔，因热传导而散失热量。
第二章 粘性流体动力学基本方程组
t 按取和约定,连续方程可表示为
(ui ) 0
t xi 对于定常流, 此式成为
(ui ) 0
xi
或 div(u) 0
此式表示通过微元体表面流出和流入微元体的质量 流量的总和为零,所以微元体内的密度不随时间变化.
对于不可压流,连续方程成为
ui 0 xi 由前述可知,ui 是应变变化率张量主对角线上三元素之和,
对流体运动的描述有两种基本方法，即拉格朗日法和 欧拉法；对基本定律的数学表述也有两种基本形式， 即积分形式和微分形式。
本书将以欧拉法和微分形式为主，间或采用拉格朗日法和积 分形式。现用欧拉法研究守恒定律。
考虑流体流过一个小的、不动的控制体，将此控制体简写为 CV。则对任何量q的守恒定律可表述为：
右端第四项中的 ui 是体积膨胀率（§1-5），它与 压力p的乘积代表单x位i 时间的膨胀功。
右端第五项是单位时间内粘性力所做的变形功。它把 流体运动的机械能不可逆地转换为热能而消耗，故称 为耗散项。
将式mij
2 sij
2 3
divu代入此项则得耗散函数
m ji
ui x j
u2 x1
u1 x2
式中的彻体力可用三个分量表示，即
F Fxi Fy j Fzk
将此式和表面力P的公式则得
Du Dt
Fx
x
x
yx
y
zx
z
Dv Dt
Fy
xy
x
y
y
zy
z
Dw Dt
Fz
xz
x
yz
y
z
z
此方程是牛顿第二定律的严格表述,未引入任何假设.
若把彻体力看成已知,则此方程引入的表面应力张量
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＝
微元体内的 质量变化量
y
微元体及其表面的质量通量
a)连续性方程
故 dt 时段内在 x 方向流入与流出六面体的液体质量差为：
u x dxdydzdt x
同理可得出 dt 时段内在 y, z方向流入与流出六面体的液体质量 差分别为：
u y y
dxdydzdt ,
u z dxdydzdt z
d ux uy uz dt t x y z
d p p p p p ux uy uz d t t x y z
c)梯度
标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向， 梯度的长度是这个最大的变化率 梯度的运算对象是标量，运算结果是矢量 考虑一座高度在（x,y）点是H（x,y）的山。在一点 的梯度是在该点坡度（或者说斜度）最陡的方向。梯 度的大小告诉我们坡度到底有多陡。 这座山的每一个点上都算出一个梯度向量,这个向量会 指向每个点最陡的那个方向,而向量的大小则代表了这 个最陡的方向到底有多陡
流体的加速度
因此该液体质点通过A点时的加速度应为
u x u d x x d t ) ux x t ax dt u d x u x u x u x ux x x d t t t x (u x
u x 被称为时变（或当地）加速度，代表某定点流速随时间的 t u x u 变化率； x x 被称为位变（或位移）加速度，代表同一时刻流
对静止液体， ux u y uz 0 ，故有：
fx
1 p 1 p 1 p 0, f y 0, f z 0 x y z
即为静止液体的欧拉平衡微分方程。 若 f x 0, f y 0, f z g
p p p 0 , 0 , g 则 x y z
则 p gh 从流体运动微分方程推倒出静水压强公式
改写理想液体的运动微分方程，有：
u u u 1 p u x ux x u y x uz x x t x y z u u u 1 p u y fy ux y u y y uz y y t x y z 1 p u z u u u fz ux z u y z uz z z t x y z fx
(p p dx )dydz x 2
各坐标轴方向的单位质量力以 fx, fy, fz 计，则作用于六面体上 的质量力在 x 方向的分力为 f x dxdydz 。 根据牛顿第二定律，所有作用于六面体上的力在 x 方向的分力 的代数和等于六面体的质量与加速度在 x 方向投影之积，即： du x p dx p dx f x dxdydz p d y d z p d y d z d x d y d z x 2 x 2 dt 1 p du x 化简，有： f x x dt 1 p du z 1 p du y f ，z 同理可得： f y z dt y dt 此即理想液体的运动微分方程——欧拉方程，其既适用于可压 缩流体，也适用于不可压缩流体，既适用于恒定流，也适用于 非恒定流。
直角坐标系中：
divF F
Fx Fy Fz F x y z
11
2）流体力学基本方程组
直角坐标系中的连续性方程
z dy
质量守恒
输入微元体 输出微元体 的质量流量 － 的质量流量
dz
vx dydz
dx
vx dx dydz vx x
连续性方程的物理意义与适用范围 u x u y u z 0
t x y z u x u x u y u y u z u z 0 t x x y y z z u x u y u z t u x x u y y u z z x y z 0
