第10章 能量法

第10章 能量法思考题1.计算构件的变形能，在什么情况下能叠加、在什么情况下不能叠加？试举例说明。

在产生不同种类变形的外力作用下弹性体的应变能可由各个外力单独作用下的应变能叠加求得。

例如在轴向力和横向力作用下产生的拉弯组合变形中，就可以分别计算轴向力和横向力的应变能，总的应变能可以由这两个应变能叠加求得。

在产生同种变形的外力作用下弹性体的应变能不能由各个外力单独作用下的应变能叠加求得。

例如在横向力和集中力偶产生的弯曲变形中，总的应变能就不能由这横向力和集中力偶单独产生的应变能叠加求得。

2.设一梁在n 个广义力n P P P P ,,,321 共同作用下的外力功i ni i P W ∆=∑=121，如何理解i ∆的含义？i ∆是在n P P P P ,,,321 共同作用下在i P 作用处沿i P 作用方向的位移。

3.图乘法是怎样建立的？其应用条件是什么？图乘法是在莫尔积分的基础上针对均质等直截面杆建立的。

其应用条件为：（）均质等直截面杆；（2）在图乘法应用区段，M 图和()M x 必须是连续光滑曲线或直线；（3）M 图为抛物线时，抛物线顶点的切线与基线平行或与基线重合。

10.1 计算图示各杆的应变能解：（a ）AB 段与BC 段的轴力都是F ，所以EAl F A E l F EA l F U 43)2(22222=+=（a ）（b ）2221233120222331122002()()d d 221218l ll l M x M x U x x EI EI M Mx dxx dx EI l l M l EI=+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰（b ）10.2试用卡氏定理求解如图所示梁截面B 的挠度和转角。

EI 为常数。

(a)解：由平衡条件可以计算出20021qa l F M qa F F A RA +=+=， 欲求B 点挠度，须在B 点加一虚力F 0（=0），如图(a 1)所示。

AC 段任一截面上有()()2221110110111222RA A M x F x qx M F qa x qx F l qa =--=+---()()110M x x l F ∂=-∂ CB 段任一截面有()202x F x M -=，()220M x x F ∂=-∂ 应用卡氏定理，B 截面的挠度为()()()()()()()()()1122120002201101102223d d 1111d d 22 4()24al a B al aM x M x M x M x w x x EI F EI F F qa x qx F l qa x l x F x x xEIEI qa l a EI--∂∂=+∂∂⎡⎤=+----+--⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰⎰向下欲求B 点转角，须在B 点加一虚力偶矩M e0（=0），如图(a 2)所示。

由平衡条件可以计算出固定端处的反力为2021qa M M qa F e A RA+=='， AC 段任一截面上有()222111*********RAA e M x F x qx M qax qx M qa ''=--=--- ()101e M x M ∂=-∂CB 段任一截面上的弯矩方程为()02e M x M -=， ()201e M x M ∂=-∂应用卡氏定理，B 截面的转角位()()()()()()()112212000221101023d d 1111 1d 1d 22 ()6al a B e e al ae e M x M x M x M x x x EI M EI M qax qx M qa x M xEIEI qa EIθ--∂∂=+∂∂⎡⎤=----+--⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰顺10.3试用图乘法求图示各梁截面B 的挠度和转角。

EI 为常数。

解：(a) 载荷作用下弯矩图如图(a 1)所示，在B 处作用单位载荷时弯矩图如图(a 2)所示，在B 处作用顺时针单位力偶时弯矩图如图(a 3)所示。

则(a)(a 1) (a 2) (a 3)B 截面的挠度为()3241132424B qa l a qa a w a l EI EI -⎛⎫=⋅⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭（向下） B 截面的转角为（顺）EIqa a qa EI B 61231132=⋅⋅⋅⋅=θ(b) 载荷作用下弯矩图如图(b 1)所示，在B 处作用单位载荷时弯矩图如图(b 2)所示，在B 处作用顺时针单位力偶时弯矩图如图(b 3)所示。

则(b)(b 1)(b 2) (b 3)B 截面的挠度为31111125242444242434384B Fl l Fl l l Fl l Fl w l l EI EI⎛⎫=-⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=⎪⎝⎭（向下）B 截面的转角为211111121112424424312B Fl l Fl l l EI EIθ⎛⎫=-⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭（顺）10.4车床主轴如图所示，在转化为当量轴以后，其抗弯刚度EI 可以作为常量。

