函数导数与不等式综合题

函数、导数与不等式综合题

1 已知 ()()ln f x ax b x =+-，其中0,0a b >>.（1）若)(x f 在[)0,+∞上是减函数，求

a 与

b 的关系；（2）求)(x f 在[)0,+∞上的最大值；（3）解不等式ln x x x x 2

21-

-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤ln2–1. 解：.（1）()1a a b ax

f x ax b ax b

--'=

-=

++. ………………1分

0,0,0x a b >>≥,

()0f x '∴≤时，0a b -≤，即a b ≤.

当a b ≤时，0,0,0.0,0a b x ax b a b ax >>∴+>--≥≤, 即()0f x '≤.

()f x ∴在[0,)+∞上是减函数时，b a ≥. ………………………4分 （2）由（1）知，（i ）当b a ≥时()f x 为减函数，()f x 的最大值为(0)ln f b =；……5分

当b a <时，

()a b ax

f x ax b

--'=

+，

∴当0a b x a -<

≤时，()0f x '>，当a b

x a

->时()0f x '<， 即在[0,

)a b a -上()f x 是增函数，在[,)a b a

-+∞上()f x 是减函数，………………7分 ∴a b

x a

-=

时()f x 取最大值， 最大值为max ()(

)ln a b a b

f x f a a a

--==-

， 即max ln (),

()ln ().b b a f x a b

a b a a ⎧⎪

=⎨--<⎪

⎩

≥ ……………………8分 （3）在（1）中取1a b ==，即()ln(1)f x x x =+-,

由（1）知()f x 在[0,)+∞上是减函数.

……………………10分

∵ln x x x x 2

21--⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+≤ln2–1，即f(x 21-)≤f(1) ………………12分

∴x

2

1-

≥1解得 –1≤x <0或x ≥2. 故所求不等式的解集为),2[)0,1[∞+- ……………………………14分

2．已知函数()1ln x

f x x ax

-=

+． （1）若函数()f x 在[)1,+∞上为增函数，求正实数a 的取值范围；

（2）当1a =时，求证对大于1的任意正整数n ，1111ln 234n n

>++++． 解析：（1）由已知：()

21()0ax f x a ax -'=>，依题意得：2

1

0ax ax -≥对[)1,x ∈+∞恒成立， ∴10ax -≥对[)1,x ∈+∞恒成立，即1a x ≥

对[)1,x ∈+∞恒成立，max

1a x ⎛⎫

≥ ⎪⎝⎭，即1a ≥．.

（２）当1a =时，由（１）知，函数()1ln x

f x x x

-=+在[)1,+∞上为增函数． 当1n >时令1n

x n =

-，则1x >，故()()10f x f >=， 即111ln ln 01111

n n n n n f n n n n n n -

⎛⎫-=+=-+> ⎪---⎝⎭

-，即1ln 1n n n >-． 故21ln 12>，31ln 23>，…………，1ln 1n n n

>-，

相加得23111

ln ln ln 12123n n n

+++>+++-，

而2323

ln

ln ln

ln ln 12

112

1n n n n n ⎛⎫

+++=⋅⋅⋅

= ⎪--⎝⎭

， 即1111ln 234

n n

>

++++

． 3．（2007安徽）设a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）.

（Ⅰ）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x >1时，恒有x >ln 2x －2a ln x ＋1.

本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分． （Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x a

f x x x x

'=-

+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，， 于是22

()10x F x x x x

-'=-=>，， 列表如下：

故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．

（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>． 于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．

4．（2007山东理 22）设函数2

()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠．（Ⅰ）当1

2

b >

时，判断函数()f x 在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，

不等式23111

ln 1n n n

⎛⎫+>-

⎪⎝⎭都成立． 解：（Ⅰ）由题意知，()f x 的定义域为(1)-+∞，，322()211

b x x b

f x x x x ++'=+

=++ 设2

()22g x x x b =-+，其图象的对称轴为1

(1)2

x =-

∈-+∞，， max 11()22g x g b ⎛⎫

∴=-=-+ ⎪⎝⎭

．

当12b >

时，max 1

()02

g x b =-+>， 即2

()230g x x x b =+->在(1)-+∞，上恒成立， ∴当(1)x ∈-+∞，时，()0f x '>， ∴当1

2

b >

时，函数()f x 在定义域(1

)-+∞，上单调递增．