y
上、下面在 x 方向的表面力为：
zx dz )dxdy z z 质量力在 x 方向的分力为： f x dxdydz zx dxdy, ( zx
根据牛顿第二定律，在 x 方向有：
f x dxdydz p xxdydz pxx
p xx dx dydz yxdxdz x
上式表明，对于不可压缩液体，单位时间单位体积空间内流入与流出的液体体 积之差等于零，即液体体积守恒。
连续性方程是流体流动微分方程最基本的方程 之一。任何流体的连续运动均必须满足。
16
b)理想流体的运动方程
在理想液体中任取一微分平行六面体，边长分别为dx, dy, dz。 其形心点 A 的动水压强为 p，速度为ux, uy, uz。作用于六面体的 力有表面力与质量力，表面力只有动水压力。 作用在左边表面的总动 水压力为： p dx (p )dydz x 2 作用在右边表面的总动 水压力为：
c.散度的计算：
divF lim
S
F ds V
V 0
S6
在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封 闭曲面由六个平面组成。
S1 S4
S5
矢量场 F 表示为：
x
y
S 9
F ds
S1
F Fx i Fy j Fz k F ds1 F ds2 F ds3
在时刻 t ，A 点流速为 u x ， u A点的流速为u x x d x。 x
u x u d t ，而 A点的流速则变 在时刻 t + dt ，A点的流速变为 x t 为： (u x u x u u u d x) (u x x d x) d t u x x d x x d t x t x x t
粘性流体力学基本方程组
一、从牛顿第二定理出发，推导粘性流体力学动量方 程 二、引入本构方程的必要性 三、本构方程的推导 四、粘性流体力学基本方程组(N-S方程)
1）矢量场的几个概念
随体导数 梯度、散度
a)流体的加速度
在时刻 t，某一液体质点通 过渐变段上的 A 点，经过 时间 dt 该液体质点运动到 新的位置 A。
S2 S3
S4
F ds4 F ds5 F ds6
S5 S6
散度的物理意义
考虑任何一个点(或者说这个点的周围极小的一块区域 ),在这个点上,矢量场的发散程度 如果是正的,代表这些向量场是往外散出的；如果是负 的,代表这些向量场是往内集中的. 运算的对像是矢量,运算出来的结果是标量 流体力学中，速度场散度指流体运动时单位体积的改 变率
因此在 dt 时段内流进与流出六面体液体质量的总变化为：
u x u y u z dxdydzdt y z x
13
连续性方程
经过 dt 时段六面体内因密度变化所引起的质量总变化为：
(
dt )d xdydz dxdydz dxdydzdt t t
上述方程中有未知量4个，分别为：p, ux, uy, uz。运动微分方程 与连续性微分方程联立，可以构成封闭系统。
37
c)粘性流体运动方程
粘性流体应力状态
粘性流体应力状态
表面力 pz 可分解为沿作用面内法线方 向的正应力 pzz 和与作用面成切向的两 个切应力 zx , zy 。 正应力以 p 记，而切应力以 记。切 应力的第一个脚号表示切应力所作用 的方向与该脚号代表的坐标轴垂直； 第二个脚号表示切应力作用方向与该 脚号代表的坐标轴平行。
速随位置的变化率。
可见，液体质点在空间某定点上的加速度是时变加速度与位变 加速度之和。
5
流体的加速度
d uy d ux d uz a , a , a 根据加速度的定义， x y z dt dt dt
利用连续复合函数的微分法则，有： ux (t , x, y, z)
ax d u x u x u x d x u x d y u x d z dt t x d t y d t z d t u u u u x ux x u y x uz x t x y z d u y u y u y u y u y ay ux uy uz dt t x y z
1 d divv 0 dt
定流或非恒定流；理想液体或实际液体；可压或不可压流
对不可压缩液体， 常数，因此连续性微分方程简化为：
u x u y u z 0 x y z
或写作div u=0，式中div u叫速度散量，为标量。
grad i j k x y z
在直角坐标系中：
grad
直角坐标系中：
d)散度
a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。
divF F
Fx Fy Fz F x y z
z
S3
S2
b.表达式：
yx zx du x d y d x d z d x d y d z d x d y d x d y d z zx zx yx y z dt 1 pxx 1 yx zx du x 整理后，有： f x x y z dt
p xx
p yy
p zz
p xx
p yy
p zz
y
从分析微分六面体在 x 轴方向的受力情况入手： 左、右面在 x 方向的表面力为：
p xx dx)dydz x 前、后面在 x 方向的表面力为： yx yxdxdz, ( yx dy)dxdz y p xxdydz, ( p xx