第10章 能量法
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第10章 能量法
思考题
1.计算构件的变形能，在什么情况下能叠加、在什么情况下不能叠加？试举例说明。 在产生不同种类变形的外力作用下弹性体的应变能可由各个外力单独作用下的应变能叠加求得。例如在轴向力和横向力作用下产生的拉弯组合变形中，就可以分别计算轴向力和横向力的应变能，总的应变能可以由这两个应变能叠加求得。 在产生同种变形的外力作用下弹性体的应变能不能由各个外力单独作用下的应变能叠加求得。例如在横向力和集中力偶产生的弯曲变形中，总的应变能就不能由这横向力和集中力偶单独产生的应变能叠加求得。
2.设一梁在n 个广义力n P P P P ,,,321 共同作用下的外力功i n
i i P W ∆=
∑=1
21，如何理解i ∆的含义？
i ∆是在n P P P P ,,,321 共同作用下在i P 作用处沿i P 作用方向的位移。 3.图乘法是怎样建立的？其应用条件是什么？
图乘法是在莫尔积分的基础上针对均质等直截面杆建立的。其应用条件为：（）均质等直截面杆；（2）在图乘法应用区段，M 图和()M x 必须是连续光滑曲线或直线；（3）M 图为抛物线时，抛物线顶点的切线与基线平行或与基线重合。
10.1 计算图示各杆的应变能
解：（a ）AB 段与BC 段的轴力都是F ，所以
EA
l F A E l F EA l F U 43)2(22222=
+=
（a ）
（b ）
2221233
12
0222331122002()()d d 221218l l
l l M x M x U x x EI EI M M
x dx
x dx EI l l M l EI
=+⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=
⎰⎰⎰⎰
（b ）
10.2试用卡氏定理求解如图所示梁截面B 的挠度和转角。EI 为常数。
(a)
解：由平衡条件可以计算出
2002
1qa l F M qa F F A RA +
=+=， 欲求B 点挠度，须在B 点加一虚力F 0（=0），如图(a 1)所示。AC 段任一截面上有
()()2221110110111
222
RA A M x F x qx M F qa x qx F l qa =--=+---
()
()110
M x x l F ∂=-∂ CB 段任一截面有
()202x F x M -=，
()
220
M x x F ∂=-∂ 应用卡氏定理，B 截面的挠度为
()()()()()()()()()1122
12
000
2201101102
2
2
3
d d 1
111d d 22 4()
24a
l a B a
l a
M x M x M x M x w x x EI F EI F F qa x qx F l qa x l x F x x x
EI
EI qa l a EI
--∂∂=+∂∂⎡
⎤=+----+--⎢⎥⎣⎦
=-⎰
⎰⎰
⎰向下
欲求B 点转角，须在B 点加一虚力偶矩M e0（=0），如图(a 2)所示。由平衡条件可以计算出固定端处的反力为
2
02
1qa M M qa F e A RA
+=='， AC 段任一截面上有
()222111*********
RA
A e M x F x qx M qax qx M qa ''=--=--- ()
10
1e M x M ∂=-∂
CB 段任一截面上的弯矩方程为
()02e M x M -=， ()
20
1e M x M ∂=-∂
应用卡氏定理，B 截面的转角位
()()()()()()()1122
12
000
2211010
2
3
d d 1
111 1d 1d 22 ()6a
l a B e e a
l a
e e M x M x M x M x x x EI M EI M qax qx M qa x M x
EI
EI qa EI
θ--∂∂=+∂∂⎡⎤=
----+--⎢⎥⎣⎦
=⎰
⎰⎰
⎰顺
10.3试用图乘法求图示各梁截面B 的挠度和转角。EI 为常数。
解：(a) 载荷作用下弯矩图如图(a 1)所示，在B 处作用单位载荷时弯矩图如图(a 2)所示，在B 处作用顺时针单位力偶时弯矩图如图(a 3)所示。则
(a)
(a 1) (a 2) (a 3)
B 截面的挠度为
()3
241132424B qa l a qa a w a l EI EI -⎛⎫=⋅⋅⋅⋅-= ⎪⎝⎭
（向下） B 截面的转角为
（顺）EI
qa a qa EI B 6123113
2=⋅⋅⋅⋅=θ
(b) 载荷作用下弯矩图如图(b 1)所示，在B 处作用单位载荷时弯矩图如图(b 2)所示，
在B 处作用顺时针单位力偶时弯矩图如图(b 3)所示。则
(b)
(b 1)
(b 2) (b 3)
B 截面的挠度为