试用叠加法求载荷F 作用下截面C 的挠度和B 处的截面转角。

解：C 截面的挠度等于将BC 段视为B 截面为固定端的悬臂梁在自由端作集中力F时C 点的挠度为Cw '和视AB 段为简支梁在B 截面处作集中力偶矩Fa M e =时在引起C 点的挠度Cw ''的代数和。

在自由端作集中力F 时，悬臂梁BC 上C 点的挠度为33C Fa w EI'=简支梁AB 在B 截面处作集中力偶矩Fa M e =时，B 截面处产生转角为243B Fa EIθ''=此时在C 点引起的挠度为234433C Fa Fa w a EI EI''=⨯=故C 点的挠度为353C CC Fa w w w EI'''=+=(向下)B 截面处产生转角243B Fa EIθ= （顺）10.5试求图示变截面梁在F 力作用下截面B 的竖向位移和截面A 的转角。

解：①求B 点的挠度设在A 点作用力F 时，在B 处产生的位移为δB ；在B 处作用一向下单位力时，在A 处产生的挠度为w A 。

则有323115322212A a a a w a EI EI EI=⨯+⨯⨯=由功互等定理得1A B Fw δ=⋅解得B 截面的位移为EIFa B 1253=δ (向下)②求A 截面的转角设在A 点作用力F ，在A 处产生的转角为θA ；在A 处作用一单位力偶矩时，在A 处产生的挠度为w A 1。

利用莫尔积分得22105d d 24aa A a x x a w x x EI EI EI=+=⎰⎰根据功的互等定理得2514A a F EIθ=⋅ 解得EIFa A 452=θ （逆）10.6如图刚架各杆的EI皆相等，试求截面A的位移和截面C的转角。

解：图(a1)为载荷弯矩图，图(a2) 为在A处作用向下单位力的弯矩图、图(a3)为在A 处作用水平向右单位力的弯矩图，图(a4)为在C处作用顺时针单位力偶的弯矩图。

(a)图(a1)：M图(a2)：M图(a3)：M图(a4)：M 截面A的位移为EIFabhahFbEIyA-=⋅⋅-=1(向上)EIFbhFbhhEIxA22112=⋅⋅⋅⋅=（向右）截面C的转角为()hbEIFbhFbbFbEIC2211211+=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅+⋅⋅=θ (顺)10.7刚架各部分的EI 相等，试求在图示一对F 力作用下，A 、B 两点之间的相对位移及相对转角。

解：分别在A 、B 两点作用单位力和单位力偶，如图（a 1）、(a 2)所示。

图（a 1） 图(a 2)计算刚架各段的()()x M x M 和： AC 段()()()111111='==x M x x M Fx x M ，，CD 段()()()1222='==x M h x M Fh x M ，，利用莫尔积分得()()()()()()())(3322220202111020222111靠近EIa h Fh hdx Fh dx x Fx EI dx EI x M x M dx EI x M x M dxEIx M x M hah aAB +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⎰⎰⎰⎰∑⎰δ()()()()()()()112221*********d 2d d 21d 1d ABah a hM x M x xEIM xM x M x M xx x EI EI Fx x Fh x EI Fh h a EIθ'=''⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭+=∑⎰⎰⎰⎰⎰10.8平面刚架如图所示，若刚架各部分材料和截面相同，试求截面A 的转角。

解：载荷作用下弯矩如图(b)所示，在A 处作用逆时针单位力偶时弯矩图如图(c)所示。

(a) (b) (c)截面A 的转角为（逆）EIFll Fl l Fl l Fl EI A 23313321153211332112=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=θ*10.9 轴线为水平平面内四分之一圆周的曲杆如图所示，在自由端B 作用垂直载荷F 。

设EI 和GI p 为已知，试求截面B 在垂直方向的位移。

解：由图(b)得，在载荷F 以及B 处作用向下单位力时任一截面上的弯矩方程分别为(a) (b)()()()θθθθθsin ,sin R FM M FR M =∂∂== 在载荷F 以及B 处作用向下单位力时任一截面上的扭矩方程分别为()()()()()θθθθθcos 1cos 1-=∂∂=-=R FT T FR T ，则B 截面的垂直方向位移为()()()()()()（向下）PPPB GI FR EI FR d GI FR d EI FR dsGI T T ds EI M M 4834cos 1sin 332203223202-+=-+=+=⎰⎰⎰⎰ππθθθθθθθθδππππ。